LO118D Forelesning 5 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner

2 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser

3 Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en mengde ordnede par Vi sier at det første elementet er relatert til det andre elementet

4 Binær relasjon Definisjon Vi definerer en binær relasjon R fra en mengde X til en mengde Y som en delmengde av det kartesiske produktet X Y. Hvis (x, y) R kan vi skrive xry og si at x er relatert til y. If X = Y kaller vi R en binær relasjon på X.

5 Relasjon Mengden {x X (x, y) R for noen y Y } kaller vi domenet til R. Mengden {y Y (x, y) R for noen x X } kaller vi rekkevidden til R.

6 Funksjoner er relasjoner En funksjon er en spesiell type relasjon som må oppfylle følgende: 1 Domenet til f er lik X. 2 For hver x X finnes det eksakt en y Y slik at (x, y) f.

7 Rettet graf En rettet graf brukes til å representere en relasjon slik: Prikker, kalt noder, representerer elementene Piler, kalt rettede kanter, representerer de ordnede parene Et element som er relatert til seg selv lager en løkke i grafen

8 Rettet graf a b c d

9 Oppgave Skriv opp de ordnede parene for relasjonen representert av forrige graf.

10 Refleksiv relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er refleksiv hvis (x, x) R for alle x X

11 Symmetrisk relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er symmetrisk hvis for alle x, y X, hvis (x, y) R, så er (y, x) R.

12 Antisymmetrisk relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er antisymmetrisk hvis for alle x, y X, hvis (x, y) R og x y, så er (y, x) / R. Merk at antisymmetrisk ikke er det samme som ikke-symmetrisk, en relasjon kan være både symmetrisk og antisymmetrisk.

13 Transitiv relasjon Definisjon En relasjon R på en mengde X er transitiv hvis for alle x, y, z X, hvis (x, y) R og (y, z) R, da (x, z) R.

14 Partiell ordning Definisjon En relasjon R på en mengde X som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.

15 Oppgave Avgjør om følgende relasjon er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk, transitiv og/eller en partiell ordning: (x, y) R hvis x y

16 Sammenlignbarhet Hvis R er en partiell ordning på mengde X skriver vi noen ganger x y for å indikere (x, y) R. Hvis R er en partiell ordning, x, y X og vi har enten x y eller y x sier vi at x og y er sammenlignbare. Hvis alle par av elementer i X er sammenlignbare sier vi at R er en total ordning.

17 Invers Definisjon La R være en relasjon fra X til Y. Invers av R, skrevet R 1, er relasjonen fra Y til X definert som R 1 = {(y, x) (x, y) R}

18 Komposisjon Definisjon La R 1 være en relasjon fra X til Y og R 2 være en relasjon fra Y til Z. Vi kan nå definere en komposisjon R 1 R 2 som er en relasjon fra X til Z definert av R 2 R 1 = {(x, z) (x, y) R 1 og (y, z) R 2 for noen y Y }

19 Partisjon Vi husker at en partisjon av en mengde X er en familie S av delmengder av X slik at hvert element i X finnes i eksakt et medlem av S.

20 Teorem Teorem La S være en partisjon av mengden X. Definer xry slik at for en mengde S i S, så er både x og y medlemmer av S. Da er R refleksiv, symmetrisk og transitiv.

21 Ekvivalensrelasjoner Elementene i S er ekvivalente med tanke på relasjonen R Vi kaller derfor relasjoner som er refleksive, symmetriske og transitive ekvivalensrelasjoner.

22 Teorem Teorem La R være en ekvivalensrelasjon på mengden X. For hver a X la [a] = {x X xra} ([a] er mengden av alle elementer i X som er relatert til a). Da er S = {[a] a X } en partisjon av X.

23 Ekvivalensklasser Definisjon La R være en ekvivalensrelasjon på mengden X. Mengdene [a] er da ekvivalensklassene til X gitt av relasjonen R.

24 Oppgave List opp medlemmene av ekvivalensrelasjonen på {1, 2, 3, 4} og finn ekvivalensklassene [1], [2], [3] og [4] gitt av partisjonen {{1}, {2, 4}, {3}}.

25 Teorem Teorem La R være en ekvivalensrelasjon på en endelig mengde X. Hvis hver ekvivalensklasse har r elementer finnes det X /r ekvivalensklasser.

26 Matriser av relasjoner En matrise kan være en nyttig måte å representere en relasjon fra X til Y. Radene merkes med elementer fra X (i tilfeldig rekkefølge). Kolonnene merkes med elementer fra Y (i tilfeldig rekkefølge). Vi setter matriseelementet i rad x, kolonne y til 1 hvis xry, til 0 ellers. Dette kalles matrisen av relasjonen R (relativt til ordningene av X og Y ).

27 Refleksiv Vi kan se om en relasjon R på mengden X er refleksiv ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Matrisens diagonal består da av kun 1-ere.

28 Symmetrisk Vi kan se om en relasjon R på mengden X er symmetrisk ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Matrisen er da symmetrisk om diagonalen.

29 Antisymmetrisk Vi kan se om en relasjon R på mengden X er antisymmetrisk ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ). Da er m ij = 0 hvis m ji = 1 når i j.

30 Transitiv Vi kan se om en relasjon R på mengden X er transitiv ved å sette opp matrisen A av R (relativt en ordning av X ) og multiplisere A med seg selv. Dette er tilfelle hvis vi for alle elementer i, j i A 2 som er forskjellig fra 0 også har elementer i, j i A som er forskjellig fra 0.

31 Teorem Teorem La R 1 være en relasjon fra X til Y og la R 2 være en relasjon fra Y til Z. Velg ordninger av X, Y og Z. La A 1 være matrisen av R 1 og la A 2 være matrisen av R 2 relativt til de valgte ordningene. Vi kan da finne matrisen av relasjonen R 2 R 1 relativt de valgte ordningene ved å bytte ut alle elementer som er forskjellig fra 0 med 1 i matriseproduktet A 1 A 2.

32 Relasjonsdatabaser Selvstudium.

33 Neste gang Rekurrensrelasjoner