INF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "INF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo"

Transkript

1 INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013

2 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

3 Utsagnslogikk 1 Utsagnslogikk Introduksjon Syntaks Strukturell induksjon Semantikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

4 Utsagnslogikk Introduksjon Syntaks: et presist denert symbolsprak for a representere utsagnslogiske utsagn. Semantikk: en presist denert tolkning av uttrykk i symbolspraket til sannhetsverdiene sann og usann. Kalkyle: syntaktisk manipulasjon av uttrykk i symbolspraket for a nne bevisbare uttrykk. Sunnhet: alle bevisbare uttrykk er tautologier korrekthet av kalkylen. Kompletthet: alle tautologier er bevisbare kalkylen sterk nok til a fange inn alle interessante uttrykk. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

5 Utsagnslogikk Syntaks Syntaks Denisjon (Utsagnsvariable) Mengden av utsagnsvariable er en tellbart uendelig mengde V u = fp 1 ; P 2 ; P 3 ; : : :g. Utsagnsvariable representerer atomre utsagn, f.eks. \det regner" \solen skinner" \logikk er gy" Notasjon Vi skriver ofte utsagnsvariable som P ; Q; R ; : : : Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

6 Utsagnslogikk Syntaks For a fange inn sammensatte utsagn, f.eks. \hvis det regner, sa blir det vatt," trengs ere symboler i spraket: Denisjon (Utsagnslogisk alfabet) Det utsagnslogiske alfabet bestar av: Utsagnsvariablene i V u. De logiske konnektivene ^, _,! og :. Hjelpesymbolene `(' og `)'. Intuisjon: : skal bety \ikke" ^ skal bety \og" _ skal bety \eller"! skal bety \impliserer" Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

7 Utsagnslogikk Syntaks Utsagnslogiske formler Denisjon (Atomr formel) Enhver utsagnsvariabel er en atomr formel. Denisjon (Utsagnslogisk formel) Mengden av utsagnslogiske formler er den minste mengden F u slik at: 1 F u inneholder alle atomre formler. 2 Hvis A 2 F u, sa er :A 2 F u. 3 Hvis A; B 2 F u, sa er (A ^ B), (A _ B) og (A! B) med i F u. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

8 Utsagnslogikk Syntaks Eksempel (Utsagnslogiske formler) P (P! Q) ((P _ Q) ^ :(P _ R)) Notasjon Vi dropper ofte undvendige parenteser: (P! Q) skrives P! Q ((P _ Q) ^ :(P _ R)) skrives (P _ Q) ^ :(P _ R) Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

9 Utsagnslogikk Syntaks Eksempel Ikke alle strenger over det utsagnslogiske alfabet er utsagnslogiske formler: P! ((Q ^ P) Oppgave Vis at ((Q ^ P) ikke er en utsagnslogisk formel. Intuitivt, men hvordan bevise det? Ved strukturell induksjon kan vi vise noe sterkere: Pastand Alle utsagnslogiske formler har like mange venstre- og hyreparenteser. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

10 Utsagnslogikk Strukturell induksjon Strukturell induksjon Mengden F u av utsagnslogiske formler er denert induktivt. Ved strukturell induksjon kan man vise at en egenskap holder for alle formler i F u. Teorem (Strukturell induksjon) Alle formler i F u har egenskapen Q hvis: Basissteg: Alle atomre formler har egenskapen Q. Induksjonssteg: Hvis A har egenskapen Q, sa har ogsa :A egenskapen Q. Hvis A og B har egenskapen Q, sa har ogsa (A ^ B), (A _ B) og (A! B) egenskapen Q. Strukturell induksjon er en bevisteknikk vi kommer til a bruke mye! Derfor er det viktig a kunne den godt... Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

11 Utsagnslogikk Strukturell induksjon Pastand (Balanserte parenteser) Alle formler A 2 F u har like mange venstre- og hyreparenteser. Bevis. Basissteg: Hvis A er atomr, inneholder den ikke parenteser. Dermed holder pastanden trivielt. Induksjonssteg: Anta A = :B og at pastanden holder for B. A har like mange parenteser som B. Dermed holder pastanden ogsa for A. Anta A = (B C) for 2 f^; _;!g, og at pastanden holder for B og C. A har en venstre- og en hyreparentes i tillegg til de som nnes i B og C. Siden pastanden holder for B og C, holder den ogsa for A. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

12 Utsagnslogikk Strukturell induksjon Tilbake til uttrykket ((Q ^ P): Pastand ((Q ^ P) er ikke en utsagnslogisk formel. Bevis. 1 Vi har vist at alle utsagnslogiske formler har like mange venstre- og hyreparenteser. 2 Det kontrapositive er at hvis et uttrykk ikke har like mange venstreog hyreparenteser, sa er det ikke en utsagnslogisk formel. 3 Uttrykket `((Q ^ P)' har to venstre- og en hyreparentes, altsa ulikt antall. 4 Derfor er det ikke en utsagnslogisk formel. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

13 Utsagnslogikk Semantikk Semantikk Vi skal tolke utsagnslogiske formler som enten sanne eller usanne. Denisjon La Bool = f1; 0g. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

14 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Operatorene ^:, ^, ^_ og ^!) Vi denerer en unr operator ^: pa Bool slik at ^:1 = 0 og ^:0 = 1. Vi denerer de binre operatorene ^_, ^ og ^! pa Bool som flger: x y x^y x ^_y x ^!y Tabellen over kalles en sannhetsverditabell. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

15 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Boolsk valuasjon) En boolsk valuasjon er en funksjon v fra F u til Bool slik at: v(:a) = ^:v(a) v(a ^ B) = v(a)^v(b) v(a _ B) = v(a)^_v(b) v(a! B) = v(a) ^!v(b) Merk Symbolene :, ^, _ og! pa venstresiden er de utsagnslogiske konnektivene, som er en del av syntaksen. Symbolene ^:, ^, ^_ og ^! pa hyresiden er operatorer pa Bool, og en del av semantikken. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

16 Utsagnslogikk Semantikk Eksempel Se pa formelen :P! Q. La v vre en valuasjon slik at v(p) = 1 og v(q) = 0. Vi far: v(:p! Q) = v(:p) ^! v(q) = (^: v(p)) ^! v(q) = (^: 1) ^! v(q) = (^: 1) ^! 0 = 0 ^! 0 = 1 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

17 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Oppfyllbar) En boolsk valuasjon v oppfyller en utsagnslogisk formel A hvis v(a) = 1. Skrives ofte v j= A. En utsagnslogisk formel er oppfyllbar hvis det nnes en boolsk valuasjon som oppfyller den. Eksempel Formelen P! Q er oppfyllbar: den oppfylles av alle valuasjoner v slik at v(p) = 0 eller v(q) = 1. Formelen :(P! P) er ikke oppfyllbar. Hvorfor? Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

18 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Falsiserbar) En boolsk valuasjon v falsiserer en utsagnslogisk formel A hvis v(a) = 0. Skrives ofte v 6j= A. En utsagnslogisk formel er falsiserbar hvis det nnes en boolsk valuasjon som falsiserer den. Eksempel Formelen P! Q er falsiserbar: den falsiseres av alle valuasjoner v slik at v(p) = 1 og v(q) = 0. Formelen P! P er ikke falsiserbar. Hvorfor? Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

19 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Tautologi) En utsagnslogisk formel A er en tautologi hvis v j= A for alle boolske valuasjoner v. Eksempel Er P en tautologi? Hva med :(P! P)? Og P! P? Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

20 Utsagnslogikk Semantikk Denisjon (Motsigelse) En utsagnslogisk formel A er en motsigelse hvis v 6j= A for alle boolske valuasjoner v. Merk Det motsatte av en tautologi er den falsiserbar formel. Det motsatte av en motsigelse er den oppfyllbar formel. En tautologi er ikke det motsatte av en motsigelse! Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

21 Utsagnslogikk Semantikk Pastand En utsagnslogisk formel A er en tautologi hvis og bare hvis A ikke er falsiserbar. Bevis. formelen A er en tautologi, v j= A for alle valuasjoner v, det nnes ingen valuasjon v slik at v 6j= A, A er ikke falsiserbar Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

22 Hvis og bare hvis {, Utsagnslogikk Semantikk Merk Begrepet \hvis og bare hvis" uttrykker toveis implikasjon. Skrives ofte,. P \hvis og bare hvis" Q kan uttrykkes i utsagnslogikk som (P! Q) ^ (Q! P) Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

23 Sekventkalkyle 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle Motivasjon Sekventer og aksiomer Sekventkalkylereglene Slutninger Utledninger Bevis Semantikk for sekventer Oppsummering Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

24 Sekventkalkyle Motivasjon Sekventkalkyle for utsagnslogikk Hvordan nne ut om en gitt formel er en tautologi? Fra semantikken: Hvis formelen ikke er falsiserbar, sa er den en tautologi. Ide: A systematisk forske a falsisere formelen. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

25 Sekventkalkyle Motivasjon ` P :Q ` :P ; P ` P ; :Q! :P :Q; P Q ` Q; :P Q; :Q ` :P Q ` :Q! :P P! Q ` :Q! :P ` (P! Q)! (:Q! :P) Eksempel Venstre lvnode: Oppfylle: :Q, P. Falsisere: P. Umulig, kan ikke bade oppfylle og falsisere P! Hyre lvnode: Oppfylle: Q. Falsisere: Q, :P. Umulig, kan ikke bade oppfylle og falsisere Q! (P! Q)! (:Q! :P) kan ikke falsiseres! Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

26 Sekventkalkyle Motivasjon Kommentarer til det foregaende eksempelet: Vi arbeidet med objekter av typen `: : : ` : : :'. Slike objekter kaller vi for sekventer. Ved a se pa konnektivet til en bestemt formel i en sekvent konstruerte vi nedenfra og opp nye sekventer fra eksisterende. Hvilke nye sekventer vi far bestemmes av regler. Gjennom gjentatt anvendelse av regler konstruerte vi et tre-lignende objekt med en rotnode og lvnoder. Et slikt objekt kalles en utledning. Den utledningen vi konstruerte var slik at sekventene i lvnodene hadde noe likt pa begge sier av ``'. En utledning med denne egenskapen kalles et bevis. Vi skal na denere helt presist hva vi legger i disse begrepene! Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

27 Sekventkalkyle Sekventer og aksiomer Sekventkalkylen LK Denisjon (Sekvent) En sekvent er et objekt pa formen ` slik at og er multimengder av utsagnslogiske formler. Formlene som star til venstre for ``' kalles antecedent. Formlene som star til hyre for ``' kalles succedent. Notasjon I sekventer leses `;' som union: ; A skal bety [ fag. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

28 Sekventkalkyle Sekventer og aksiomer Eksempel Hvilke av uttrykkene nedenfor er sekventer? P ` Q P ; P ` Q; P ` P! Q ` P ` Q P ; Q! R ` Q! R P ; Q! R ` Q! R ; P P ; 1; P! Q ` P! 2 Denisjon (Aksiom) Et aksiom er en sekvent pa formen ; A ` A; slik at A er en atomr utsagnslogisk formel. Hvilke av sekventene i eksempelet over er aksiomer? Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

29 Sekventkalkyle Sekventkalkylereglene Sekventkalkyleregler Denisjon (-regler) -reglene i sekventkalkylen LK er: ; A ; B ` L^ ; A ^ B ` ` A ; B ; R_ ` A _ B ; ; A ` B ; R! ` A! B ; ` A; L: ; :A ` ; A ` R: ` :A; -reglene kalles ofte ett-premissregler. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

30 Sekventkalkyle Sekventkalkylereglene Denisjon (-regler) -reglene i sekventkalkylen LK er: ` A; ` B ; R^ ` A ^ B ; ; A ` ; B ` L_ ; A _ B ` ` A; ; B ` L! ; A! B ` -reglene kalles ofte to-premissregler. Denisjon (Slutningsreglene i LK) Slutningsreglene i sekventkalkylen LK er - og -reglene. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

31 Sekventkalkyle Sekventkalkylereglene Begreper knyttet til regler Se pa regelen ; A ` ; B ` L_ ; A _ B ` Sekventene over streken kalles premisser. Sekventen under streken kalles konklusjon. Teksten til hyre for streken er regelens navn. Formelen som forekommer eksplisitt i konklusjonen kalles hovedformel. Formlene som forekommer eksplisitt i premissene kalles aktive formler. Formlene som forekommer i og kalles ekstraformler. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

32 Sekventkalkyle Slutninger Regler vs. slutninger Denisjon (LK-slutning) En slutning er en instans av en regel hvor A og B er erstattet med utsagnslogiske formler og er erstattet med multimengder av utsagnslogiske formler Slutninger av en regel med navn eller type kalles -slutninger. Eksempel En regel ; A ` ` :A; R: denerer uendelig mange R:-slutninger: P ` ` :P Q; P ` Q ` :P Q! R ; P Q! R ` P ` :P ; P : : : Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

33 Sekventkalkyle Slutninger Begrepene knyttet til regler anvendes om slutninger: P! Q; P ` Q P! Q; R ` Q L_ P! Q; P _ R ` Q Sekventene over streken kalles premisser. Sekventen under streken kalles konklusjon. Formelen P _ R i konklusjonen er hovedformel. Formlene P og R i premissene er aktive formler. De andre formlene er ekstraformler. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

34 Sekventkalkyle Utledninger Utledninger En utledning er et tre der nodene er sekventer. Rotnoden er nederst og lvnodene er verst. Rotnoden kalles rotsekvent. Lvnodene kalles lvsekventer. Denisjon (Mengden av LK-utledninger { basistilfelle) En sekvent ` er en LK-utledning. ` Her er ` bade rotsekvent og lvsekvent. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

35 Sekventkalkyle Utledninger Denisjon (Mengden av LK-utledninger { -utvidelse) Hvis det nnes en LK-utledning med en lvsekvent ` og en -slutning med konklusjon ` og premiss 0 ` 0, sa er objektet vi far ved a plassere 0 ` 0 over ` en LK-utledning. ` 0 ` 0 ` Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

36 Sekventkalkyle Utledninger Denisjon (Mengden av LK-utledninger { -utvidelse) Hvis det nnes en LK-utledning med en lvsekvent ` og en -slutning med konklusjon ` og premisser 0 ` 0 og 00 ` 00, sa er objektet vi far ved a plassere 0 ` 0 og 00 ` 00 over ` en LK-utledning. ` 0 ` 0 00 ` 00 ` -utvidelse gir forgrening i utledningen! Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

37 Sekventkalkyle Utledninger Eksempel (LK-utledninger) ` R _ Q P! Q ` :Q! :P P ` Q ` P! Q R! ` P ` P R^ ` P ^ P P ` P P ` Q Q ` P Q ` Q R^ R^ P ` P ^ Q Q ` P ^ Q L_ P _ Q ` P ^ Q Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

38 Sekventkalkyle Bevis LK-bevis Denisjon (LK-bevis) Et LK-bevis er en LK-utledning der alle lvsekventene er aksiomer. Denisjon (LK-bevisbar) En sekvent ` er LK-bevisbar hvis det nnes et LK-bevis med ` som rotsekvent. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

39 Sekventkalkyle Bevis Eksempel (LK-bevis) P ` P ` P! P R! ` P R: :Q ` :P ; P ` P ; :Q! :P :Q; P Q ` Q; :P L: Q; :Q ` :P R! R! Q ` :Q! :P L! P! Q ` :Q! :P Sekventene ` P! P og P! Q ` :Q! :P er bevisbare, siden det nnes LK-bevis med disse sekventene som rotsekvent. Merk: symbolet ` ' er ikke en del av kalkylen, men et hjelpesymbol vi bruker for a markere at en gren er lukket. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

40 Sekventkalkyle Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Denisjon (Gyldig sekvent) En sekvent ` er gyldig hvis alle valuasjoner som oppfyller alle formlene i ogsa oppfyller minst en formel i. Eksempel Flgende sekventer er gyldige: P ` P P! Q ` P! Q P ; P! Q ` Q P! Q ` :Q! :P Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

41 Sekventkalkyle Semantikk for sekventer Denisjon (Motmodell/falsiserbar sekvent) En valuasjon v er en motmodell til sekventen ` hvis v oppfyller alle formlene i og falsiserer alle formlene i. Vi sier at en motmodell til en sekvent falsiserer sekventen. En sekvent er falsiserbar hvis den har en motmodell. Eksempel Flgende sekventer er falsiserbare: P ` Q Motmodell: v(p) = 1; v(q) = 0 P _ Q ` P ^ Q Motmodell: som over eller v(p) = 0; v(q) = 1 ` P Motmodell: v(p) = 0 P ` Motmodell: v(p) = 1 ` Motmodell: alle modeller! Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

42 Sekventkalkyle Oppsummering Oppsummering Gyldig P ; P! Q ` Q Hvis v j= P og v j= P! Q, sa v j= Q. Falsiserbar :P ; P! Q ` :Q En valuasjon v slik at v 6j= P og v j= Q. Bevisbar Ikke bevisbar P ` P Q ` Q P ; P! Q ` Q ` P ; P Q; Q ` :P ` P Q ` :Q :P ; P! Q ` :Q Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

43 Sunnhet 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet Introduksjon Bevaring av falsiserbarhet Eksistens av falsiserbar lvsekvent Alle aksiomer er gyldige Bevis for sunnhetsteoremet 4 Kompletthet Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

44 Sunnhet Introduksjon Sunnhet av LK Vi nsker at alle LK-bevisbare sekventer skal vre gyldige! Hvis ikke, sa er LK ukorrekt eller usunn... Denisjon (Sunnhet) Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig. Teorem Sekventkalkylen LK er sunn. Sunnhetsteoremet sikrer oss at LK er en korrekt kalkyle. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

45 Sunnhet Introduksjon Hvordan vise sunnhetsteoremet? Vi viser flgende lemmaer: 1 Alle LK-reglene bevarer falsiserbarhet oppover. 2 En LK-utledning med falsiserbar rotsekvent har minst en falsiserbar lvsekvent. 3 Alle aksiomer er gyldige. Til slutt vises sunnhetsteoremet ved hjelp av lemmaene. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

46 Sunnhet Bevaring av falsiserbarhet Denisjon En LK-regel er falsiserbarhetsbevarende (oppover) hvis alle valuasjoner som falsiserer konklusjonen i en -slutning ogsa falsiserer minst ett av premissene i slutningen. Lemma Alle LK-reglene er falsiserbarhetsbevarende. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

47 Sunnhet Bevaring av falsiserbarhet Vi far ett delbevis for hver LK-regel. Se pa f.eks. L!-regelen: ` A; ; B ` L! ; A! B ` I delbeviset for L! ma vi vise at alle L!-slutninger bevarer falsiserbarhet oppover. Regelen L! generaliserer alle L!-slutninger. Vi lar,, A og B i regelen sta for vilkarlige (multimengder av) utsagnslogiske formler og viser pa den maten at alle L!-slutninger bevarer falsiserbarhet. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

48 Sunnhet Bevaring av falsiserbarhet Bevis for R:. ; A ` ` :A; R: Anta at v falsiserer konklusjonen. Det betyr at v j=, v 6j= :A og v falsiserer alle formlene i. Pr. denisjon av v har vi at v j= A. Vi har da at v j= [ fag og v falsiserer alle formlene i. Da falsiserer v premisset. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

49 Sunnhet Bevaring av falsiserbarhet Bevis for L!. ` A; ; B ` L! ; A! B ` Anta at v falsiserer konklusjonen. Det betyr at v oppfyller [ fa! Bg og falsiserer alle formlene i. Siden v oppfyller A! B, sa har vi pr. denisjon av v at (1) v 6j= A, eller (2) v j= B. Hvis (1), sa falsiserer v venstre premiss. Hvis (2), sa falsiserer v hyre premiss. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

50 Sunnhet Bevaring av falsiserbarhet Bevis for \for alle"-pastander Se pa pastanden \for alle x 2 S: P(x)". Vi kan vise pastanden ved a vise at P(a) for hvert element a 2 S. Hva hvis S er svrt stor eller uendelig? Vi kan generalisere fra et vilkarlig element: Velg et vilkarlig element a 2 S. Vis at P(a) holder. Siden a var tilfeldig valgt ma pastanden i frste linje holde. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

51 Sunnhet Eksistens av falsiserbar lvsekvent Lemma Hvis en valuasjon v falsiserer rotsekventen i en LK-utledning, sa falsiserer v minst en av lvsekventene i. Bevis. Ved strukturell induksjon pa LK-utledningen. Basissteg: er en sekvent ` : ` Her er ` bade rotsekvent og (eneste) lvsekvent. Anta at v falsiserer `. Da falsiserer v en lvsekvent i, nemlig `. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

52 Sunnhet Eksistens av falsiserbar lvsekvent Bevis (induksjonssteg { -utvidelse). Induksjonssteg: er en utledning pa formen 0 ` 0 ` Anta at v falsiserer rotsekventen i, og anta at v falsiserer en lvsekvent i utledningen fr -utvidelsen. Hvis den falsiserte lvsekventen ikke er `, sa er den ogsa lvsekvent i. Dermed falsiserer v en lvsekvent i. Hvis den falsiserte lvsekventen er `, sa falsiserer v ogsa 0 ` 0 siden -reglene bevarer falsiserbarhet. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

53 Sunnhet Eksistens av falsiserbar lvsekvent Bevis (induksjonssteg { -utvidelse). Induksjonssteg: er en utledning pa formen 0 ` 0 00 ` 00 ` Anta at v falsiserer rotsekventen i, og anta at v falsiserer en lvsekvent i utledningen fr -utvidelsen. Hvis den falsiserte lvsekventen ikke er `, sa er den ogsa lvsekvent i. Dermed falsiserer v en lvsekvent i. Hvis den falsiserte lvsekventen er `, sa falsiserer v ogsa 0 ` 0 eller 00 ` 00 siden -reglene bevarer falsiserbarhet. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

54 Sunnhet Alle aksiomer er gyldige Lemma Alle aksiomer er gyldige. Bevis. ; A ` A; Vi skal vise at alle valuasjoner som oppfyller antecedenten ogsa oppfyller en formel i succedenten. La v vre en tilfeldig valgt valuasjon som oppfyller antecedenten. Da oppfyller v formelen A i succedenten. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

55 Sunnhet Bevis for sunnhetsteoremet Bevis for sunnhet. Anta at er et LK-bevis for sekventen `. Anta for motsigelse at ` ikke er gyldig. Da har den en motmodell v som falsiserer `. Vi har da fra tidligere lemma at v falsiserer minst en lvsekvent i. Da har en lvsekvent som ikke er et aksiom, siden ingen aksiomer er falsiserbare. Men da er ikke et LK-bevis. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

56 Kompletthet 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Introduksjon Kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

57 Kompletthet Introduksjon Introduksjon Denisjon (Sunnhet) Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig. Denisjon (Kompletthet) Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar. Gyldighet (semantisk) Universell pastand: \for alle valuasjoner... " sunnhet kompletthet Bevisbarhet (syntaktisk) Eksistensiell pastand: \det ns et bevis... " Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

58 Kompletthet Introduksjon Introduksjon Sunnhet: ` bevisbar ) ` gyldig Kompletthet: ` gyldig ) ` bevisbar Sunnhet og kompletthet er duale begreper. Sunnhet gir at vi ikke kan bevise noe mer enn de gyldige sekventene. Kompletthet gir at vi kan bevise alle gyldige sekventer. Husk at vi introduserte LK som et systematisk forsk pa a falsisere. En sekvent er gyldig hvis og bare hvis den ikke er falsiserbar. Vi kan dermed uttrykke sunnhet og kompletthet slik: Sunnhet: ` falsiserbar ) ` ikke bevisbar Kompletthet: ` ikke bevisbar ) ` falsiserbar Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

59 Kompletthet Introduksjon En LK-maskin? Sunnhet Alt som skrives ut er gyldig. Kompletthet Alt som er gyldig blir skrevet ut. Noe kan vre sunt uten a vre komplett. Da vises for lite. Eksempel med primtall: 2, 5, 7, 11, 17, 19,... Noe kan vre komplett uten a vre sunt. Da vises for mye. Eksempel med primtall: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, Vi nsker begge deler Hverken for mye eller for lite. Eksempel med primtall: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

60 Kompletthet Kompletthetsteoremet Kompletthetsteoremet Teorem (Kompletthet) Hvis ` er gyldig, sa er den bevisbar i LK. For a vise kompletthet av sekventkalkylen, viser vi den ekvivalente pastanden: Lemma (Eksistens av valuasjon) Hvis ` ikke er bevisbar i LK, sa er den falsiserbar Dvs. det nnes en valuasjon som gjr samtlige formler i sanne og samtlige formler i usanne. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

61 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Anta at ` ikke er bevisbar. Konstruer en utledning av ` slik at ingen regel lenger kan anvendes. \En maksimal utledning". Da ns (minst) en gren G som ikke er lukket. Vi har da at: lvsekventen i G inneholder kun atomre formler, og lvsekventen i G er uten aksiom. Vi konstruerer na en valuasjon som falsiserer `. La G > vre mengden av alle formler som forekommer i en antecedent i G, og G? vre mengden av alle formler som forekommer i en succedent i G, og v vre valuasjonen som gjr alle alle atomre formler i G > sanne og alle andre atomre formler (spesielt de i G? ) usanne. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

62 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Eksempel P ` Q; P Q; P ` Q P! Q; P ` Q R ` Q; P P! Q; P _ R ` Q Q; R ` Q P! Q; R ` Q P! Q ` (P _ R)! Q Vi far at grenen G med lvsekvent R ` Q; P ikke er lukket. G > = fr ; P! Q; P _ Rg G? = fq; P ; (P _ R)! Qg v = valuasjonen denert ved v(r) = 1 og v(q) = v(p) = 0 Denne valuasjonen falsiserer rotsekventen. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

63 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Vi viser ved strukturell induksjon pa utsagnslogiske formler at valuasjonen v gjr alle formler i G > sanne og alle formler i G? usanne. Pastandene som vi viser for utsagnslogiske formler er: Hvis A 2 G >, sa v (A) = 1. Hvis A 2 G?, sa v (A) = 0. Basissteg: A er en atomr formel i G > /G?. Pastanden holder, fordi det var slik vi konstruerte G > /G?. Induksjonssteg: Fra antakelsen om at pastanden holder for A og B, sa ma vi vise at den holder for :A, (A ^ B), (A _ B) og (A! B). Dette gir re forskjellige tilfeller. (Vi viser tre av dem her.) Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

64 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Anta at :A 2 G >. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G?. Ved IH har vi v(a) = 0. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(:a) = 1. Anta at :A 2 G?. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G >. Ved IH har vi v(a) = 1. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(:a) = 0. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

65 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Anta at (A ^ B) 2 G >. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G > og B 2 G >. Ved IH har vi v(a) = 1 og v(b) = 1. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(a ^ B) = 1. Anta at (A ^ B) 2 G?. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G? eller B 2 G?. Ved IH har vi v(a) = 0 eller v(b) = 0. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(a ^ B) = 0. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

66 Kompletthet Bevis for kompletthetsteoremet Bevis for kompletthetsteoremet Anta at (A! B) 2 G >. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G? eller B 2 G >. Ved IH har vi v(a) = 0 eller v(b) = 1. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(a! B) = 1. Anta at (A! B) 2 G?. Siden utledningen er \maksimal", har vi A 2 G > og B 2 G?. Ved IH har vi v(a) = 1 og v(b) = 0. Ved denisjonen av valuasjoner har vi v(a! B) = 0. Institutt for informatikk (UiO) INF4170 { Logikk / 66

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.

Detaljer

Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007

Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007 Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å

Detaljer

INF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170

Detaljer

Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2.

Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2. Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet 1 Mengdelære III 1.1 Multimengder Multimengder Mengder der antall forekomster av hvert element teller Definisjon (Multimengde). En

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007

Detaljer

Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008

Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008 Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler

Detaljer

Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007

Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Sekventkalkyle for utsagnslogikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59)

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 15: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Detaljer

INF1800 Forelesning 15

INF1800 Forelesning 15 INF1800 Forelesning 15 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 7. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-07 20:59) Sekventkalkyle for utsagnslogikk Introduksjonseksempel Hvordan finne ut om en gitt formel er en

Detaljer

Forelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk

Forelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk Forelesning 2-30. januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon INF5170 { Logikkseminar Tirsdager 14:15-16:00 pa Buerommet (3. etg, I). Flg med pa forskning og aktuelle temaer

Detaljer

Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006

Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006 Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige

Detaljer

Det utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler. Semantikk: Denisjon av sannhet og gyldighet

Det utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler. Semantikk: Denisjon av sannhet og gyldighet Forelesning 4-13. februar 2006 Intuisjonistisk logikk 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til na i kurset Det utsagnslogiske spraket: konnektiver og formler Bevissystem: sekventkalkylen LK for klassisk

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk

Detaljer

Litt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel

Litt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02

Detaljer

INF3170 Forelesning 4

INF3170 Forelesning 4 INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................

Detaljer

Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007

Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi

Detaljer

Definisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.

Definisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig. Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar

Detaljer

INF3170 Forelesning 2

INF3170 Forelesning 2 INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................

Detaljer

Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:

Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L: INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk

Detaljer

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere! Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Negasjon som bakgrunn for intuisjonistisk logikk. Til nå i kurset. Forelesning 9: Intuisjonistisk logikk. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 9: Arild Waaler 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 Konsistens 19. mars 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 19.03.2007 2 / 28 Innledning

Detaljer

Intuisjonistisk logikk

Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Intuisjonistisk logikk 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) INF3170 Logikk

Detaljer

INF3170 Logikk. Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk. Roger Antonsen. 27. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 Logikk. Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk. Roger Antonsen. 27. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3170 Logikk Forelesning 11: Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Intuisjonistisk logikk INF3170 Logikk

Detaljer

Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007

Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle

Detaljer

Førsteordens sekventkalkyle

Førsteordens sekventkalkyle INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28

Detaljer

INF3170 Forelesning 11

INF3170 Forelesning 11 INF3170 Forelesning 11 Intuisjonistisk logikk Roger Antonsen - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:58) Innhold Intuisjonistisk logikk 1 Innledning........................................... 1

Detaljer

INF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.

Detaljer

Fortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen

Fortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.

Detaljer

Førsteordens sekventkalkyle

Førsteordens sekventkalkyle INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Praktisk informasjon Endringer

Detaljer

Praktisk informasjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK. Endringer i undervisningen. Spørreskjemaet.

Praktisk informasjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK. Endringer i undervisningen. Spørreskjemaet. INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 5: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Praktisk informasjon Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 2. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-04 17:26) Endringer

Detaljer

Dagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.

Dagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet. INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk

Detaljer

Bevis for sunnhet (og kompletthet) av bevissystemet med hensyn på semantikken

Bevis for sunnhet (og kompletthet) av bevissystemet med hensyn på semantikken Forelesning 4: Intuisjonistisk logikk Arild Waaler - 11. februar 2008 1 Intuisjonistisk logikk 1.1 Innledning Til nå i kurset Det utsagnslogiske språket: konnektiver og formler Bevissystem:LK og DPLL for

Detaljer

Kompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen

Kompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk

Detaljer

Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.

Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar. Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.

Detaljer

Repetisjonsforelesning

Repetisjonsforelesning Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk

Detaljer

Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.

Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170. Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon

Dagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk

Detaljer

Forelesning januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk. 1 Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted. 1.2 Obliger og eksamen

Forelesning januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk. 1 Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted. 1.2 Obliger og eksamen Forelesning 1-23. januar 2006 Introduksjon, mengdelre og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: { Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) { Roger Antonsen (rantonse@ifi.uio.no)

Detaljer

Metode for a avgjre gyldighet av formler. En av verdens raskeste teorembevisere, Vampire, bruker resolusjon.

Metode for a avgjre gyldighet av formler. En av verdens raskeste teorembevisere, Vampire, bruker resolusjon. Forelesning 15: Avanserte emner Roger Antonsen - 29. mai 2006 1 Resolusjon 1.1 Overblikk John Alan Robinson, 1965. Metode for a avgjre gyldighet av formler. Populr, eektiv og enkel a implementere. En av

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)

Dagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens) INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007

Detaljer

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens) INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt

Detaljer

1 Utsagnslogikk (10 %)

1 Utsagnslogikk (10 %) 1 Utsagnslogikk (10 %) a1) A A, C A A C A B A B (A C) B, C B B C B B, C A, C B, C A C B C A C B C B (A C) A (B C) B (A C) Utledningen lukkes ikke og vi får følgende valuasjon v som falsifiserer formelen:

Detaljer

Dagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen

Dagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.

Detaljer

INF3170 { Logikk. Forelesning 5: Automatisk bevissk. Arild Waaler. 29. oktober Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 { Logikk. Forelesning 5: Automatisk bevissk. Arild Waaler. 29. oktober Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3170 { Logikk Forelesning 5: Automatisk bevissk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 29. oktober 2013 Dagens plan 1 Automatisk bevissk 2 Automatisk bevissk II 3 Kompletthet av

Detaljer

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning. Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Forstå teksten og begrepene! Disponér tiden! Forelesning 15: Oppgaveløsing. Christian Mahesh Hansen. 21. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen 1 Generelle eksamenstips Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 21. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO)

Detaljer

Beregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden.

Beregn minutter til å se gjennom og fullføre ubesvarte oppgaver på slutten av eksamenstiden. Forelesning 15: Oppgaveløsing Christian Mahesh Hansen - 21. mai 2007 1 Generelle eksamenstips 1.1 Disponér tiden! Sett opp et grovt tidsbudsjett. En tre timers eksamen har 3 * 60 = 180 minutter. Oppgavene

Detaljer

INF4170 { Logikk. Forelesning 2: Frsteordens logikk. Arild Waaler. 10. september Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF4170 { Logikk. Forelesning 2: Frsteordens logikk. Arild Waaler. 10. september Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF4170 { Logikk Forelesning 2: Frsteordens logikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. september 2013 Dagens plan 1 Innledning til frsteordens logikk 2 Frsteordens logikk -

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 6: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 4: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Resolusjon: regel og utledninger. Overblikk. Definisjon. Forelesning 14: Avanserte emner. Christian Mahesh Hansen

Dagens plan. INF3170 Logikk. Resolusjon: regel og utledninger. Overblikk. Definisjon. Forelesning 14: Avanserte emner. Christian Mahesh Hansen INF3170 Logikk Forelesning 14: Avanserte emner Dagens plan 1 Christian Mahesh Hansen 2 Dualiteter Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 14. mai 2007 4 5 Teorier, aksiomer og ufullstendighet

Detaljer

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7 INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk

Detaljer

INF1800 Forelesning 4

INF1800 Forelesning 4 INF1800 Forelesning 4 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger Kursets hjemmeside blir stadig oppdatert: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf1800/

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden

Detaljer

INF1800 Forelesning 6

INF1800 Forelesning 6 INF1800 Forelesning 6 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk Hvordan fange inn utsagn? Jeg spiser det hvis det er godt. Jeg spiser

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

2. en tolkning av alle ikke-logiske symboler i spraket. n i 2 RM. 1 ; : : : ; t M. 1.2 Sprak og modeller - et komplekst forhold

2. en tolkning av alle ikke-logiske symboler i spraket. n i 2 RM. 1 ; : : : ; t M. 1.2 Sprak og modeller - et komplekst forhold Forelesning 7: Frsteordens logikk { seantikk og sekventkalkyle Roger Antonsen - 6. ars 2006 1 Frsteordens logikk og seantikk 1.1 Repetisjon En odell M for et sprak L bestar av 1. en ikke-to engde jmj,

Detaljer

Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006

Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006 Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler

Detaljer

INF4170 Logikk. Forelesning 12: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle. Bjarne Holen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF4170 Logikk. Forelesning 12: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle. Bjarne Holen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF4170 Logikk Forelesning 12: matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 11. mai 2010 Dagens plan 1 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk 11.05.2010

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

Fri-variabel sekventkalkyle

Fri-variabel sekventkalkyle INF3170 Logikk Forelesning 10: Fri-variabel sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fri-variabel sekventkalkyle 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:38) INF3170

Detaljer

INF1800 Forelesning 17

INF1800 Forelesning 17 INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Redundans i LK-utledninger. Bevissøk med koblinger. Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle

Dagens plan. INF3170 Logikk. Redundans i LK-utledninger. Bevissøk med koblinger. Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 13: matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 7. mai 2007 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 07.05.2007

Detaljer

INF3170 Forelesning 10

INF3170 Forelesning 10 INF3170 Forelesning 10 Fri-variabel sekventkalkyle Roger Antonsen - 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 11:37) Innhold Fri-variabel sekventkalkyle 1 Introduksjon..........................................

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Sekventkalkyle Gerhard Gentzen ( ) Innhold. Forelesning 12: Snitteliminasjon. Herman Ruge Jervell. 8.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Sekventkalkyle Gerhard Gentzen ( ) Innhold. Forelesning 12: Snitteliminasjon. Herman Ruge Jervell. 8. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 12: Herman Ruge Jervell 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 8. mai 2006 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 2 / 27 Regler Innhold

Detaljer

Løsningsforslag oblig. innlevering 1

Løsningsforslag oblig. innlevering 1 Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,

Detaljer

Forelesning 14: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Christian Mahesh Hansen mai 2006

Forelesning 14: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Christian Mahesh Hansen mai 2006 Forelesning 14: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Christian Mahesh Hansen - 22. mai 2006 1 Automatisk bevissøk IV 1.1 Introduksjon Bevissøk med koblinger Vi har til nå sett på forskjellige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen - 7. mai 2007

Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen - 7. mai 2007 Forelesning 13: Automatisk bevissøk IV matriser og koblingskalkyle Bjarne Holen - 7. mai 2007 1 Automatisk bevissøk IV 1.1 Introduksjon Bevissøk med koblinger Vi har til nå sett på forskjellige varianter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)

Detaljer

v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-04 14:11) Forelesning 27 MAT1030 Diskret Matematikk 4. mai 2010

Detaljer

Forelesning 27. MAT1030 Diskret Matematikk. Bevistrær. Bevistrær. Forelesning 27: Trær. Roger Antonsen. 6. mai 2009 (Sist oppdatert: :28)

Forelesning 27. MAT1030 Diskret Matematikk. Bevistrær. Bevistrær. Forelesning 27: Trær. Roger Antonsen. 6. mai 2009 (Sist oppdatert: :28) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 27 6. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:28) MAT1030 Diskret Matematikk 6.

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse

Detaljer

Repetisjon og noen løse tråder

Repetisjon og noen løse tråder INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 29. november 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) Oppgave

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:50) Mer om førsteordens

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære

Detaljer

Mer om førsteordens logikk

Mer om førsteordens logikk INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Mer om førsteordens logikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22

Detaljer

Logiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking

Logiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Inf 3170 Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere Vi får formelspråket Start med

Detaljer

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

FOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning

FOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave

Detaljer

MAT1030 Forelesning 19

MAT1030 Forelesning 19 MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

INF1800 Forelesning 18

INF1800 Forelesning 18 INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk)

Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 6: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (utsagnslogikk) 28. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-28

Detaljer