Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik"

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver III IV Del 1 Oppgave 1 1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Oppgave 4 a) b) Del Oppgave 3 6 a) b) c) Oppgave 4 6 a) b) c) Oppgave 5 8 a) b) c) Oppgave 6 9 a) b) c) II

3 d) Oppgave 7 11 Alternativ I a) b) c) Alternativ II a) b) c) d) III

4 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del Del 1 Oppgave 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1g 1h1 1h i1 a b Poeng 4 Oppgave 3a 3b 3c1 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c1 6a 6b 6c 6d Poeng Ia1 7Ia 7Ib 7Ic 7IIa1 7IIa 7IIb 7IIc Sum Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 180 besvarelser: Karakter Prosent 5.6% 6.1% 5.0% 1.7% 17.% 4.4% Gjennomsnittet av besvarelsene var 3.3. Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Arbeidsmengde og vanskelighetsgrad virker rimelig IV

5 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) f(x) = 0 når x = 3/ = 1.5 b) x = 3 og x = 5 c) 7 d) a e) y = 14x + 8 f) (x 3)/(x + 3) g) x = h) 1) 5/8 h) ) 1/3 i) forklare og tegne Oppgave a) Fortegnslinje b) x 4 Oppgave 3 a) AC = b) BD = c) I) ABD = 45/4 BCD = (5 3)/4 II) ACD = 15/4 ABC = (5/4) /4 Oppgave 4 a) s(45) = 1/ = 10.5 b) Tegning { c) s(t) = 0.0t når t [0, 30] 0.3t 3 når t (30, 60] Oppgave 5 a) figur b) 88.% c) 67.8% Oppgave 6 a) Graf b) Nullpunkter x = 0 x = 4. Bunnpunkt (, ) c) y = x 0.5 Oppgave 7: I a) x = 0 y = 3 x = 6 y = 15 b) a = 11 c) Ingen løsning når a> 15, en Løsning når a = 15, to løsninger når a < 15 Oppgave 7: II a) T (5) = 100 m b) T (a) = 11 når a = 7 m a = 8 m c) T (7.5) = 11.5 m d) T (a) > 7 m når a (3, 1) hvor a er målt i meter. V

6 Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 3 Tegn grafen til f og finn nullpunktene for f. Det enkleste blir å legge merke til at dette er en funksjon av første grad også kjent som et polynom av første grad. Da vet vi at funksjonen allerede beskriver en rett linje og vi trenger to punkter for å den. Eksempelvis så går linjene igjennom punktene (0, 3) og (, 1). Tegning gir da 4 y x b) Løs likningen x + 8x = 15 Løsningen til likningen må være negative så ved å sette inn ulike x-verdier ser vi at x + 8x = 15 når x = 5 eller x = 3. Alternativt kan vi skrive om likningen som følger 0 = x + 3x + 5x = x(x + 3) + 5(x + 3) 0 = [x + 5](x + 3) så x = 5 eller x 3 som vist før. En annen metode er og tegning eller å benytte oss av 1

7 andregradsformelen. Velger å viser disse i korthet under og får her det samme som før. c) Regn ut x = b ± b 4ac a = 8 ± 8 4(1)(15) = 4 ± 1 4(16 15) = 4 ± (4 3) 3 3 Fremgangsmåten for slike oppgaver er rett frem. Løs opp parentesene, ganging og deling før addisjon og subtraksjon. Ganging og deling er like ut utføres fra høyre til venstre for å unngår forvirring, det samme med addisjon og subtraksjon. =5 4 (4 3) 3 3 =5 4 (1) 3 3 =5 4 3 =5 =3 Hvor i overgangen fra tredje til fjerde linje ble det benyttet at a b a c = a b+c, alternativt kan vi og se at 4 3 = 16/8 som blir det samme som før. d) Skriv så enkelt som mulig 4a 1 3 a 1 Igjen blir potensreglene satt på prøve. a 1 6 4a 1 3 a 1 a 1 6 = 4a 1 3 a 1 a 1 6 a 1 6 a 1 6 = a a 1 6 = a = a Her ble det benyttet at a 1/6 a 1/6 = a 1/6+1/6 = a 0 = 1 og a b a c = a b+c som i forrige oppgave. e) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 8x + 4 Finn likningen for tangenten til f i punktet ( 1, f(1) ). Her kan vi eksempelvis benytte oss av etpunktsformelen. Denne sier at tangeten til en funksjon i punktet x = a er gitt som y = f (a)(x a) + f(a) = ( 6(1) 8)(x 1) + ( (1) 3 8(1) + 4) = 14x + 8 som ønsket. Alternativt så har vi at ei linje kan skrives på formen y = ax + b,

