Noen løsningsforslag/fasitsvar

Transkript

1 Kapittel 8 Noen løsningsforslag/fasitsvar Etter ønske fra kursdeltagerne suppleres heftet med fasit for noen av oppgavene. Der det er aktuelt, gir vi også mer utfyllende forslag til hvordan oppgaven kan løses. Teksten i dette kapitlet bør ikke oppfattes som komplette løsningsforslag. Det finnes nemlig ingen eneste måte å løse de fleste oppgaver på rent tekstlig, måten man formulerer en løsning på kan godt være individuell. Når fasit eller løsningsforslag ikke er gitt for en oppgave kan det skyldes en eller flere av følgende: 1. Det er for arbeidskrevende å skrive løsningen i tekstbehandlingsystemet/har ikke prioritert tid til å gi løsningen. 2. Oppgaven er en oppdag verden selv -oppgave hvor det å gi løsningen ødelegger den pedagogiske hensikten forfatteren hadde med å gi den. 3. Oppgaven er en utfordringsoppgave hvor det å gi løsningen ødelegger utfordringsaspektet. Kapittel A = { 1, 0, 1}, B = {0, 1}, C = A, D = [ 1, 1], E = A. Vi har A = C = D og de to andre er forskjellige fra A og fra hverandre B er ekte inneholdt i A = C = E som er ekte inneholdt i D. Da er B ekte inneholdt i D A B, A C, A D, B D og C D. 143

2 Alle disse inklusjonene er ekte, og ingen andre inklusjoner holder A, 21 B, 27 B, 6 D, s C, 9 C og 27 A. Eksempelvis skyldes den siste påstanden at 27 ikke er delelig med A er feil fordi 120 ikke er et kvadrattall. 121 A er rett fordi 121 = og 121 > A er feil fordi 144 er et positivt kvadrattall. 17 A er rett fordi 17 ikke er noe kvadrattall B A betyr at hver gang vi lar x B, så vil x A. Vi kan aldri finne x, så hver gang vi gjør det (dvs. aldri) har vi også funnet en x A Aer mengden av positive kubikktall. 2. B er mengden av løsninger av den gitte tredjegradslikningen. En annen måte å skrive den på er (z + 1) 3 = 0, så B er mengden med 1 som eneste element. 3. C er den tomme mengden, fordi likningen a 2 + a + 1 = 0 ikke har heltallsløsninger. 4. D er mengden av punkter på linjen i planet som går gjennom punktene (1, 0) og (0, 1). 5. E er mengden av punkter på parabelen gitt ved likningen y = x Sann fordi 21+2 = 23 som er et primtall. 2. Sann fordi alle tall på formen n 4 spesielt er kvadrattall. 3. Sann fordi er en delmengde av alle mengder, og dermed element i alle potensmengder. 4. Usann fordi 4 2 < 24, mens 4 3 > P( ) = { } og har altså som element. har ingen elementer, så disse to mengdene er forskjellige Hvis C P(A) er C A, så C B og C P. Hvis P(A) P(B) er A P(B). Det betyr at A B Den symmetriske differensen av A og B består av de objektene som er element i én av mengdene, men ikke i begge

3 1. A B = {3, 9}, A B = {3, 5, 8, 9, 6, 11} og A \ B = {5, 8} JA! 2. A B = {x R 1 < x < 1}, A B = R og A \ B = {x R x 0}. 3. A B =, A B = {2, 3, 4, 5,...} og A \ B = A. 4. A B er første kvadrant i planet inklusive origo og punktene på de positive delene av aksene A B er hele planet med unntak av punktene som ligger ekte innenfor tredje kvadrant. A \ B er venstre del av øvre halvplan, hvor punktene langs den negative delen av x-aksen får være med, mens ingen punkter på den ikke-negative delen av Y -aksen får være med. 1. C. 2. D. 3. D Siden A B A vil P(A B) P(A). Av tilsvarende grunn vil P(A B) P(B), så P(A B) P(A) P(B). Omvendt, hvis C P(A) P(B), vil C A og C B, så C A B. Det betyr at C P(A B) Det er bare når A B eller B A, for ellers vil ikke A B P(A) P(B) Feil. 2. Feil. 3. Riktig. 4. Feil. Kapittel er et spørsmål, 2. er et utsagn, 3. er et fromt ønske, men ikke noe utsagn, 4. er et utsagn som er usant, 5. er et utsagn, 6. er et sammensatt utsagn og 7. er et utsagn som ikke er helt spesifisert, ettersom verdien på x kan variere, og dermed varierer sannhetsverdien til utsagnet. 145

4 er situasjonsavhengig siden vi på den ene siden kan snakke om de tre brødrene fra eventyret mens vi på den andre siden for eksempel kan snakke om tre spillere på samme fotball-lag. Derimot er 2. et utsagn som er sant. 3. er situasjonsavhengig mens 4. er sann uansett. 5. er et utsagn som ikke er sant, 6. er sant 7. er usant, 8. er sant og 9. er sant. Ingen av disse er situasjonsavhengige Det finnes to måter å gi en sannhetsverdi til P 1 på. For hver av disse finnes det to måter å gi en sannhetsverdi til P 2 på. Det gir tilsammen fire måter. For hver av disse fire måtene finnes det to måter å gi en sannhetsverdi til P 3 på. Hvis n > 3 kan vi fortsette tankerekken og finner at det er 2 n måter å tildele sannhetsverdier til alle utsagnsvariablene på. Når det gjelder neste del, tenker vi på samme måten, vi har 2 n foskjellige fordelinger av sannhetsverdier, og vi kan på fritt grunnlag tildele en av to sannhetsverdier til hver av dem. Til sammen blir det 2 2n mulighteter. To sammensatte utsagn som gir oss den samme sannhetsverdifunksjonen er ekvivalente, og er derfor ikke essensielt forskjellige. Siden 2 23 = 256 betyr det at vi bare kan beskrive 256 forskjellige sannhetsverdifunksjoner ved hjelp av tre utsagnsvariable Vi antar at R i står for du kan få rett nr i i opplistingen. Da kan vi uttrykke menyen ved (R 1 R 2 ) (R 1 R 2 ) (R 3 R 4 R 5 ) (R 3 R 3 ) (R 3 R 5 ) (R 4 R 5 ) (R 6 R 7 R 8 ) (R 6 R 7 ) (R 6 R 8 ) (R 7 R 8 ) (R 9 R10) (R 9 R 10 ) A : Det er midt på dagen B : Det er overskyet C : Jeg kan ikke lese boka mi utendørs Svar A B C 2. A : Maleren kommer i morgen B : Du har ryddet rommet ditt C : Du mister lommepengene dine for en måned Svar A ( B C) 3. A : Jeg får med nok penger B : Jeg skal kjøpe meg en jakke C : Jeg skal kjøpe meg et par sko Svar A (B C) Her kan eller tolkes på to måter. Vi har valgt den inklusive tolkningen i løsningen, men den andre kan være vel så sannsynlig. 146

5 4. Denne oppgaven er litt søkt, for det er veldig lite av meningsinnholdet i setningen vi kan få med oss når vi tolker den rent utsagnslogisk: A : Tro kan flytte fjell B : TNT egner seg bedre enn tro til å flytte fjell Svar A B 5. A : Du er snill og hjelper meg B : Du får penger til kino C : Du skal gå til sengs uten mat Svar (A B) ( A C) 6. A : Solen står opp i vest B : Jeg havnet på flyet til Brisbane C : Jeg havnet på flyet til Vancouver Svar A B C 1. OK. 2. ( A B) C A B eller A (B C) A B. 3. OK. 4. (A B C) A eller A ( B C A). 5. OK Begge utsagnene får verdien nøyaktig når én av variablene eller alle sammen har verdien. Siden A B og B A også uttrykker det samme betyr det at vi kan bytte rekkefølge og flytte på parenteser så mye vi vil uten å endre betydningen av et utsagn med som eneste bindeord. Vi kan komme fra et hvilket som helst slikt uttrykk til et hvilket som helst annet med de samme utsagnsvariablene i de samme antall ved å bytte rekkefølge og skyve på parenteser. Derfor betyr to slike uttrykk alltid det samme a) svarer til tautologien b) svarer til tautologien (A B C) (A C) (B C). (A C) (B D) (A D) (B C). c) svarer til tautologien (A B) (A B). 147

6 Kapittel a) (x A (x B (x A)) ( (x A) x B) Obs! Parentesfeil i oppgaven. b) ( (x A (x B)) (x B x C) x A c) ( (x C) (x A)) (x B x C) Kapittel (1, 1) og (1 2, ( 1) 2 ) er like. (4, 1) og (2 2, 1) er like. De andre er forskjellige fra disse og fra hverandre Første og tredje sekvens er like. Andre og fjerde sekvens er like. Femte og sjette sekvens er like Ved å trekke andre likning fra den første får vi at b c = d f Ved å legge denne likningen sammen med den siste, får vi at b = d, og derfra er det bare å nøste opp A B har 8 elementer, og en mengde med 8 elementer har 256 delmengder A er argumentområdet til R, og B er verdiområdet. B er argumentområdet til S og C er verdiområdet. S 1 = {(6, 3), (6, 4), (5, 3)} og R 1 = {(3, 1), (4, 2)}. S R = {(1, 5), (1, 6), (2, 6)} Verdiområdet til R 1 er A og argumentområdet til S 1 er C. Siden disse ikke er like, kan vi ikke definere sammensetningen. Likheten til slutt er ingen tilfeldighet, dette holder for alle relasjoner hvor sammensetningen er definert (n, k) (<) 2 hvis det finnes en m slik at (n, m) < og (m, k) <, det vil si at hvis det finnes en m slik at n < m og m < k. wi har eksempelvis at 2 < 3 men ikke at 2(<) 2 3 fordi det ikke finnes noe tall imellom. 2 =

7 a): Vi har nrmn og mnr 1 m for alle tall n og m, så nr 1 Rm for alle tall n og m. b): Ved å gå veien om 1 ser vi at R R 1 også består av alle tallpar a): f er injektiv men ikke surjektiv. b): f er både injektiv og surjektiv med g(x) = ln(x) som den inverse. c): f er både injektiv og surjektiv med seg selv som invers. d): f er injektiv men ikke surjektiv. e): f er surjektiv, men ikke injektiv Bruk vanlig algebra til å vise at og at P (n 1, m + 1) = P (n, m) + 1 P (n + 1, 0) = P (0, n) + 1. Dette viser at P teller opp mengden av tallpar på en systematisk måte Sørg for at antall fyrstikker som er igjen etter ditt trekk er delelig med fire. Har du oppnådd dette på et tidspunkt i spillet, kan du fortsette med at det er slik, og når det er 0 4 antall fyrstikker igjen har du vunnet Hvis arb og bra vil a = b siden R er antisymmetrisk. Men det er i konflikt med at R også er irrefleksiv a): Hvis a b = 17n og c d = 17m, vil (a + c) (b + d) = 17(n + m). b): Punkt a) sier at det ikke spiller noen rolle hvilke punkter vi plukker ut av to ekvivalensklasser. Legger vi dem sammen får vi ekvivalente punkter, så vi havner i den samme ekvivalensklassen. c): Vi har også at om arb og crd så vil acrbd. d): [4] [11] = [44] = [10] så her er det feiltrykk i oppgaveteksten for de som leser utgaven av 10. februar. Kapittel Bevis for at A B og B A medfører at A = B. Bevis To mengder er like hvis de har de samme elmentene. Hvis alle elementer i A også er elementer i B og omvendt, må mengdene ha de samme elementene. Bevis for at A B og B C medfører at A C: Bevis La x A. Siden A B vil vi også ha at x B. Siden B C har vi videre at 149

8 x C. Siden x A var vilkårlig ser vi at A C. Når det gjelder så enkle observasjone som i disse tilfellene her, kan det ofte være vanskelig å finne et passende detaljerthetsnivå for et bevis. Disse løsningsforslagene er bare forslag, det ene hovedsaklig i dagligtale og det andre basert på å uttrykke definisjonen av inklusjon via symboler Bruk at 4 og 6 er partall og at summen av partall alltid er partall. Det er ikke nødvendig å dele beviset opp i tilfeller her Feilen ligger i beviset for at R T er total. Det at asb for en total utvidelse S av R, betyr ikke at dette holder for alle totale utvidelser av R, da kan a og b være ordnet den andre veien Feilen ligger i påstanden om at x = x 2, som bare holder for x Beviset er i det alt vesentlige riktig. Hvis m = p 1... p k + 1 får vi alltid rest 1 om vi deler m på p i. Siden listen er antatt å inneholde alle primtallene, betyr det at m ikke har noen primtallsfaktorer. Siden alle tall > 1 kan faktoriseres i primtall, gir dette en motsigelse. Kapittel C(0) = 1, C(1) = 2 og C(n) = C(n 1) + 4(n 1) når n > 1. C(7) = 94 mens 2 7 = 128, så der bryter det sammen y 0 = 1 og y S(x) = y y x a): Hvis det ikke er noen fyrstikker igjen, kan spillet spilles på en måte, nemlig ved ikke å gjøre noe, og hvis det er én fyrstikk igjen kan spillet spilles på én måte, nemlig ved å ta bort fyrstikken. Hvis det er mer enn én fyrstikk igjen, kan første spiller velge mellom å ta en eller to fyrstikker. I der første tilfellet er det F (n 1) måter å fortsette spillet på, og i det andre tilfellet er det F (n 2 måter å fortsette spillet på. Vi har gjenfunnet Fibonacci-tallene i dette enkle spillet. b): G(0) = 1, G(1) = 1 og G(2) = 2. Hvis n > 2 har vi at G(n) = G(n 1) + G(n 2) + G(n 3). Kapittel Induksjonstart: Hvis n = 1 så er a sin egen tverrsum, så vi får samme rest om vi deler a eller tverrsummen på tre. 150

9 Induksjonskritt: Anta at påstanden holder for tall med k siffre, og anta at a skrives med k + 1 siffre, med første siffer c La b være tallet som skrives med resten av siffrene i a. Da er a = c 10 k + b. Siden 10 k 1 kan deles med 3, får vi samme rest om vi deler a med 3 som når vi deler c + b, med 3, og i følge induksjonsantagelsen, samme rest som om vi deler c + tverrsummen(b) på 3. Men da er det tverrsummen til a vi deler på 3. Dette viser induksjonskrittet = 2 så formelen holder for n = = 3 så formelen holder for n = 1. La n 2 og anta at H(n 2) = n 2 og at H(n 1) = 2 n 1. Da er H(n) = 3H(n 1) 2H(n 2) = 3(1 + 2 n 1 ) 2(1 + 2 n 2 ) = n 2 2 n n 2 = n Primtallsummen til 1 er 0 og primtallsummen til 2 er 2. La n være gitt og anta at egenskapen holder for alle tall m < n. Hvis n er et primtall, er n sin egen primtallsum. Ellers må n 4. La p være den minste primtallsfaktoren i n. La m = n p. Da er p m n 2, og primtallsummen til n er summen av p og primtallsummen til m, som samlet er mindre eller lik n. dette viser induksjonskrittet og påstanden er vist Her vil vi bare gi noen hint til hvordan oppgaven kan løses. a) Husk at Q betegner de rasjonale tallene. 0 Q Dette gir induksjonstarten. 1 Hvis K Q og n N, vil n+k Q. Dette gir induksjonskrittet. b) K 1 n N K 1. c) Hvis q = 0 eller q = 1 kan q skrives som en kjedebrøk, så anta at 0 < q < 1 og la q = n m hvor n < m. La m = an + b hvor b < n. Da kan vi skrive q som en brudden brøk q = n m = 1 m n = 1 a + b, n og vi kan bruke en passende induksjonsantagelse på b n. Resten er en fortsatt utfordring. 151