MAT1140: Notat om grafteori

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MAT1140: Notat om grafteori"

Transkript

1 MAT1140: Notat om grafteori Dette notatet har to hensikter for det første å lære bort litt grafteori og for det andre å gi et eksempel på hvordan en matematisk teori bygges opp systematisk ved hjelp av definisjoner, eksempler og beviser. 1 Grunnleggende egenskaper Hvis du aldri har hørt ordet grafteori før, får det deg sikkert til å tenke på funksjonsgrafer, men de grafene man møter i grafteorien, er av en helt annen type. Uformelt kan vi tenke på en slik graf som en samling punkter i planet forbundet med streker, slik som figur 1 viser et eksempel på. f e a b d c Figur 1: En graf Vanligvis er vi ikke interessert i hvordan punktene og strekene er plassert, bare i hvilke punkter som er forbundet med hverandre. Vi kan derfor bruke to mengder til å beskrive grafen ovenfor. Den ene er mengden av punkter, og den andre er mengden V = {a, b, c, d, e, f} E = {{a, b}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {a, f}, {b, c}, {b, f}, {c, e}, {e, f}} av alle par av punkter som er forbundet med en strek. Vi kaller ofte punktene for hjørnene eller nodene i grafen og strekene for kantene. Dette leder oss til følgende formelle definisjon: Definisjon 1 En graf G = (V, E) består av en endelig, ikke-tom mengde V og en samling E av uordnede par {u, v} av ulike elementer u, v V. Punktene i V kalles hjørnene eller nodene i grafen, men elementene i E kalles kanter. Vi sier at kanten {u, v} forbinder u og v, og at u og v hører til kanten {u, v}. Bemerkning: Vi tillater altså ikke at det går kanter fra et hjørne til seg selv (løkker) eller at det går flere kanter mellom de samme to punktene. Det finnes imidlertid sammenhenger der man ønsker å tillate slike grafer (grafer med 1

2 løkker og multigrafer) også, akkurat som det finnes situasjoner der det er naturlig å tillate grafer med uendelig mange hjørner. Grafer kan brukes til så mangt. En naturlig tanke er at hjørnene markerer byer på et kart, og at kantene representerer veiene mellom dem. På samme måte kan vi tenke på en graf som et bilde av et elektrisk nettverk eller et kanalsystem. Men vi kan også tenke litt mer abstrakt: Kanskje representerer hjørnene alle menneskene i et selskap, og kantene viser hvem som kjenner hverandre fra før. Tenker du deg litt om, vil du fort se at en hvilken som helst symmetrisk relasjon kan representeres ved en graf. I noen tilfeller vil hjørnene være av forskjellig art. Noen kan f.eks. representere bøkene i et bibliotek, mens andre representerer lånerne. En kant mellom en bok og en låner kan da bety at boken engang har vært lånt av denne låneren. Vi skal begynne vår utforsking av grafer ved å se på hvordan vi kan bevege oss i grafen ved å følge kantene. En vandring eller en tur er en alternerende sekvens u 0, e 1, u 1, e 2,..., u n 1, e n, u n av hjørner og kanter der hver kant e i forbinder de to hjørnene den ligger mellom, dvs. e i = {u i 1, u i } for alle i. Ofte benytter vi en forenklet skrivemåte for vandringer: u 0 u 1... u n 1 u n Lengden til en vandring er antall kanter som inngår, så vandringen over har lengde n. Vi godtar vandringer av lengde 0, dvs. vandringer av typen u 0 der man bare står stille i et punkt. En sti er en vandring u 0 u 1... u n 1 u n der ingen hjørner forekommer mer enn én gang. Eksempel 1: Går vi tilbake til figur 1, ser vi at e c a f a d er en vandring som ikke er en sti (vi er innom a to ganger). Derimot er e c a d en sti som forbinder de samme punktene. Setning 2 Det finnes en sti fra u til v hvis og bare hvis det finnes en vandring fra u til v. Bevis: Siden enhver sti er en vandring, er den ene implikasjonen opplagt. For den andre implikasjonen antar vi at det finnes vandringer fra u til v, og velger en med minimal lengde u u 1... u n 1 v 2

3 Dette må være en sti, for hvis ikke finnes det to hjørner u i og u j, i < j, som er like, og da kan vi forkorte vandringen til u u 1... u i u j+1 u n 1 v noe som åpenbart er umulig siden vi startet med en vandring med minimal lengde. Bemerkning: Det er lurt å legge merke til formen på beviset ovenfor. Vi tar for oss et minimalt eksempel (her en vandring med minimal lengde), og viser at det gjør jobben for oss. Beviser av den typen kan ofte omformuleres som induksjonsbevis, men i grafteori er det ofte mer effektivt å ta utgangspunkt i minimale eksempler/moteksempler. En sykel er en vandring u 0 u 1... u n 1 u 0 med lengde minst tre som begynner og ender i samme punkt, og der ingen av hjørnene u 0, u 1,..., u n 1 er like. Grunnen til at vi krever at lengden skal være minst tre, er at vi ikke ønsker å regne vandringen u 0 u 1 u 0, som går frem og tilbake på samme kant, som en sykel. Eksempel 2: I grafen i figur 1 er b c e f b en sykel. Grafen i figur 1 er, i en intuitiv forstand, sammenhengende, mens grafen i figur 2 ikke er det vi har fjernet så mange av kantene i figur 1 at grafen har delt seg i to deler eller komponenter. f e a b d c Figur 2: En ikke-sammenhengende graf 3

