Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik"

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver IV V Del 1 Oppgave 1 1 a) b) c) d) e) f) g) Oppgave 5 a) b) c) Del Oppgave 3 8 a) b) c) Oppgave 4 9 a) b) c) Oppgave 5 1 a) b) c) d) Oppgave 6 14 a) b) c) II

3 Oppgave 7 15 a) b) Oppgave 8 15 Alternativ I a) b) c) Alternativ II a) b) c) III

4 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del Del 1 Oppgave 1a 1b1 1b 1c 1d 1e 1f 1g1 1g a b c Poeng 4 Oppgave 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 7a 7b Poeng 36 8Ia 8Ib 8Ic 8IIa 8IIb 8IIc Sum Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 180 besvarelser: Karakter Prosent 5.6% 6.1% 5.0% 1.7% 17.% 4.4% Gjennomsnittet besvarelsene er 3.3. Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. IV

5 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) x = 3, y = 1 b) (, 3/) c) d) 3/(x 4) e) x (, 4] [, ) f) Tegning g) I) /5 = 40 % II) 1/5 = 48 % Oppgave a) f (1) = v(1) = 1 b) δv = 0 Ja c) (0, 7) og (, 17/3) Oppgave 3 a) Graf b) 5730 år c) år Oppgave 4 a) h 1.5 b) AB 150 m c) ABC = m Oppgave 5 a) P (M) = 13/4 54 % b) P (M B) = 63/13 48 % c) 00 medlemmmer Oppgave 6 a) Månedspris 87.5, minuttpris = 50øre b) Graf c) A når 0 < x 68, B når 68 < x 78, C når x > 78 Oppgave 7 a) % b) % Oppgave 8 I a) (1/, 9/) b) a = 4 c) a = 0, topp (0, 4) Oppgave 8 II a) Nei b) Hypotenus.5 og Katet 1.5 c) a = 8/10 =.8 og b = 6/5 = 1. V

6 Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (18 poeng) a) Løs likningssystemet x + y = 4 3x y = 8 Enklest blir nok å legge sammen likningene. Da får vi 4x = 1 som har løsningen x = 3. Innsatt i første likning får vi da 3 + y = 4 slik at y = 4. Løsningene blir dermed x = 3 og y = 4. Et annet alternativ er å isolere eksempelvis y i den øverste likningen. Her får vi y = 4 x, som vi kan sette inn andre likningen. Altså 3x (4 x) = 8 4x = 1 som før.en siste mulighet er og se at likningssystemet beskriver skjæringspunktet mellom to linjer. En grafisk løsning gir like mye utteling som med regning. b) Løs likningen 1) grafisk 1 4 x + = x 5 Grafisk represeterer likningen skjæringspunktene mellom linjene y = x/4+ og y = x 5/. For å tegne en rett linje kreves to punkter. Velger her (4, 1) og (0, ) for første line og (0.5, 1.5),(.5,.5) for andre linje. Ut i fra figur ser vi at x-verdien til skjæringspunktet er y x/4 + x 5/ 0 x x =, som blir løsningen til likningen vår. ) ved regning 1 4 x + = x 5 1

7 Brøker er kjedelige dyr å hanskes med, ganger derfor likheten med 4 for å fjerne disse. x + 8 = 8x 10 Sammler de ukjente på høyre side og konstantene på venstre Deler likningen på 9 for å isolere x 18 = 9x x = som var det samme vi fikk grafisk. Løsningen av en likning kan og bli sett på som den verdien som balanserer sidene slik at høyre side veier like mye som venstre side. Dette er en enkel måte å teste om svaret er riktig på. Innsettning av x = i likningen gir oss 1 4 () + = () = = 8 5 Siden høyre side er lik venstre side så stemmer løsningen vår. c) Regn ut og skriv svaret på standardform Legg merke til at 10 4 = slik at = = ( ) 10 3 = = d) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig 3 x x 16 Konjugatsetningen sier at a b = (a b)(a + b) slik at x 16 = (x 4)(x + 4) en frekk faktorisering gir oss da at 3 x x 16 = 3 x (x + 4)(x 4) ( 1 = 3 x + 4 x 4 ) x (x + 4)(x 4) ( x + = 3 ) 4 (x 4) (x + 4) = 3 x + 4

