UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B = {,, {}} og C = {,, {}}. (a) [ poeng] Skriv ned alle delmengdene til A. Delmengdene til A er, {}, {}, {{}}, {, }, {, {}}, {, {}} og {,, {}}. (b) [ poeng] Er følgende påstander sanne eller usanne?. A Usann.. {, } A Sann.. {, } B Usann.. Det finnes en delmengde av A som er et element i C. Sann, {} er en slik delmengde. (c) [ poeng] Regn ut:. A \ B A \ B = {,, {}} \ {,, {}} = {, {}}. B \ A (Fortsettes på side.)

2 B \ A = {,, {}} \ {,, {}} = {, {}}. A B A B = {,, {}} {,, {}} = {}. B C B C = {,, {}} {,, {}} = {,,, {}, {}} (d) [ poeng] Hva er kardinaliteten til (A B) (B C)? Begrunn svaret ditt. Vi har at kardinaliteten til (A B) (B C) er lik kardinaliteten til A B multiplisert med kardinaliteten til B C. Vi får dermed =. Oppgave Utsagnslogikk ( poeng) La M være mengden av følgende formler: (P Q) (P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q) (P Q) (a) [ poeng] Hvilke formler i M er logisk ekvivalente med (P Q)? ( P Q) og ( P Q) (b) [ poeng] Hvilke formler i M er logisk ekvivalente med (P Q)? ( P Q) og ( P Q) (c) [ poeng] Sett opp sannhetsverditabellen for F G. F G (F G) ( P Q) ( P Q)

3 (d) [ poeng] Bevis at hvis en formel F G er kontradiktorisk, så er både F og G gyldige formler. Anta at en formel F G er kontradiktorisk. Definisjonen av kontradiktorisk gir at enhver valuasjon vil gjøre F G usann. Definisjonen av tolkning av gir at enhver valuasjon vil gjøre F sann og G usann. Da vil envher valuasjon gjøre G sann. Det følger fra definisjonen av gyldighet at både F og G er gyldige formler. (e) [ poeng] Her er noen utsagnslogiske formler. Sett -piler mellom formlene slik at de angir hvilke formler som er logiske konsekvenser av hverandre. Sett en pil fra F til G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en formel til seg selv. (P Q) ( P Q) P (P P) (P Q) ( P Q) P (P P) Oppgave Førsteordens logikk ( poeng) Anta at vi har et førsteordens språk med to unære relasjonssymboler, F og V, og ett binært relasjonssymbol L. La Fx representere «x kan forstås». La Vx representere «x kan visualiseres». La Lxy representere «x likner på y». Finn gode og naturlige setninger for følgende førsteordens formler: (a) [ poeng] x(fx Vx) Alt som kan forstås, kan visualiseres. (b) [ poeng] x Fx x Vx

4 Hvis det finnes noe som ikke kan forstås, finnes det noe som ikke kan visualiseres. (c) [ poeng] x( Vx Fx) Det som ikke kan visualiseres, kan ikke forstås. Eller: Hvis noe ikke kan visualiseres, kan det ikke forstås. (d) [ poeng] x(fx y(lxy Fy)) Alt kan forstås eller likner på noe som kan forstås. Finn førsteordens formler som representerer følgende setninger: (e) [ poeng] Alt kan visualiseres. xvx (f) [ poeng] Ingenting kan visualiseres eller forstås. x(vx Fx) eller x( Vx Fx) (g) [ poeng] Alt som kan forstås, likner på noe som kan visualiseres. x(fx y(lxy Vy)) (h) [ poeng] Kun det som kan visualiseres, kan forstås. x(fx Vx) Anta at M er en modell med domene {,, } som gjør følgende formler sanne:. x ylxy. x y(lxy Lyx) (i) [ poeng] Kan L M være en refleksiv relasjon? Begrunn svaret ditt. Nei, L M kan ikke være en refleksiv relasjon. Det er formel som forårsaker dette: Anta at L M er refleksiv og at a er et element i domenet til M. Da vil a, a L M og formelen Lāā være sann. Formel gir at Lāā er sann, og dermed at a, a / L M, og det er en motsigelse. (j) [ poeng] Kan L M være en transitiv relasjon? Begrunn svaret ditt.

5 Nei, L M kan ikke være en transitiv relasjon. Det finnes kun to måter å tolke L på slik at begge formlene blir sanne: (a) {,,,,, } (b) {,,,,, } Ingen av disse tolkningene av L gir en transitiv relasjon. Det går også an å resonnere på følgende måte: Anta at L M er transitiv og at a er et element i domenet til M. Formel gir at det må finnes et element b slik at a, b L M. Formel gir at b må være forskjellig fra a og at b, a / L M. Formel gir at det må finnes et element c slik at b, c L M. Formel gir at c må være forskjellig fra b og at c, b / L M. Vi har også at c må være forskjellig fra a, fordi b, a / L M. Formel gir at det må finnes et element d slik at c, d L M. Fordi d hverken kan være b eller c, må d være lik a. Dermed får vi at c, a L M. Formel gir at a, c / L M Vi har nå fått at L M består av nøyaktig a, b, b, c og c, a. Antakelsen om transitivitet gir at a, c L M, og det gir en motsigelse. Oppgave Bevis og naturlig deduksjon ( poeng) (a) [ poeng] Hvilket tilleggskrav gjør en utledning til et bevis i naturlig deduksjon? Et bevis i naturlig deduksjon for en formel F er en utledning hvor F er konklusjonen og hvor alle antakelser er lukkede. (b) [ poeng] Gi en utledning med konklusjon Q og åpen antakelse (P P). P P P P E E P P E Q (c) [ poeng] Gi et bevis for formelen (P Q) ( P Q) i naturlig deduksjon.

6 P I P Q (P Q) P I I E P Q Q (P Q) ( P Q) Oppgave Kombinatorikk ( poeng) P Q (P Q) Q I I I (a) [ poeng] Hvor mange strenger over {,, } av lengde finnes det? Det er = strenger over {,, } av lengde. (b) [ poeng] Hvor mange strenger over {,,, } av lengde finnes det? Det er = strenger over {,,, } av lengde. Følgende figurer viser tre forskjellige «stier» som går fra toppen til bunnen gjennom et trekantet rutenett. Hver trekant har ni punkter i bunnen, og hver sti består av åtte steg. Det er kun lov å gå på skrå mot venstre eller på skrå mot høyre på veien nedover. (c) [ poeng] Hvor mange slike stier finnes det? Det er = slike stier. (d) [ poeng] Anta at hver sti må inneholde minst ett venstresteg og minst ett høyresteg. Hvor mange slike stier finnes det med denne begrensningen? Det er = slike stier. E

7 Oppgave Formelle språk og induksjon ( poeng) La A være alfabetet {x, -}. La språket R være den minste mengden slik at følgende holder: Λ R Hvis s R, så er sx- R. Hvis s R, så er sx-- R. (a) [ poeng] Gi et regulært uttrykk som representerer språket R. Det regulære uttrykket (x- x--) * representerer dette språket. (b) [ poeng] Gi en regulær grammatikk som representerer språket R. Grammatikken gitt ved S Λ x-s x--s representerer dette språket. (c) [ poeng] Bevis ved strukturell induksjon at alle strenger i R inneholder minst like mange forekomster av - som x. Vi viser ved strukturell induksjon at alle strenger i R inneholder minst like mange forekomster av - som x. Basissteget er å vise at påstanden holder for Λ. Det er ok, fordi den tomme strengen inneholder ingen forekomster av hverken x eller -. Induksjonssteget er følgende: Anta at påstanden holder for en streng s R. Dette er induksjonshypotesen. Vi må fra denne vise at påstanden holder for både sx- og sx--. Påstanden holder for sx-, fordi påstanden holder for s og fordi denne strengen inneholder nøyaktig én ekstra forekomst av både x og -. Påstanden holder for sx--, fordi påstanden holder for s og fordi denne strengen inneholder nøyaktig én ekstra forekomst av x og to ekstra forekomster av -. Da må fremdeles sx-- inneholde minst like mange forekomster av - som x. Dette viser at hvis påstanden holder for s, holder den også for sx- og sx--. Ved strukturell induksjon følger det at påstanden holder for alle strenger i R.

8 Oppgave Grafteori ( poeng) Her følger seks grafer. Alle grafene har samme mengde noder, {,,,..., }, men forskjellige mengder kanter. A D (a) [ poeng] Er A en sammenhengende graf? Begrunn svaret. B E Ja, A er en sammenhengende graf, fordi det er mulig å komme fra enhver node til en hvilken som helst annen ved å følge kantene. (b) [ poeng] Har B en Eulerkrets? Begrunn svaret. Ja, B har en Eulerkrets. Hver node har grad, som er er et partall, og da vet vi at det er slik. En slik Eulerkrets er for eksempel:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. (c) [ poeng] Har B en Hamiltonsykel? Begrunn svaret. Ja, en slik Hamiltonsykel er for eksempel,,,,,,,,,,,,. (d) [ poeng] Avgjør nøyaktig hvilke av disse grafene som er isomorfe, og forklar hvorfor de er det. C F

9 Grafene C og F er isomorfe, forde de begge består av tre firkanter. Med en trekant menes her den komplette grafen med tre noder. Grafene D og E er isomorfe, fordi de begge består begge av fire trekanter. Med en firkant menes her fire noder {a, b, c, d} med kantene {{a, b}, {b, c}, {c, d}, {d, a}}. For å lage en isomorfi mellom C og F, må hver firkant i C, for eksempel {,,, } tilordnes hver sin firkant i F, for eksempel {,,, }, på en slik at måte at to noder C er naboer hvis og bare hvis de tilhørende nodene er naboer i F. En graf kalles todelt eller bipartitt hvis mengden av noder kan deles i to disjunkte delmengder U og V slik at enhver kant forbinder en node i U med en node i V. (e) [ poeng] Er C todelt? Er D todelt? Begrunn svarene. Ja, C er todelt. La for eksempel U = {,,,,, } og V = {,,,,, }. Vi kan tegne grafen på følgende måte: Nei, D er ikke todelt. For eksempel vil to av nodene i {,, }, som alle er forbundet med kanter, uansett havne i enten U eller V. Oppgave Relasjoner og definisjoner ( poeng) La T være mengden {,,,,,,,,,,, } av naturlige tall fra til. La + være operasjonen på T som legger sammen tall modulo : For å finne verdien til x + y i T, ser vi på hva resten blir når vi deler på. For eksempel vil + være lik, fordi resten når vi deler på blir. Vi kan også se for oss at tallene er på plassert på en sirkel og at vi går med klokken på følgende måte. +

10 (a) [ poeng] Regn ut +. + = (b) [ poeng] Løs likningen x + =. x = Vi definerer nå avstanden mellom to tall i T som det minste naturlige tallet n som gjør at vi kan få det ene tallet fra det andre ved å legge til n. For eksempel er avstanden mellom og lik fordi + =, og avstanden mellom og er lik fordi + =. Vi lar funksjonen d fra T T til N være funksjonen som gir oss denne avstanden, det vil si at d(x, y) = n hvis n er det minste tallet slik at x + n = y eller y + n = x. (c) [ poeng] Hva er bildemengden til d, det vil si mengden {d(x, y) x, y T}? Bildemengden til d er lik {,,,,,, }. Definer relasjonen R n slik at R n (x, y) holder nøyaktig når avstanden mellom x og y er lik n. For eksempel vil R (, ) og R (, ). R R x (d) [ poeng] Figurene over representerer R n for tre forskjellige verdier for n. Den første er R. Hva er verdiene til x og y? x = og y = (e) [ poeng] Tegn en tilsvarende figur for R. R y

11 (f) [ poeng] Forklar hvorfor R ikke er en transitiv relasjon. Relasjonen R er ikke transitiv, fordi vi har for eksempel både R (, ) og R (, ), men ikke R (, ). (g) [ poeng] Finnes det en n slik at R n er en ekvivalensrelasjon? Ja, R er en ekvivalensrelasjon. Dette er identitetsrelasjonen på T, som er refleksiv, symmetrisk og transitiv. La T n være den minste mengden slik at T n og hvis x T n, er også x + n T n. (h) [ poeng] Finn T. Du trenger ikke å vise selve utregningen. T = {,, } (i) [ poeng] Finn T. Du trenger ikke å vise selve utregningen. T = {,,,,,,,,,,, } = T. (j) [ poeng] Hva er sammenhengen mellom R n tillukningen av R n er refleksiv.] og T n? [Hint: Den transitive Den transitive tillukningen av R n gir en ekvivalensrelasjon. Mengden T n er ekvivalensklassen til for denne ekvivalensrelasjonen.