4 Definisjon 3 En graf er sammenhengende dersom uansett hvilke hjørner u, v V vi velger, så finnes det en vandring fra u til v. Ifølge setningen ovenfor er to punkter i en sammenhengende graf alltid forbundet av en sti. For ikke-sammenhengende grafer er det nyttig å innføre relasjonen definert ved u v det finnes en vandring fra u til v Setning 4 er en ekvivalensrelasjon. Bevis: Vi må vise at tilfredsstiller de tre kravene til en ekvivalensrelasjon: (i) Refleksivitet: Vandringen u (av lengde 0) forbinder u med seg selv, og følgelig er u u. (ii) Symmetri: Går det en vandring fra u til v, så går det også en vandring (den baklengse ) fra v til u. (iii) Transitivitet: Går det en vandring u u 1... u n 1 v fra u til v, og en vandring v v 1... v k 1 w, så går den sammensatte vandringen u u 1... u n 1 v v 1... v k 1 w fra u til w. Dette viser at hvis u v og v w, så er u w Ekvivalensklassene til kalles komponentene til grafen. To hjørner ligger i samme komponent hvis og bare hvis de er forbundet av en vandring. Grafen i figur 2 har to komponenter, K 1 = {a, d, e, f} og K 2 = {b, c}. Vi skal ofte være interessert i hva som skjer når vi fjerner en kant fra en graf. Setning 5 Fjerner vi en kant fra en sammenhengende graf, vil den enten fortsette å være sammenhengende eller dele seg i to komponenter. Bevis: Anta at vi fjerner kanten {u, v} fra en sammenhengende graf. Vi skal vise at i den nye grafen er ethvert punkt forbundet med enten u eller v, og dermed kan det maksimalt være to komponenter: den u ligger i og den v ligger i (disse kan godt være den samme). Siden den opprinnelige grafen er sammenhengende, finnes det for ethvert hjørne w V en sti w u 1... u n 1 u fra w til u. Hvis denne stien ikke inneholder den fjernede kanten, vil den også være en sti fra w til u i den nye grafen. Dersom den inneholder den fjernede kanten, må det være som siste kant siden u bare kan være med i stien én gang; dvs. stien er w u 1... v u Kutter vi ut det siste skrittet, har vi dermed funnet en vandring fra w til v i den nye grafen. Dette viser at w er forbundet med enten u eller v (eller begge). Neste resultat forklarer når vi havner i de to alternativene i setningen ovenfor. 4

5 Setning 6 Anta at e er en kant i en sammenhengende graf G. Grafen vi får ved å fjerne e fra G er sammenhengende hvis og bare hvis det finnes en sykel i G som inneholder e. Bevis: La e = {u, v}. Hvis grafen vi får ved å fjerne e er sammenhengende, inneholder den en sti fra v til u. Dermed er v u 1... u n 1 u u v u 1... u n 1 u en sykel i G som inneholder e. Anta omvendt at det finnes en sykel i G som inneholder e. Da er u v u 1... u n 1 u v u 1... u n 1 u en sti fra v til u i den reduserte grafen som følgelig er sammenhengende. I neste seksjon skal vi bruke teknikkene ovenfor til å studere en spesiell type grafer de som kalles trær. Oppgaver til seksjon 1 1. Den komplette grafen med n hjørner er en graf som har n hjørner, og der alle hjørnene er forbundet med kanter. Lag tegninger av K 3, K 4 og K 5. Hvor mange kanter har K n? 2. I den komplette bipartitte grafen grafen K n,m er det n + m hjørner som er delt i to grupper én med n elementer og én med m elementer. Det går kanter fra hvert hjørne i den ene gruppen til alle hjørnene i den andre, men det er ingen kanter mellom hjørner i samme gruppe. Lag tegninger av K 2,3 og K 3,3. Hvor mange kanter er det i K n,m? 3. Vis at i en sykel går du aldri over samme kant flere ganger. 4. Vis at en symmetrisk relasjon på en endelig mengde alltid kan fremstilles som en graf der to forskjellige elementer er forbundet med en kant hvis og bare hvis de står i relasjon til hverandre. Hvordan ser grafen til en ekvivalensrelasjon ut? 5. Hvis v er et hjørne i en graf G = (V, E), definerer vi graden deg v til v til å være antall kanter som v tilhører. Vis at v V deg v = 2e der e er antall kanter i grafen. 6. Anta at G = (V, E) er en graf. Komplementgrafen til G er grafen G c = (V, E c ) som har de samme hjørnene som G, men der to hjørner er forbundet hvis og bare hvis de ikke er forbundet i G. 5

