Matematikk 1 (TMA4100)
|
|
- Lisa Borge
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012
2 Formell definisjon av grenseverdi
3 Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi:
4 Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi (uformell) La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis verdien av f (x) blir vilkårlig nær L for alle x tilstrekkelig nære x 0.
5 Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi (uformell) La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis verdien av f (x) blir vilkårlig nær L for alle x tilstrekkelig nære x 0
6 Formell definisjon av grenseverdi
7 Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi:
8 Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L,
9 Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.
10 Definisjon av grenseverdi (illustrasjon) Illustrasjon for lim x a f (x) = b,
11 Regning med definisjonen
12 Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0
13 Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet.
14 Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b)
15 Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b) Den formelle definisjonen er ikke velegnet til å regne ut en spesifikk grenseverdi.
16 Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b) Den formelle definisjonen er ikke velegnet til å regne ut en spesifikk grenseverdi. Vi bruker heller den formelle definisjonen til å bevise teoremer og bruker teoremene til å regne ut grenseverdier.
17 Ensidige grenseverdier
18 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier.
19 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider.
20 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden.
21 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden. Når vi ser på venstre eller høyre side kalles grenseverdien henholdsvis venstresidig eller høyresidig.
22 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden. Når vi ser på venstre eller høyre side kalles grenseverdien henholdsvis venstresidig eller høyresidig.
23 Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden. Når vi ser på venstre eller høyre side kalles grenseverdien henholdsvis venstresidig eller høyresidig.
24 Definisjon høyresidig grenseverdi
25 Definisjon høyresidig grenseverdi Definisjon: Høyresidig grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall (x 0, b) med b > x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 fra høyre og skriver: lim f (x) = L, x x 0 + hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x 0 < x < x 0 + δ.
26 Definisjon venstresidig grenseverdi Definisjon: Venstresidig grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall (a, x 0 ) med a < x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 fra venstre og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x 0 δ < x < x 0.
27 Sammenheng mellom ensidige og tosidige grenseverdier
28 Sammenheng mellom ensidige og tosidige grenseverdier Teorem: Likhet venstresidig, høyresidig og (tosidig) grenseverdi En funksjon f(x) har en grenseverdi når x går mot x 0 hvis og bare hvis den har en grenseverdi når x går mot x 0 fra høyre og venstre og disse ensidige grensene er like: lim f (x) = L lim x x 0 x x 0 f (x) = L og lim f (x) = L. x x 0 +
29 Den grunnleggende trigonometriske grenseverdien Teorem: Grunnleggende trigonometrisk grenseverdi. Når θ måles i radianer er: sin(θ) lim = 1 θ 0 θ
30 Den grunnleggende trigonometriske grenseverdien Teorem: Grunnleggende trigonometrisk grenseverdi. Når θ måles i radianer er: sin(θ) lim = 1 θ 0 θ x 0.2
31 Grenseverdier ved x ±
32 Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall.
33 Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall. x uttrykker at x vokser seg større enn alle endelige grenser.
34 Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall. x uttrykker at x vokser seg større enn alle endelige grenser.
35 Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall. x uttrykker at x vokser seg større enn alle endelige grenser. y = 1 x x
36 Grenseverdier ved x ± Definisjon: Grenseverdi når x Vi sier at f (x) har grenseverdien L når x går mot uendelig og skriver: lim f (x) = L, x hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall M > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x > M.
37 Grenseverdier ved x ± Definisjon: Grenseverdi når x Vi sier at f (x) har grenseverdien L når x går mot minus uendelig og skriver: lim f (x) = L, x hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall N slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x < N.
38 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ±
39 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim
40 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M
41 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M
42 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M
43 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim
44 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim f (x) 5. Kvotientregel: lim g(x) = L M, M 0
45 Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim f (x) 5. Kvotientregel: lim g(x) = L M, M 0 6. Potensregel: La r og s 0 være heltall uten en felles faktor. Da er lim (f (x))r/s = L r/s dersom L r/s er et reelt tall (L > 0 hvis s er et partall).
46 Uendelige grenseverdier
47 Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig.
48 Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0.
49 Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0. f (x) har ingen grenseverdi i punktet x 0, men det har fortsatt nytteverdi å beskrive denne oppførselen.
50 Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0. f (x) har ingen grenseverdi i punktet x 0, men det har fortsatt nytteverdi å beskrive denne oppførselen. Vi sier da at f (x) går mot henholdsvis uendelig eller minus uendelig når x går mot x 0.
51 Uendelige grenseverdier (illustrasjon) y = 1 x 2 når x x
52 Uendelige grenseverdier Definisjon: Uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert positivt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) > B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.
53 Uendelige grenseverdier Definisjon: Minus uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot minus uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert negativt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) < B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.
54 Uendelige grenseverdier Definisjon: Minus uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot minus uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert negativt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) < B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ. Disse definisjonene er enkle å utvide til ensidige grenser på samme måte som for vanlige grenseverdier.
55 Asymptoter
56 Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker.
57 Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal.
58 Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal.
59 Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal. Definisjon: Horisontal asymptote En linje y = b er en horisontal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim f (x) = b, eller lim f (x) = b. x x
60 Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal. Definisjon: Horisontal asymptote En linje y = b er en horisontal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim f (x) = b, eller lim f (x) = b. x x Definisjon: Vertikal asymptote En linje x = a er en vertikal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim x a f (x) = ±, eller lim f (x) = ±. + x a
61 Eksempel: 3x2 +4 x 2 Asymptoter Vertikal asymptote x = 2 (sort) og skrå asymptote y = 3x +6 (rød) x 20 40
Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerGrenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner
1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerForelesning 10 MA0003, Tirsdag 18/ Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:
Forelesning 0 MA000, Tirsdag 8/9-0 Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:.-. Asymptoter Definisjon. La f være en funksjon. Vi sier at linjen l() = a + b er en skrå asymptote for f dersom minst ett
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerTrasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerAndre del av forelesningen om funksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utfyllende enn forelesningen.
NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Andre del av orelesningen om unksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utyllende enn orelesningen. GRENSEVERDI Man kan or eksempel
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerOppgave 1. (a) Mindre enn 10 år (b) Mellom 10 og 11 år (c) Mellom 11 og 12 år (d) Mer enn 12 år (e) Jeg velger å ikke besvare denne oppgaven.
Eksamen Prøve-eksamen for MET 11802 Matematikk Dato November 2015 - Alternativ 2 Oppgave 1. En bank-konto gir 3% rente, og renten kapitaliseres kontinuerlig. Vi setter inn 100.000 kr på denne kontoen.
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
DetaljerStigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerNOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerR1 -Fagdag
R1 -Fagdag 3-05.11.2015 Kommentarer Hovedfokus: Trene på å bruke GeoGebra. Fordype oss i fagstoff om logaritmer, funksjoner og grenseverdier I Logaritmer 1) Bevis at lgx ln x ln 10 og at lgx lge ln x.
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
DetaljerFinne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerLøsningsforslag i matematikk
Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x)
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
DetaljerDe hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
Detaljerx 2 + y 2 z 2 = c 2 x 2 + y 2 = c 2 z 2,
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse Calculus: A Complete
DetaljerEKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn)
EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner (5.-0. trinn) Dato: 3. desember 08 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 5.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Vedlagt formelark Faglærere:
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerEKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS
EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle
DetaljerOblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n.
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved Lemma 1 (a). x n > 1 n N x n+1 = α + x n = x n + α x2 n Bevis. Siden α > 1 er α + x n >, så 1 = 1+xn
DetaljerSALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.
SALG > KOSTNAD y = 20x Salg y = 0 000 Kostnad 20x > 0 000 SALG > KOSTNAD mer enn 00 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. Slik kan ulikheter løses grafisk En ulikhet består av en venstre side,
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
DetaljerEn studentassistents perspektiv på ε δ
En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve
Detaljerx, og du dx = w dy (cosh u) = sinh u H sinh w H x = sinh w H x. dx = H w w > 0, så h har ikke flere lokale ekstremverdier.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt 3. u 49 a) Fra tabell 3.4 på sie i boka: (cosh u) = sinh u. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger
Detaljer