Matematikk 15 V-2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matematikk 15 V-2008"

Transkript

1 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z : z = + jy, R, y R }, a) Mengden av alle heltall større enn eller lik, men mindre enn 4, altså: { Z : < 4} = {,,, 0,,, } b) Mengden av alle naturlige tall som er multiplum av (inklusiv 0), og samtidig mindre enn eller lik 7, altså: { : = n, 7, n N} = {0,, 6, 9,,5,8,, 4, 7} c) Merk! Dersom er et oddetall må også være et oddetall. Her har vi altså mengden av alle positive oddetall større enn, dvs.: { N : >, = odde} = {, 5, 7, 9,,...} (nderforstått en uendelig mengde) d) Mengden av alle naturlige tall som oppfyller ( 4 ) > 0 < 4, altså tall mindre enn 4. { N : (4 ) > 0} = {0,,, } e) Mengden av alle reelle tall som oppfyller = { R : = eller ln = } = { e,,, e } og/eller ln =, dvs. = ± og/eller = e. {.65,.4,.4,.65} f) Samme kategori som b). Skrivemåten 7 betyr heltall delelig med 7. Vi kunne derfor like gjerne skrevet: { : = 7n, 7 < < 50, n N}. Derfor: { N : 7, 7 < < 50} = { 4,, 8, 5, 4, 49 } g) Mengden av alle reelle røtter i likningen =, dvs. =. ltså { R : = } = { } h) Mengden av alle komplekse røtter i likningen = : { : = } = {, + j, j } + j Im() Kommentar: Husk fra kapittel i boka at n = a har n komplekse røtter jevnt fordelt rundt en sirkel med radius r = n a. Dvs. at hver av de n - j - 0 Re() røttene kan skrives som: = r e n, med k = 0,,,..., n I vårt tilfelle: 60 k j 60 j0 j j0 j40 0 = e, = e = e, = e, ϕ e j = cos ϕ + jsin ϕ som omskrevet med Eulers setning: angitte mengden. k, gir den OPPGVE a) Ja, På listeform: = { L,,, 0,,,, 4}. Vi ser at samtlige elementer i også finnes i. må derfor være en delmengde av. b) Nei,. På listeform: = {, 4}. Merk at fordi må være et positivt heltall ( N ) c) Komplementet til blir resten av tallmengden Z, dvs.: = { Z: 5} = {5, 6, 7,8,...} ( = Z, = ) OPPGVE a) = {,,, 4, 5, 6, 7,8, 9} ( Sammensatt av samtlige elementer i delmengdene, og ). b) nionen av og betyr alle elementer som er med i minst en av mengdene, altså elementer i og/eller i. = {,,, 4, 5, 6, 7,8} side av 5

2 OPPG. (forts.) c) Snittet av og er alle elementer som er med i både og (samtidig), dvs.: = {, 5} d) = {5} (Eneste element som er med i samtlige delmengder) e) Komplementet til er alle elementer i universalmengden som ikke er med i, dvs. = {7,8, 9} f ) Differensmengden " minus " er alle elementene i unntatt de som også er element i, dvs. = {7,8} g) = {7,8}. Ekvivalent med mengden i f). = = gjelder generelt. Mengdene i pkt.b)-g) er vist som de skyggelagte områdene i Venndiagrammene: = h), i), j), k) DeMorgans lover: = = {9}, = = {,, 4, 6, 7,8,9} = = l), m), n), o) Distributive lover: ( ) = ( ) ( ) = {,,,4,5,6,8} ( ) = ( ) ( ) = {,,5} ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) p) ( ( )) ( ) = {} q) = {,, 4, 6} r) ( ) = {, 5,8, 9} s) Symmetrisk differensmengde, altså alle elementer som er med i enten eller, men ikke i begge: = ( ) ( ) = {,, 4, 6, 7,8} OPPGVE 4 Obs! Vha. operatorer (,,,... ) kan mengdene beskrives på flere måter, her er det bare vist ett alternativ. (Svarene på listeform derimot er selvsagt entydige). D, E og F er vilkårlig valgte navn på de søkte mengdene. a) D = (( ) ) ( ) Hvor: = {,, 4, 5, 7, 8, 9,,,5}, ( ) = {,, 5,8,}, = {,}. Dermed: D = {,, 5,8,} {,} = {, 5,8} b) E = ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) Hvor: = {,,, 4, 5,8,,5}, ( ) = {7, 9,}, = {,8,}, ( ) ( ) = {8}, og dermed: E = {7, 9,} {8} = {7,8, 9,} c) F = ( ) ( ) = {6,0,,4} {,} = {, 6,0,,,4} Plasseringen av hvert enkelt element i de gitte mengdene: 7, 9, 6, 0,, 4, 5, side av 5

