MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon
|
|
|
- Ingve Christophersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
2 Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: Øvingsansvarlig Magnus B. Botnan: Fem studasser. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
3 Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
4 Introduksjon Notasjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
5 Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
6 Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
7 Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Komplekse tall: C = {a + bi a, b R} der i = 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
8 Notasjon Introduksjon Notasjon Notasjon Naturlige tall: N = {1, 2,...} Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Rasjonale tall: Q = n m, n Z Relle tall: R Komplekse tall: C = {a + bi a, b R} der i = 1 N Z Q R C Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
9 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
10 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
11 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
12 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
13 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: n = n(n + 1) 2 for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
14 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: n = Sant: aritmetisk rekke n(n + 1) 2 for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
15 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: n = Sant: aritmetisk rekke Utsagn: n 2 = n(n + 1) 2 for alle positive heltall. n(n + 1)(2n + 1). 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
16 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Eksempel Utsagn: alle positive heltall n er delelig på 3. Usant: 1 kan ikke deles på 3. Utsagn: n = Sant: aritmetisk rekke Utsagn: n 2 = Sant: induksjon n(n + 1) 2 for alle positive heltall. n(n + 1)(2n + 1). 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
17 Induksjon: idé og eksempler Oppsett ❶ De positive heltallene N = {1, 2, 3, 4,...}. ❷ Et utsagn P (n) for alle n N. ❸ Problem: Er utsagnet sant for alle n? Induksjon ❶ Vis at P (1) er sann. ❷ Vis at P (k) sann impliserer P (k + 1) sann. Bruk dette til å konkludere at P (k) er sann for alle k. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
18 Induksjon = dominoeffekten (Copyright aussiegall, CC BY 2.0) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
19 Induksjon: Idé og Eksempel s. 2 Vis at n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
20 Induksjon: Idé og Eksempel s. 2 Vis at n 2 = ❶ 1 2 = 1 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
21 Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at n 2 = 1 2 = 1 = ❷ k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
22 Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at n 2 = 1 2 = 1 = ❷ k 2 = Ønsker å vise at n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = 6 = (k + 1)(2k2 + 7k + 6) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
23 Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at n 2 = 1 2 = 1 = ❷ k 2 + (k + 1) 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 + (k + 1) 2 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
24 Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at n 2 = 1 2 = 1 = n(n + 1)(2n + 1) 6 ❷ k 2 + (k + 1) 2 = (k + 1)(2k2 + 7k + 6) 6 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
25 Induksjon: idé og eksempler Eksempel s. 2 Vis at n 2 = 1 2 = 1 = k 2 + (k + 1) 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 Påstanden er sann for alle positive heltall n. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
26 Bevis for induksjon Velordningsprinsippet For å vise at induksjon fungerer trenger vi følgende aksiom: Velordningsprinsippet (s.1) En hver ikke-tom mengde S av ikke-negative heltall inneholder et minste element: det eksisterer en a S slik at a b for alle b S. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
27 Bevis for induksjon Velordningsprinsippet For å vise at induksjon fungerer trenger vi følgende aksiom: Velordningsprinsippet (s.1) En hver ikke-tom mengde S av ikke-negative heltall inneholder et minste element: det eksisterer en a S slik at a b for alle b S. Teorem 1.1 (s.2) Hvis a og b er positive heltall, da eksisterer det et positivt heltall n slik at na b. n a 2a b 3a Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
28 Bevis for induksjon Teorem 1.2 (s.2) Teorem 1.2 (s.2) (First Principle of Finite Induction) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da er S mengden av alle positive heltall, N. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
29 Bevis for induksjon Teorem 1.2 (s.2) Teorem 1.2 (s.2) (First Principle of Finite Induction) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da er S mengden av alle positive heltall, N. Variant av Teorem 1.2 (s.2) La S være en mengde av positive heltall med følgende egenskaper ❶ Heltallet n 0 er inneholdt i S, (n 0 S) ❷ Hvis k er inneholdt i S er også k + 1 i S. (k S k + 1 S) Da inneholder S mengden av alle positive heltall n n 0. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
30 Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
31 Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
32 Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). ❶ 4 5 = 20 < 32 = 2 5. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
33 Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
34 Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
35 Induksjon Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = 2 5. ❷ 4(k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k (k>2) < 2 k + 2 k = 2 k+1. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
36 Induksjon Eksempel Påstand: for n 5 så holder 4n < 2 n Merk at det ikke er sant for n = 1(4 > 2), n = 2(8 > 4), n = 3(12 > 8) og n = 4(16 = 16). 4 5 = 20 < 32 = (k + 1) = 4k + 4 ind < 2 k (k>2) < 2 k + 2 k = 2 k+1. Påstanden er sann for alle heltall n 5. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
37 Induksjon Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
38 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n ❶ ❷ (2k 1) + (2k + 1) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
39 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n ❶ ❷ (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
40 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n ❶ ❷ (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
41 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n ❶ (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
42 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
43 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
44 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: la k være et oddetall, da blir venstresiden et oddetall og høyresiden et partall. For k partall blir venstresiden partall og høyresiden oddetall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
45 Eksempel (s.4) Påstand: (2n 1) = n (2k 1) + (2k + 1) = k k + 1 = (k + 1) Hvis det eksisterer en k slik at påstanden holder har vi vist at påstanden også holder for alle l k.! En slik k kan ikke eksistere: la k være et oddetall, da blir venstresiden et oddetall og høyresiden et partall. For k partall blir venstresiden partall og høyresiden oddetall. E Moral: både ❶ og ❷ må være oppfylt. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
46 Sterk induksjon Sterk induksjon Sterk induksjon (s.5) (Second Principle of Finite Induction) La S være en mengde med positive heltall slik at ❶ Heltallet 1 er inneholdt i S, (1 S) ❷ Hvis 1, 2,..., k er inneholdt i S er også k + 1 i S. ({1,..., k} S k + 1 S). Da inneholder S mengden av alle positive heltall, N. Merk Ønsker å bevise P (n) er sann for alle n ved sterk induksjon. Ekvivalent til å bevise at P (n) er sann for alle k n med svak induksjon. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
47 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
48 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
49 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. ❶ a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
50 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
51 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
52 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. ❷ a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < (7/4) k+1 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
53 Sterk induksjon Eksempel 1.1 (s.6) Lukasfølgen er definert ved a 1 = 1, a 2 = 3 og a n = a n 1 + a n 2 for n 3: a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 11,... Påstand: a n < (7/4) n holder for alle positive heltall n. a 1 = 1 < 7/4 a 2 = 3 = 48/16 < 49/16 = (7/4) 2. a k+1 = a k + a k 1 ind < (7/4) k + (7/4) k 1 < (7/4) k+1 Påstanden er sann for alle positive heltall. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
54 Induksjon Sterk induksjon Eksempel eksamen sommer 2012 Vis at for alle n N n [ n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ] 2 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
55 Induksjon Sterk induksjon Eksempel eksamen sommer 2012 Vis at for alle n N n [ n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ] 2 Eksempel geometrisk rekke La x R og x 1, da er 1 + x x n = xn+1 1 x 1 for alle n N. Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august / 14
Forelesning 6 torsdag den 4. september
Forelesning 6 torsdag den 4. september 1.13 Varianter av induksjon Merknad 1.13.1. Det finnes mange varianter av induksjon. Noen av disse kalles noen ganger sterk induksjon, men vi skal ikke benytte denne
Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.
Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere
Matematikk for IT, høsten 2017
Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende
Forelesning 2 torsdag den 21. august
Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann
Matematikk for IT, høsten 2015
Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,
Karakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
Forelesning 1 mandag den 18. august
Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige
Forelesning 7 mandag den 8. september
Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi
Relativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
Notasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og
Matematisk induksjon
Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp
Et detaljert induksjonsbevis
Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall
Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
Dagens plan. INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle. Arild Waaler. 21.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 1: Introduksjon. og sekventkalkyle Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 21. januar 2008 3 Institutt for informatikk
Den første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:
1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler januar 2008
Forelesning 1: Introduksjon. Utsagnslogikk og sekventkalkyle Arild Waaler - 21. januar 2008 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesere: Martin Giese (martingi@ifi.uio.no) Arild Waaler
TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 018 Seksjon 81 11 a) Oppgaven spør etter antall måter man kan gå opp n trappetrinn dersom man
Litt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
Repetisjonsforelesning - INF1080
Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.
Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
Innføring i bevisteknikk
Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen
MA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse
INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16
INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er
TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 016 Seksjon 5 4 a) Ved å observere at 18 4 + 7, 19 3 4 + 7, 0 4 5 og 1 3 7 så ser vi at P(18),
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv
Emne 13 Utsagnslogikk
Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato
7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian
MAT1030 Plenumsregning 5
MAT1030 Plenumsregning 5 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:29) Oppgave 4.18 Uttrykk følgende påstander i predikatlogikk, og finn deres sannhetsverdier. (a) Det
Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
![INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]](/thumbs/57/40971904.jpg "INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]")
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
Test, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
Forelesning 5 mandag den 1. september
Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet
TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
Forelesning 10 torsdag den 18. september
Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se
Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09
Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x
Litt om Logikk, Denisjoner og Teoremer. Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall. Bevisføring i Teori og Praksis
Litt om Logikk, Denisjoner og Teoremer. Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall. Bevisføring i Teori og Praksis Karl K. Brustad 11. august 2013 1 Logikk Logikk er læren om lovene som gjør tenkningen,
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
Forelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er
Løsningsforslag oblig. innlevering 1
Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
Definisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
Løsningsforslag til eksamen høst 2016
Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Hver oppgave tildeles maksimalt 10 poeng. Høyeste poengsum er 100 Karaterer: 90 A 75 B < 90 60 C < 75 50 D < 60 0 E < 50 F < 40 Oppgave 1 a) 3 poeng Ingen av de tre
Forelesning januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk
Forelesning 2-30. januar 2006 Induktive denisjoner og utsagnslogikk 1 Praktisk informasjon INF5170 { Logikkseminar Tirsdager 14:15-16:00 pa Buerommet (3. etg, I). Flg med pa forskning og aktuelle temaer
Kapittel 4: Mer predikatlogikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 8: Logikk, predikatlogikk, bevisteknikker Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Mer predikatlogikk 10. februar 010 (Sist oppdatert: 010-0-10
Forelesning 4 torsdag den 28. august
Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive
Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
EKSAMEN. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.
EKSAMEN Emnekode: ITF0705 Dato: 5. desember 204 Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 09.00 til kl 3.00 Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
LO118D Forelesning 6 (DM)
LO118D Forelesning 6 (DM) Rekurrensrelasjoner 10.09.2007 1 Rekurrensrelasjoner Rekurrensrelasjoner En rekurrensrelasjon definerer det n-te elementet i en følge i forhold til de foregående elementene. Følgen
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
Eksamensoppgave i TMA4140 Diskret matematikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA44 Diskret matematikk Faglig kontakt under eksamen: Christian Skau Tlf: 7359755 Eksamensdato: 8 desember 25 Eksamenstid (fra til): 9:-3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 2015. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
![INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]](/thumbs/60/44567099.jpg "INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]")
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier
Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
Fagdag 4 - R
Innhold: Gjennomgå Algebraprøve Begreper i sannsynlighetsregning Bevis Fagdag 4 - R1-27.11.08 Vi arbeider og samarbeider i grupper som vanlig. I Sannsynlighetsregning Begreper: Diskuter og prøv å forstå
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
Litt om Logikk, Denisjoner og Teoremer. Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall. Bevisføring i Teori og Praksis
Litt om Logikk, Denisjoner og Teoremer. Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall. Bevisføring i Teori og Praksis Karl K. Brustad 14. august 2013 1 Logikk Logikk er læren om lovene som gjør tenkningen,
MAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,
UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand.
Utsagnslogikk. Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand. Eksempler: Avgjør om følgende setninger er et utsagn, og i så fall;
x A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
INF4170 { Logikk. Forelesning 1: Utsagnslogikk. Arild Waaler. 20. august Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF4170 { Logikk Forelesning 1: Utsagnslogikk Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 20. august 2013 Dagens plan 1 Utsagnslogikk 2 Sekventkalkyle 3 Sunnhet 4 Kompletthet Institutt
Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler
Oversikt over kvadratiske kongruenser og Legendresymboler Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Heltallet er et primtall. Er 11799 en kvadratisk rest modulo? Hvordan løse oppgaven? Oversett først
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
Ekvivalente utsagn. Eksempler: Tautologi : p V p Selvmotsigelse: p Λ p
Ekvivalente utsagn Definisjoner: Et sammensatt utsagn som ALLTID er SANT kalles for en TAUTOLOGI. Et sammensatt utsagn som ALLTID er USANT kalles for en SELVMOTIGELSE eller en KONTRADIKSJON (eng. contradiction).
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2016. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
Forelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
MAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-04 14:11) Forelesning 27 MAT1030 Diskret Matematikk 4. mai 2010
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen
Notater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
INF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015
INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et