Eksamen 1T, Våren 2011

Transkript

1 Eksamen 1T, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) ,610 7 ) 0, , ,410 b) Løs likningen x 6x 16 x x 6x16 6x x x x 8 x 1

2 c) Løs ulikheten x x 0 x x0 x x x - verdier x 0 x 1 x x L,0 1, d) På tallinjen ovenfor har vi merket av 1 punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene AL på tallinjen. Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres. 1) E ) 0 5,5 0 5,5 1 C

3 3) må være et tall mellom 4 og 5. J 4) tan30 Tangens til en vinkel er forholdet mellom motstående og hosliggende katet. Hvis den ene spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er 30, må den andre være 60. Den motstående kateten til vinkelen på 30 vil være kortere enn den hosliggende. tan30 er derfor et tall mellom 0 og 1. B 5) G 6) må være et tall mellom 3 og 4. H 3

4 e) Løs likningen lg x 1 lg x 1 x 1 10 x x 101 x 50,5 f) De 0 elevene i klasse 1A planlegger sommerferien. 16 elever har fått sommerjobb. 10 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie. elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie. 1) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Venndiagram U 0 S F

5 Krysstabell Sommerjobb Ikke sommerjobb Totalt Ferie 10 1 Ikke ferie 6 8 Totalt ) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie. 1 3 P(Ferie) 0 5 5

6 Oppgave (6 poeng) En funksjon f er gitt ved f( x) x. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x 3, 3. b) Finn ved regning likningen for den rette linjen som går gjennom punktene 0, f (0) og, f (). Likningen for en rett linje er gitt ved y ax b. (0, f(0)) (0, ) b (, f ()) (,) 6

7 ( ) 4 a yx c) Finn likningen for tangenten til f i punktet der x 1 ved regning. Tegn denne tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a). f ( x) x f (1) 1 Tangenten har stigningstall. Tangenten går gjennom punktet (1, f (1)) (1, 1). y y a( x x ) 1 1 y( 1) ( x1) yx3 Oppgave 3 (5 poeng) Figuren ovenfor viser et kvadrat ABCD. Sidene i kvadratet har lengde 1. E er midtpunkt på BC, og F er midtpunkt på CD. a) Bruk Pytagoras setning til å vise at AE og AF har lengde ABC og ADF er rettvinklede. 5. AB AD 1 1 BE DF 7

8 1 5 5 AE AF 1 4 b) Vis at arealet av AEF er 3 8. Vi regner ut arealet av hele kvadratet og trekker så fra de tre rettvinklede trekantene Arealet av AEF c) Vis at 3 sin 5. Arealet av AEF 1 AE AF sin sin sin 8 8 5sin 3 3 sin 5 8

9 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 4 (8 poeng) Antall gram CO en bil slipper ut per kilometer er gitt ved f( x) 0,046x 6,7x 386 der x er farten til bilen målt i km/h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x 0,

10 b) Finn grafisk og ved regning 1) hvor fort bilen kjører dersom den holder konstant fart og slipper ut 150 g CO per kilometer. Grafisk Bilen kjører i ca. 60 km/h eller i ca. 86 km/h. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Ved regning Vi definerer funksjonen i wxmaxima og løser likningen fx 150. Bilen kjører i ca. 60 km/h eller i ca. 86 km/h. ) hvilken fart som gir minst CO -utslipp per kilometer og hvor stort CO -utslippet per kilometer er da. Grafisk En fart på ca. 73km/h gir minst utslipp. Utslippet er da på 14 g CO per kilometer. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Ved regning Vi bruker funksjonen som vi har definert i wxmaxima. 10

11 Vi deriverer og setter den deriverte lik null. En fart på ca. 73 km/h gir minst CO utslipp. Bilen slipper da ut ca. 14 g CO per kilometer. Bilen kjører i 70 km/h i en halv time. c) Hvor mye CO slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen? Bilen slipper ut ca g CO i løpet av denne halvtimen. (Se punktet 70, 14,4 i koordinatsystemet ovenfor.) 11

12 Oppgave 5 (7 poeng) Et tre står på en horisontal slette. Ved et gitt tidspunkt kaster solen en 1 m lang skygge bak treet. En pinne som er 1, m lang, har ved samme tidspunkt en 1,6 m lang skygge. Se skissen ovenfor. a) Hvor høyt er treet? Treet er 9,0 m høyt. b) Vis at solstrålene ved dette tidspunktet danner en vinkel på 36,9 med sletten. Solstrålene danner ved dette tidspunkt en vinkel på 36,9 med sletten. 1

13 I enden av sletten er det en skråning som danner vinkelen u med horisontallinjen. I skråningen står det også et tre. Dette treet står vinkelrett på horisontalplanet. Se skissen ovenfor. Per og Kari vil prøve å regne ut hvor høyt treet i skråningen er, ved hjelp av trigonometri. De tar med seg et metermål, en planke og en kalkulator. c) Hvordan kan Per og Kari gå fram for å bestemme vinkelen u? Per og Kari kan holde planken vannrett og måle planken og avstanden fra enden av planken og ned til bakken (stiplet linje på figuren ovenfor). De kan så bruke tangens for å bestemme vinkelen u. Avstand fra enden av planken og ned til bakken (stiplet linje) tanu Lengden av planken Per og Kari regner ut at u 5. Skyggen fra treet faller 17 m nedover skråningen. Vi antar at vinkelen mellom solstrålene og horisontallinjen er den samme som i b). d) Hvor høyt er treet i skråningen? 13