8 hvor a er stigningstallet. Vi har a = f (1) = 14, slik at tangenten kan skrives som y = 14x + b. Nå trenger vi å bestemme konstanten b, fra oppgaveteksten så vet vi at tangenten passerer gjennom punktet ( 1, f(1) ) altså er x = 1 når y = f(1) = 6. Innsatt får vi Slik at likningen til tangenten blir som vist før. 6 = 14(1) + b b = 8 y = 14x + 8, f) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken x 9 x + 6x + 9 Tester kvadratsetningene vi har at a b = (a b)(a + b) og (a + b) = a + ab + b Slik at vi får direkte at x 9 x + 6x + 9 = x 3 x + x = (x 3) (x + 3) = x 3 (x + 3) x + 3 Hvor vi og kan velge å skrive (x 3)/(x + 3) = 1 6/(x + 3) om dette er noe enklere får være opp til leser. Gir like mye uttelling. Her kan vi og benytte oss av ulike metoder for å faktorisere både teller og nevner. Andregradsformelen, polynomdivisjon, Vietes faktoriseringmåte. Men metoden ovenfor er nok noe enklere. g) Løs likningen lg(x + 4) = 3 lg Legg merke til at høyresiden av likningen kan skrives som 3 lg = lg 3 = lg(8) = lg ( () + 4 ) slik at løsningen åpenbart er når x =. En mer omstendelig utregning benytter blant annet 10 lg(a) = a slik at lg(x + 4) = 3 lg 10 lg(x+4) = 10 lg 8 x + 4 = 8 x = h) Figuren ovenfor viser et lykkehjul. 3

9 1) Lise snurrer hjulet èn gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper? Her blir det enkleste å tenke gunstige over mulige utfall. Vi kan dele figuren inn i kakestykker, 1 rød, 1 gul, 3 blå, 1 lilla og grønne. Totalt 8 biter. Av disse bitene er det 5 ønskelige biter. Sannsynligheten for å havne på blått eller gult felt blir altså P (Blå Grønn) = ønskelige mulige = = 5 8 = 6.5 % Helt tilsvarende kan vi bare legge sammen sannsynligheten for å havne på blå, sammen med sannsynligheten for å havne på grønn, (Siden de ikke har noe felles området, det er ikke mulig å havne på blå og grønn samtidig) P (Blå Grønn) = P (Blå) + P (Grønn) = = 5 8 = 6.5 % Her er det ikke nødvendig å oppgi svaret i prosent, men teller selvsagt positivt om en får det til. ) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt? Sannsynlighetene her er uavhengige, om pilen havner først på gul også på grønn er like stor som om pilen havner først på grønn også på gul. For å finne den totale sannsynligheten ganger vi sammen sannsynligheten for at piler havner på gul, med sannsynligheten for at pilen havner på grønn. I kryptisk notasjon kan dette eksempelvis skrives slik. P (Grønn Gul) = P (Gul) P (Grønn) = = % igjen så holder det å oppgi svaret i brøkform. i) Du får vite dette om en trekant ABC: A = 90 AB = 4cm sin B = cos B Forklar hvordan denne trekanten må se ut, og lag en figur. Her er det viktig å forklare, og ikke bare slenge opp en figur. Trekanten er rettvinklet siden A = 90, og sinus og cosinus er like når B = 45. Alternativt kan vi dele den siste opplysningen på cos B, da fås tan B = 1 (siden tan B = sin B/ cos B per def.), som igjen skjer når B = 45. Altså har vi en trekant hvor A = 90, B = 45 og C = = 45. Lag en figur menes det å skissere den skal være rimelig nøyaktig, men passer behøves ikke. Siden AB = 4 så er og AC = 4, tegning gir da. C A 4 cm B 4

10 Oppgave (4 poeng) 4 y x I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon g. a) Tegn en fortegnslinje for g(x) og en fortegnslinje for g (x) Funksjonen er positiv når x er mindre enn og når x er større enn. Videre så synker funksjonen frem til 0 før den stiger igjen g (x) 0 g(x) 0 0 x b) Finn funksjonsuttrykket for funksjonen g. Den enkleste metoden er å legge merke til at en andregradsfunksjon f(x) = ax + bx + c alltid kan skrives på formen f(x) = a(x m)(x n) hvor a er en vilkårlig konstant og n og m er nullpunktene til f (hvor funksjonen krysser x-aksen). Altså er g på formen g(x) = a(x )(x + ) Nå trenger vi bare å bestemme a, vi vet at funksjonen går gjennom punktet (0, 4) altså er g(x) = 4 når x = 0, innsatt får vi 4 = a(0 )(0 + ) som gir at a = 1, altså er funksjonsuttrykket til g g(x) = (1)(x )(x + ) = x 4 som var hva vi ønsket å finne. Hvordan vet vi at g er et polynom av andre grad? Strengt talt er dette uvisst og det finnes uendelig mange funksjoner som kan se ut som på bildet. Den enkleste funksjonen som går gjennom n punkter er et polynom av grad n 1. 5

11 Del Med hjelpemider Oppgave 3 (8 poeng) D 5.0 m C 3.0 m m A B Gitt firkanten ABCD. a) Regn ut hvor langt det er fra A til C Det enkleste her blir å benytte oss av Pytagoras siden trekant ADC er rettvinklet. Da får vi at AC = AD + DC Altså er avstanden fra A til C ca 5.83 m b) Regn ut hvor langt det er fra B til D AC = = Her kan vi benytte oss av cosinus-setningen (også kjent som den utvidede Pytagoras setningen), denne sier at c = a + b ab cos C Hvor C er vinkelen som ligger motsatt til c, via innsatte verdier får vi BD = cos 10 BD = 5 (1 + 1 ( 1 )) = Altså er avstanden fra B til D omtrent 8.66 m. Dette stemmer overens med tegning siden BD er større enn AC. Tommy vil regne ut arealet av firkanten ved å legge sammen arealene av de to trekantene ABC og ACD. Ove mener det er enklere å finne arealet av trekant ABD og trekant BCD. c) Finn arealet av firkant ABCD 1) ved å bruke Ove sin framgangsmåte Velger å finne arealet av BCD først. Areaksetningen sier at når sidene i en trekant har lengden b og c, og vinkelen mellom dem er A, Så er arealet T av trekanten gitt ved: T = 1 bc sin A 6

12 Med verdiene fra figuren får vi BCD = sin 10 = 5 3 = ( ) For ABD blir ting hakket mer komplisert. Velger å finne vinkel BDA. Siden ABD er rettvinklet så er CDB = DBC og vinkelsummen er 180 slik at CDB + DBC +10 = 180 som gir at CDB = 30. Da er BDA + CDB = 90 så BDA = 60. Nå kan vi endelig benytte oss av arealsetningen igjen ABD = sin 60 = = 45 4 Så totalt får vi at arealet av firkanten blir ABCD = BCD + ABD = ) ved å bruke Tommy sin framgangsmåte ( ) 5 = 5 ( ) Enkleste blir å bestemme arealet av ACD først. Siden trekanten er rettvinklet så er arealet gitt som ABD = 1 gh = = 15 Den neste trekanten blir noe vanskeligere å regne ut. Benytter oss atter en gang av arealsetningen, her med vinkel BCA. Siden ABD er rettvinklet så har vi at sin( ACD) = motsatt ( ) 3 ACD = arcsin hypotenus 34 Og siden BCA = 10 ACD får vi at ABC = 1 AC BC sin( BCA) = 1 34 ( ( )) 3 5 sin 10 arcsin 34 = 5 [ 34 sin (10 ) cos = 5 [ ( 3 34 cos arcsin = 5 4 [ 34 3 cos ( arcsin ( arcsin ( 3 34 )) cos (10 ) sin ( )) ( 3 34 ] ( 3 34 )) ) ] 3 34 ( ( ))] 3 arcsin 34 Nå trenger vi bare å finne ut hva cos(arcsin x) er for noe. Heldigvis vet vi at (sin x) +(cos x) = 1 1. Setter vi nå x = arcsin u i enhetsformelen får vi ( sin(arcsin u) ) ( ) + cos(arcsin u) = 1 så cos(arcsin u) = 1 u som var det vi ønsket å finne. Innsatt får vi endelig at = 5 34 ( ) [ = 5 ] = 5 [ 5 ] Så totalt blir arealet av firkanten 1 Dette er kjent som enhetsformelen og kommer fra Pytagoras. En kan lese mer om det her http: //en.wikipedia.org/wiki/unit_circle 7

13 ABCD = ACD + ABC = [ 5 ] = 5 ( ) Her ble bla sum formelen for sinus benyttet som sier at sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b). Leg merke til at det ikke er nødvendig og regne ut et nøyaktig uttrykk for arealet. En tilnærming holder men det er stilig å kunne finne et lukket uttrykk for arealet. Samtidig viser det høy kompetanse, noe som kan være den avgjørende faktoren for å få toppkarakter. Oppgave 4 (6 poeng) Arne er ute og sykler. Først sykler han en halv time med en jevn fart på 1 km/h. Så sykler han en halv time med en jevn fart på 18 km/h. a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter? Først sykler Arne 30 minutter med 1 km/h, så sykler han 15 minutter med farten 18 km/h. Siden han sykler 1 kilometer på en time, sykler han 6 km på en halvtime. Siden 15 minutter er 1/4 av en time, sykler han 4.5 km på de resterende 15 minuttene. Altså sykler Arne totalt = 10.5 kilometer. b) Tegn en graf som viser hvor mange km, y, Arne har syklet etter x minutter. Det enkleste her blir å skrive inn et par kjente punkt, også trekke en strek mellom disse. Siden farten er konstant stiger strekningen konstant. Vi vet at Arne passerer gjennom følgende punkter Og disse kan vi enkelt legge inn i en figur. x y y x For å beskrive den grafiske framstillingen i b) trengs det to funksjonsuttrykk. 8

14 c) Finn disse to funksjonsuttrykkene. Husk å oppgi i hvilket tidsintervall hvert av dem gjelder. Det enkleste er nok å legge inn punktene i et grafisk program, og lese av funksjonsuttrykkene der. Men det er ikke videre komplisert å regne det ut for hånd heller. Stigningstallet for den første funksjonen er a = 6/30 = 1/5 = 0. slik den første delen av turen kan bli beskrevet ved funksjonen S(t) = 0. t + b. Men her er b = 0, siden funksjonen går igjennom origo. Den neste delen av funksjonen har stigningstall a = (10.5 6)/(45 30) = 4.5/15 = 3/10. Altså kan funksjonen vår skrives som y = 0.3 t + b, hvor b er en eller annen konstant. Heldigvis vet vi at y = 10.5 når t = 45, slik at 10.5 = b b = 3. Legger vi sammen disse to uttrykkene får vi at 1 t når t [ 0, 30) s(t) = 5 3 t 3 når t [30, 60] 10 som var det vi ønsket å vise. En kan og tegne funksjonen for å se at den stemmer (lurt). Oppgave 5 (6 poeng) En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 15 9 år er det 14.3 % som bare bruker briller 7. % som bare bruker kontaktlinser 9.7 % som bruker både kontaktlinser og briller a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for a illustrere opplysningene i teksten ovenfor. Opplysningene kan eksempelvis illustreres i et venndiagram. Her står B for antall prosent som bruker briller, L står for antall prosent som bruker linser. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller. Det er totalt = 4.0 % som bruker briller. Da vil sannsynligheten for at en person ikke bruker briller være = 76.0 %. Med symboler kan dette skrives som P (B) + P (B) = 1 P (B) = 1 P (B) = = En annen måte å se det på er om personen ikke bruker bruker briller, så må enten personen bruke bare linser eller hverken briller eller linser.ut i fra forrige diagram ser vi at det er totalt = 31. % som bruker linser eller briller.slik at det er 68.8 % som hverken bruker linser eller briller. Og fra opplysningene vet vi at det er 7. % som bare bruker linser. Sannsynligheten for at en person ikke bruker briller blir dermed P (B) = = 76.0 %. c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser. Her blir det lettest å tenke gunstige utfall over mulige utfall. Sannsynligheten for at en person bruker briller har vi funnet i forrige deloppgave. Da trenger vi å finne ut hvor stor andel av brillebrukeren som også bruker linser. Igjen fra diagrammet vet vi at det er 9.7 % som bruker linser og briller. Slik at sannsynligheten for at en brillebruker og bruker linser er gitt som 9.7/ %. Med symboler kan dette skrives som P (L B) = P (L B) P (B) 1.8 % 9

15 L = 7. % B L = 9.7 % B = 14.3 % Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 0.5x x a) Tegn grafen til f for x-verdier mellom 3 og 7. Det enkleste her er nok bare å tegne figuren i et dataprogram, også tegne av for hånd, eller inkludere en utskrift. Eksempelvis, Geogebra, Mathematica, Maple, Sage, Asymptote, osv osv. Det er heller ikke videre komplisert å tegne for hånd. x y b) Finn nullpunktene for f og bunnpunktet for grafen til f ved regning. For å finne nullpunktene faktoriserer vi funksjonen. Vi trekker ut x/ og får da f(x) = 1 x x = 1 x (x 4) Herfra ser vi at f(x) = 0 når x = 0 eller x = 4. Topp og bunnpunkter kan finnes i enden av definisjons-mengden og hvor den deriverte er null. Dog er den enkleste måten her å se at topp/bunnpunktet til et andregradspolynom alltid befinner seg midt mellom nullpunktene. Altså f(x) = ax + bx + c. Dermed vil x-koordinaten til bunnpunktet være (4 0)/ =. Så Bunnpunktet til funksjonen er (, ). Siden oppgaven sier eksplisitt at punktet er et bunnpunkt, trengs ikke dette å vises Alternativt kan vi og 10

16 y x bruke derivasjon for å bestemme bunnpunktet siden stigningstallet i et bunnpunkt er null. f (x) = 1 x 1 (1)x 1 1 = x Altså ser vi at x-koordinaten til bunnpunktet er x =, for y-verdien blir da f() = 0.5 () = 4 =. For kompletthet tegner vi et fortegnsskjema for å bekrefte at punktet er et bunnpunkt. Dette kan og argumenteres ut i fra tegning. Selv om det står at f (x) 0 f(x) 0 0 x det er et bunnpunkt, teller det bare positivt å vise at det faktisk er det. c) Finn stigningstallet for tangenten til grafen i punktet ( 1, f(1) ). Det enkleste her blir å benytte oss av etpunktsformelen, om vi ønsker blir regningen noe lettere om vi regner ut f (1) = 1 og f(1) = 3/ på forhånd. Formelen gir oss likningen til tangenten som går gjennom punktet ( a, f(a) ). y = f (a)(x a) + f(a) = f (1)(x 1) + f(1) = (1 x) 3 = x 1 Tegner vi funksjonen i samme koordinatsystem som før, ser vi at utregningen stemmer. Alternativt så kan vi anta at ei rett linje med stigningstall f (1) = 1 kan bli skrevet på formen y = x + b hvor b er en vilkårlig konstant. Videre vet vi at denne linja passerer gjennom punktet (1, 3/), setter vi inn disse verdiene får vi at 3/ = 1 + b b = 1/. Så linja eller tangenten vår kan bli skrevet som y = x 1/ som før. 11

17 d) Grafen til f har en tangent med stigningstall 1. Finn en likning for denne tangenten. Vi ønsker å finne ut hvilken x verdi som samsvarer til et stigningstall på en. Vi ønsker derfor å løse følgende likkning Innsetning i etpunktsformelen gir da direkte. f (x) = 1 x = 1 x = 3 y = f (a)(x a) + f(a) = f (3)(x 3) + f(3) = 1(x 3) 3 = x 9 Oppgave 7 (8 poeng) Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert) Alternativ I Gitt likningsystemet [ y x + x = a ] y x = 3 a) Sett a = 6 og løs likningssystemet 1) ved regning ) grafisk b) Hva må a være for at x = 1 og y = 5 skal være en løsning av likningssystemet c) Finn ut for hvilke verdier av a likningssystemet har 1) én løsning ) to løsninger 3) ingen løsning 1

18 Alternativ II a a a 10 Et hus har form som figuren ovenfor. Alle mål er gitt i meter. a) Forklar at arealet av huset er gitt ved uttrykket 30a a. Regn ut arealet når a = 5. Figuren kan sees på som sammensatt av et kvadrat med a og et rektangel med sider 10 a og 3a. Slik at det totale arealet kan skrives som T (a) = s + l b T (a) = a + (10 a)3a T (a) = 30a a (1) som var det som skulle vises. Innsetning gir da T (5) = = 5 (6 ) = 100 slik at arealet av huset er 100 m når a = 5. b) For hvilke verdier av a er arealet av huset 11 m? Arealet av figuren kan skrives som T (a) som vi har fra (likning 1). Så vi ønsker å finne a slik at T (a) = 11. Innsetning gir da T (a) = 11 30a a = 11 0 = a 15a = (a 7)(a 8) Faktoriseringen av andregradslikningen kan gjøres på flere måter. Vi kan for eksempel legge merke til at a 15a + 56 = a 7a 8a + 56 som ønsket. = a(a 7) 8(a 7) = (a 8)(a 7) Vi kan og benytte oss av Vietè s metode. Anta at en andregradsfunksjon x +bx+c kan skrives som (x+m)(x+n) hvor n og m er to reelle tall. Utvider vi brøken får vi x +x(n+m)+n m, sammenlikner vi koeffisienter ser vi at x + bx + c = (x + m)(x + n) hvis og bare hvis vi kan finne to tall n, m slik at b = n + m og c = n m. Tja, ser greit at ( 7) + ( 5) = 15 og ( 7)( 8) = 56 så a 15a + 56 = (a 7)(a 8). Den siste metoden er bulldoseren, vi tar frem andregradsformelen. Men ha i tankene at denne 13

19 metoden tar noe lengre tid en førstnevnte. 0 = ax + bx + c x = b ± b 4ac a = 15 ± 15 4(1)(56) (1) = 1 ( 15 ± ) 1 x = 7 x = 8 c) Hva er det største arealet huset kan ha? Lager vi en tegning (eksempelvis med glidere i Geogebra) ser det ut som huset har størst areal når a = 7.5, men det er umulig å vite om huset har størst areal når a = 7.5 eller a = Vi må altså regne på dette. Den enkleste metoden er at topp/bunnpunktet til en andregradsfunksjon alltid ligger midt mellom nullpunktene til funksjonen. Her har vi T (a) = 30a a = a(15 a) slik at nullpunktene blir a = 0 og a = 15, dermed er x-koordinaten til toppunktet a = 15/ og største areal huset kan få er T ( 15 ) = 15 En annen metode er å skrive om funksjonen ved å fullføre kvadratet a a 10 a Figur 1: Illustrasjon av huset når a = 7.5 T (a) = 30a a = ( a 15a + ( = a 15 ) + 15 ( ) 15 ( ) ) 15 Herfra ser vi at T (a) er størst når ( ) a 15 er minst. Dette skjer når a = 15/, da er arealet av huset T (15/) = 55/ m. Alternativt kan vi og bruke derivasjon. Et eventuelt toppunkt finnes der T (a) = 0, innsetning gir som vist før. T (a) = 30 4a 4a = 30 a = 15 14

20 Videre lesning Vi har nå vist at huset av størst areal når a = 7.5, men hvorfor er det akkurat denne verdien som gir maksimal verdi? Det er vanskelig geometrisk å si at a = 7.5 er større enn for eksempel a = 5 eller a = 8. For å forklare hvorfor det er akkurat a = 7.5 er best, tar vi på våre gamle greske sko. Vi velger en tredje måte for å bestemme størst mulig verdi av huset, god gammel gresk geometeri. Altså ingen algebra, eller derivasjon. Det første steget er å dele figuren inn to rektangler med sidekanter henholdsvis a og 10 a, og a og 10. Legg så merke til at et rektangel med sider a og 10, har samme areal som et rektangel med sider a og 5, (siden 10a = 5(a)). Dermed har vi et rektangel med sider a og 10 a og et rektangel med sider a og 5, disse to rektanglene kan settes sammen til et kvadrat med sider a og 5 + (10 a) = 15 a. Til slutt se at dette rektangelet kan deles inn to rektangler med sider a og 15 a. (Siden a(15 a) = a(15 a) + a(15 a)). Nå har vi vist at huset vårt har samme areal som summen av to rektangler med sider a og 15 a. Et rektangel med konstant omkrets har størst areal når sidene er like lange (kvadrat). Sidene i rektangelet vårt er like når a = 7.5. Dette er illustrert i påfølgende figur. En kan og beskrive denne omformingen algebraisk som følger. T (a) = 30a a = a(15 a) = a(15 a) + a(15 a) men de gode gamle grekerene benyttet jo seg ikke av algebra, så dette blir litt juks. 15

21 a 10 a 10 a a 10 a 5 a a a 15 a d) For hvilke verdier av a er arealet av huset større enn 7 m? Her ønsker vi å finne ut når T (a) > 7, algebra gir T (a) > 7 30a a > 7 (a 15a + 36) < 0 a 3a 1a < 0 a(a 3) 1(a 3) < 0 (a 1)(a 3) < 0 Herfra løser en enkel fortegnslinje resten Fra fortegnslinjen får vi at T (a) > 7 når x (3, 1) 16

22 (a 1)(a 3) 0 0 a 1 0 a 3 0 x som også kan skrives som 3 < x < 1. Selvsagt kan og andregradsformelen benyttes for å finne nullpunktene til likningen x = b ± b 4ac a = 1 ( 15 ± ) 15 (1) 4(1)(36) = 1 (15 ± ) 9 x = 3 x = 1 17

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del 1 skal

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 25.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2011. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2011 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet x 3y 13 4x y Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x 6x 0 Oppgave 4

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5:

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5: 1T 014 vår LØSNING Contents Oppgaven som pdf Tråd om denne oppgaven på Matteprat Enda en tråd om denne oppgaven på Matteprat Løsning laget av Nebu DEL EN Oppgave 1:, 5 10 15 3, 0 10 5 7, 5 10 15+( 5) 7,

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2011

Eksamen 1T, Våren 2011 Eksamen 1T, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 24.11.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 24.11.2010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2013. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.11.013 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Eksamensoppgaver med funksjoner

Eksamensoppgaver med funksjoner Eksamensoppgaver med funksjoner Oppgave 1 - V 013 A r r r (A r er lik formelen for omkretsen av en sirkel!) V r 4 3 3r 4 r (V r er lik formlen for overflaten av en kule!) Oppgave 6 - V013 f x x 3 6x f

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 ) 0,034 10 b) Løs likningen x + 6x = 16 c) Løs ulikheten x x> 0 d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte:

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer