Innføring i bevisteknikk

Transkript

1 Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen og q kalles for konklusjonen. Det er nok å vise at hvis p er sann så er q sann. Direkte bevis. Vi antar at p er sann. Så bruker vi holdbare argumenter til å vise at da er også q sann. Eksempel på direkte bevis: La n være et naturlig tall. Påstand: «Hvis n er et oddetall, så er n 2 er oddetall.» p: n er et oddetall q: n 2 er oddetall. Bevis: Hvis n er et oddetall kan n skrives som 2k + 1, der k er et tall. n 2 kan da skrives som (2k + 1) 2 = (2k) k = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. Vi ser at 2(2k 2 + 2k) må være et partall siden vi har 2 som faktor. Legger vi til 1 får vi et oddetall. Følgelig må n 2 være et oddetall. Det betyr at q er sann og påstanden er bevist. Kontrapositivt bevis. Istedenfor å bevise at p q, viser vi at det ekvivalente og kontrapositive utsagnet q p er sant. Vi starter med å anta at q er usann (dvs. q er sann). Så bruker vi på vanlig måte holdbare argumenter til å vise at da må også p også være usann. 1

2 Eksempel på et kontrapositivt bevis: La n være et naturlig tall. Påstand: «Hvis n 2 er et oddetall, så er n er oddetall.» p: n 2 er oddetall. q: n er et oddetall Bevis: Istedenfor p q, viser vi q p Anta at q er sant. Da er n ikke et oddetall men et partall. Vi skal vise at det gjelder også p, som betyr at n 2 ikke er et oddetall men et partall. Et partall kan skrives som n = 2 k. Da blir n 2 = (2 k) 2 = 4k 2 = 2 2k 2. Vi ser at n 2 har 2 som faktor og følgelig må n 2 være et partall. Dermed har vi bevist at q p. Bevis ved selvmotsigelse. Ut fra definisjonen av en implikasjon vet vi at det eneste tilfellet der implikasjonen er usann er når premissen er sann og konklusjonen er usann: Hvis vi antar at nettopp dette er situasjonen, altså at premissen p er sann og at konklusjonen q er usann, og kan vise at dette leder til en selvmotsigelse, har vi bevist at p q. 2

3 Ved å bruke holdbare argumenter slutter vi oss til noe som åpenbart er i strid med antagelsen vår og kan trekke den slutning at hvis p er sann så må q også være sann, dvs. p q. Eksempel på bevis ved selvmotsigelse: La n være et naturlig tall. Påstand: «Hvis n 2 er et oddetall, så er n er oddetall.» p: n 2 er oddetall. q: n er et oddetall Vi antar at premissen p er sann og at konklusjonen q er usann. Hvis q er usann må n være et partall. Et partall kan skrives som n = 2 k. Da blir n 2 = (2 k) 2 = 4k 2 = 2 2k 2. Vi ser at n 2 har 2 som faktor og følgelig må n 2 være et partall. Dette strider mot antagelsen vår om at p er sann, dvs. at n 2 er oddetall. Dermed har vi en selvmotsigelse. Følgelig kan q ikke være usann men må være sann. Som vi ser av tabellen var dette det eneste tilfellet som kunne gjøre implikasjonen usann, og dermed har vi vist at den må være sann: p q 3

4 Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller medlemmer) og betegner med små bokstaver, a, b, c, osv. Hvis er A en mengde og a et element i mengden A skriver vi: a A ( leses «a er element i A» ) Hvis a ikke er et element i mengden A skriver vi: a A ( leses «a er ikke element i A» ) Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon. Eksempel: La A være mengden av de hele tallene fra 1 til 5. Vi skriver da: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } Her sier vi at A er på listeform. Hvis mengden har mange elementer, pleier vi kun å ramse opp noen i starten og noen i slutten. Vi tar med så mange som er nødvendig for at vi skal se et mønster. Eksempler: La B være mengde av heltallene fra 1 til 100. Det kan vi skrive mengden på listeform slik: B = {1, 2, 3,.., 99, 100} Prikkene representerer elementene som mangler. 4

5 La C være mengde av alle partall fra 2 til 100. På listeform: C = {2, 4, 6,.., 98, 100} La D være alle positive heltall. Da har vi en uendelig mengde: D = {1, 2, 3, } En mengde kan defineres ved hjelp av en utsagnsfunksjon med en gitt definisjonsmengde (eng: domain): La A være definisjonsmengden til utsagnsfunksjonen P(x). Da kan vi definere en ny mengde B som B = {a A P(a) } Dette betyr at B er mengden av de elementene i A som gjør P(a) sann. Eksempel: La P(x) være gitt ved: x > 10 der x er et heltall. Det betyr at definisjonsmengden A for P(x) er alle heltallene. Mengden B blir da B = {x A P(x) } = { x A x > 10 } = { 11, 12, 13, } Kan leses som: «B er mengden av de x tilhørende A slik at x > 10.» Symbolet { } kalles mengdebygger ( eng: set builder) Den vertikale streken leses som «slik at». Noen tallmengde har fått egne symboler: 5

