Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik"

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver III IV Del 1 Oppgave 1 V a) V b) V c) V d) VI e) VII f) VIII g) VIII h) IX i) IX Oppgave 2 X a) X b) X c) X d) XI Del 2 Oppgave 3 XII a) XII b) XII c) XIII d) XIII Oppgave 4 XIV a) XIV b) XIV c) XV d) XV Oppgave 5 XVI a) XVI b) XVI c) XVII I

3 Oppgave 6 XVII a) XVII b) XVIII Oppgave 7 XVIII a) XVIII b) XIX Oppgave 8 XX II

4 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 2 Del 1 Sum Oppgave 1a 1a2 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h 1i1 1i2 2a 2b 2c 2d Poeng Oppgave 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 5a 5b 5c 6a 6b Poeng a 7b 8c Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 379 besvarelser: Karakter Prosent 10.3% 24.0% 27.4% 22.7% 12.1% 3.4% Gjennomsnittet av besvarelsene var 3.1. Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Forhåndssensur Arbeidsmengde og vanskelighetsgrad virker rimelig. Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Svært behagelig eksamen. Ingen spesielt vanskelige eller tidkrevende på hverken Del I eller Del II. Oppgave 3 kan dog by på noe problemer. Et fåtal elever hadde problemer med å forstå at i siste oppgave skulle dbestemmes ut fra figur og ikke regning. III

5 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) I) 1 II) 81 b) c) x = 4, y = 6 d) x = 4 e) 4 x 3 f) (x + 4)/(x + 3) g) P (H F ) = 2/5 40 % h) Siri er 8år, Karen er 6år, Marit er 12år i) Oppgave 2 a) a = 2 b) a = 3 c) a = 4 d) a 1 Oppgave 3 a) b) ABD = arccos(4/5) 37 b) BCD = arccos( 17/192) 95 c) A = m 2 d) Oppgave 4 a) b) x = 9 c) 1 + 2/5 1.4 kg. d) Slaktes etter 21 måneder. Oppgave 5 a) P = 1/45 2 % b) P = 16/46 36 % Oppgave 6 a) 11.5 % b) 90.4 % Oppgave 7 a) AC = x 2, CE = x 2 24x b) x = 60/11 så AC + CE = m Oppgave 8 d = 1, c = 2, b = 1, a = 1 IV

6 Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (5 poeng) a) Regn ut 1) (10 12) 2 Her er det enklest å løse opp parentesen først. Videre så er 3 2 = 3 3 = 9 innsatt fås da = (10 12) 2 Parenteser = ( 2) 2 Multiplikasjon = Addisjon = 1 2) (3 2 ) 3 Her er det bare å reglene for potenser. Legg merke til at 9 1/2 = 9 = 3, videre så er a b a c = a b+c, innsatt fås da (3 2 ) 3 = = = 3 2 ( 6) = 3 4 = 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform Standarform betyr at vi ønsker utrykket over på formen a.b 10 c, hvor a, b, c er heltall = = = c) Løs likningssystemet [ ] x + 2y = 16 3x y = 6 Er flere måter å løse dette likningssystemet på. Den kanskje enkleste her blir innsetningsmetoden. Fra første likning har vi at x = 16 2y, innsatt i nederste får vi da 3(16 2y) y = 6 7y = 42 så y = 6 og x = = 4. Den alternative metoden blir å gange nederste likning med 2 og legge sammen likningene da fås [ x + 2y = 16 3x y = 6 [ x + 2y = 16 6x 2y = 12 [ 7x = 28 ] ] ] V

7 Altså er x = 4, innsetning i en av likningene ovenfor gir y = 6. Det viktigste her er ikke hvilken metode en kommer frem til svaret på. Men å sjekke at svaret faktisk er riktig. Oppgaven kan og løses grafisk som vist i (figur 1) y x + 2y = 16 3x y = x Figur 1: Grafisk løsning av Oppgave 1 c d) Løs likningen grafisk 2x 3 = x I motsetning til i forrige oppgave skal denne løses grafisk. Dog kan det være lurt å kladde svaret på forhånd. Ganger vi likningen med 4, får vi 8x 12 = 24 x 9x = 36 x = 4 Altså burde linjene skjære i (4, 5). Vi lager en verditabell, og utifra denne tegner vi figur. Velger her punkter fra 0 til 8. Nå skal det og nevnes at for å tegne en linje trengs det strengt Tabell 1: Verditabell for y = 2x 3 x y Tabell 2: Verditabell for y = x x y talt bare to punkter. Men det skader ikke å ha flere. VI

8 y x + 2y = 16 3x y = x Figur 2: Grafisk løsning av Oppgave 1 d e) Løs ulikheten x 2 x Det enkleste her blir å gange likningen med 1 først. Da snus ulikheten og vi får x 2 + x 12 0 Herfra er det flere veier til mål. Dersom likningen har heltallsløsninger vil disse være delelige på konstantleddet. Mulige heltallsløsninger blir dermed x = 12, 6, 4, 3, 1, 1, 3, 6, 12, via innsetning så er det x = 4 og x = 3 som oppfyller likningen. Så x 2 +x 12 = (x 3)(x+4). Så setter vi opp en fortegnslinje for å drøfte når (x 3)(x + 4) er mindre enn null x x 3 0 x 2 + x x Figur 3: Fortegnslinje for ulikheten i Oppgave 1e). Fra fortegnsskjemaet ser vi at (x 3)(x + 4) 0 når 4 x 3 som også kan skrives som x [ 4, 3] Alternativt kan vi faktorisere likningen som vist under. x 2 + x 12 0 x 2 + 4x 3x 12 0 x(x + 4) 3(x + 4) 0 (x + 4)(x 3) 0 Eller benytte oss av ABC-formelen, dog er denne tregere enn metodene ovenfor. x = b ± b 2 4ac 2a x = 1 ± 1 2 4(1)( 12) 2(1) x = 1 ( 1 ± ) 49 2 x = 1 ( 1 ± 7) 2 x = 4 x = 3 VII

9 f) Faktoriser og forkort x 2 x + 12 x 2 9 Fra tidligere vet vi at x 2 x+1 = (x 2 x+12) = (x 3)(x+4). For å faktorisere teller kan tredje kvadratsetning (eller konjugatsetningen) brukes. Denne sier at a 2 b 2 = (a b)(a + b) slik at x 2 9 = (x 3)(x + 3) innsatt fås da at x 2 x + 12 x 2 9 = (x 3)(x + 4) (x 3)(x + 3) = (x 3)(x + 4) (x 3)(x + 3) = x + 4 x + 3 Her er det ikke nødvendig å faktorisere teller på nytt, en henvisning til forrige oppgave holder. g) I klasse 1A er det 20 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball. Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball. Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball. Her kan en tegning være lurt. Ingen deler 1 J = 10 F J =? F = 15 Vi ønsker først å finne ut hvor mange elever som spiller både fotball og håndball. Siden det er 20 elever i klassen, og èn som hverken spiller fotball eller håndball betyr dette at det totalt er 19 elever som driver med enten fotball eller håndball. Altså er det = 6 personer som enten spiller fotball eller håndball. Så sannsynligheten for at en person som driver med fotball og driver med håndball er gitt som P (H F ) = 6/15 = 2/5 = 20%. Med symboler kan dette skrives som. P (H F ) = P (F H) P (F ) = P (F ) + P (H) P (F H) P (F ) = (20 1) 15 = 2 5 VIII

10 h) Siri, Karen og Marit er til sammen 26 år. Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden. Karen er halvparten så gammel som Marit. Sett opp en likning som du kan bruke for å finne ut hvor gamle Siri, Karen og Marit er. Løs likningen. Hvor gamle er hver av de tre jentene? Mange velger her å bruke x, y, z jeg er litt utradisjonell og foretrekker forbokstaver. Slik at S = Siri, K = Karen, M = Marit. Utifra opplysningene har vi at S + K + M = 26, M = 3(S 4) og K = M/2. Bruker vi de to siste opplysningene i den første får vi at S + M + K = 26 S + 3(S 4) + 1 3(S 4) = 26 2 (2S) + (6S 24) + (3S 12) = 52 11S = 88 S = 8 Slik at Siri = 8, Marit = 3(8 4) = 12 og Karen = M/2 = 6 i) C 45 A 3 B 1) Vis at BC = 2 3 Trekanten er likebent siden C = B, så AB = AC. Da har vi fra Pytagoras at BC 2 = AC 2 + AB 2 BC = = = 3 2 Som var det vi ønsket å vise. Alternativt kan vi bruke trigonometri og cosinus slik at 2) Vis at 45 = 2 2 cos 45 = AB BC BC = 3 1/ 2 = 3 2 Blir mye det samme som i forrige oppgave. Vi vet at cos 45 = AB BC = = 2 2 IX

11 Oppgave 2 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 2x + a a) Hva må verdien av a være for at grafen til f skal skjære y-aksen i y = 2? En grei løsning her blir å tegne å først tegne funksjonen for ulike verdier av a. Dette er god hjelp for å kontrollsjekke svarene sine i denne og senere deloppgaver. 4 y a = 2 2 a = 1 3 a = 0 a = 1 4 a = 2 a = 3 5 a = 4 x Figur 4: Fremstilling av x 2 2x + a for ulike a. Fra figur ser vi at løsningen er a = 1, men dog må dette regnes ut og. At grafen skjærer y-aksen i y = 0 er det samme som at f(0) = 2, innsatt fås da f(0) = a = 2 a = 2 b) Hva må verdien av a være for at grafen skal ha et nullpunkt for x = 3? Som vi ser fra (figur 5) så må a = 3. At grafen har et nullpunkt for x = 3 er det samme som at f(3) = 0. Så som ønsket. f(3) = a = 0 a = 3 c) Hva må verdien av a være for at y-verdien i bunnpunktet til grafen skal være 5? Som vi ser fra (figur 5) så må a = 4. At grafen har et bunnpunkt for x = 3 er det samme som at f (x 1 ) = 5. Så vi må først finne x 1 eller x-koordinaten til bunnpunktet. f (x) = 2x 2 = 0 x = 1 innsatt fås da som ønsket. f(1) = a = 5 a = 4 X

12 d) For hvilke verdier av a har grafen minst ett nullpunkt? Fra figur ser vi at for at grafen har minst ett bunnpunkt dersom a 1, dette kan vises på flere måter. Vi ser at f går mot uendelig både når x-blir svært liten, og når x blir svært stor. Dermed vil funksjonen ha minst ett nullpunkt når y-koordinaten til bunnpunktet er mindre eller lik null. Altså så ønsker vi f(1) a 0 a 1 Som ønsket. Alternativt kan vi bruke abc-formelen å se når likningen har flere løsninger. NB! Husk at i formelen nå så er a = 1, b = 2 og c = a. x = b ± b 2 4ac 2a = 1 2 ( 1 ± ) ( 2) 2 4(1)(a) Dersom likningen har flere løsninger må diskriminanten (det som står under rottegnet) være positivt. Vi har da en eller flere løsninger når ( 2) 2 4(1)(a) 0 1 a a 1 XI

13 Del 2 Med hjelpemider Oppgave 3 (10 poeng) D 24 m C 18 m 16 m A 24 m B a) Vis ved regning at BD = 30m Siden vinkel A er 90 kan vi her benytte oss av pytagoras til å bestemme BD. BD 2 = AD 2 + AB 2 BD = = (6 4) 2 + (6 3) 2 = 6 2 ( ) = 6 5 = 30 som var det vi ønsket å vise. b) Bestem ABD og BCD ved regning Vinkel ABD kan for eksempel bestemmes utifra sinus, cosinus eller tangens siden vi har alle sidene og trekant ABD er rettvinklet. Så ( ) ( ) ( ) ABD = arccos = arcsin = arctan Hvor sinus, cosinus og tangens er definert som sin(α) = motsatt hypotenus tan(α) = sin α cos α = cos(α) = hosliggende hypotenus motsatt hosliggende. For å bestemme BCD benytter vi oss av cosinussetningen BD 2 = BC 2 + CD 2 2 BC CD cos( BCD) cos( BCD) = ( 24 BCD = arccos 17 ) NB! Husk å ha kalkulatoren innstilt på grader og ikke radianer. XII

14 c) Bestem arealet av ABCD ved regning Arealet av et kvadrat kan beregnes på flere måter. Den enkleste er nok å legge merke til at firkanten er sammensatt av to trekanter hvor den ene er rettvinklet. Arealet av den rettvinklede trekanten er gitt som ABD = = Arealet av BCD blir mer problematisk å finne siden trekanten ikke er rettvinklet. Her kan vi for eksempel benytte oss av arealsetningen som sier at BCD = 1 2 BC DC sin( BCD) = 1 ( (arccos sin 17 )) = Slik at det totale arealet av ABCD er ca For å bestemme arealet av trekant BCD nøyaktig kan vi enten benytte oss av at sin(arcsin(x)) = 1 x 2. Eller så kan vi benytte oss av Herons formel som sier at arealet av en trekant med sider a, b og c er gitt som hvor S = (a + b + c)/2. d) Forklar at ABC 90 A = S(S a)(s b)(s c) Det er flere måter å se dette på. Den enkleste er nok å forklare dette ut i fra sidene i firkanten. Anta at vinkel ABC er 90 grader og at BC er 16 m. Da må DC være lengre enn AB. Siden avstanden fra D til C er lengre enn avstanden fra A til B. Dette stemmer ikke altså er ABC ikke 90 grader. XIII

15 Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 0.05x x viser sammenhengen mellom alder og vekt for n type griser. Her er f(x) vekten til en gris målt i kilogram når grisen er x måneder gammel. a) Tegn grafen til f for x [0, 25]. Hvor mye veien en gris ved fødselen? Er flere måter å tegne grafen på, både med grafisk kalkulator eller dataprogrammer. Nevneverdige er for eksempel (WX)Maxima, Geogebra, Maple, Sage osv y 0.05x x x Figur 5: Grafisk fremstilling av grisens vekt hvor x-aksen er måneder og y-aksen er vekt. Ut i fra figur er vekten til en nyfødt gris litt mindre enn 1 kg. Via regning fås f(0) = = 0.50 som er omtrentlig det vi så utifra figur. b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer 20 kg? Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned frem til da? Ut i fra figur ser det ut som alderen til en gris når den passerer 20 kg er ca 9år. Via regning så får vi 0.05x x = 20 Vi ganger likningen med 20 for å fjerne brøkene. x x + 10 = 400 x 2 52x = 0 XIV

16 Andregradsformelen fikser resten x = 52 ± (1)(390) 2(1) = 26 ± 286 Her ser vi at det bare er den første løsningen som tilfredsstiller kravet om at x [0, 25], så grisens alder når vekten passerer 20 kg er 9.1 måneder gammel. For å få forandringen i vekten deriverer vi likningen f (x) = 1 10 x f (26 286) = Altså øker vekten til grisen ca 1.69 kg per måned når grisen veier 20 kg. c) Hvor fort øker vekten til en gris når grisen er nøyaktig 12 måneder gammel? Her bruker vi enkel derivasjon. Vi trenger å bestemme f (12). f (x) = 1 10 x f (12) = = = 7 5 = Så vekten til grisen øker med 1.4 kg når grisen er 12 måneder gammel. En gris skal slaktes når vekten øker med mindre enn 0.5 kg per måned. d) Hvor gammel er en gris når den skal slaktes? Vekten til grisen gis via den deriverte så vi ønsker å finne ut når f (x) x x ( 5 x ) 10 x 21 Altså er grisen 21 måneder når den skal skal slaktes. Makabert! XV

17 Trekk 1 2R, 8R R 2/10 R 8/10 Trekk 2 1R, 8R Trekk 2 2R, 7R R 1/9 R 8/9 R 2/9 R 7/9 P (R R) = P (R R) = P (R R) = P (R R) = Figur 6: Tre-diagram over mulige utfall av to trekk. Oppgave 5 (6 poeng) Karen har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen. a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker. Her kan vi for eksempel og tegne et enkelt trediagramm. Her brukes R for å betegne antall rosa sokker, og R for å betegne antall sokker som ikke er rosa. Det enkleste her er å tenke gunstige over mulige. Første gang hun trekker en sokk er det to gunstige utfall og ti mulige utfall. Så sannsynligheten for å trekke en rosa sokk blir dermed P (rosa) = 2 10 = 1 5 = 20 % Sannsynligheten for å trekke to sokker er det samme som å trekke en rosa sokk, også enda en rosa sokk. Slik at sannsynligheten for å trekke to rosa sokker er gitt som P (rosa rosa) = P (rosa)p (rosa rosa) = = % Alternativ kan vi benytte oss av hypergeometrisk fordeling. Så ( )( ) 2 8 P (rosa rosa) = ( ) = / % 10 b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge. Det er to måter å oppnå dette resultatet på, enten tar hun først en rosa sokk også en sokk i en annen farge, eller så tar hun en sokk som ikke er rosa også en sokk som er rosa. Dette kan vi og lese av tre-diagrammet vårt som vist i figur. Den totale sannsynligheten blir dermed P (rosa rosa) = P (rosa rosa) + P ( rosa rosa) = P (rosa) P ( rosa rosa) + P ( rosa) P (rosa rosa) = = % Altså vi legger enkelt og greit sammen sannsynlighetene for at hun trekker rosa også ikke rosa, sammen med sannsynligheten for ikke rosa også rosa. Er greit å få trening i symbolbruken XVI

18 og. Alternativt kan vi igjen bruke hypergeometrisk fordeling. ( )( ) 2 8 P (rosa rosa) = 1 1 ( ) = /2 = %% c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge. Her må vi legge sammen sannsynlighetene for å få to røde sokker med sannsynligheten for å få to sokker i en annen farge. Legg merke til at her kan vi ikke benytte oss av (figur 6), fordi vi her bare skiller mellom rosa og ikke rosa sokker. En måte å tenke på dette er at vi trekker en tilfeldig sokk. Sannsynligheten nå for å trekke en sokk av samme type er 1/9. Siden vi begynte med 10 sokker og trekte en sokk tilfeldig ut. En annen måte er å legge merke til at det er like vanskelig å trekke to blå sokker, som to hvite som to rosa. Vi kan dermed si at sannsynligheten for å trekke to vilkårlige sokker er fem ganger så stor som å trekke to rosa sokker (siden vi har fem par). Slik at P (sokk sokk) = 5 P (rosa rosa) = 5 som var det samme som vi fikk i sted = %% 9 Oppgave 6 (4 poeng) Undersøkelser har vist at 40 % av Norges befolkning over 15 år spiser matpakke til lunsj. Vi velger tilfeldig 50 personer over 15 år. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 20 av disse personene spiser matpakke til lunsj. Det enkleste blir er å benytte oss a binomisk fordeling. Dette er fordi sannsynligheten er konstant, og uavhengige. At en person spiser matpakke, påvirker ikke noen andre. (Dog er dette kanskje en noe urealistisk.) Uansett vi definerer fra start av P (X = k) = ( ) ( ) k ( ) 50 k (1) k hvor k betegner antall personer som spiser matpakke til lunsj. Slik at sannsynligheten for at nøyaktig 20 personer spiser lunsj er gitt som ( ) ( P (X = 20) = ( ) ( 50 2 = %% ) 20 ( ) 20 ( 3 5 ) 30 ) Her kan vi og velge å skrive ut uttrykket, men dette er noe meningsløst. En enorm brøk er ikke noe hverken elever eller onde sensorer er spesielt opptatt av. Om en ikke har en spesielt kraftig kalkulator kan vi benytte oss av at ( ) n = k ( ) n! (n k)!k! = 50! = = !20! 20! men de fleste av dagens kalkulatorer klarer fint å regne ut fakulteter, og alle dataverktøy. XVII

19 b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 av disse personene spiser matpakke til lunsj. Det enkleste blir nok er å legge sammen alle sannsynlighetene. Legg merke til at 15 til 50 er det samme som 1 minus 0 til 14. Siden P (0) + P (1) P (49) + P (50) = 1 P (15) + P (16) P (49) + P (50) = 1 ( P (0) + P (1) P (13) + P (14) ) Slik at P (X 15) = 50 (X = k) = k=0 P (X = k) Altså er sannsynligheten for at flere enn 15 av disse personene spiser matpakke til lunsj 95 %. Der P (X = k) er bestemt utifra (likning 1). Videre lesning Dersom n er stor nok, eller p er liten nok kan vi tilnærme den binomiske fordelingen med andre fordelinger. Eksempelvis normal-fordelingen eller poisson-fordelingen. Det å regne ut store summer er gjerne tidkrevende, og ofte vanskelig og en kan ofte få svært gode tilnærminger ved nevnte metoder. Ønsker vi å bestemme for eksempel å bestemme sannsynligheten for at nøyaktig 15 spiser lunsj, kan vi benytte oss av poisson-fordelingen. Denne er gitt som f(k; λ) = Pr(X = k) = λk e λ k! hvor λ = np er variansen, og k er antall forsøk. Denne gir en god tilnærming til den binomiske dersom np 10 og n 100 eller n 20 og p Vi ser her at vi er i grenseland siden λ = np = = 20. Via utregning fås P (X = 20) Pr(X = 20) = 2020 e % 20! som er ganske nærme hva vi fikk via vanlig utregning. Alternativt kan vi og benytte oss av De Moivre-Laplace teoremet som sier at ( ) n P (X = k) = p k q n k 1 e (k np)2 /(2npq), p + q = 1, p > 0, q > 0 k 2πnpq Og med innsatt verdier får vi at P (X = 20) %% 6π Som er særdeles nærme hva vi egentlig skulle få. Oppgave 7 (4 poeng) Figuren ovenfor viser et område ABDE. Der AB = 10 m, BD = 12 m, og DE = 12 m. C er et vilkårlig punkt på BD. a) Sett BC = x og finn avstanden AC + CE uttrykt ved x. Vi velger først å finne AC. Fra pytagoras vet vi at AC 2 = AB 2 + BC 2 AC = x 2. Siden BD = BC + CD så er CD = BC BD = x 12. Igjen så gir pytagoras at CE 2 = CD 2 + DE 2 CE = (12 x) = x 2 24x Som var det vi ønsket å finne. XVIII

