Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Transkript

1 Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012

2 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere

3 Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

4 Geometri i skolen Grunnskolen: -Figurer, måling og første formler -Konstruksjon -Kongruens og formlikhet Videregående skole: -Trigonometri og flere formler -Geometri med og uten koordinater (vektorer og likninger vs syntetisk geometri)

5 Grunnlag for argumentasjon og bevis Når vi argumenterer bruker vi kjente begreper og setninger. Begreper: Trekant, vinkel, samsvarende vinkler, midtnormal etc Setninger: Vinkelsumsetningen, Pytagoras, kongruenssetningene, formlikhetssetningene etc Av hver slag er det ikke så mange vi trenger!

6 Argumentasjon inngår ofte når en skal beregne vinkler eller sider i en trekant. I andre oppgaver kreves argumentasjon, men nesten ikke beregninger.

7 Formlike trekanter To trekanter ABC og DEF er formlike, ABC DEF, dersom vinklene er parvis like, altså A = D, B = E og C = F og de tilsvarende sidekantene er proporsjonale, det vil si AB DE = BC EF = AC DF. F C A B D E

8 Formlikhetssetningen ABC DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterier er oppfyllt: 1. Trekantene har to parvis like vinkler. 2. Trekantene har en lik vinkel, og de tilhørende sidekantene er proporsjonale, for eksempel er A = D og AB = DE AC DF 3. Sidekantene er parvis proporsjonale, for eksempel er AB = BC = AC. DE EF DF 4. Forholdet mellom lengdene til sidekantene er det samme i de to trekantene, for eksempel er AB = DE BC EF BC og = EF AC DF F C A B D E

9 Kongruente trekanter To trekanter ABC og DEF er kongruente, ABC = DEF, dersom vinklene er parvis like, A = D, B = E, C = F og de tilsvarende sidekantene er like, AB = DE, BC = EF, AC = DF. C F A B D E

10 Kongruenssetningen ABC = DEF hvis og bare hvis et av følgende fire kriterier er oppfyllt: 1. Trekantene har parvis like sider (SSS), AB = DE, BC = EF, AC = DF. 2. I de to trekantene er en vinkel og de tilhørende sidekantene like (SAS), A = D, AB = DE, AC = DF. 3. I de to trekantene er to vinkler og den mellomliggende sidekanten like (ASA), A = D, B = E, AB = DE. 4. I de to trekantene er to sider og den motstående vinkelen til den største av disse like (SSA), AB = DE BC = EF, C = F.

11 Oppgave Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to vinkler i trekanten er like.

12 Oppgave Vis at to vinkler i en trekant er like hvis og bare hvis to sider i trekanten er like.

13 Hjelpetegning C A D B Vil vise: A = B ADC = BDC AC = BC Det vil si (siden resten følger av definisjonen av kongruens): A = B ADC = BDC AC = BC

14 Definisjoner er viktige! C A D B Hvilken linje er CD? Midtnormal på AB, normal fra C, halveringslinje til C, median fra C?

15 C A D B Kan CD være midtnormal? I så fall påstår man at normalen fra C deler AB på midten, eller at midtnormalen på AB går gjennom C. Begge deler må vi argumentere for...

16 C A D B Hvis CD er normalen fra C, kan vi bruke kongruenssetningen. ADC og BDC er da rettvinklede med felles katet, Hvis A = B er de kongruente, og hvis hypotenusene AC og BC er like store, så er de også kongruente.

17 C A D B Hvis CD halverer C, kan vi bruke kongruenssetningen. I ADC og BDC er CD felles og vinklene i C like store. Hvis A = B er alle vinklene parvis like store mens en side er felles, så trekantene er kongruente. Hvis AC og BC er like store, så er de også kongruente.

18 Mer Halveringslinjesetningen. I en trekant ABC vil ei linje gjennom hjørnet C dele linjestykket AB innvendig i forholdet hvis og bare hvis linja halverer vinkelen i C. AC CB C A D B La linja skjære AB i D. Da sier setningen: AC CB = AD DB ACD = DCB

19 A C D E B Bevis av halveringslinjesetningen Bevis. Trekk linja gjennom A parallelt med BC til skjæring E med linja gjennom CD. Da er Men AED = BCD, så ADC BDC og AD DB = AE BC. AE = AC AED = ACD BCD = ACD, så AC CB = AD DB ACD = DCB og setningen følger.

20 Motivasjon Hva med et mer overraskende resultat? Noe jeg kanskje ikke visste fra før?

21 Cevas setning La D, E, F være punkter på sidekantene henholdsvis BC, AC og AB i trekanten ABC. Da går linjene AD, BE og CF gjennom samme punkt hvis og bare hvis AF FB BD DC CE EA = 1. C D E A F B

22 Bevis av Ceva Først skal vi vise at dersom linjene AD, BE og CF går gjennom samme punkt, så gjelder produktrelasjonen. Vi kaller derfor det felles skjæringspunktet for P. Så lager vi en hjelpefigur: Trekk en linje gjennom C parallell med AB, og forleng AD og BE til skjæring i henholdsvis G og K med denne linja. G C K D E A F B

23 Bevis av Ceva, fortsettelse Da har følgende par av trekanter toppvinkler og samsvarende vinkler ved parallelle linjer. De har derfor parvis like vinkler og er formlike. ABD CDK ABE CEG AFP KCP FBP CGP Da er sidekantene parvis proporsjonale: BD CD =AB CK, AF FP =CK CP, CE EA =CG AB FP FB = CP CG

24 Bevis av Ceva, fortsettelse Mulipliserer vi de to venstresidene i de to siste ligningene med hverandre, og tilsvarende med høyre sidene får vi AF FB =CK CG Multipliserer vi venstresiden i denne, med venstresidene i de to første, og tilsvarende med høyresidene får vi: AF FB BD CD CE EA =CK CG AB CK CG AB Men på høyre side er faktorene i teller de samme som faktorene i nevner, så vi kan forkorte og får AF FB BD CD CE EA =1. Dermed er første del av setningen vist.

25 Bevis av Ceva, fortsettelse For å vise motsatt vei, antar vi at produktrelasjonen holder for punktene D, E, F (uten å anta at de tre linjene har et felles punkt). Altså at AF FB BD CD CE EA =1. Anta så videre at AD og BE møtes i punktet P, og at forlengelsen av linja CP treffer AB i G. Av første del vet vi at produktrelasjonen holder for punktene D, E, G, så AG GB BD CD CE EA =1 Sammenligner vi de to produktrelasjonene får vi AF FB =AG GB

26 Bevis av Ceva, fortsettelse Nå legger vi til 1, skrevet på en spesiell måte, på begge sider og får AF FB + FB FB =AG GB + GB GB, AF + FB AG + GB = FB GB og AB FB =AB GB. Derfor FB = GB, så F og G er samme punkt. Dermed er også andre del av setningen vist.

27 Bruk av Ceva Setning Medianene i en trekant har et felles punkt. Bevis: Hvis AF = FB, BD = CD, CE = EA så er AF FB BD CD CE =1 1 1 = 1. EA Så setningen følger av Ceva. C E D A F B

28 Mer bruk av Ceva Setning Høydene i en trekant har et felles punkt. Setning Halveringslinjene for vinklene i en trekant har et felles punkt. kan begge vises ved hjelp av Ceva s setning.

29 Viktige bevisteknikker i plangeometri - syntetiske (kongruens/formlikhet, geometriske steder) - analytiske (koordinater, likninger, vektorer, algebra) Se hefte til evu-kurs i geometri på siden:

30 Takk for oppmerksomheten