14 CED ,9 143,1 A ,1 5 11,9 ACB 90 36,9 53,1 Vi bruker sinussetningen. Treet er ca. 4,4 m høyt. 14

15 Oppgave 6 (9 poeng) Bjørn og Jon tapper 1 L vann fra springen. De varmer opp vannet i en glasskolbe. Etter en stund flytter de glasskolben fra varmekilden og inn i et kjøleskap. Hele tiden måler de temperaturen i vannet ved hjelp av en datalogger. Grafen ovenfor viser temperaturen i vannet som funksjon av tiden. a) Bruk grafen til å svare på følgende spørsmål: 1) Hva var temperaturen i vannet da Bjørn og Jon tappet det fra springen? Grafen starter i punktet 0,16. Temperaturen var 16 C da Bjørn og Jon tappet det fra springen. ) Hvor lenge varmet de vannet i glasskolben, og hva var temperaturen i vannet da de satte det inn i kjøleskapet? Grafen har toppunkt i 5,90. De varmet vannet i 5 minutter. Temperaturen var 90 C da de satte det inn i kjøleskapet. 15

16 b) Foreslå et funksjonsuttrykk for den delen av grafen som viser oppvarming av vannet, og bruk dette funksjonsuttrykket til å finne ut hvor lang tid det vil ta å varme opp 1 L vann fra springen til 100C dersom vi bruker denne varmekilden. Grafen er en rett linje. Vi finner et lineært funksjonsuttrykk på formen y ax b. b a 14,8 5 y14,8x16 Vi finner så hvor lang tid det vil ta å varme opp 1L vann fra springen til 100 C. Det vil ta ca. 5,7 minutter. Grafen til funksjonen f gitt ved fx ( ) 115,8 0,94 5, der x 5, beskriver temperaturen i vannet etter at det er satt inn i kjøleskapet. x c) Finn ved regning i hvilket tidsrom vannet har høyere temperatur enn 60C. Vannet har høyere temperatur enn 60 C mellom 3 og 1 minutter etter at det ble tappet fra springen. 16

17 d) Hva var temperaturen i kjøleskapet? Temperaturen i kjøleskapet var ca. 5 C. Vi kan se dette både av grafen og av funksjonsuttrykket. lim fx ( ) lim 115,8 0, x x x Vi ser også at grafen til f nærmer seg linjen y 5, når x øker. 17

18 Oppgave 7 (8 poeng) Stein saks papir er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor. Reglene er slik: Saks vinner over papir. Papir vinner over stein. Stein vinner over saks. Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort. Bård og Lars skal spille Stein saks papir. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir. a) Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller Stein saks papir én gang. BSt LSt BSt LSa BSt LP BSa LSt BSa LSa BSa LP BP LSt BP LSa BP LP 18

19 La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars. b) Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, PB ( ), er 1 3. Det er tre utfall som gir seier til Bård. BSt LSa BSa LP BP LSt Dette er 3 gunstige av 9 mulige utfall. 3 1 PB ( ) 9 3 Bård og Lars skal spille Stein saks papir tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang. c) Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger? B U L B U L B U L B U L BUL BUL BUL BUL BUL BUL BUL BUL BUL Dette gir 7 ulike resultater. 19

20 d) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene? BBB BUB BLB UBB LBB BBU BBL 7 gunstige av 7 mulige utfall. P(Bård vinner minst to av de tre gangene) 7 7 Når to personer spiller Stein saks papir, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort. e) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner? I tillegg til de 7 gunstige utfallene i d), vinner Bård når resultat blir BUU, UBU eller UUB. 10 gunstige av 7 mulige utfall. P(Bård vinner)

21 Oppgave 8 (4 poeng) La A, B, C og D være fire punkter på en sirkel. Se figuren nedenfor. Ptolemaios (ca. år 100 e.kr.) var både matematiker og astronom. Ptolemaios fant ut at AC BD ABCD ADBC Denne sammenhengen kalles Ptolemaios setning. I denne oppgaven skal du bruke Ptolemaios setning i to tilfeller. a) Tegn figuren ovenfor i det tilfellet der firkanten ABCD er et rektangel. La sidekantene ha lengde a og b, og la diagonalene ha lengde c. Skriv ned Ptolemaios setning for dette tilfellet. Du har nå kommet fram til en annen og mer berømt setning. Hvilken? AC BD ABCD AD BC cc aa bb c a b Dette er Pytagoras setning. 1

22 La nå A, B og C være hjørner i en likesidet trekant som er innskrevet i en sirkel, og la P være et punkt på sirkelbuen mellom A og B som vist på figuren nedenfor. b) Skriv ned Ptolemaios setning for dette tilfellet og vis at PC PA PB. ABPC PABC PB AC PABC PBAC PC AB AB PC PA PB Bildeliste Ferie Foto: Utdanningsdirektoratet Bil Foto: Hanne Hattrem/VG/Scanpix Stein, Saks, Papir Bilde: Vix99/Wikipedia ( Ptolemaios Bilde: Opphavsmann ukjent/wikipedia (