6 a) Finn komplementgrafene til grafene i figur (i) og (ii). (i) a b d c (ii) d e a c b b) Vis at hvis den opprinnelige grafen G er usammenhengende, er komplementærgrafen G c sammenhengende. Anta at G 1 = (V 1, E 1) og G 2 = (V 2, E 2) er to grafer. En isomorfi mellom G 1 og G 2 er en bijeksjon f : V 1 V 2 slik at det går en kant mellom to hjørner u og v i G 1 hvis og bare hvis det går en kant mellom de tilsvarende to hjørnene f(u) og f(v) i G 2. To grafer kalles isomorfe dersom det finnes en isomorfi mellom dem, og en graf kalles selvkomplementær dersom den er isomorf med sin komplementgraf. c) Vis at grafene i figur (i) og (ii) er selvkomplementære. d) Vis at dersom en graf G har n hjørner, så har G og G c til sammen n(n 1) 2 kanter. e) (Dette punktet forutsetter at du kan litt tallteori.) Bruk resultatet i d) til å vise at dersom G er selvkomplementær, så er n 0 (mod 4) eller n 1 (mod 4). 7. En trekant i en graf G = (V, E) er en samling av tre hjørner u, v, w V som alle er forbundet med kanter (dvs. at {u, v}, {u, w}, {v, w} E). Vis ved induksjon at dersom G er en graf med 2k hjørner som ikke inneholder trekanter, så har G maksimalt k 2 kanter. Finn deretter eksempler som viser at det for hver k finnes trekantfrie grafer med 2k hjørner som har k 2 kanter. 8. Vis at det i en forsamling på seks personer alltid vil være enten en gruppe på tre personer der alle kjenner hverandre, eller en gruppe på tre personer der ingen kjenner hverandre. 9. Vi har en samling gutter og jenter. Hver gang vi plukker ut en gruppe av guttene, kjenner de tilsammen minst like mange av jentene (en gruppe på k gutter kjenner altså til sammen minst k jenter). Vis at det er mulig å gifte bort alle guttene med en jente de kjenner. 10. En lukket vandring i en graf er en vandring som begynner og ender i samme node. Vi kaller en graf bipartitt dersom (i) den har minst to noder (ii) den er sammenhengende (iii) alle lukkede vandringer har like lengde (altså en lengde som er et partall). a) La u, v være to noder i en bipartitt graf G = (V, E). Vis at enten har alle vandringer fra u til v like lengde eller så har de alle odde lengde. b) Definer en relasjon på V ved u v alle vandringer fra u til v har like lengde Vis at er en ekvivalensrelasjon. 6

7 c) Vis at har nøyaktig to ekvivalensklasser og at hver kant har én node i hver ekvivalensklasser. d) La nå G = (V, E) være en sammenhengende graf med minst to noder der alle sykler har like lengde. Vis at G er bipartitt. 11. Anta at G er en sammenhengende graf og at x, y er to forskjellige hjørner. En Euler-vandring fra x til y er en vandring som starter i x og ender i y, og der hver kant i grafen forekommer nøyaktig én gang. En Euler-krets er en vandring som begynner og slutter i samme hjørne, og der hver kant i grafen forekommer nøyaktig én gang. a) Anta at det finnes en Euler-vandring fra x til y (der x y). Vis at alle hjørnene i G har partallsgrad unntatt x og y som har odde grad. (Hint: Hver gang vandringen er innom et hjørne, bruker den opp to kanter én på vei inn og én på vei ut). b) Anta at G har en Euler-krets. Vis at alle hjørnene i G har partallsgrad. c) Finn en Euler-vandring i den første grafen nedenfor og vis at det hverken finnes en Euler-vandring eller en Euler-krets i den andre. I de neste to punktene er G en sammenhengende graf med nøyaktig to hjørner av odde grad, x og y. Vi skal vise at det alltid finnes en Euler-vandring som starter i x og ender i y. d) En vandring kalles akseptabel dersom den ikke inneholder noen kant mer enn én gang (en Euler-vandring er dermed en akseptabel vandring som inneholder alle kanter). Vis at det finnes en akseptabel vandring som starter i x og ender i y. e) Vis at den lengste akseptable vandringen fra x til y må være en Eulervandring. (Hint: Vis at hvis den ikke er en Euler-vandring, så må det finnes et hjørne u på vandringen som har en ubrukt kant. Start en ny vandring lang denne kanten og fortsett den nye vandringen på bare ubrukte kanter inntil det ikke er flere igjen. Forklar at den nye vandringen da må være tilbake i u, og bruk dette til å konstruere en akseptabel vandring som er lengre enn den opprinnelige.) Du har nå vist følgende resultat: Teorem A: En sammenhengende graf har en Euler-vandring hvis og bare hvis den har nøyaktig to hjørner av odde grad. En slik vandring starter i det ene 7

8 oddetalltallshjørnet og ender i det andre. Det finnes et tilsvarende resultat for Euler-kretser : Teorem B: En sammenhengende graf har en Euler-krets hvis og bare hvis alle hjørner har partallsgrad. f) Bevis teorem B. 12. La G = (V, E) være en sammenhengende graf med n hjørner, hvor n 2. To utvalgte hjørner er merket med henholdsvis START og SLUTT. Vi oppfatter G som et spill mellom to spillere Hans og Grete. Spillerne setter en spillebrikke på START, og flytter den etter tur langs kantene fra hjørne til hjørne, og på den måten lager de en vandring s. Man vinner spillet ved å være den som flytter brikken til SLUTT, eller ved at motspilleren flytter brikken til samme hjørne to ganger. a) Vis at det finnes en øvre skranke for hvor mange trekk et parti kan vare før en av spillerne har vunnet. b) I et kjent spill starter man med 10 fyrstikker, spillerne skal etter tur ta bort én, to eller tre fyrstikker, og den som tar bort den siste fyrstikken har vunnet. Illustrer dette spillet som en graf. En strategi vil være en funksjon f som til ethvert hjørne v og en vandring s fra START til v, gir et nabohjørne f(s) til v. En strategi er en vinststrategi for en av spillerne hvis hun/han vinner ved alltid å flytte brikken fra v til f(s) når hun/han er i trekket og brikken står på hjørnet v etter at spillerne har fulgt vandringen s frem til da, uansett hvordan motspilleren spiller. c) Vis at én av spillerne har en vinststrategi, men at ikke begge spillerne kan ha det. d) Vis ved et eksempel at om vi fjerner betingelsen om at en spiller som flytter til samme hjørne to ganger har tapt, kan det hende at ingen av spillerne har en vinststrategi. 2 Trær Vi skal nå bruke redskapene vi har utviklet, til å studere en viktig gruppe grafer som kalles trær. Trær er spesielt viktig i informatikk der de blant annet brukes til å holde styr på store programmer og databaser. Definisjon 7 Et tre er en sammenhengende graf uten sykler. Grafene i figur 1 og figur 2 er åpenbart ikke trær, men grafen i figur 3 er det. 8

9 f e a b d c Figur 3: Et tre Vi begynner med en nyttig observasjon. Setning 8 Anta at G = (V, E) er en sammenhengende graf. Da finnes det en delmengde E E slik at G = (V, E ) er et tre; mao. kan vi alltid gjøre om en sammenhengende graf til et tre ved å fjerne noen av kantene. Bevis: Dersom G ikke allerede er et tre, må den inneholde en sykel. Ifølge setning 6 kan vi fjerne en kant fra denne sykelen uten å ødelegge sammenhengen til grafen. Enten sitter vi nå igjen med et tre, eller så finnes det fortsatt en sykel i grafen der vi kan fjerne en ny kant. Fortsetter vi på denne måten, kommer vi før eller siden frem til et tre (siden det bare er endelig mange kanter å fjerne, må prosedyren til slutt stoppe opp). Et tre som i setningen ovenfor kalles et utspenningstre for grafen G. Vanligvis finnes det mange utspenningstrær, og hvilket vi finner, avhenger av hvilke kanter vi fjerner. Hvis du ser nærmere etter, vil du se at treet i figur 3 er et utspenningstre for grafen i figur 1. Utspenningstrær brukes mye i informatikk, for eksempel i søkealgoritmer. Vi skal nå bevise noen nyttige karakteriseringer av trær: Setning 9 Anta at G er en graf med n hjørner og e kanter. Da er følgende ekvivalent. (i) G er et tre. (ii) G er sammenhengende og n = e + 1. Bevis: (i)= (ii): Hvis G er et tre, er G sammenhengende per definisjon, og det er nok å vise at n = e+1. Vi gjør dette ved induksjon på e. Er e = 1, har grafen to noder, og følgelig gjelder formelen. Anta så at formelen gjelder for alle trær med k eller færre kanter, og la G være et tre med k + 1 kanter. Fjerner vi en kant fra G, sitter vi ifølge setning 5 og 6 igjen med to komponenter K 1 og K 2. 9

10 Siden ingen av disse komponentene inneholder sykler (det er ingen sykler i G), må de være trær, og følgelig gjelder formelen for dem; dvs. n 1 = e n 2 = e der n 1, n 2 er antall hjørner og e 1, e 2 er antall kanter i de to komponentene. Legger vi sammen disse ligningene og bruker at n = n 1 + n 2 og e 1 = e 1 + e 2 (husk at vi fjernet en kant), får vi n = n 1 + n 2 = (e 1 + 1) + (e 2 + 1) = e + 1 (ii)= (i): Det holder å vise at G ikke har sykler. Anta for motsigelse at den har, da kan vi ifølge setning 8 redusere G til et tre G ved å fjerne kanter. For treet G gjelder relasjonen n = e + 1 som dermed ikke kan holde for G, og vi har selvmotsigelsen vi var på jakt etter. Den neste karakteriseringen bytter ut sammenheng med sykelfrihet: Setning 10 Anta at G er en graf med n hjørner og e kanter. Da er følgende ekvivalent. (i) G er et tre. (ii) G har ikke sykler og n = e + 1. Bevis: (i)= (ii): Dette vet vi allerede. (ii)= (i): Det holder å vise at G er sammenhengende. Observér at hver av komponentene K 1, K 2,..., K r til G er et tre. Ifølge det vi allerede har vist, har vi dermed n 1 = e n 2 = e n r = e r + 1 Legger vi samme, får vi n = e+r. Ifølge antagelsen er n = e+1, så vi har r = 1. Dette betyr at G kun har én komponent, og altså er sammenhengende. Setning 11 Anta at G er en graf. Da er følgende ekvivalent. (i) G er et tre. (ii) Mellom to punkter u, v i grafen finnes det alltid nøyaktig én sti. 10

11 Bevis: (i)= (ii): Siden G er sammenhengende, finnes det minst én sti fra u til v. Anta for motsigelse at det finnes to forskjellige stier og u u 1... u n 1 v u v 1... v m 1 v fra u til v, og la i være det minste tallet slik at u i v i. Definér også j = min{k > i p > i(u k = v p or v k = u p )} Intuitivt er i tidspunktet der stiene skiller lag for første gang, mens j markerer det første tidspunktet etter i der de krysser hverandre igjen. Vi har nå laget en sykel i G: Følg stien u u 1... u n 1 v fra u i 1 til de to stiene møtes igjen, og følg deretter den andre stien baklengs fra møtepunktet tilbake til v i 1 = u i 1. Dette er en selvmotsigelse siden G er et tre og dermed ikke har sykler. (ii)= (i) Det holder å vise at G ikke kan ha en sykel. Anta for motsigelse at den har en: u 1 u 2... u n 1 u 1 Da er u 2 u 1 og u 2... u n 1 u 1 to forskjellige stier fra u 2 til u 1, noe som strider mot antagelse (ii). Setning 12 Anta at G er en graf. Da er følgende ekvivalent. (i) G er et tre. (ii) G har ingen sykel, men legger vi til en ny kant, oppstår det en sykel. Bevis: (i)= (ii): Vi vet at G ikke har en sykel. Anta at det ikke går en kant fra u til v. Stien u u 1... u n 1 v i den opprinnelige grafen kan dermed utvides til en sykel u u 1... u n 1 v u i den nye grafen vi får ved å legge til kanten {u, v}. (ii)= (i): Vi må vise at G er sammenhengende. Anta ikke og plukk punkter u, v i to forskjellige komponenter K og K. Legger vi til kanten {u, v}, blir kombinasjonen av K og K en sammenhengende graf G. Siden G blir usammenhengende om vi fjerner {u, v} igjen, finnes det ifølge setning 6 ingen sykel i G som inneholder {u, v}, og dermed ingen sykel i G overhodet (den opprinnelige grafen inneholder jo ikke sykler). Siden ingen av de andre komponentene til G inneholder noen sykler, betyr det at vi kan legge {u, v} til G uten å skape sykler, og det strider mot antagelse (ii). 11

12 Bemerkning: I denne seksjonen har vi gitt fem logisk ekvivalente beskrivelser av hva et tre er. Som du sikkert har oppdaget allerede, liker matematikere å kalle slike beskrivelser for karakteriseringer. Karakteriseringene er nyttige både når vi skal vise at noe er et tre og når vi skal utnytte at noe er et tre vi kan alltid velge den beskrivelsen som passer best til formålet. Oppgaver til seksjon 2 1. Tegn alle mulige trær med seks hjørner (det er del av oppgaven å gi en rimelig tolkning av alle mulige ). 1. Finn to forskjellige utspenningstrær for grafen i figur Finn to ulike utspenningstrær for grafen på figuren. e d c a b 3. Vis at alle utspenningstrærne til en sammenhengende graf G har like mange kanter. 4. En graf G = (V, E) er bipartitt dersom V er en disjunkt union V = V 1 V 2 der alle kanter forbinder et punkt i V 1 med et punkt i V 2. Vis at et tre alltid er en bipartitt graf. 5. a) Vis at i en sammenhengende graf med n hjørner, er det alltid minst n 1 kanter. En skog er en graf der hver komponent er et tre (et tre er altså en sammenhengende skog). b) Vis at en graf G med k komponenter er en skog hvis og bare hvis n = e+k. 6. Et tre med rot er et tre G = (V, E) der ett av hjørnene (kall det r) er blitt utpekt som rot. La høyden til et hjørne v være lengden på stien fra r til v. Vi betegner høyden til v med h(v) a) Vis at relasjonen på V definert ved er en ekvivalensrelasjon. u v h(u) = h(v) b) Vis at relasjonen på V definert ved er en partiell ordning. u v h(u) h(v) c) Vis at relasjonen på V definert ved u v u ligger på veien fra r til v er en partiell ordning. Vis at er en forfining av. 12

13 3 Planare grafer I denne og den neste seksjonen skal vi til en viss grad basere oss på geometrisk intuisjon om kurver og områder i planet. Denne intuisjonen kan underbygges matematisk (blant annet gjennom å bevise Jordans kurveteorem som sier at enhver enkel, lukket, kontinuerlig kurve deler planet i to områder: innsiden av kurven og utsiden), men det ville ta for lang tid å gjøre dette her. Den grunnleggende definisjonen er: Definisjon 13 En graf er planar dersom vi kan tegne den i planet uten at noen kanter krysser hverandre. En slik tegning kalles en planar representasjon av grafen. Planare grafer er viktige i mikroelektronikk der det er en stor fordel å lage elektriske kretser slik at ledningene ikke krysser hverandre. Legg merke til at planare grafer kan tegnes på forskjellige måter, og at noen egenskaper kan være avhengig av hvilken tegnemåte (planar representasjon) vi velger. F 1 F 4 F 2 F 3 F 5 Figur 3: En planar graf med fasetter Kantene i en planar representasjon av en graf deler planet inn i endelig mange sammenhengende områder som kalles fasetter. Vær oppmerksom på at også den ytre delen ( utsiden av grafen ) regnes som en fasett. Grafen ovenfor har fem fasetter F 1, F 2, F 3, F 4, F 5. Forskjellige representasjoner av samme graf gir opphav til ulike fasettstrukturer. I utgangspunktet er det ikke engang opplagt at ulike representasjoner av samme graf vil ha like mange fasetter, men det vil følge fra hovedresultatet i denne seksjonen: Teorem 14 (Eulers formel) La n være antall hjørner, e antall kanter og f antall fasetter i en planar representasjon av en sammenhengende graf. Da er n e + f = 2 Bevisskisse: Vi bruker induksjon på antall fasetter f. Hvis f = 1, kan grafen ikke ha sykler og er derfor et tre. Ifølge setning 9 er da n = e + 1, og følgelig er n e + f = (n e) + f = = 2. 13

14 Anta nå at resultatet holder for planare representasjoner med k fasetter, og la oss se på en planar representasjon med k + 1 fasetter. Fjerner vi en kant som inngår i en sykel, vil den nye grafen ha én kant og én fasett mindre enn før (når vi fjerner en slik kant, slår to fasetter seg sammen). Ved induksjon holder formelen for den nye grafen, og siden vår graf har én kant og én fasett mer, gjelder formelen også for den. Korollar 15 Alle planare representasjoner av samme graf har like mange fasetter. Bevis: Ifølge Eulers formel er f = 2 n + e, og siden n og e er de samme for alle representasjoner, må f også være det. Vi tar også med noen korollarer vi trenger i neste seksjon. Korollar 16 I en sammenhengende, planar graf med minst tre hjørner er e 3n 6, der e er antall kanter og n antall hjørner. Bevis: Velg en planar representasjon. La deg(f ) være antall kanter som avgrenser fasetten F. Siden hver kant er med å avgrense to fasetter, er 2E = F F deg(f ), der F er mengden av fasetter. Det må minst tre kanter til å avgrense en fasett (her bruker vi at grafen har minst tre hjørner), så deg(f ) 3 og dermed 2e = F F deg(f ) 3f = 3(2 n + e) = 6 3n + 3e ifølge Eulers formel. Snur vi litt på denne ulikheten, får vi e 3n 6. Graden til et hjørne i en graf er antall naboer det har. Graden til v betegnes med deg(v). Observér at siden hver kant hører til to hjørner, er deg(v) = 2e v V Korollar 17 Enhver sammenhengende, planar graf har et hjørne av grad 5 eller lavere. Bevis: Vi kan åpenbart anta at grafen har flere enn tre hjørner. Hvis δ er den minste graden et hjørne har, ser vi ved hjelp av forrige korollar at δn v V deg v = 2e 2(3n 6) = 6n 12 og følgelig er δ < 6. Oppgaver til seksjon 3 1. Hva er n, e og f for grafen i figur 1? Kontroller at Eulers formel holder for denne grafen. 14

15 2. Den komplette grafen med n hjørner, K n, har n hjørner og alle par av hjørner er forbundet med kanter. a) Vis at K 2, K 3 og K 4 er planare. b) Bruk korollar 16 til å vise at K 5 ikke er planar. 3. Den komplette bipartitte grafen, K n,n, har 2n hjørner som er delt inn i to grupper med n hjørner i hver. Det er ingen kanter mellom hjørnene i samme gruppe, men alle hjørnene i én gruppe er forbundet med alle hjørnene i den andre gruppen. a) Vis at K 2,2 er planar. b) Anta for motsigelse at K 3,3 er planar. Forklar at hver fasett må være avgrenset av minst fire kanter, og bruk dette til å vise at f e. Bruk Eulers formel til å fremskaffe en selvmotsigelse. 4. Kuratowskis teorem sier at en graf er planar hvis og bare hvis den ikke inneholder kopier av K 5 (se oppgave 1) eller K 3,3 (se oppgave 2). a) Bruk Kuratowskis teorem til å vise at grafen nedenfor ikke er planar. f e a b d c b) Vis at grafen vi får ved å fjerne kanten {b, d} er planar, og gi en planar tegning av den. 4 Fargelegging av grafer Å fargelegge en graf vil si å gi hvert hjørne en farge uten at noen nabohjørner får samme farge. Det gjelder å fargelegge grafer med færrest mulig farger. Dersom grafen kan fargelegges med k farger, sier vi at den er k-fargbar. Det første resultatet er lett: Setning 18 Anta at alle hjørner i en graf G har grad mindre enn eller lik. Da kan G fargelegges med + 1 eller færre farger (G er altså + 1-fargbar). Bevis: Vi bruker induksjon på antall hjørner. Siden resultatet åpenbart holder for grafer med ett hjørne, kan vi konsentrere oss om induksjonstrinnet. Anta 15

16 derfor at resultatet holder for grafer med k hjørner, og at G er en graf med k + 1 hjørner. Lag en ny graf G ved å fjerne et hjørne v og alle tilhørende kanter. Ved induksjonshypotesen kan G fargelegges med + 1 farger. Siden v ikke har flere enn naboer, er det minst én farge som ikke er brukt på noen av nabopunktene, og fargeleggingen kan derfor utvides fra G til G. Fargelegging av grafer er nært knyttet til fargelegging av kart. Anta vi har et kart og ønsker å fargelegge landene slik at to naboland aldri får samme farge. Vi antar at landene er sammenhengende, og vi regner to land som naboer dersom de har et felles grensestykke (det holder altså ikke at de møtes i ett punkt). Det viser seg at det alltid er mulig å fargelegge slike kart med bare fire farger (firefargeteoremet). For å bevise firefargeteoremet er det nok å vise at alle planare grafer kan fargelegges med fire farger. Gitt et kart, kan vi nemlig velge et punkt (en hovedstad) i hvert land og trekke kurver som forbinder hovedstedene i land som grenser til hverandre. Det er mulig å gjøre dette på en slik måte at forbindelseskurvene aldri skjærer hverandre, og følgelig danner hovedstedene og forbindelseslinjene en planar graf. Enhver fargelegging av grafen kan utvides til en fargelegging av kartet (gi hele landet samme farge som hovestaden). Det finnes ikke noe enkelt bevis for firefargeproblemet; alle kjente bevis bruker datamaskiner til å sjekke hundrevis av grunnleggende konfigurasjoner. Det finnes imidlertid overkommelig bevis for at alle planare grafer (og dermed alle kart) kan fargelegges med fem eller færre farger. Som en oppvarming starter vi med å vise at seks farger holder. Teorem 19 (Seksfargeteoremet) Enhver planar graf kan fargelegges med seks eller færre farger. Bevis: Vi bruker induksjon på antall hjørner. Har grafen bare ett hjørne, er resultatet opplagt, så vi kan konsentrere oss om induksjonstrinnet. Anta at resultatet gjelder for grafer med k hjørner, og la G være en graf med k +1 hjørner. Ifølge Korollar 17 har v et hjørne med grad 5 eller lavere. Vi lager en ny graf G ved å fjerne v og alle tilhørende kanter. Ifølge induksjonsantagelsen finnes det en fargelegging av G med 6 eller færre farger. Siden v har høyst 5 naboer, kan denne fargeleggingen utvides til hele G. Beviset for at vi faktisk kan greie oss med fem farger, følger den samme idéen, men i tillegg trenger vi et smart triks: Teorem 20 (Femfargeteoremet) Enhver planar graf kan fargelegges med fem eller færre farger. Bevisskisse: Vi bruker induksjon på antall hjørner. Har grafen bare ett hjørne, er resultatet opplagt, så vi kan konsentrere oss om induksjonstrinnet. Anta at resultatet gjelder for grafer med k hjørner, og la G være en graf med k + 1 hjørner. Vi antar for motsigelse at G ikke kan fargelegges med 5 farger. Ifølge Korollar 17 har v et hjørne med grad 5 eller lavere. Vi lager en ny graf G ved å fjerne v og alle tilhørende kanter. Ifølge induksjonsantagelsen finnes 16

17 det en fargelegging av G med 5 eller færre farger. Siden G ikke kan fargelegges med 5 farger, må v ha 5 nabopunkter som har 5 forskjellige farger (hvis ikke kunne vi ha utvidet fargeleggingen av G til en fargelegging av G). Kall disse punktene v 1, v 2, v 3, v 4 og v 5, og nummerer dem i rekkefølge rundt klokken som vist på figuren. La c i være fargen til v i for i = 1, 2, 3, 4, 5. v 5 v 4 v v 1 v 3 v 2 Figur 5: Bevis for femfargeteoremet Vi ser nå på delgrafen G 1,3 i G som består av de hjørnene som har farge c 1 eller c 3 samt de kantene som forbinder slike hjørner. Anta at v 1 og v 3 ligger i to forskjellige komponenter i G 1,3. Da kan vi bytte om fargene c 1 og c 3 i komponenten til v 1 og fortsatt ha en fargelegging av G (sjekk dette!). Siden vi nå er fri til å bruke farge c 1 på v, kan denne fargeleggingen utvides til en fargelegging av hele G, noe som er umulig siden vi har antatt at G ikke kan fargelegges med 5 farger. Følgelig må v 1 og v 3 tilhøre samme komponent av G 1,3, og det betyr at det finnes en sti fra v 1 til v 3 som bare består av hjørner med fargene c 1 og c 3. På akkurat samme måte må det finnes en sti fra v 2 til v 4 som bare består av hjørner med farger c 2 og c 4. En tegning vil overbevise deg om at stien fra v 1 til v 3 må krysse stien fra v 2 til v 4, og det er umulig: Stiene kan ikke krysses i et hjørne siden de går på hjørner av forskjellig farge, og de kan ikke krysses utenfor et hjørne siden grafen er planar, og kanter derfor ikke krysser hverandre. Antagelsen om at G ikke kan fargelegges med 5 farger, leder altså til en selvmotsigelse, og beviset er fullført. Oppgaver til seksjon 4 1. Fargelegg grafen i figur 1 med færrest mulig farger. 2. Fargelegg grafen nedenfor med fire farger. e d c a b 17

18 Bevis at det ikke er mulig med færre farger. Forklar at dersom vi legger til en kant fra e til b, så trenger vi fem farger for å fargelegge grafen. Hvorfor strider ikke dette mot firefargeteoremet? 3. Fargelegg grafen nedenfor med færrest mulig farger og bevis at det ikke går an å bruke færre. f e a b d c 4. Vis at et tre alltid kan fargelegges med to (eller færre) farger. 5. La G = (V, E) være en sammenhengende graf med seks hjørner slik at det ene hjørnet (navet) har grad 5 og de andre hjørnene har grad 3. a) Hvor mange kanter har grafen? b) Lag en tegning av G og begrunn hvorfor opplysningene er tilstrekkelige til å bestemme hvordan G ser ut. c) Avgjør om G 3-fargbar og/eller 4-fargbar. Hvis A og B er to mengder, definerer vi den disjunkte unionen som A B = ({0} A) ({1} B) La (V, E) være en sammenhengende graf (ikke nødvendigvis den fra punktene over) og la sylindergrafen (V S, E S ) være definert ved 1. V S = V V 2. E S består av alle parene {(i, u), (i, v)}, hvor (u, v) E og i = 0 eller i = 1, og av alle parene {(0, v), (1, v)} hvor v V. d) Vis at hvis k 2 og (V, E) er k-fargbar, så er sylindergrafen også k-fargbar. 18

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

MAT1030 Forelesning 24

MAT1030 Forelesning 24 MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Obligatorisk oppgave 2 i MAT1140, Høst Løsninger og kommentarer

Obligatorisk oppgave 2 i MAT1140, Høst Løsninger og kommentarer Obligatorisk oppgave 2 i MAT1140, Høst 2014. Løsninger og kommentarer Dette vil ikke være et løsningsforslag i vanlig forstand, men en diskusjon av oppgavene, av hvordan studentene løste dem og av diverse

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

LO118D Forelesning 9 (DM)

LO118D Forelesning 9 (DM) LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori 26.09.2007 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper

Kombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.

Detaljer

MAT1030 Forelesning 22

MAT1030 Forelesning 22 MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:

Detaljer

MAT1030 Forelesning 25

MAT1030 Forelesning 25 MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

MAT1030 Forelesning 22

MAT1030 Forelesning 22 MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!

Detaljer

Introduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen

Introduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Introduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf

Introduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Forelesningsnotat i Diskret matematikk tirsdag 1. november Pascals trekant. Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet:

Forelesningsnotat i Diskret matematikk tirsdag 1. november Pascals trekant. Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet: Pascals trekant Legg merke til møsteret! Det gir oss Pascals identitet: ( n + 1 k ) = ( n k 1 ) + (n k ) 1 Sjekk med tabellen! La n = 5, og k = 4: ( 5 + 1 2 ) = (6 2 ) = (5 1 ) + (5 2 ) Det stemmer! 15

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Binomialkoeffisienter

Binomialkoeffisienter Binomialkoeffisienter Litt repetisjon: ( n r ) = n! (n r)! r! r 0, n 0 Dette gir oss fordi ( n r ) = ( n n r ) ( n n 1 ) = n ( n n 1 ) = ( n n (n 1) ) = (n 1 ) = n Andre viktige observasjoner: 0! = 1 (

Detaljer

LO118D Forelesning 10 (DM)

LO118D Forelesning 10 (DM) LO118D Forelesning 10 (DM) Grafteori 03.10.2007 1 Korteste vei 2 Grafrepresentasjoner 3 Isomorfisme 4 Planare grafer Korteste vei I en vektet graf går det an å finne den veien med lavest total kostnad

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Forelesning 31: Repetisjon

Forelesning 31: Repetisjon MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 31: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 31: Repetisjon 18. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-18 14:11) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

MAT1030 Forelesning 12

MAT1030 Forelesning 12 MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha. Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Roger Antonsen

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 25 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

Noen løsningsforslag/fasitsvar

Noen løsningsforslag/fasitsvar Kapittel 8 Noen løsningsforslag/fasitsvar Etter ønske fra kursdeltagerne suppleres heftet med fasit for noen av oppgavene. Der det er aktuelt, gir vi også mer utfyllende forslag til hvordan oppgaven kan

Detaljer

Vektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave

Vektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og

Detaljer

MAT1030 Forelesning 25

MAT1030 Forelesning 25 MAT1030 Forelesning 25 Trær Roger Antonsen - 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende. Eulerstier

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 12: Relasjoner, Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. februar 2008 En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har

Detaljer

Forelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf

Forelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf Forelesning 24 Grafer og trær Dag Normann - 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og Eulerstier Hamiltonkretser Minimale utspennende trær. Vi skal nå se

Detaljer

Kompleksitet og Beregnbarhet

Kompleksitet og Beregnbarhet Kompleksitet og Beregnbarhet 16. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Avgjørelsesproblemer. P EXPTIME NP Reduksjoner NP-kompletthet Uavgjørbarhet UNDECIDABLE DECIDABLE PSPACE NPC NP

Detaljer

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple

Detaljer

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)

Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag) Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Kleene-Kreisels funksjonaler

Kleene-Kreisels funksjonaler Kapittel 7 Kleene-Kreisels funksjonaler 7.1 De hereditært totale funksjonalene Det er en kjent sak at hvis vi har en opplisting av beregnbare funksjoner fra N til N så vil enten opplistingen selv ikke

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

Hva legger vi i spillteori?

Hva legger vi i spillteori? Hva legger vi i spillteori? Modell for rasjonelle aktørers adferd i mellom-menneskelige relasjoner Kan også brukes til å analysere helt vanlige spill, for å avdekke hva som skjer underveis og for å finne

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) En graf er en samling punkter (noder) og kanter mellom punktene (eng. nodes, vertex, edge). En graf kalles rettet hvis kantene har en retning og urettet hvis kantene

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Grunnleggende Grafteori

Grunnleggende Grafteori Grunnleggende Grafteori 2. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Terminologi og definisjoner Hvordan representere grafer i datamaskinen Traversering Dybde-først-søk Bredde-først-søk Topologisk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 10 1 / 27

Detaljer

LO118D Forelesning 5 (DM)

LO118D Forelesning 5 (DM) LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 26: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 5. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 MAT1030 Diskret Matematikk 5.

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon

Innledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) En graf er en samling punkter (noder) og kanter mellom punktene (eng. nodes, vertex, edge). En graf kalles rettet hvis kantene har en retning og urettet hvis kantene

Detaljer

Dagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner

Dagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Eksempel. Binære Relasjoner Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 10: Disjunkte Mengder Definisjon av binær relasjon Definisjon av ekvivalens

Detaljer

Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018

Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018 Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk Oppgave 1. ( 9 3 ) = 9 8 7 3 2 1 = 3 4 7 = 84 Høsten 2018 {1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, { 2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 8 5.1 9 La l og m være to parallelle linjer. Vi skal vise at det finnes ei linje

Detaljer

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -

Detaljer

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11

Forelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11 Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og

Detaljer

Karakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.

Karakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap. Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor

Detaljer