8 e) Løs ulikheten x + x 8 0 Høyresiden er et andregradspolynom med to nullpunkter. ulikheten spørr oss når dette polynomet er over x-aksen. Den enkleste måten er antakeligvis å fullføre kvadratet, legg merke til at x + x 8 0 x + x (x + 1) 9 0 Herfra ser vi at høyre side er større eller lik null når x eller x 4. Vi kan og faktorisere høyre siden slik at vi får x + x 8 = (x )(x + 4) og en fortegnslinje forteller når denne funskjonen er positiv. Faktoriseringen av funksjonen kan bli gjort på en rekke måter f (x) = x + x x x 0 x x + x 8 = x + 4x x 8 = x(x + 4) (x + 4) = (x )(x + 4) Eller ved hjelp av den noe tregere andregradsformelen x = b ± b 4ac a = ± 4(1)( 8) (1) = 1 ± 1 (1 + 8) = 1 ± 3 f) Tegn en rettvinklet trekant der tan C = 5 1 Tangens til en vinkel er definert som motsatt/hosliggende så en mulig trekant er følgende B 5 C 1 A Her blir punktene A, B, C strategisk valgt for å gjøre tegningen lettere. g) I en twistpose er det 5 twistbiter. Per liker 16 av disse. Vi trekker tilfeldig to twistbiter fra posen. Her kan et trediagram være nyttig, i følgende diagram benyttes L for å betgne at Per trekker et drops han liker L betegner at han trekker et drops han ikke liker. Tallene langs grenene viser sannsynligheten for at disse tilfellene inntreffer. 3

9 Trekk 1 16L, 9L L 9/5 L 16/5 Trekk 16L, 8L Trekk 15L, 9L L 8/4 L 16/4 L 15/4 L 9/4 P (L L) = = 7 65 P (L L) = = 6 5 P (L L) = = 5 P (L L) = = 6 5 Figur 1: Tre-diagram over mulige utfall av to trekk. 1) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker. Dette kan leses direkte av diagramet men for kompletthet regner vi det ut atter en gang. Er og lurt å bli godt kjent med notasjonen. Betegner P (L) som sannsynligheten for at kresne Per trekker en twistbit han liker. Så P (L) = ønskelige mulige = 16 5 Neste gang Per trekker en bit så er det 4 biter å velge mellom, og han liker 15 av disse. (Siden han allerede har trukket en han liker). Altså er sannsynligheten for å trekke en twist han liker, gitt at han allerede har trukket et drops han liker P (L L) = ønskelige mulige = 15 4 Sannsynligheten for at begge disse tilfellene inntreffer blir dermed P (L L) = P (L) P (L L) = = = 5 som ønsket. Vi kan og benytte oss av den hypergeometriske fordelingen men dette er noe en lærer mer om i R1 ( ) ( ) (16 15)/ 1 P (L L) = ( ) = = (5 4)/ 5 3 = 5 ) Finn sannsynligheten for at Per liker èn av twistbitene vi trekker. Sannsynligheten for at Per liker èn av twistbitene er det samme som at han enten liker første og ikke andre, eller at han ikke liker første men liker andre. Ut i fra trediagramet ser vi at gren 1 og gren 3 fra toppen dekker dette. I kryptisk notasjon kan dette bli skrevet som P (L L) = P (L L) + P (L L) = P (L) P (L L) + P (L) P (L L) = = = 1 5 = = 48% 4

10 Dette kan også bli funnet via hypergeometrisk fordeling som følger ( ) ( ) P (L L) = ( ) = (5 4)/ = = 1 5 Oppgave (6 poeng) En funksjon f er gitt ved f(x) = 1 3 x3 x + 7 a) Finn den momentane vekstfarten når x = 1 Den momentane vekstfartener bare en fancy måte å spørre om stigningstallet på, eller hvor stor den deriverte er i punktet. Siden den deriverte forteller oss hvor raskt funksjonen stiger eller synker. Den deriverte fil funksjonen vår blir Innsetning gir da at f(x) = 1 3 x3 x + 7 f (x) = x3 1 x = x x f (1) = 1 1 = 1 Altså er den momentane vekstfarten til funksjonen når x = 1 lik 1 b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 0 til x = 3. Kan du ut fra dette avgjøre om grafen til f har ekstremalpunkt i intervalet [0, 3]? Begrunn svaret. En figur hjelper mye her, spørsmålet blir hvor mye funksjonen stiger eller synker fra x = 0 til x = 3. Stigningstallet er gitt som forandring i y, delt på forandring i x a = y f(3) f(0) = x 3 0 velger å regne ut f(3) og f(0) seperat. Ser raskt at f(0) = 7 og Slik at f(3) = = = 7 a = δy f(3) f(0) = = 7 7 = 0 x Det logiske her er å anta at funksjonen har et ekstremalpunkt på intervallet, men uten å studere funksjonens deriverte kan vi ikke fastslå dette. Ut i fra opplysningene så langt kan funksjonen vår for eksempel se ut som funksjonene i (figur 3). Alle funksjonene har 0 som gjennomsnittlig vekstfart mellom 0 og 3, men bare en av funksjonene har et ekstremalpunkt på intervalet. Nå kan det strengt talt argumenteres for at den røde grafen ikke er myk og vanskelig å beskrive med et enkelt funksjonsuttrykk, men det får så være. Et mulig funksjonsuttrykk er eksempelvis g(x) = 7 ( x + 3 x 7) 4 5

11 10 y x Figur : Funksjoner som har stigningstall 0 mellom x = 0 og x = 3 om vi legger til opplysningen fra a) om at f (1) = 1 så betyr det fortsatt ikke at funksjonen har et ekstremalpunkt på intervalet. Da funksjonen kan være diskontinuerlig (den har en eller flere asymptoter på intervalet) som vist i den blå kurven i (figur 3). g(x) = x /3 + 8x 14 x Denne har heller ikke noe ekstremalpunkt, men g (1) = 1. Nå skal vi vel bare slutte å være vanskelige,og konkludere med at de gitte opplysningene kan vi ikke fastslå at funksjonen har etekstremalpunkt på intervalet. For å vite at en funksjon har et ekstremalpunkt på et intervall I kreves det at funksjonen er kontinuerlig, og at f (x) 0 for en eller annen x I. c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning. Eventuelle topp og bunnpunkter finnes i enden av hvor funksjonen er definert, og hvor stigningstallet til funksjonen er null. Førstnevnte er ikke viktig her, siden funksjonen er definert på hele tallinjen og dermed ikke har noen endepunkter. For å finnne ut når stigningstallet er null ser vi på funksjonens deriverte f(x) = 1 3 x3 x + 7 f (x) = x3 1 x = x x = x(x ) Slik at f (x) = 0 når x = 0 eller når x = 0. Videre så er f(0) = 7 og f() = 5 + /3 Et fortegnsskjema avgjør om disse punktene er toppunkt eller bunnpunkt. Altså så er (0, 7) f (x) = x x 0 0 x 0 x 0 x ett toppunkt og (, 17/3) ett bunnpunkt. Alternativt kan vi og bruke andrederivert testen. Dersom f (c) = 0 og f (c) > 0 så er x = c ett bunnpunkt, dersom f (c) < 0 er x = c ett toppunkt. Om mot formodling f (c) = 0 og f (c) = 0 så er punktet ett saddelpunkt/ terrasepunkt. (Titt på x 3 hvor c = 0.) I vårt tilfelle er f (x) = x 6

12 Slik at f(0) = og f() = som stemmer overens med fortegnsskjemaet 7

13 Del Med hjelpemider Oppgave 3 (6 poeng) Funksjonen T gitt ved ( x ) T (x) = viser hvor mange prosent opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante x år etter at planten er død. a) Tegn grafen til T for x [0, 1 000]. Bruker som kjent PGFplots, men de fleste grafiske verktøy fungerer. Syntaksen er noe allà function[100*0.5ˆ(x/5730),0,1000] I de fleste programmer y 0 x Figur 3: Funksjoner som har stigningstall 0 mellom x = 0 og x = 3 b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert? Ut i fra figur ser det ut som mengden C-14 er halvert etter ca 5500 år. (Eller vi kan vite at halveringstiden til C-14 er 5730 år.) Titter vi nærmere på funksjonsuttrykket ( x ) T (x) = Ser vi at T (0) = 100 slik at den halverte mengden er 50, legg og merke til at = 50 Slik at vi ønsker x/5730 = 1 som selvsagt skjer når x = En tilsvarende utregning gjøres 8

14 med logaritmer 50 = T (x) 50 = (x/5730) 0.5 = 0.5 (x/5730) log(0.5) = log (0.5 (x/5730)) log(0.5) = x 5730 log(0.5) 1 = x 5730 x = 5730 På bildet ser du rester av en gammel trebrønn som ble funnet under utgravninger i Vestfold. Målinger viste at treverket inneholdt 86.5% av opprinnelig mengde C 14. c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort? Oppgave 4 (6 poeng) Anders, Hilde og Petter har valgt 1T. De har et prosjekt der de skal bruke trigonometri til å løse praktiske problemstillinger m Anders vil finne ut hvor høy flaggstanga på skoleplassen er. Han måler avstand og vinkel som vist på figuren ovenfor. a) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor høy flaggstanga er. Det mest logiske her blir å bruke tangens til å finne ut høyden av flaggstangen siden tan(θ) = motsatt hosliggende tan(51.3) = h 10 h = 10 tan(51.3) 1.48 Altså er høyden til flaggstangen ca 1.5 m, her er det viktig å stille inn kalkulatoren på grader og ikke radianer. 9

15 C 40.0 m A B Figur 4 Hilde er på tur og kommer til en innsjø. Hun står i punkt A og vil finne ut hvor langt det er til punkt B på den andre siden av innsjøen. Hun måler avstanden AC, A og C. Se (figur 4). b) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor langt det er fra A til B. Vi velger først å finne vinkel B, siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180 så A + B + C = 180 B = = 15.4 Da trekanten er ikke rettvinklet kan vi ikke benytte oss av definisjonen av sinus ol. Vi drar frem tyngre skytts og benytter oss av sinussetningen. Denne sier at i enhver trekant så er a sin(a) = b sin(b) = c sin(b) Hvor a, b og c er sidene i trekanten. Med verdiene oppgitt får vi da at AB sin(c) = AC sin(b) AB = AC sin(c) sin(b) = 40 sin(94.9) sin(15.4) Altså er avstanden fra A til B ca meter. På en skoleplass står det trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstanden mellom trærne til å være henholdsvis 0, 4 og 14 m. c) Regn ut arealet av trekanten som trærne danner Her er det flere måter å gå frem på, det enkleste er nok å først å lage en grov skisse. Siden trekanten ikke er rettvinklet ( ) så må vi benytte arealsetningen for å bestemme arealet av trekanten. Denne sier at arealet av en trekant er gitt som A = 1 bc sin(a) 10