3 OPPGVE 5 lle utsagnene er ekvivalente! M.a.o.: =, =,, = og = er alternative måter å fortelle at Vha. av Venndiagram innser vi at mengden må være innesluttet i mengden (ltså ) for å oppfylle hvert enkelt av punktene a), b), c), d) og e). (skyggelagt) (skyggelagt) OPPGVE 6 a) = {, 6} M = ( ) = {,,, 6} b) = {,,, 5, 6}, = {5} N = ( ) ( ) = {,,, 6} Med andre ord, i dette spesialtilfellet er Generelt: M N og N M og dermed M = N M = ( ) N = ( ) ( ) Vi ser at alt som er skyggelagt i N også er skyggelagt i M, men ikke omvendt. (N mangler biten Generelt er derfor N M, men M N og følgelig M N. ( I pkt.a) var M = N fordi = i det spesielle tilfellet ). ) OPPGVE 7 niversalmengden: = {,,,...,000}. ntall: = Delelig med 5: D 5 = {5,0,5,...,000}. ntall: D5 D5 = Delelig med 7: D 7 = {7,4,,..., 994}. ntall: D7 D7 = Delelig med både 5 og 7: D5 D 7 = {5, 70,05,..., 980}. ntall: D5 D7 D5 D7 = 8 5 ntall elementer delelig med 5 eller 7: D5 D7 = D5 + D7 D5 D7 = = 4 Vi skal finne mengden som verken er delelig med 5 eller 7, m.a.o. komplementmengden til D5 D7 = D5 D7 = D5 D7 = = 686 OPPGVE 8 a) Den universelle mengden må være alle spurte, slik at = 000 Mengden D: "ruker ingen av merkene" må være komplementet til "bruker minst ett merke", dvs: D = = 80 = 000 = 70 Det er altså 70 av de spurte som bruker iallefall ett av merkene. Vi søker antallet som bruker alle merkene, dvs. både, og, dvs. Vi har sammenhengen: = Innsatt de oppgitte data: 70 = = 80 Svar: 80 av de spurte (4 %) har prøvd alle merkene med vaskepulver. side av 5

4 8b) Vi kan med fordel tegne et Venn-diagram. v Fig. innser vi at mengden som bruker både og, men ikke må tilsvare differensmengden ( ) ( ), dvs. antallet = = = 60 Svar: 60 av de spurte ( %) har prøvd både merke og, men aldri. Fig. Fig. c) lternativ t i fra Fig. ser vi at antallet som bruker kun ett merke kan skrives som: y = + = = 400 Svar: 400 av de spurte (70 %) bruker/har prøvd kun ett merke (enten eller eller ). lternativ s p t u v r q w Kan finne antallet i hver avgrensede "seksjon". Innser at: w = D = 80, u = = 80 (begge fra pkt. a) s = u = = 80, t = u = = 00 v = 60 (identisk med i pkt. b). p = s t u = = 600 q = s u v = = 440 r = t u v = = 60 Svar: ruker kun ett merke: p + q + r = = 400 Kommentar: lternativ er mer tungvint, men det gir samtidig svar på en rekke andre mulige spørsmål. OPPGVE 9 Produktet gir en ny mengde med ordnede par av type (a,b), dvs. = {(a, b) : a, b }. Tilsvarende må gi ordnede par av type (b,a), dvs. = {(b, a) : b, a } Listeform: = { (, ), (, y ), (, ), (, y ), (, ), (, y ) = { (,), (, ), (,), ( y,), ( y, ), ( y, ) } Merk at } side 4 av 5

5 OPPGVE 0 De gitte mengdene er vist skyggelagt. ( Mengdene og strekker seg underforstått mot ± i hhv. y- og -retning ) a), b) og c) y y y 0,5 0,5-0,5-0,5 d) og e) y y 0, ,5 - side 5 av 5

Løsningsforslag til øving 12

Løsningsforslag til øving 12 Høgskolen i Gjøvik vd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving OPPGVE Husk at N {alle naturlige tall} { 0,,,,... }, Z {alle heltall} {...,,,0,,,,... }, R {alle reelle tall} og

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

Løsningsforslag til øving 1

Løsningsforslag til øving 1 Høgskolen i Gjøvik Avd. for tekn., øk. og ledelse Matematikk 5 Løsningsforslag til øving Exercise (a), (c) - j yim() j - - - 0 xre() Merk! I oppgaven skal vi merke av punktene (angitt med ), men de komplekse

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon. Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Innføring i bevisteknikk

Innføring i bevisteknikk Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen

Detaljer

Løsningsforslag for 1. obligatoriske oppgave høsten 2014

Løsningsforslag for 1. obligatoriske oppgave høsten 2014 Løsningsforslag for 1 obligatoriske oppgave høsten 2014 Oppgave 1a) 1) Bruk av sannhetsverditabell: p q p p ( p ) p (( p ) S S U S U S S U U S U S U S S S S S U U S U U S Vi ser at (( p ) er en tautologi,

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer: Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

Emne 13 Utsagnslogikk

Emne 13 Utsagnslogikk Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato

Detaljer

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Oppgave 1 a) b) r = p q p q s = p q q p q p t = p q p q c) Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (p q) r og p (q r)

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1

Matematikk for IT. Prøve 1 Løsningsforslag. Fredag 23. september september Oppgave 1 Matematikk for IT Prøve 1 Løsningsforslag Fredag 23. september 2016 23. september 2016 Oppgave 1 Er 29 17 (mod 4)? Begrunn svaret. Dette kan vi lettest sjekke ved å se om 4 deler 29 17. 29 17 = 12. Vi

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig 2 Løsningsforslag 6. september 2016 2.1.4 a, b, c, c, d og C a, b, c, d vgjør om en av mengdene er en delmengde til en av de to andre. Her ser vi at C og C 2.1.5. Hvilke

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5.

DAFE BYFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 22. januar :00 Antall oppgaver: 5. Innlevering DAFE BYFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag. januar 06 4:00 Antall oppgaver: 5 Vi anbefaler at dere regner oppgaver fra boken først. Det er en liste med

Detaljer

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon. Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 15. september 2015

Diskret matematikk tirsdag 15. september 2015 Avsnitt 2.2 fra læreboka Mengdeoperasjoner Tema for forelesningen: Snittet av to mengder Disjunkte mengder Union av to mengder Eksklusiv union (symmetrisk differens) av to mengder Differensen mellom to

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Avsnitt 6. Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Oppgave a) Valget av en fra matematikk og en fra data er uavhengig av hverandre. Dermed blir det 35

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

MAT1030 Forelesning 13

MAT1030 Forelesning 13 MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Roger Antonsen - 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) Kapittel 6: Funksjoner Opphenting Forrige forelesning snakket vi veldig grundig om relasjoner Vi snakket

Detaljer

Mengdelære. Kapittel Hva er en mengde?

Mengdelære. Kapittel Hva er en mengde? Kapittel 1 Mengdelære 1.1 Hva er en mengde? Mengdebegrepet gjennomsyrer mye av matematikken i dag, både i skolematematikken og høyere opp i systemet. En mengde (engelsk: Set, tysk:menge) er en samling

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:14) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Forelesning 13

MAT1030 Forelesning 13 MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Dag Normann - 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:15) Kapittel 6: Funksjoner Forrige uke Forrige forelesning snakket vi om relasjoner. Vi snakket om ekvivalensrelasjoner

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

i Dato:

i Dato: c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl

Detaljer

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver. EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017

Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017 Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller

Detaljer

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved

Løsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:

Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C) Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f

Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»).

Detaljer

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen høst 2016

Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Hver oppgave tildeles maksimalt 10 poeng. Høyeste poengsum er 100 Karaterer: 90 A 75 B < 90 60 C < 75 50 D < 60 0 E < 50 F < 40 Oppgave 1 a) 3 poeng Ingen av de tre

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 18. september Løsningsforslag 23.09.2014 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 18. september 2014 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Gitt tallet BD 16. Konvertér dette tallet til titallsystemet. Siden B 16 = 11 10 og D 16 = 13 10 blir dette

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære Venn-diagrammer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 13. februar 2008 Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement

Detaljer

EKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

EKSAMEN. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer: EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 7. desember 0 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer Forelesning 10 Mengdelære Dag Normann - 13. februar 2008 Venn-diagrammer Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement A Mengdedifferens A B samt de faste mengdene og E. Venn-diagrammer

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Øving 1 Frist: 2014-01-24 Mål for denne øvinga:

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. EKSAMEN Emnekode: ITF75 Dato: 5. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28 12:23) Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel 5 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. februar 2008 Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer