Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.

Transkript

1 Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere uttrykkene, eller finne moteksempler. For eksemepel 1.1.1c) (P Q) R er sann dersom R er sann, men P (Q R) usann dersom P er usann. Utsagnene er dermed ikke ekvivalente Husk at hvis n, k Z så er k delelig med n (skrives k n) hvis det finnes r Z slik at n = rk. Ved å skrive opp hva denne definisjonen medfører i de forskjellige deloppgavene blir det ofte tydelig hva man kan gjøre. For eksempel 1.1.5a) Siden 6 n, finnes det k Z slik at n = 6k. Men da er n = 3 (2k). Så det finnes l Z slik at n = 3l (nemlig l = 2k). Hvis påstanden ikke er sann, kan man prøve å finne et moteksempel: 1.1.5b) 9 er delelig med 3, men ikke delelig med 6, så påstanden er usann. Uke a) Her er det nok enklest med et direkte bevis: Anta at m Z er et partall (det finnes k Z slik at m = 2k) og at n Z er vilkårlig. Vis at mn er et partall b) Samme fremgangsmåte som over Bruk definisjonen av at r, s Z r s, og bevis påstanden direkte Siden n Z enten er et partall eller et oddetall har vi to tilfeller. Vis begge tilfellene med direkte bevis Følger fra Euklidsk divisjon. (Kan også vises ved motsigelse: Anta at n er både et partall og et oddetall. Hva skjer da?) Prøv et motsigelsesbevis. For å konkludere kan du for eksempel bruke forrige oppgave Anta for motsigelse at 3 Q. Du må bruke at 3 n 2 3 n (se oppgave for eksempel). Hvis r/s (r, s Z) er et rasjonalt tall, kan du anta at r og s ikke har noen felles faktorer. 1

2 Uke Alternativ 1: Hva er definisjonen av A B? Skriv definisjonen kontrapositivt. Alternativ 2: Prøv et motsigelsesbevis a) Hvis x + y 2 = 0 og x y, hvilke muligheter har vi da? Vis at dette er umulig b) Vis at de forskjellige uttrykkene er på formen x + y 2 for x, y Q. Du kan få bruk for at (x + y 2)(x y 2) Q Vis direkte ved hjelp av definisjoner. Oppgave fra forelesning 03B. La A og B være mengder. Vis at a) A A b) (A B) (B A) A = B c) (A B) c = A c B c d) (A B) c = A c B c Her er A c = {x : x / A}. Hint: Husk at A B hvis [x A x B], og at A = B hvis [x A x B]. Bruk disse definisjonene til å vise a) og b). For å vise c) og d) kan du for eksempel bruke DeMorgans lover (Prop i Lakins). Uke Husk at en påstand er ekvivalent med det kontrapositive utsagnet. Så [ x U (x A x B) ] [ x U (x / A x / B) ]. Bruk definisjoner til å konkludere Vis på standard måte, ved å vise at mengdene er inkludert i hverandre La B være en mengde. Husk at elementene i P(B) er delmengder av B Her holder det å vise at for hver z R, så finnes det et par (x, y) R 2 slik at f(x, y) = z Det holder å vise at for hver k Z finnes det n Z slik at f(n) = k. k er enten et partall eller et oddetall. Se på de to tilfellene hver for seg Se på intervallene (, 0), [0, 4) og [4, ). Hva blir f g på de forskjellige intervallene? Uke a) Her er det vanskelig å gi hint uten å gi svaret b) Vis på standard måte, altså ved å vise at mengdene er inkludert i hverandre: 2

3 Bruk samme metode som over. A = B hvis [x A x B] For å vise at f er injektiv se hintet i boka. For å se at f er surjektiv gjør det samme som i oppgave Tilsvarende som oppgavene over a) La f være som i oppgaven og la P (f) være utsagnet for alle menger Z og funksjoner h, k : Z X har vi at (f h = f k) h = k. Vis at [f injektiv P (f)] ved direkte bevis. For å vise at [P (f) f injektiv] må du finne en mengde Z, og konstruere funksjoner h, k : Z X som sammen med P (f) fanger opp egenskapen at f er injektiv, altså at f(x) = f(x ) x = x. Du kan også prøve å vise det kontrapositive utsagnet [f ikke injektiv P (f)] b) Her er det kanskje lettest å vise den ene implikasjonen kontrapositivt ([f ikke surjektiv Q(f)], hvor Q(f) er utsagnet i oppgaven). Du må også her konstruere passende funksjoner. Uke a) Per definisjon har vi f 1 (f(a)) = {x X : f(x) f(a)} b) Se på en funksjon f : X Y som ikke er injektiv. Da finnes x, y X, slik at x y og f(x) = f(y). Da vil enhver mengde A X slik at x A, y / A, tilfredstille A f 1 (f(a)) (hvorfor?). Finn et konkret eksempel Vis først at direkte bilder har følgende egenskaper: 1) Hvis C, D X og C D, har vi alltid f(c) f(d). 2) Hvis y f(a) f(b) finnes det x A og x B slik at f(x) = y = f(x ). (Begge egenskapene følger mer eller mindre direkte fra definisjonene). Bruk 1) til å vise at f(a B) f(a) f(b). For å vise at f(a) f(b) f(a B) må du bruke at f er injektiv sammen med 2). Peano: Bevis teorem 1.3 (P1.3) og 1.4 (P1.4). Induksjonsaksiomet sier at Bruk dette i bevisene. P (0) [ n N P (n) P (S(n))] n N P (n). P1.3 Anta at : N N N er en annen avbilding som tilfredsstiller (12) og (13) (i notatet). Fra (12) får vi at = + på N {0}. Bruk induksjon og (13) til å konkludere med at + = på hele N N. 3

4 P1.4 Vi bruker induksjon og egenskapene ved + fra P1.3. (14) La P (p) være utsagnet (m + n) + p = m + (n + p). Bruk induksjon på p. Med andre ord, vis først P (0), og deretter at n N P (p) P (S(p)). Helt konkret vis at n N har vi (m + n) + p = m + (n + p) (m + n) + S(p) = m + (n + S(p)). (15) Også induksjon. (16) Induksjon på n. P (0) er opplagt fra (15). Vi vil vise Ved å anta P (n) får vi m + n = n + m m + S(n) = S(n) + m. m + S(n) = S(m + n) = S(n + m) = n + S(m), hvor vi bruker induksjonshypotesen ved andre likhet. Dette er fortsatt ikke helt det vi vil ha. Ved å skrive 1 = S(0) får vi m + (n + 1) = n + (m + 1). Bevis (ved induksjon på m) at m + 1 = 1 + m (altså m + S(0) = S(0) + m). Bruk dette sammen med (14) til å fullføre induksjonsbeviset for P (n). (17) Induksjon på p. Uke 43 Oppgaver fra notatet om algebra 2.1. (i) Se på uttrykket Når er dette sant? (ii) Tilsvarende som (i). x 2 + xy + yx + y 2 = x 2 + 2xy + y (i) Dette følger av at operasjonen på B A er definert ved hjelp av operasjonen på B, og at f, g B A f = g x A f(x) = g(x). (ii) Det meste er allerede sjekket i (i) Her har vi gjort mye av jobben i oppgave (se over)! Spesielt følger det fra at (a + b 2) 1 = 1/(a + b 2) A. 4

5 2.4. I en ikke-triviell ring er 0 1. En måte å gjøre denne oppgaven på er som følger: Anta at B (resp. C) har en total orden som er kompatibel ringstrukturen. Vis at dette medfører at 1 = 0. For eksempel kan du videre bruke følgende: Hvis er en total orden på B så er 1 0 eller 0 1. Vis at om ordenen er kompatibel med strukturen så har vi Bruk samme strategi for C: Anta at du har en total orden som er kompatibel med ringstrukturen. Da må i 0 eller 0 i. Vis at det medfører at i = 0, som igjen medfører at 1 = (i) Rett frem. (ii) Finn funksjoner f, g : A R, og x, y A slik at f(x) g(x) men g(y) f(y) og 2.7. Vis at likhetene (ulikhetene) er oppfylt ved induksjon (i) Vis at x, y P så har vi at x + y P, xy P. For å vise at P P = {0} bruk at x 0 er ekvivalent med 0 x. (ii) Sjekk aksiomene for en ordnet ring. For å vise at er den eneste ordenen som bestemmer P, anta at det finnes en orden slik at P = {x R : 0 x}. Vis at y x y x. 5