Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.

Transkript

1 Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller medlemmer) og betegner med små bokstaver, a, b, c, osv. Hvis er A en mengde og a et element i mengden A skriver vi: a A ( leses «a er element i A» ) Hvis a ikke er et element i mengden A skriver vi: a A ( leses «a er ikke element i A» ) Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon. Eksempel: La A være mengden av de hele tallene fra 1 til 5. Vi skriver da: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } Her sier vi at A er på listeform. Hvis mengden har mange elementer, pleier vi kun å ramse opp noen i starten og noen i slutten. Vi tar med så mange som er nødvendig for at vi skal se et mønster. Eksempler: La B være mengde av heltallene fra 1 til 100. Det kan vi skrive mengden på listeform slik: B = {1, 2, 3,.., 99, 100} Prikkene representerer elementene som mangler. 1

2 La C være mengde av alle partall fra 2 til 100. På listeform: C = {2, 4, 6,.., 98, 100} La D være alle positive heltall. Da har vi en uendelig mengde: D = {1, 2, 3, } En mengde kan defineres ved hjelp av en utsagnsfunksjon med en gitt definisjonsmengde (eng: domain): La A være definisjonsmengden til utsagnsfunksjonen P(x). Da kan vi definere en ny mengde B som B = {a A P(a) } Dette betyr at B er mengden av de elementene i A som gjør P(a) sann. Eksempel: La P(x) være gitt ved: x > 10 der x er et heltall. Det betyr at definisjonsmengden A for P(x) er alle heltallene. Mengden B blir da B = {x A P(x) } = { x A x > 10 } = { 11, 12, 13, } Kan leses som: B er mengden av de x tilhørende A slik at x > 10.» Symbolet { } kalles mengdebygger ( eng: set builder) Den vertikale streken leses som «slik at». Noen tallmengde har fått egne symboler: 2

3 N = {0, 1, 2, 3,.. } er de naturlige tallene Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } er de hele tallene Q = er de rasjonale tallene R = er de reelle tallene Programmering: En datatype (int, double, ) kan også sees på som en mengde. Datatypen int er mengden av alle heltall fra til Likhet mellom mengder: To mengder A og B er like hvis de inneholder de sammen elementene. Da er A = B. Hvis de er ulike er A B. Eksempel 1. La A = {1, 7, 3, 5} og B = {7, 5, 3, 1}. Er A = B? Ja fordi A og B inneholder de samme elementene. Rekkefølgen elementene står i spiller ingen rolle. Eksempel 2. La A = {1, 1, 2, 2, 3} og B = {1, 2, 3}. Er A = B? Ja, fordi både A og B inneholder elementene 1, 2 og 3. En mengde blir ikke større om et element tas med flere ganger! Venn-diagram. En mengde kan betegnes som en runding («rund» figur). Det som er innenfor rundingen er med i mengden: 3

4 En delmengde (eng: subset) En mengde A er en delmengde av en mengde B hvis alle elementene i A også er elementer i B. Dette betegnes med A B og er definert formelt ved: Symbolet kalles for inkluderingssymbolet. Hvis A ikke er en delmengde av B skriver vi A B. NB! En mengde er alltid en delmengde av seg selv: A A for alle mengder A. Det er flere måter å si at A er en delmengde av B: A er inneholdt i B A er inkludert i B B omfatter A Eksempler. La A = {2, 3, 5} og B = {1, 2, 3, 4, 5} Her er A B. 4

5 La A = {2, 3, 5, 6 } og B = {1, 2, 3, 4, 5 } Her er A B fordi 6 A, men 6 B. NB! Vi har at A = B hvis og bare hvis A B og B A. (A = B) (A B Λ B A) Ekte delmengde: Hvis A B og er A B, så sier vi at A er en ekte delmengde av B og skriver det som A B. Observasjon: N Z Q R Den tomme mengde, Ø En mengde som ikke inneholder noen elementer kalles den tomme mengden. Den betegnes som {} eller bokstaven Ø. Den tomme mengden er delmengde av alle andre mengder: Ø A for alle mengder A. Eksempel: En mengde kan være element i en annen mengde. La f. eks. A være gitt ved: A= {1, 2, Ø, {1}, 2, 2} 5

6 Elementene i mengden er både tall og mengder. Både 1 og {1} er elementer i A: 1 A og {1} A. Den tomme mengde Ø er både et element i A og en delmengde av A: Ø A og Ø A. Hva er forskjellen mellom 1, {1} og { {1} }? Først har vi tallet 1, så har vi mengden av tallet 1 og så har vi mengden av mengden av tallet 1. Vi har: 1 {1} 1 { {1} } {1} { {1} } En mengdes kardinalitet. (eng: cardinality) En mengdes kardinalitet (eller størrelse) er antallet forskjellige elementer i mengden. Kardinaliteten til A betegnes med A. Eksempler: A = {a, b, c, d } A = 4 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = 6 C = {1, 2, 2, 3, 3, 3} C = 3 D = {2, 4, 6, 8,., 98, 100} D = 50 E = Ø Ø = 0 F = {a, {a}, {a,b}} F = 3 NB! b F G = mengden av bokstaver i alfabetet G = 29 Potensmengder: 6

7 La A være en mengde. Potensmengden til A betegnes med P(A)og er den mengden som har alle delmengder av A som elementer. Eksempler: A = { a, b }, P(A) = { Ø, {a}, {b}, {a, b} } P(A) = 2 A = 2 2 = 4 B = {1, 2, 3} P(B) = { Ø, {1}, {2},{3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} P(B) = 2 A = 2 3 = 8 Formel: P(A) = 2 A Kartesisk produkt: (eng. Cartesian product) La A og B være mengder. Det kartesiske produktet av A og B betegnes med A x B (leses som A kryss B) og er definert ved mengden av alle par (a, b) der førstekoordinaten tilhører A og andrekoordinaten tilhører B: A x B = {(a,b) a A og b B} Vi har at A x B = A B Eksempel: La A = {a, b} og B = {1, 2, 3 } A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} Vi kan tegne A x B I et koordinatsystem: 7

8 De seks kryssene utgjør mengden A x B. Mengdeoperasjoner Tema for forelesningen: Snittet av to mengder Disjunkte mengder Union av to mengder Eksklusiv union (symmetrisk differens) av to mengder Differensen mellom to mengder Universal-mengde Komplimentet til en mengde Snittet av to mengder (eng. intersection) Snittet av to mengder A og B betegnes med A B (leses som «A snitt B») og er mengde av de elementene som både er i A og i B. (dvs. de elementene som A og B har felles.) A B = { x x A Λ x B } NB! Legg merke til at vi her har 8

9 Disjunkte mengder (eng. disjoint) To mengder A og B er disjunkte hvis A B = Ø, Det betyr at snittet er tomt og at A og B har ingen felles elementer. Eksempel: A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8}, A B = Ø. Unionen av to mengder (eng union) Unionen av to mengder A og B betegnes med A B ( leses som «A union B») og er mengden av de elementene som er i A eller i B ( eller i begge deler). 9

10 felles.) A B = { x x A V x B } Antallet elementer i en union: Eksempel: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = { 7, 1, 3, 8, 5, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 10

11 A = 5, B = 6, A B = 3, A B = 8 Vi ser at A B = A + B - A B = = 8 Hvis vi ikke hadde trukket fra de tre elementene i snittet ville de har blitt tatt med to ganger, fordi de både er med i A og i B og det blir en gang for mye. Derfor må vi trekke fra snittet slik at det bare er tatt med en gang. Eksklusiv union ( kalles også for symmetrisk differens) Den eksklusive unionen av to mengder A og B betegnes som A B (leses som «A eksklusiv union B») og er mengden av de elementene som er i A eller i B, men ikke i begge: A B = { x x A x B } 11

12 Differensen mellom to mengder (eng: difference) Differensen mellom to mengder A og B betegnes som A B ( leses som «A minus B») og er mengden av de elementene som er i A, men som ikke er i B: A B = { x x A Λ x B } Eksempel: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {7, 1, 3, 8, 5, 6} A B = {2, 4} Observasjon: A B = ( A B ) (B A ) Og kalles derfor også symmetrisk differens. Formler for antallet elementer i mengder: 12

13 A B = A + B - A B A B = A - A B A B = A B + B A Universal mengde. Mengdene våre er normalt delmengde av en større mengde. Denne kaller vi for universalmengden. Vi bruker ofte bokstaven U for den. Eksempel 1: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = { 7, 1, 3, 8, 5, 6} Her er det naturlig å se på mengden av de hele tallene som universalmengden. Eksempel 2: A = {a, b, c} Her er elementene bokstaver og den naturlige universalmengden blir alfabetet. Komplimentet til en mengde La A være en delmengde av universalmengden U. Komplimentet til A (med hensyn på U) betegnes som (leses som «A kompliment» eller «komplimentet til A» ) og er mengden av de elementene i U som ikke er i A, dvs. U A. 13

14 Eksempel: A = {a, b, c} Hvis universalmengden U er alfabetet blir komplimentet til A = {d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, æ, ø, å} Observasjon: Et praktisk eksempel I en klasse med 30 studenter er det 14 som har bil, 7 som har motorsykkel og 2 som har begge deler. Spørsmål: 1) Hvor mange har kun bil? 2) Hvor mange har ingen av delene? Løsning: La B være mengden av de som har bil, og la M være mengden av de som har motorsykkel. 14

15 1) Finner B M, dvs. antallet studenter som har bil men ikke motorsykkel. 2) Finner, dvs. antallet studenter som hverken har bil eller motorsykkel. a) Løsning ved hjelp av venndiagram: b) Løsning ved hjelp av formler: 15