6 N = {0, 1, 2, 3,.. } er de naturlige tallene Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } er de hele tallene Q = er de rasjonale tallene R = er de reelle tallene Programmering: En datatype (int, double, ) kan også sees på som en mengde. Datatypen int er mengden av alle heltall fra til Likhet mellom mengder: To mengder A og B er like hvis de inneholder de sammen elementene. Da er A = B. Hvis de er ulike er A B. Eksempel 1. La A = {1, 7, 3, 5} og B = {7, 5, 3, 1}. Er A = B? Ja fordi A og B inneholder de samme elementene. Rekkefølgen elementene står i spiller ingen rolle. Eksempel 2. La A = {1, 1, 2, 2, 3} og B = {1, 2, 3}. Er A = B? Ja, fordi både A og B inneholder elementene 1, 2 og 3. En mengde blir ikke større om et element tas med flere ganger! Venn-diagram. En mengde kan betegnes som en runding («rund» figur). Det som er innenfor rundingen er med i mengden: 6

7 En delmengde (eng: subset) En mengde A er en delmengde av en mengde B hvis alle elementene i A også er elementer i B. Dette betegnes med A B og er definert formelt ved: Symbolet kalles for inkluderingssymbolet. Hvis A ikke er en delmengde av B skriver vi A B. NB! En mengde er alltid en delmengde av seg selv: A A for alle mengder A. Det er flere måter å si at A er en delmengde av B: A er inneholdt i B A er inkludert i B B omfatter A Eksempler. La A = {2, 3, 5} og B = {1, 2, 3, 4, 5} Her er A B. 7

8 La A = {2, 3, 5, 6 } og B = {1, 2, 3, 4, 5 } Her er A B fordi 6 A, men 6 B. NB! Vi har at A = B hvis og bare hvis A B og B A. (A = B) (A B Λ B A) Ekte delmengde: Hvis A B og er A B, så sier vi at A er en ekte delmengde av B og skriver det som A B. Observasjon: N Z Q R Den tomme mengde, Ø En mengde som ikke inneholder noen elementer kalles den tomme mengden. Den betegnes som {} eller bokstaven Ø. Den tomme mengden er delmengde av alle andre mengder: Ø A for alle mengder A. Eksempel: En mengde kan være element i en annen mengde. La f. eks. A være gitt ved: A= {1, 2, Ø, {1}, 2, 2} 8

9 Elementene i mengden er både tall og mengder. Både 1 og {1} er elementer i A: 1 A og {1} A. Den tomme mengde Ø er både et element i A og en delmengde av A: Ø A og Ø A. Hva er forskjellen mellom 1, {1} og { {1} }? Først har vi tallet 1, så har vi mengden av tallet 1 og så har vi mengden av mengden av tallet 1. Vi har: 1 {1} 1 { {1} } {1} { {1} } En mengdes kardinalitet. (eng: cardinality) En mengdes kardinalitet (eller størrelse) er antallet forskjellige elementer i mengden. Kardinaliteten til A betegnes med A. Eksempler: A = {a, b, c, d } A = 4 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = 6 C = {1, 2, 2, 3, 3, 3} C = 3 D = {2, 4, 6, 8,., 98, 100} D = 50 E = Ø Ø = 0 F = {a, {a}, {a,b}} F = 3 NB! b F G = mengden av bokstaver i alfabetet G = 29 9

10 Potensmengder: La A være en mengde. Potensmengden til A betegnes med P(A)og er den mengden som har alle delmengder av A som elementer. Eksempler: A = { a, b }, P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} P(A) = 2 A = 2 2 = 4 B = {1, 2, 3} P(B) = {Ø, {1}, {2},{3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} P(B) = 2 B = 2 3 = 8 Formel: P(A) = 2 A Kartesisk produkt: (eng. Cartesian product) La A og B være mengder. Det kartesiske produktet av A og B betegnes med A x B (leses som A kryss B) og er definert ved mengden av alle par (a, b) der førstekoordinaten tilhører A og andrekoordinaten tilhører B: A x B = {(a,b) a A og b B} Vi har at A x B = A B Eksempel: La A = {a, b} og B = {1, 2, 3} A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} Vi kan tegne A x B I et koordinatsystem: 10

11 De seks kryssene utgjør mengden A x B. 11