Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver III IV Del 1 Oppgave 1 1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Oppgave 4 a) b) Del Oppgave 3 6 a) b) c) Oppgave 4 6 a) b) c) Oppgave 5 8 a) b) c) Oppgave 6 9 a) b) c) II

3 d) Oppgave 7 11 Alternativ I a) b) c) Alternativ II a) b) c) d) III

4 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del Del 1 Oppgave 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1g 1h1 1h i1 a b Poeng 4 Oppgave 3a 3b 3c1 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c1 6a 6b 6c 6d Poeng Ia1 7Ia 7Ib 7Ic 7IIa1 7IIa 7IIb 7IIc Sum Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 180 besvarelser: Karakter Prosent 5.6% 6.1% 5.0% 1.7% 17.% 4.4% Gjennomsnittet av besvarelsene var 3.3. Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Arbeidsmengde og vanskelighetsgrad virker rimelig IV

5 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) f(x) = 0 når x = 3/ = 1.5 b) x = 3 og x = 5 c) 7 d) a e) y = 14x + 8 f) (x 3)/(x + 3) g) x = h) 1) 5/8 h) ) 1/3 i) forklare og tegne Oppgave a) Fortegnslinje b) x 4 Oppgave 3 a) AC = b) BD = c) I) ABD = 45/4 BCD = (5 3)/4 II) ACD = 15/4 ABC = (5/4) /4 Oppgave 4 a) s(45) = 1/ = 10.5 b) Tegning { c) s(t) = 0.0t når t [0, 30] 0.3t 3 når t (30, 60] Oppgave 5 a) figur b) 88.% c) 67.8% Oppgave 6 a) Graf b) Nullpunkter x = 0 x = 4. Bunnpunkt (, ) c) y = x 0.5 Oppgave 7: I a) x = 0 y = 3 x = 6 y = 15 b) a = 11 c) Ingen løsning når a> 15, en Løsning når a = 15, to løsninger når a < 15 Oppgave 7: II a) T (5) = 100 m b) T (a) = 11 når a = 7 m a = 8 m c) T (7.5) = 11.5 m d) T (a) > 7 m når a (3, 1) hvor a er målt i meter. V

6 Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 3 Tegn grafen til f og finn nullpunktene for f. Det enkleste blir å legge merke til at dette er en funksjon av første grad også kjent som et polynom av første grad. Da vet vi at funksjonen allerede beskriver en rett linje og vi trenger to punkter for å den. Eksempelvis så går linjene igjennom punktene (0, 3) og (, 1). Tegning gir da 4 y x b) Løs likningen x + 8x = 15 Løsningen til likningen må være negative så ved å sette inn ulike x-verdier ser vi at x + 8x = 15 når x = 5 eller x = 3. Alternativt kan vi skrive om likningen som følger 0 = x + 3x + 5x = x(x + 3) + 5(x + 3) 0 = [x + 5](x + 3) så x = 5 eller x 3 som vist før. En annen metode er og tegning eller å benytte oss av 1

7 andregradsformelen. Velger å viser disse i korthet under og får her det samme som før. c) Regn ut x = b ± b 4ac a = 8 ± 8 4(1)(15) = 4 ± 1 4(16 15) = 4 ± (4 3) 3 3 Fremgangsmåten for slike oppgaver er rett frem. Løs opp parentesene, ganging og deling før addisjon og subtraksjon. Ganging og deling er like ut utføres fra høyre til venstre for å unngår forvirring, det samme med addisjon og subtraksjon. =5 4 (4 3) 3 3 =5 4 (1) 3 3 =5 4 3 =5 =3 Hvor i overgangen fra tredje til fjerde linje ble det benyttet at a b a c = a b+c, alternativt kan vi og se at 4 3 = 16/8 som blir det samme som før. d) Skriv så enkelt som mulig 4a 1 3 a 1 Igjen blir potensreglene satt på prøve. a 1 6 4a 1 3 a 1 a 1 6 = 4a 1 3 a 1 a 1 6 a 1 6 a 1 6 = a a 1 6 = a = a Her ble det benyttet at a 1/6 a 1/6 = a 1/6+1/6 = a 0 = 1 og a b a c = a b+c som i forrige oppgave. e) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 8x + 4 Finn likningen for tangenten til f i punktet ( 1, f(1) ). Her kan vi eksempelvis benytte oss av etpunktsformelen. Denne sier at tangeten til en funksjon i punktet x = a er gitt som y = f (a)(x a) + f(a) = ( 6(1) 8)(x 1) + ( (1) 3 8(1) + 4) = 14x + 8 som ønsket. Alternativt så har vi at ei linje kan skrives på formen y = ax + b,

8 hvor a er stigningstallet. Vi har a = f (1) = 14, slik at tangenten kan skrives som y = 14x + b. Nå trenger vi å bestemme konstanten b, fra oppgaveteksten så vet vi at tangenten passerer gjennom punktet ( 1, f(1) ) altså er x = 1 når y = f(1) = 6. Innsatt får vi Slik at likningen til tangenten blir som vist før. 6 = 14(1) + b b = 8 y = 14x + 8, f) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken x 9 x + 6x + 9 Tester kvadratsetningene vi har at a b = (a b)(a + b) og (a + b) = a + ab + b Slik at vi får direkte at x 9 x + 6x + 9 = x 3 x + x = (x 3) (x + 3) = x 3 (x + 3) x + 3 Hvor vi og kan velge å skrive (x 3)/(x + 3) = 1 6/(x + 3) om dette er noe enklere får være opp til leser. Gir like mye uttelling. Her kan vi og benytte oss av ulike metoder for å faktorisere både teller og nevner. Andregradsformelen, polynomdivisjon, Vietes faktoriseringmåte. Men metoden ovenfor er nok noe enklere. g) Løs likningen lg(x + 4) = 3 lg Legg merke til at høyresiden av likningen kan skrives som 3 lg = lg 3 = lg(8) = lg ( () + 4 ) slik at løsningen åpenbart er når x =. En mer omstendelig utregning benytter blant annet 10 lg(a) = a slik at lg(x + 4) = 3 lg 10 lg(x+4) = 10 lg 8 x + 4 = 8 x = h) Figuren ovenfor viser et lykkehjul. 3

9 1) Lise snurrer hjulet èn gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper? Her blir det enkleste å tenke gunstige over mulige utfall. Vi kan dele figuren inn i kakestykker, 1 rød, 1 gul, 3 blå, 1 lilla og grønne. Totalt 8 biter. Av disse bitene er det 5 ønskelige biter. Sannsynligheten for å havne på blått eller gult felt blir altså P (Blå Grønn) = ønskelige mulige = = 5 8 = 6.5 % Helt tilsvarende kan vi bare legge sammen sannsynligheten for å havne på blå, sammen med sannsynligheten for å havne på grønn, (Siden de ikke har noe felles området, det er ikke mulig å havne på blå og grønn samtidig) P (Blå Grønn) = P (Blå) + P (Grønn) = = 5 8 = 6.5 % Her er det ikke nødvendig å oppgi svaret i prosent, men teller selvsagt positivt om en får det til. ) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt? Sannsynlighetene her er uavhengige, om pilen havner først på gul også på grønn er like stor som om pilen havner først på grønn også på gul. For å finne den totale sannsynligheten ganger vi sammen sannsynligheten for at piler havner på gul, med sannsynligheten for at pilen havner på grønn. I kryptisk notasjon kan dette eksempelvis skrives slik. P (Grønn Gul) = P (Gul) P (Grønn) = = % igjen så holder det å oppgi svaret i brøkform. i) Du får vite dette om en trekant ABC: A = 90 AB = 4cm sin B = cos B Forklar hvordan denne trekanten må se ut, og lag en figur. Her er det viktig å forklare, og ikke bare slenge opp en figur. Trekanten er rettvinklet siden A = 90, og sinus og cosinus er like når B = 45. Alternativt kan vi dele den siste opplysningen på cos B, da fås tan B = 1 (siden tan B = sin B/ cos B per def.), som igjen skjer når B = 45. Altså har vi en trekant hvor A = 90, B = 45 og C = = 45. Lag en figur menes det å skissere den skal være rimelig nøyaktig, men passer behøves ikke. Siden AB = 4 så er og AC = 4, tegning gir da. C A 4 cm B 4

10 Oppgave (4 poeng) 4 y x I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon g. a) Tegn en fortegnslinje for g(x) og en fortegnslinje for g (x) Funksjonen er positiv når x er mindre enn og når x er større enn. Videre så synker funksjonen frem til 0 før den stiger igjen g (x) 0 g(x) 0 0 x b) Finn funksjonsuttrykket for funksjonen g. Den enkleste metoden er å legge merke til at en andregradsfunksjon f(x) = ax + bx + c alltid kan skrives på formen f(x) = a(x m)(x n) hvor a er en vilkårlig konstant og n og m er nullpunktene til f (hvor funksjonen krysser x-aksen). Altså er g på formen g(x) = a(x )(x + ) Nå trenger vi bare å bestemme a, vi vet at funksjonen går gjennom punktet (0, 4) altså er g(x) = 4 når x = 0, innsatt får vi 4 = a(0 )(0 + ) som gir at a = 1, altså er funksjonsuttrykket til g g(x) = (1)(x )(x + ) = x 4 som var hva vi ønsket å finne. Hvordan vet vi at g er et polynom av andre grad? Strengt talt er dette uvisst og det finnes uendelig mange funksjoner som kan se ut som på bildet. Den enkleste funksjonen som går gjennom n punkter er et polynom av grad n 1. 5

11 Del Med hjelpemider Oppgave 3 (8 poeng) D 5.0 m C 3.0 m m A B Gitt firkanten ABCD. a) Regn ut hvor langt det er fra A til C Det enkleste her blir å benytte oss av Pytagoras siden trekant ADC er rettvinklet. Da får vi at AC = AD + DC Altså er avstanden fra A til C ca 5.83 m b) Regn ut hvor langt det er fra B til D AC = = Her kan vi benytte oss av cosinus-setningen (også kjent som den utvidede Pytagoras setningen), denne sier at c = a + b ab cos C Hvor C er vinkelen som ligger motsatt til c, via innsatte verdier får vi BD = cos 10 BD = 5 (1 + 1 ( 1 )) = Altså er avstanden fra B til D omtrent 8.66 m. Dette stemmer overens med tegning siden BD er større enn AC. Tommy vil regne ut arealet av firkanten ved å legge sammen arealene av de to trekantene ABC og ACD. Ove mener det er enklere å finne arealet av trekant ABD og trekant BCD. c) Finn arealet av firkant ABCD 1) ved å bruke Ove sin framgangsmåte Velger å finne arealet av BCD først. Areaksetningen sier at når sidene i en trekant har lengden b og c, og vinkelen mellom dem er A, Så er arealet T av trekanten gitt ved: T = 1 bc sin A 6

12 Med verdiene fra figuren får vi BCD = sin 10 = 5 3 = ( ) For ABD blir ting hakket mer komplisert. Velger å finne vinkel BDA. Siden ABD er rettvinklet så er CDB = DBC og vinkelsummen er 180 slik at CDB + DBC +10 = 180 som gir at CDB = 30. Da er BDA + CDB = 90 så BDA = 60. Nå kan vi endelig benytte oss av arealsetningen igjen ABD = sin 60 = = 45 4 Så totalt får vi at arealet av firkanten blir ABCD = BCD + ABD = ) ved å bruke Tommy sin framgangsmåte ( ) 5 = 5 ( ) Enkleste blir å bestemme arealet av ACD først. Siden trekanten er rettvinklet så er arealet gitt som ABD = 1 gh = = 15 Den neste trekanten blir noe vanskeligere å regne ut. Benytter oss atter en gang av arealsetningen, her med vinkel BCA. Siden ABD er rettvinklet så har vi at sin( ACD) = motsatt ( ) 3 ACD = arcsin hypotenus 34 Og siden BCA = 10 ACD får vi at ABC = 1 AC BC sin( BCA) = 1 34 ( ( )) 3 5 sin 10 arcsin 34 = 5 [ 34 sin (10 ) cos = 5 [ ( 3 34 cos arcsin = 5 4 [ 34 3 cos ( arcsin ( arcsin ( 3 34 )) cos (10 ) sin ( )) ( 3 34 ] ( 3 34 )) ) ] 3 34 ( ( ))] 3 arcsin 34 Nå trenger vi bare å finne ut hva cos(arcsin x) er for noe. Heldigvis vet vi at (sin x) +(cos x) = 1 1. Setter vi nå x = arcsin u i enhetsformelen får vi ( sin(arcsin u) ) ( ) + cos(arcsin u) = 1 så cos(arcsin u) = 1 u som var det vi ønsket å finne. Innsatt får vi endelig at = 5 34 ( ) [ = 5 ] = 5 [ 5 ] Så totalt blir arealet av firkanten 1 Dette er kjent som enhetsformelen og kommer fra Pytagoras. En kan lese mer om det her http: //en.wikipedia.org/wiki/unit_circle 7