16 C 14 m 4 m A 0 m B Legg merke til at når A = 90 så er a = bc/. For å finne vinkel A må vi benytte oss av cosinussetningen. Så a = b + c bc cos(a) cos(a) = 1 b + c a bc cos(a) = ( 14 0 ) 1 A = arccos 8 Nå som vi har et uttrykk for A, kan vi endelig benytte arealsetningen A = 1 bc sin(a) A = sin ((arccos ( )) 1 8 Slik at arealet av trekanten som trærne danner er ca 140 m. Videre lesning Nå har vi oppnådd en ca verdi for arealet av huset. Men er det mulig å oppnå et eksakt uttrykk for arealet av trekantent? Fra enhetssirkelen vet vi at 1 sin(x) + cos(x) = 1. Setter vi x = arccos(θ) fås sin(x) + cos(x) = 1 sin(arccos(θ)) + cos(arccos(θ)) = 1 sin(arccos(θ)) + θ = 1 sin(arccos(θ)) = 1 θ Dette kan vi bruke til å beregne arealet nøyaktig. Innsatt i arealsetningen fås A = 1 bc sin(a) = 1 bc sin(arccos(1/8)) = 1 ( ) = Siden ( ) ( = ) ( ) ( ) = = Se her for ulike bevis og en grundigere forklaring trigonometric_identity 11

17 Da 87 = 9 3. En tilsvarende metode er å bruke Heron s formel som en kan lese mer om her. Som sier at arealet av en vilkårlig trekant er A = S(S a)(s b)(s c) der S = a + b + c Her er selvsagt a, b og c sidene i trekanten og S er halve omkretsen. Oppgave 5 (6 poeng) Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette. Alle de 40 medlemmene i idrettslaget ble spurt. 45% av medlemene er kvinner. 63 av mennene ønsker ballbinge. Til sammen ønsker 110 av medlemene ikke ballbinge. a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Mann Kvinne Totalt Ønsker Ballbinge Ønsker ikke Ballbinge Totalt Det første en kan legge merke til er at det ble totalt spurt 40 medlemmer. Av disse er 45% kvinner og 55% er menn. Andelen kvinner blir dermed Kvinner = = De som ikke er kvinner er da selvsagt menn, slik at antall menn blir = 13. Videre så er det 63 menn som ønsker ballbinge. Da er det = 69 menn som ikke ønsker ballbinge. Siden 110 medlemmer ikke ønsker ballbinge, og 69 av disse er menn. Så er det = 41 kvinner som ikke ønsker ballbinge. Siden 41 kvinner av 108 ikke ønsker ballbinge er det 67 kvinner som ønsker ballbinge. Det utfyllte vil da se slik ut Tabell 1: Ferdig uttfyllt tabell, som viser hvem som ønsker Ballbinge. Mann Kvinne Totalt Ønsker Ballbinge Ønsker ikke Ballbinge Totalt

18 b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge. La P(M) betegne sannsynligheten for at et medlem ønsker ballbinge. Sannsynligheten her kan bli sett på som mulige utfall over ønskelige utfall. Så P (medlem) = Ønskelige Mulige = = % Altså er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem ønsker ballbinge ca 54 prosent. Da det er totalt 40 medlemmer og 130 av disse ønsker ballbinge. Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at medlemmet ønsker ballbinge. c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann. Igjen benytter vi oss av ønskelige over mulige over ønskelige. P (mann medlem) = Ønskelige Mulige = % Siden det er totalt er 130 medlemmer som ønsker ballbinge og 63 av disse ønsker er menn. Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene. Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge. d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa minst verve for at kravet fra styret skal innfris? Vi værver X nye medlemmer som ønsker ballbinge. Da er det totalt X + 40 medlemmer i gruppen, og X av disse ønsker ballbinge. Så da ønsker vi at P (M) 75, dette gir oss følgende likning P (M) X X (X + 130) 3(X + 40) X 00 Altså må gruppen få 00 nye medlemmer som ønsker ballbinge for at minst 75 % av medlemmene ønsker ballbinge. 13

19 Abonnement Fast månedspris Pris per minutt du ringer A 0 kroner 1.59kr per minutt B 100 kroner De første 100 minuttene er gratis, deretter 1.19 kroner per minutt C 50 kroner 0.49 kroner per minutt Oppgave 6 (6 poeng) a) Grafen under viser kostnader per måned med et gitt telefonabonnement. Bruk grafen og finn den faste månedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer y Kostnader per måned (kroner) Ringetid (minutter) x Tabellen nedenfor viser kostnader per måned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C b) Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg x-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter De fleste grafiske kalkulatorer kan fint tegne slike grafer. Det samme med de aller fleste kraftigere matematikkprogrammer på nett. Følgende figur er tegnet som vanlig med pgfplots.videre betegner A(x) funksjonen som beskriver abonnent A, B(x) abonnent B osv. Så A(x) = 1.53x { 100 når x 100 B(x) = 1.19(x 100) når x > 100 C(x) = 0.49x

20 y Kostnader per måned (kroner) Abonnent A Abonnent B Abonnent C Ringetid (minutter) x c) Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C? Oppgave 7 (4 poeng) En undersøkelse viser at 95 % av elevene ved de videregående skolene et fylke har profil på Facebook. Vi velger tilfeldig 5 elever fra disse skolene. a) Finn sannsynligheten for at alle de 5 elevene har profil på Facebook b) Finn sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har profil på Facebook Oppgave 8 (6 poeng) Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert) Alternativ I En funksjon f er gitt ved f(x) = x + ax + 4 a) Finn f (x). Bruk den deriverte til å finne toppunktet til f når a =. 15

21 b) Bestem verdien a slik at x-koordinaten til toppunktet er 1 c) For hvilken verdi av a har y-koordinaten til toppunktet lavest verdi? Alternativ II a) Siden i en trekant er 7 m, 0 m og 1 m lange. Er trekanten rettvinklet? Om trekanten er rettvinklet må den lengste siden være hypotenusen. Bruker vi pytagoras ser vi at trekanten er rettvinklet hvis og bare hvis 7 = 0 + 1, noe som ikke stemmer da 7 = (30 3) = = = 79 mens = = 544. Slik at trekanten ikke er rettvinklet. Det holder ikke å tegne trekanten, en må føre et argument for hvorfor trekanten ikke er rettvinklet. Rolf har en 6.0 m lang jernstang. Han vil bruke stangen til å lage en rettvinklet trekant. Den ene kateten skal være.0 m lang. b) Regn ut lengden av de to andre sidene i trekanten Kall sidene i trekanten for a,b og c. Der c er hypotenusen Siden jernstangen er 6.0 m lang, vet vi at a + + c = 6 (1) a + = c () Hvor den nederste likningen kommer fra pytagoras. Fra øverste likning vet vi at a = 4 c, innsatt i (likning ) (4 c) + 4 = c (4 8c + c ) + 4 = c 8c = 0 c = 5 Og siden hele stangen er 6.0 m lang så får vi a = 6 c = 3/. Altså er hypotenusen i trekanten.5 m og den andre kateten 1.5 m. For å teste at svaret er riktig kan det være lurt å se om a + b + c = 6 og at a + b = c. Rolf finner en ny stang som er 6.0 m, lang. Av denne stangen vil han lage en trekant der en vinkel er 10 og en av de tilhørende sidene er.0 m, lang. c) Regn ut lengden av de to andre sidene i denne trekanten. 16

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 19.05.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 25.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet x 3y 13 4x y Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x 6x 0 Oppgave 4

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5:

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5: 1T 014 vår LØSNING Contents Oppgaven som pdf Tråd om denne oppgaven på Matteprat Enda en tråd om denne oppgaven på Matteprat Løsning laget av Nebu DEL EN Oppgave 1:, 5 10 15 3, 0 10 5 7, 5 10 15+( 5) 7,

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

DEL1 Uten hjelpemidler

DEL1 Uten hjelpemidler DEL1 Uten hjelpemidler Oppgave 1(24 poeng) a) Andersenkjøperfembord.Iendenav hvertbordstårdetettallsomforteller hvor mange centimeter bordet er. Se bildet til høyre. Gjør overslag og finn ut omtrent hvor

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30..00 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Eksamen MAT1003 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen MAT1003 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1003 Matematikk 2P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer