Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Transkript

1 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple graph) istedenfor bare graf. I Oppgave 3f er B n det kartesiske produktet av B med seg selv n ganger og en boolsk funksjon er per definisjon en funksjon f : B n B. Notasjonen strek over i f(x) = f(x 1 x 2 + x 1 x 2 ) (der x = (x 1, x 2 ) B 2 ) bytter rollen på bit ene 0 og 1: dvs. at 0 = 1 og 1 = 0. Ekstraoppgave: Gjør Oppgave 36 i 4.2 i læreboken og gjør så Oppgave 2d i dette settet. Andreas Leopold Knutsen, april

2 Dato: Mandag 10.juni 2002, kl Målform: Bokmål Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Oppgavesettet består av 4 oppgaver på 5 sider. Det Matematisk Naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet IM 005 Diskrete strukturer Oppgave 1 I denne oppgaven lar vi K mn = (W, F ) betegne en komplett bipartitt graf, dvs. W = W 1 W 2, W 1 W 2 =, W 1 = m, W 2 = n i W 1 j W 2 {i, j} F i W 1 j W 1 {i, j} F i W 2 j W 2 {i, j} F a) Hvilken graf er vist i Fig. 1? b) Finn en isomorfi mellom de to grafene i Fig. 2, eller vis at de ikke er isomorfe. 1

3 c) Finn en isomorfi mellom de to grafene i Fig. 3, eller vis at de ikke er isomorfe. d) Fem lag, A, B, C, D og E, deltar i en fotballturnering der alle lag skal møte hvert av de andre lagene nøyaktig en gang. Så langt har A spilt 3 kamper, B 4 kamper, C 1 kamp, mens D har spilt 2 kamper. Hvilke kamper gjenstår å bli spilt? e) Tegn en graf med 6 noder (hjørner, vertices) med gradtallene (degree) 3, 3, 2, 2, 2 og 1, eller vis at dette er umulig. f) Tegn en graf G 1 = (V 1, E 1 ) som tilfredsstiller betingelsene: V 1 = 7 V V 1 slik at V = 6 og nodene i V har gradtallene 3, 3, 2, 2, 2 og 1 2

4 ˆV ( ) V 1 Ê E 1 slik at ˆV, Ê = K 3,2 eller vis at dette er umulig. g) Tegn en graf G 2 = (V 2, E 2 ) som tilfredsstiller betingelsene: V 2 = 7 V V 2 slik at V = 6 og nodene i V har gradtallene 3, 3, 2, 2, 2 og 1 ( ) Ê E 2 slik at V 2, Ê er et tre eller vis at dette er umulig. h) La G = (V, E) være en graf med nodene V = {v 1, v 2,..., v n }, la d i betegne gradtallet til noden v i V (dvs. d i = deg(v i )), og la t være et positivt heltall ikke større enn n. Vis at t i=1 d i t(t 1) + n i=t+1 min{t, d i}. i) Finnes det en graf med 13 noder og 31 kanter (edges), slik at minst 3 av nodene har gradtall 1 og minst 7 av nodene har gradtall 4? Begrunn svaret. Oppgave 2 I denne oppgaven er det gitt noen proposisjoner. Universet som kvantifikatorene i proposisjonene henviser til er mengden med positive heltall. Vi lar Π betegne mengden med primtall. a) Forklar med ord hva proposisjonen a (a > 1 p (p Π p a)) sier. Hvilken verdi har den? b) Forklar med ord hva proposisjonen p a (p Π p a) sier. Hvilken verdi har den? c) Forklar med ord hva proposisjonen a b p (p a p ab) sier. Hvilken verdi har den? d) Forklar med ord hva proposisjonen a m ((m > 1 gcd(a, m) = 1) y(ay 1 (mod m))) sier. Hvilken verdi har den? e) Vis at gcd(8, 5) = 1 ved hjelp av Euklids algoritme. f) Forklar hvorfor 8 har en invers modulus 5. Finn minste positive invers ved å utnytte beregningene du gjorde i oppgave 2e. g) Ved å benytte det kinesiske restteoremet, finn minste positive x som tilfredsstiller både x 3 (mod 5) og x 7 (mod 8) h) Finn et generelt uttrykk for alle x som tilfredsstiller kongruenssystemet gitt i oppgave 2g. 3

5 Oppgave 3 La A være en endelig mengde, og la R A A være en ekvivalensrelasjon med p ekvivalensklasser [a 1 ], [a 2 ],..., [a p ]. a) Hvis vi vet at (a, b) R og (b, c) R, hvilke andre medlemmer kan vi da konkludere med at R har? b) Hva vet vi om [a 1 ] [a 2 ] [a p ]? Hva vet vi om [a i ] [a j ] når 1 i < j p? c) Uttrykk R med [a 1 ], [a 2 ],..., [a p ]. d) For en gitt A, hva er største mulige verdi på p? Hva er den tilhørende verdien på R? e) For en gitt A, hva er minste mulige verdi på p? Hva er den tilhørende verdien på R? f) La B = {0, 1}, la f : B n B være en boolsk funksjon av grad n, og la F n være mengden av slike funksjoner. La Λ f = {x B n f(x) = 1}. Definer relasjonen R n F n F n slik at (f, g) R n Λ f = Λ g. Hvis n = 2 og f(x) = x 1 x 2 + x 1 x 2, hva blir da Λ f? Finn en g F 2 slik at (f, g) R 2 for dette valget av f. g) Det er lett å vise at R n er en ekvivalensrelasjon (det er ikke spurt etter bevis for dette). Hvor mange ekvivalensklasser har R n? Uttrykk svaret med n. h) For en gitt f F n, hvor mange funksjoner g F n kan vi finne slik at (f, g) R n? Uttrykk svaret med n og Λ f. %boppgave Oppgave 4 Gitt rekurrensrelasjonen a n = 3a n a) Vis at a n = 1 er en løsning til rekurrensrelasjonen. b) Finn alle løsninger til rekurrensrelasjonen. c) Vis at løsningen som tilfredsstiller initialbetingelsen a 0 = 0 er a n = 3 n 1. d) Vis ved induksjon at n i=1 2 3i 1 = 3 n 1. Dag Haugland Sven Olai Høyland 4