Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:

Transkript

1 1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor blir x y = 2 s et partall. x partall og y partall x y partall b) c) x partall x= 2 k og y y = 2 l+ 1 og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l + 1 = 2 2kl + k = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl + k være et helt tall. Derfor blir x y = 2 s et partall. x partall og y x y partall x x= 2 k+ 1 og y y = 2 l+ 1 og k og l er begge hele tall x y = 2k + 1 2l + 1 = 4kl + 2k + 2l + 1= 2 2kl + k + l + 1= 2 s + 1 Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl + k + l være et helt tall. Derfor blir x y = 2 s+ 1 et. x og y x y OPPGAVE 1.1 x og y x y x og y x y x y x og y Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.0c. Den andre vises kontrapositivt slik: Antar at utsagnet ikke er riktig. Det vil si at x y er uten at både x og y er. Det betyr at x og/eller y er partall. Men i oppgave 1.0a og 1.0b viste vi at da vil x y være partall. Hvis x y er må både x og y være. Konklusjon: x og y x y

2 OPPGAVE 1.2 a) x er partall x er partall x x x x er partall er partall er partall er partall Den første implikasjonen bevises direkte slik: x er partall x = 2 k og k er et helt tall x = 2k = 2 4k = 2 s Når k er et helt tall vil også s = 4 k være et helt tall og x er et partall. Den andre implikasjonen vises kontrapositivt slik: Antar at utsagnet ikke er riktig. Det vil si at x Men x betyr at x = 2k + 1 og k er et helt tall. 2 2 ( 4k 6k k) 1 2s 1 er partall når x er x k k k k k k k k k k k k = = = = = = + Når k er et helt tall, vil s = 4k + 6k + k også være et helt tall, og følgelig er x Hvis x er et partall må x også være partall. 2 et. Konklusjon: x er partall x partall

3 b) x er x er x x x x er er er er Den første implikasjonen bevises direkte slik: x er x= 2 k+ 1 og k er et helt tall 2 x = 2k+ 1 = 2 4k + 6k + k + 1= 2s+ 1 2 Når k er et helt tall, vil også s = 4k + 6k + k være et helt tall, og x er et. Den andre implikasjonen vises kontrapositivt slik: Antar at utsagnet ikke er riktig. Det vil si at x Hvis er et, også være. er når x er partall. Men i oppgave 1.2a har vi bevist at når x er partall, er også x x må x partall. Konklusjon: x er x er OPPGAVE 1. x er et minst ett av tallene x 2 og x+ 2 er et primtall. Viser at setningen ikke generelt er sann ved å finne et eksempel hvor påstanden er feil. x x 2 x + 2 Antall primtall Altså er ikke setningen riktig.

4 OPPGAVE 1.4 x er et tall i 4-gangen minst ett av tallene x 1 og x+ 1 er et primtall. Viser at setningen ikke generelt er sann ved å finne et eksempel hvor påstanden er feil. x x 1 x + 1 Antall primtall Altså er ikke setningen riktig. OPPGAVE 1.5 a) Gitt to rasjonale tall x og y. a c Da kan vi skrive x= og y=, der abc,, og der hele tall. b d a c ad + cb Summen er da gitt ved: x+ y = + = b d bd Siden abc,, og d alle er hele tall, vil både teller og nevner i denne brøken være et helt tall. Altså blir summen av to rasjonale tall et rasjonalt tall

5 b) Gitt det rasjonale tallet x og det irrasjonale tallet y. a Da kan vi skrive x =, der aog b er hele tall, mens y ikke kan skrives som en brøk. b Vi antar så at påstanden er feil, dvs at summen av x og y blir et rasjonalt tall. c Dette fører til at: x+ y =, der c og d er hele tall. d Dette uttrykket kan omformes slik: c c c x d x+ y = y = x y = d d d Men her er både teller og nevner hele tall, dvs at y er et rasjonalt tall. Dette fører til en selvmotsigelse, for y skulle være et irrasjonalt tall. Altså blir summen av et rasjonalt tall og et irrasjonalt tall et irrasjonalt tall c) Påstanden 'Summen av to irrasjonale tall er et irrasjonalt tall' motbevises ved følgende eksempel: ( 5 ) + = 5 irrasjonalt irrasjonalt rasjonalt Det er galt at summen av to irrasjonale tall alltid er et irrasjonalt tall