20 12m B C D 10m 12m A E b) Bestem x slik at avstanden AC + CE blir minst mulig. Fremgangsmåten er at vi setter ACE = f(x) = AC + CE = x 2 + (12 x) Slik at f (x) vil minimere avstanden. Vi ser at dette ikke kan være et maksimum siden f(12) > f(0) > f(6) Altså synker funksjonen før den stiger igjen, og vil da følgelig ha et minimum. Derivasjon gir oss f (x) = 2x x + 2(12 x) 2 2 (12 x) Siden begge nevnerne er ulik null for alle x kan vi trygt gange begge sider med fellesnevner slik at 0 = x (12 x) (12 x) x 2 ((12 x) x 2 ) 2 = (x (12 x) ) 2 0 = x 2 ( (12 x) ) (12 x) 2 ( ) 0 = 11x x = (x + 60)(11x 60) Her ser vi at det bare er en løsning som tilfredsstiller at x > 0, vi får en falsk løsning siden vi kvadrerte likningen og dermed øktegraden. Løsningen blir dermed at x = 60/11. Innsetning gir da at f( ) = Her er det nok mange som roter seg bort ved ikke å benytte datamaskin eller kraftig kalkulator. Det er helt greit på slike oppgaver å gjøre derivasjonen på kalkulator. Dog er det stilig å klare det for hånd og.. XIX

21 Alternativ Løsning La oss anta at oppgaven bare ber oss minimere avstanden ACE. Dette er i seg selv en noe enklere jobb. Vi begynner med å reflektere E omkring linja BD som vist i (figur 7). E 10 m B C D 10 m 10 m A 10 m G E Figur 7: Alternativ løsning. E er reflektert omkring linja BD. Avstanden ACE er det samme som ACE. Så den korteste veien fra A til E blir ei rett linje. Fra Pytagoras får vi at den korteste avstanden fra A til E er gitt som ACE = ACE = AG 2 + (GE ) 2 = ( ) 2 = som vist tidligere. Siden målet var å minimer ACE, virker det å finne BC som en omvei. Men la nå for kompletthetens skyld la BC = x. Siden ABC er formlik med E DC så er BC AB = CD DE x 10 = 12 x 12 x = Oppgave 8 (4 poeng) Ovenfor har vi tegnet grafen til den rasjonale funksjonen f gitt ved f(x) = ax2 + bx + c x d Linja x = 1 er en vertikal asymptote for grafen til f. Forklar at d = 1. Bruk grafen til å bestemme a, b og c. XX

22 y x XXI

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 25.05.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 5.05.01 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 19.05.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Eksamen 25.05.2012. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2012. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2012 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5:

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5: 1T 014 vår LØSNING Contents Oppgaven som pdf Tråd om denne oppgaven på Matteprat Enda en tråd om denne oppgaven på Matteprat Løsning laget av Nebu DEL EN Oppgave 1:, 5 10 15 3, 0 10 5 7, 5 10 15+( 5) 7,

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) 14,90 kroner per flaske 48,20 kroner

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet x 3y 13 4x y Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x 6x 0 Oppgave 4

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Eksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.05.2014 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034 10 b) Løs likningen x + 6x = 16 c) Løs ulikheten x x> 0 d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Eksamen 25.05.2012. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2012. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2012 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Forsiden kommer her. 1

Forsiden kommer her. 1 Forsiden kommer her. 1 Oppgave 1 Familien JULESEN består av mor, far, storebror Julian og to yngre brødre Julius og Josef. De er rimelig nok interessert i matematikk. (a) En dag leser Julian om Den assosiative

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, så regner symbolsk. Det vil si at

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

MAKE MAKE Arkitekter AS Maridalsveien Oslo Tlf Org.nr

MAKE MAKE Arkitekter AS Maridalsveien Oslo Tlf Org.nr en omfatter 1 Perspektiv I en omfatter 2 Perspektiv II en omfatter 3 Perspektiv III en omfatter 4 Perspektiv IV en omfatter 5 Perspektiv V en omfatter 6 Perspektiv VI en omfatter 7 Perspektiv VII en omfatter

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer