Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag

Transkript

1 Matematikk for IT Prøve 1 Onsdag 18. september 2013 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Er (mod 3)? Begrunn svaret. Dette spørsmålet betyr: Gir 26 : 3 samme rest som 11 : 3? Vi ser at 26 : 3 gir rest 2, og 11 : 3 gir rest 2. Samme rest. Altså: Ja, 26 er kongruent med 11 modulo 3. Alternativt kan vi se om er delbart med 3: = 15. Siden 15 er delbar med 3, er 26 kongruent med 11 modulo 3. b) Konvertér 6E16 til binærtall. Dvs. 616 = E16 = E16 = (Den første nullen sløyfes vanligvis). Oppgave 2 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4} B = {0, 1, 2} C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a) Finn mengden ( A C) B. Vi finner først A C : A C {1, 2, 4} Da får vi: ( A C) B {1, 2, 4} {0, 1, 2} {1, 2} b) Finn mengden A C. A {5, 6, 7, 8, A C {6,9} 9}

2 c) Finn potensmengden P(B). P ( B), 0, 1, 2, 0,1, 0,2, 1,2, 0,1,2 Oppgave 3 Gitt mengden A = {a, b, c, d}. Det er definert en relasjon, R, på A ved R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, c), (d, d)} a) Tegn relasjonen som en rettet graf. a b c 3 d Svarene på følgende spørsmål må begrunnes. b) Er relasjonen refleksiv? Vi har med alle refleksive elementer i relasjonen, dvs. både (a, a), (b, b), (c, c) og (d, d). Relasjonen er følgelig refleksiv. c) Er relasjonen symmetrisk og/eller antisymmetrisk? Relasjonen er ikke symmetrisk siden vi har med f. eks. (a, b), men ikke (b, a). Relasjonen er imidlertid antisymmetrisk siden vi ikke har noen symmetriske par. d) Er relasjonen transitiv? Vi ser at vi har (a, b) og (b, d). Da må vi også ha (a, d) for at den skal være transitiv, og vi ser at vi har også dette paret. Relasjonen er transitiv så lenge vi ikke klarer å finne noe moteksempel hvor (x, y) R og (y, z) R men (x, z) R. Her finner vi ikke noe slikt moteksempel. Relasjonen er følgelig transitiv. e) Er relasjonen en ekvivalensrelasjon, en delvis ordning (partialordning), en totalordning eller ingen av delene? Relasjonen er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Den er følgelig en delvis ordning. For at en delvis ordning også skal være en totalordning, må alle par være relatert. Her ser vi at f. eks. a og c ikke har noen relasjon. Relasjonen er derfor ikke en totalordning. Konklusjon: Relasjonen er en delvis ordning. 2

3 Oppgave 4 a) Er setningen «Oslo er hovedstaden i Sverige» et utsagn? Begrunn svaret. Et utsagn er en setning som enten er sann eller falsk. Setningen over er falsk, og den er derfor et utsagn. b) Sett opp sannhetstabellen for følgende utsagn: ( p q) q p q p q ( p q) q S S S S S F F F F S F S F F F F Oppgave 5 Under en flytur ble 120 passasjerer tilbudt te, kaffe og mineralvann til måltidet. Det viste seg at 47 tok te, 44 tok mineralvann og 62 tok kaffe. Videre fikk 16 både te og mineralvann, 12 fikk både te og kaffe, mens 4 fikk både te, kaffe og mineralvann. 5 passasjerer tok ikke imot drikke til måltidet. a) Hvor mange passasjerer drakk minst en type drikke? Her kan det være lurt å skissere venndiagram som kan være til hjelp ved resonnementene. For å slippe å skrive så mye, kaller vi mengdene T, K og M (te, kaffe og mineralvann): T K M Ut fra opplysningene i oppgaven, kan vi sette opp: T = 47 M = 44 K = 62 T M = 16 T K = 12 T K M = 4 T K M 5 Antall som tok en type drikke, er gitt ved T K M. 3

4 Vi vet at det var 120 passasjerer totalt, og 5 av disse tok ikke imot drikke. Dette betyr at T K M U T K M b) Hvor mange drakk både kaffe og mineralvann? Antall som tok kaffe og mineralvann, er gitt av: K M Inklusjons- og eksklusjonsprinsippet, angir T K M = T + K + M T K T M K M + T K M Løser vi denne med hensyn på K M, får vi K M = T + K + M T K T M + T K M T K M Setter vi så inn tall, finner vi: K M = = 14 Vi kan nå oppsummere vår viten i et venndiagram med tall som viser hvor mange personer det er i hver kategori: T K M c) Hvor mange drakk kun en type drikke? Dette er gitt ved: T K M T K K M T M + 2 T K M = = 81 (Vi må her legge til T K M to ganger fordi vi har trukket det fra tre ganger). Oppgave 6 En funksjon f : Z Z er gitt ved x 2 f ( x) x for for x 0 x 0 Er denne funksjonen inverterbar? Begrunn svaret. 4

5 For at en funksjon skal ha en invers funksjon må funksjonen være injektiv (én-entydig) og surjektiv (på). Vi kan se at denne funksjonen ikke er injektiv (én-entydig), f. eks. fordi både x = 3 og x = 1 gir samme funksjonsverdi, nemlig f ( 3) = f (1) = 3. Når to ulike x gir samme funksjonsverdi, er ikke funksjonen injektiv (én-entydig). Følgelig er funksjonen heller ikke inverterbar. Oppgave 7 En klubb har 50 medlemmer. Det skal utpekes en komité på 4 medlemmer. Hvor mange ulike komiteer har vi å velge mellom? Dette er uordnet utvalg uten tilbakelegging. Det er uordnet fordi det ikke er sagt noe om at de fire skal ha ulike roller, og rekkefølgen de trekkes ut i er derfor uten betydning. Utvalget er uten tilbakelegging fordi en person som er valgt ut til å være med i komiteen ikke kan velges ut en gang til. Antallet er derfor gitt ved 50 50! C (50, 4) 4 (50 4)! 4! 50! 46! 4! ! !