Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen

Transkript

1 Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010

2 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn Lemma = Hjelpesetning Korollar = Følgesetning (direkte fra et av ovenstående) Andre begreper: Formodning (Conjecture) = noe vi hevder og tror er sant uten at vi (be)viser det. Aksiomer/Postulater = utsagn vi aksepterer uten bevis som grunnlag for teorien (Eks: Aksiomer for reelle tall i App. 1; Euklids postulater for geometri) Bevis = gyldig argument som viser at teorem/prop./lemma er sann Bevis involvererer: aksiomer, denisjoner, teoremer/resultater som allerede er bevist, antagelser/premisser i teoremet, logiske slutninger, konklusjon.

3 Ofte univ. instansiering uten å si det Dersom n er et naturlig tall, er n 2 n betyr For alle naturlige tall x er x 2 x" dvs. ( ) (x N) x 2 x NB: I beviset kan vi bare bruke at n N. Riktig bevis: La n være et vilkårlig naturlig tall. Da er n 1, slik at n 2 n 1 = n. QED Galt bevis: La n være et vilkårlig naturlig tall, for eksempel 4. Da er n 2 = 4 2 = 16 4 = n. QED

4 Direkte bevis (s. 76) Viser p q ved å anta p er sann og utlede/slutte q. (Eventuelt viser x(p(x) Q(x)) ved univ. inst.) Eksempel: Oppgave 10 i 1.6: Produktet av to rasjonale tall er rasjonalt (a, b Q) (ab Q) Bevis: Anta a, b Q. Betyr: Da: der a = a 1 a 2, b = b 1 b 2, a 1, a 2, b 1, b 2 Z, a 2, b 2 0. a b = a 1 a 2 b1 b 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 (a 1 b 1 ), (a 2 b 2 ) Z, (a 2 b 2 ) 0, hvilket betyr at a b Q. QED

5 Bevis ved kontraposisjon (indirekte) (s. 77) Viser p q ved å vise q p (kontrapositiv), ved å anta q er sann og utlede/slutte p. Eksempel: Oppgave 16 i 1.6: Hvis m, n Z slik at mn er partall, da er m eller n partall P(x) x partall Vil vise: P(mn) ( P(m) P(n) ) Kontrapositiv: P(m) P(n) P(mn). ( ) De Morgan: P(m) P(n) P(m) P(n) P(m) P(n) m og n er oddetall P(mn) mn oddetall Bevis: Anta m og n odde. Da: m = 2k + 1 og n = 2l + 1, for bestemte k, l Z. Da: mn = (2k+1)(2l+1) = 4kl+2k+2l+1 = 2(2kl+k+l)+1, som betyr mn odde. QED Korollar x 2 partall medfører x partall.

6 Bevis ved motsigelse (indirekte) (s. 80) Mål: vil vise p sann. Utleder kontradiksjon fra p, slik at p må være usann. Formelt: nner en ny prop. r og viser at p (r r) Klassisk (Eks. 10 i 1.6): 2 er irrasjonalt Bevis: Anta 2 rasjonalt. Da kan vi skrive: 2 = a b med a, b Z uten felles faktorer Medfører at: 2 2 = 2 = a2 b 2, dvs. 2b2 = a 2. Da: a 2 partall, som medfører a partall (korollaret), dvs. a = 2c, for en c Z. Da: b 2 = a2 2 = 4c2 2 = 2c 2, slik at b partall. Har da vist: Selvmotsigelse. QED a, b har felles faktor

7 Hva var hva? p 2 irrasjonalt. p 2 rasjonalt." r "a, b har ikke felles faktorer r "a, b har felles faktorer Viste p (r r)

8 Litt mer om bevis ved kontradiksjon Bevis ved kontraposisjon kan tolkes som bevis ved motsigelse: Antar: (p q) ( p q) p q. Utleder p fra q. Får da p p, selvmotsigelse. Ditto: direkte bevis kan tolkes som bevis ved motsigelse: Antar som over p q. Utleder q fra p. Får da q q, selvmotsigelse.

9 Eksempel: kontradiksjon + case by case Oppg. 25 i 1.6: Det nnes ikke noe rasjonalt tall r slik at r 3 + r + 1 = 0. Bevis: Anta det nnes et slikt rasjonalt tall. Da: r = a b, a, b Z med a og b uten felles faktorer og ( a ) 3 a = 0 b b Fire tilfeller: ( ) a 3 + ab 2 + b 3 = 0 a og b begge partall: skjer ikke, siden ikke felles faktorer. a par, b odde. V.S: par+ par + odde = odde. a odde, b odde. V.S: odde + odde + odde = odde. a odde, b par. V.S: odde + par + par = odde. Venstre siden i ligningen (*) er alltid odde og samtidig lik 0. Selvmotsigelse. QED Case by case bygger på tautologien ( p 1 p n q ) ( ) (p 1 q) (p n q)

10 Eksempel WLOG= without loss of generality (s. 89) Teorem Dersom x og y er relle tall med motsatt fortegn, er xy < 0. Bevis: To hovedtilfeller: x < 0 og y > 0. x > 0 og y < 0. Kan anta WLOG at x < 0 og y > 0. Da: x = x og y = y, slik at: xy = x y = ( x y ) < 0, siden x > 0 og y > 0. QED

11 Ekvivalensbevis (s. 82) p q vises ved å vise p q og q p. Bygger på tautologien ( p q ) [ ] (p q) (q p) Ofte: Viser at p 1, p 2 og p 3 er ekvivalente ved å vise p 1 p 2, p 2 p 3 og p 3 p 1. Bygger på tautologien (p 1 p 2 p 3 ) [ ] (p 1 p 2 ) (p 2 p 3 ) (p 3 p 1 ) Se Eksempel 13 i 1.6. NB: De forskjellige -bevisene kan være av ere forskjellige typer.

12 Eksistensbevis (s. 91) Vis at det eksisterer..?.. slik at..?.. Finn a slik at P(a) er sann Konstruktivt bevis: Vi nner a eksplisitt. Ikke-konstruktivt bevis: Se eksempel under. Klassisk (Eks. 11 i 1.7): Det nnes irrasjonale tall x, y slik at x y er rasjonalt. Bevis: Vi vet at 2 er irrasjonalt. To muligheter: 2 2 rasjonalt. FERDIG. 2 2 irrasjonalt. Da er QED ( ) = 2 = 2 2 = 2, som er rasjonalt. FERDIG.

13 Backward reasoning (s. 94) Eksempel 14 i 1.7: Dersom x og y er to forskjellige positive relle tall, da er. x + y 2 > xy Bevis: Utleder ekvivalensene x + y 2 (x + y)2 4 > xy > xy (x + y) 2 > 4xy x 2 + 2xy + y 2 > 4xy x 2 2xy + y 2 > 0 (x y) 2 > 0 Siste ligning sann gir at første ligning sann. (Skriver beviset i motsatt retning) QED.

14 Typiske feil i bevis matematiske/regnetekniske (Eks.: deler på noe som kan være null, eks. 15 i 1.6) Logiske feil (ugyldig argument), surr med pilretningen. glemmer et tilfelle i case by case roter med WLOG.