13 ABCD = ACD + ABC = [ 5 ] = 5 ( ) Her ble bla sum formelen for sinus benyttet som sier at sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b). Leg merke til at det ikke er nødvendig og regne ut et nøyaktig uttrykk for arealet. En tilnærming holder men det er stilig å kunne finne et lukket uttrykk for arealet. Samtidig viser det høy kompetanse, noe som kan være den avgjørende faktoren for å få toppkarakter. Oppgave 4 (6 poeng) Arne er ute og sykler. Først sykler han en halv time med en jevn fart på 1 km/h. Så sykler han en halv time med en jevn fart på 18 km/h. a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter? Først sykler Arne 30 minutter med 1 km/h, så sykler han 15 minutter med farten 18 km/h. Siden han sykler 1 kilometer på en time, sykler han 6 km på en halvtime. Siden 15 minutter er 1/4 av en time, sykler han 4.5 km på de resterende 15 minuttene. Altså sykler Arne totalt = 10.5 kilometer. b) Tegn en graf som viser hvor mange km, y, Arne har syklet etter x minutter. Det enkleste her blir å skrive inn et par kjente punkt, også trekke en strek mellom disse. Siden farten er konstant stiger strekningen konstant. Vi vet at Arne passerer gjennom følgende punkter Og disse kan vi enkelt legge inn i en figur. x y y x For å beskrive den grafiske framstillingen i b) trengs det to funksjonsuttrykk. 8

14 c) Finn disse to funksjonsuttrykkene. Husk å oppgi i hvilket tidsintervall hvert av dem gjelder. Det enkleste er nok å legge inn punktene i et grafisk program, og lese av funksjonsuttrykkene der. Men det er ikke videre komplisert å regne det ut for hånd heller. Stigningstallet for den første funksjonen er a = 6/30 = 1/5 = 0. slik den første delen av turen kan bli beskrevet ved funksjonen S(t) = 0. t + b. Men her er b = 0, siden funksjonen går igjennom origo. Den neste delen av funksjonen har stigningstall a = (10.5 6)/(45 30) = 4.5/15 = 3/10. Altså kan funksjonen vår skrives som y = 0.3 t + b, hvor b er en eller annen konstant. Heldigvis vet vi at y = 10.5 når t = 45, slik at 10.5 = b b = 3. Legger vi sammen disse to uttrykkene får vi at 1 t når t [ 0, 30) s(t) = 5 3 t 3 når t [30, 60] 10 som var det vi ønsket å vise. En kan og tegne funksjonen for å se at den stemmer (lurt). Oppgave 5 (6 poeng) En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 15 9 år er det 14.3 % som bare bruker briller 7. % som bare bruker kontaktlinser 9.7 % som bruker både kontaktlinser og briller a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for a illustrere opplysningene i teksten ovenfor. Opplysningene kan eksempelvis illustreres i et venndiagram. Her står B for antall prosent som bruker briller, L står for antall prosent som bruker linser. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller. Det er totalt = 4.0 % som bruker briller. Da vil sannsynligheten for at en person ikke bruker briller være = 76.0 %. Med symboler kan dette skrives som P (B) + P (B) = 1 P (B) = 1 P (B) = = En annen måte å se det på er om personen ikke bruker bruker briller, så må enten personen bruke bare linser eller hverken briller eller linser.ut i fra forrige diagram ser vi at det er totalt = 31. % som bruker linser eller briller.slik at det er 68.8 % som hverken bruker linser eller briller. Og fra opplysningene vet vi at det er 7. % som bare bruker linser. Sannsynligheten for at en person ikke bruker briller blir dermed P (B) = = 76.0 %. c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser. Her blir det lettest å tenke gunstige utfall over mulige utfall. Sannsynligheten for at en person bruker briller har vi funnet i forrige deloppgave. Da trenger vi å finne ut hvor stor andel av brillebrukeren som også bruker linser. Igjen fra diagrammet vet vi at det er 9.7 % som bruker linser og briller. Slik at sannsynligheten for at en brillebruker og bruker linser er gitt som 9.7/ %. Med symboler kan dette skrives som P (L B) = P (L B) P (B) 1.8 % 9

15 L = 7. % B L = 9.7 % B = 14.3 % Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 0.5x x a) Tegn grafen til f for x-verdier mellom 3 og 7. Det enkleste her er nok bare å tegne figuren i et dataprogram, også tegne av for hånd, eller inkludere en utskrift. Eksempelvis, Geogebra, Mathematica, Maple, Sage, Asymptote, osv osv. Det er heller ikke videre komplisert å tegne for hånd. x y b) Finn nullpunktene for f og bunnpunktet for grafen til f ved regning. For å finne nullpunktene faktoriserer vi funksjonen. Vi trekker ut x/ og får da f(x) = 1 x x = 1 x (x 4) Herfra ser vi at f(x) = 0 når x = 0 eller x = 4. Topp og bunnpunkter kan finnes i enden av definisjons-mengden og hvor den deriverte er null. Dog er den enkleste måten her å se at topp/bunnpunktet til et andregradspolynom alltid befinner seg midt mellom nullpunktene. Altså f(x) = ax + bx + c. Dermed vil x-koordinaten til bunnpunktet være (4 0)/ =. Så Bunnpunktet til funksjonen er (, ). Siden oppgaven sier eksplisitt at punktet er et bunnpunkt, trengs ikke dette å vises Alternativt kan vi og 10

16 y x bruke derivasjon for å bestemme bunnpunktet siden stigningstallet i et bunnpunkt er null. f (x) = 1 x 1 (1)x 1 1 = x Altså ser vi at x-koordinaten til bunnpunktet er x =, for y-verdien blir da f() = 0.5 () = 4 =. For kompletthet tegner vi et fortegnsskjema for å bekrefte at punktet er et bunnpunkt. Dette kan og argumenteres ut i fra tegning. Selv om det står at f (x) 0 f(x) 0 0 x det er et bunnpunkt, teller det bare positivt å vise at det faktisk er det. c) Finn stigningstallet for tangenten til grafen i punktet ( 1, f(1) ). Det enkleste her blir å benytte oss av etpunktsformelen, om vi ønsker blir regningen noe lettere om vi regner ut f (1) = 1 og f(1) = 3/ på forhånd. Formelen gir oss likningen til tangenten som går gjennom punktet ( a, f(a) ). y = f (a)(x a) + f(a) = f (1)(x 1) + f(1) = (1 x) 3 = x 1 Tegner vi funksjonen i samme koordinatsystem som før, ser vi at utregningen stemmer. Alternativt så kan vi anta at ei rett linje med stigningstall f (1) = 1 kan bli skrevet på formen y = x + b hvor b er en vilkårlig konstant. Videre vet vi at denne linja passerer gjennom punktet (1, 3/), setter vi inn disse verdiene får vi at 3/ = 1 + b b = 1/. Så linja eller tangenten vår kan bli skrevet som y = x 1/ som før. 11

17 d) Grafen til f har en tangent med stigningstall 1. Finn en likning for denne tangenten. Vi ønsker å finne ut hvilken x verdi som samsvarer til et stigningstall på en. Vi ønsker derfor å løse følgende likkning Innsetning i etpunktsformelen gir da direkte. f (x) = 1 x = 1 x = 3 y = f (a)(x a) + f(a) = f (3)(x 3) + f(3) = 1(x 3) 3 = x 9 Oppgave 7 (8 poeng) Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert) Alternativ I Gitt likningsystemet [ y x + x = a ] y x = 3 a) Sett a = 6 og løs likningssystemet 1) ved regning ) grafisk b) Hva må a være for at x = 1 og y = 5 skal være en løsning av likningssystemet c) Finn ut for hvilke verdier av a likningssystemet har 1) én løsning ) to løsninger 3) ingen løsning 1

18 Alternativ II a a a 10 Et hus har form som figuren ovenfor. Alle mål er gitt i meter. a) Forklar at arealet av huset er gitt ved uttrykket 30a a. Regn ut arealet når a = 5. Figuren kan sees på som sammensatt av et kvadrat med a og et rektangel med sider 10 a og 3a. Slik at det totale arealet kan skrives som T (a) = s + l b T (a) = a + (10 a)3a T (a) = 30a a (1) som var det som skulle vises. Innsetning gir da T (5) = = 5 (6 ) = 100 slik at arealet av huset er 100 m når a = 5. b) For hvilke verdier av a er arealet av huset 11 m? Arealet av figuren kan skrives som T (a) som vi har fra (likning 1). Så vi ønsker å finne a slik at T (a) = 11. Innsetning gir da T (a) = 11 30a a = 11 0 = a 15a = (a 7)(a 8) Faktoriseringen av andregradslikningen kan gjøres på flere måter. Vi kan for eksempel legge merke til at a 15a + 56 = a 7a 8a + 56 som ønsket. = a(a 7) 8(a 7) = (a 8)(a 7) Vi kan og benytte oss av Vietè s metode. Anta at en andregradsfunksjon x +bx+c kan skrives som (x+m)(x+n) hvor n og m er to reelle tall. Utvider vi brøken får vi x +x(n+m)+n m, sammenlikner vi koeffisienter ser vi at x + bx + c = (x + m)(x + n) hvis og bare hvis vi kan finne to tall n, m slik at b = n + m og c = n m. Tja, ser greit at ( 7) + ( 5) = 15 og ( 7)( 8) = 56 så a 15a + 56 = (a 7)(a 8). Den siste metoden er bulldoseren, vi tar frem andregradsformelen. Men ha i tankene at denne 13

19 metoden tar noe lengre tid en førstnevnte. 0 = ax + bx + c x = b ± b 4ac a = 15 ± 15 4(1)(56) (1) = 1 ( 15 ± ) 1 x = 7 x = 8 c) Hva er det største arealet huset kan ha? Lager vi en tegning (eksempelvis med glidere i Geogebra) ser det ut som huset har størst areal når a = 7.5, men det er umulig å vite om huset har størst areal når a = 7.5 eller a = Vi må altså regne på dette. Den enkleste metoden er at topp/bunnpunktet til en andregradsfunksjon alltid ligger midt mellom nullpunktene til funksjonen. Her har vi T (a) = 30a a = a(15 a) slik at nullpunktene blir a = 0 og a = 15, dermed er x-koordinaten til toppunktet a = 15/ og største areal huset kan få er T ( 15 ) = 15 En annen metode er å skrive om funksjonen ved å fullføre kvadratet a a 10 a Figur 1: Illustrasjon av huset når a = 7.5 T (a) = 30a a = ( a 15a + ( = a 15 ) + 15 ( ) 15 ( ) ) 15 Herfra ser vi at T (a) er størst når ( ) a 15 er minst. Dette skjer når a = 15/, da er arealet av huset T (15/) = 55/ m. Alternativt kan vi og bruke derivasjon. Et eventuelt toppunkt finnes der T (a) = 0, innsetning gir som vist før. T (a) = 30 4a 4a = 30 a = 15 14

20 Videre lesning Vi har nå vist at huset av størst areal når a = 7.5, men hvorfor er det akkurat denne verdien som gir maksimal verdi? Det er vanskelig geometrisk å si at a = 7.5 er større enn for eksempel a = 5 eller a = 8. For å forklare hvorfor det er akkurat a = 7.5 er best, tar vi på våre gamle greske sko. Vi velger en tredje måte for å bestemme størst mulig verdi av huset, god gammel gresk geometeri. Altså ingen algebra, eller derivasjon. Det første steget er å dele figuren inn to rektangler med sidekanter henholdsvis a og 10 a, og a og 10. Legg så merke til at et rektangel med sider a og 10, har samme areal som et rektangel med sider a og 5, (siden 10a = 5(a)). Dermed har vi et rektangel med sider a og 10 a og et rektangel med sider a og 5, disse to rektanglene kan settes sammen til et kvadrat med sider a og 5 + (10 a) = 15 a. Til slutt se at dette rektangelet kan deles inn to rektangler med sider a og 15 a. (Siden a(15 a) = a(15 a) + a(15 a)). Nå har vi vist at huset vårt har samme areal som summen av to rektangler med sider a og 15 a. Et rektangel med konstant omkrets har størst areal når sidene er like lange (kvadrat). Sidene i rektangelet vårt er like når a = 7.5. Dette er illustrert i påfølgende figur. En kan og beskrive denne omformingen algebraisk som følger. T (a) = 30a a = a(15 a) = a(15 a) + a(15 a) men de gode gamle grekerene benyttet jo seg ikke av algebra, så dette blir litt juks. 15

21 a 10 a 10 a a 10 a 5 a a a 15 a d) For hvilke verdier av a er arealet av huset større enn 7 m? Her ønsker vi å finne ut når T (a) > 7, algebra gir T (a) > 7 30a a > 7 (a 15a + 36) < 0 a 3a 1a < 0 a(a 3) 1(a 3) < 0 (a 1)(a 3) < 0 Herfra løser en enkel fortegnslinje resten Fra fortegnslinjen får vi at T (a) > 7 når x (3, 1) 16

22 (a 1)(a 3) 0 0 a 1 0 a 3 0 x som også kan skrives som 3 < x < 1. Selvsagt kan og andregradsformelen benyttes for å finne nullpunktene til likningen x = b ± b 4ac a = 1 ( 15 ± ) 15 (1) 4(1)(36) = 1 (15 ± ) 9 x = 3 x = 1 17