Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forelesning 20 mandag den 27. oktober"

Transkript

1 Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut L I beviset for denne proposisjonen, måtte vi være ganske kreativ for å regne ut L 3 23 L5 23. Korollar Korollar gir oss muligheten til å unngå dette helt, som følger. (1) (mod 23), L = L (2) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 3 23 L (3) 23 3 (mod 4) 3 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 23 = L (mod 3), L 23 3 = L2 3. Det følger fra Korollar at L2 3 = 1. Dermed er L 3 23 = L 23 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. (4) følger det fra Korollar at 5 1 (mod 4), L 5 23 = L (mod 5), L 23 5 = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 5 = L (mod 3), 1

2 L 5 3 = L2 3. Det følger fra Korollar at L2 3 = 1. Dermed er L 5 23 = L 23 5 = L 3 5 = L 5 3 = L 2 3 = 1. Det følger fra (1) (4) at L = L = L 3 23 L 5 23 = 1 ( 1) = 1. Således er 84 ikke en kvadratisk rest modulo 23. Merknad Metoden nevnt i Merknad for å regne ut L a p, for et hvilket som helst heltall a et hvilket som helst primtall p slik at p > 2, kan nå gjøres fullkommen. (1) Finn først et heltall r slik at a r (mod p) r < p. Da fastslår Proposisjon at L a p = L r p. (2) Dersom r = 1, er L a p = 1. Finn ellers en primtallsfaktorisering p 1 p t til r. Da fastslår Proposisjon at L r p = L p 1 p... L pt p. (2) Regn ut hvert av Legendresymbolene L p 1 p, L p 2 p,..., L pt p. (3) For å regne ut L p i p, hvor i t, benytt Korollar om p i = 2. Benytt ellers Korollar for å få enten at L p i p = L p p i eller L p i p = L p p i. (4) Gjennomfør Steg (1) Steg (4) for å regne ut L p p i. Merknad Vær forsiktig: Korollar kan benyttes kun når vi ønsker å regne ut L q p, hvor både p q er primtall. Hvis vi trenger å regne ut L n p, hvor n ikke er et primtall, må vi finne en primtallsfaktorisering til n benytt da Proposisjon Dette kan lett glemmes hvis vi har jobbet med en rekke primtall i løpet av et bevis, men et heltall som ikke er et primtall dukker plutselig opp, som kan godt hende! Eksempel La oss se igjen på Proposisjon 5.6.3, hvor vi regnet ut L (1) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 4 59 L (2) Ut ifra Proposisjon er L 4 59 = 1. 2

3 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (3) 59 3 (mod 4) 7 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 59 = L (mod 7), L 59 7 = L (mod 4) 3 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 7 = L (mod 3), L 7 3 = L1 7. Ut ifra Proposisjon er L1 7 = 1. Dermed er Det følger fra (1) (3) at L 7 59 = L 59 7 = L 3 7 = ( L 7 3) = ( L 1 3) = ( 1) = 1. Således er 28 en kvadratisk rest modulo 59. L = L 4 59 L 7 59 = 1 1 = 1. Merknad Metoden er svært effektiv til med om vi jobber med ganske store heltall, som følgende proposisjoner viser. Proposisjon Heltallet 2457 er ikke en kvadratisk rest modulo Bevis. Vi har: 3491 er et primtall. Vi gjør følgende observasjoner. (1) En primtallsfaktorisering til 2457 er: Ut ifra Proposisjon er da (2) Ut ifra Proposisjon er L = L = L L L L

4 (3) Vi har: (mod 4) 3 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 3), L = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er (4) Vi har: L = L = L 2 3 = ( 1) = (mod 4) 7 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 7), L = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 5 7 = L (mod 5), L 7 5 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 5 = 1. Dermed er L = L = L 5 7 = L 7 5 = L 2 5 = ( 1) = 1. 4

5 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (5) Vi har: (mod 4) 13 1 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 13), L = L (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 13 = L (mod 7), L 13 7 = L 6 7. Legendresymbolet L 6 7 kan regnes ut på flere måter: vi kan for eksempel benytte primtallsfaktoriseringen 2 3 til 6, regne ut deretter L 2 7 L3 7. Fortest er å observere istedenfor at 6 1 (mod 7). Ut fra Proposisjon er da L 6 7 ( 1) = ( 1) 3 = 1. Dermed er Det følger fra (1) (5) at = L 1 7. Ut ifra Proposisjon er L 1 7 = L = L = L 7 13 = L 13 7 = L 1 7 = 1. L = L L L L = ( 1) = 1. Således er 2457 ikke en kvadratisk rest modulo Proposisjon Heltallet 1003 er en kvadratisk rest modulo Bevis. Vi har: 1549 er et primtall. Vi gjør følgende observasjoner. (1) En primtallsfaktorisering til 1003 er: Ut ifra Proposisjon er da L = L ( 1) = L L L

6 (2) Ut ifra Proposisjon er L = ( 1) 2 = ( 1) 774 = 1. (3) Vi har: (mod 4). Da følger det fra Korollar at L = L (mod 17), L = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 17 = 1. Dermed er (4) L = L = L 2 17 = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 59), L = L Ut ifra Proposisjon er L = L = L3 59 L5 59. (5) Vi har: 3 3 (mod 4) 59 3 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L 3 59 = L (mod 3), L 59 3 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er L 3 59 = L 59 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. 6

7 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (6) Vi har: 5 1 (mod 4). Da følger det fra Korollar at L 5 59 = L (mod 5), L 59 5 = L 4 5. Ut ifra Proposisjon er L 4 5 = L22 5 = 1. Dermed er L 5 59 = L 59 5 = L 4 5 = 1. Det følger fra (1) (6) at L = L L L = = 1. Således er 1003 en kvadratisk rest modulo Proposisjon Kongruensen 2x x (mod 63533) har to løsninger som ikke er kongruent til hverandre modulo 63533, slik at enhver annen løsning er kongruent modulo til én av disse to. Bevis. Heltallet er et primtall. Vi har: La oss regne ut L (1) Ut ifra Proposisjon er (2) = L = L = L L L (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 11), L = L

8 (3) Ut ifra Proposisjon er Ut ifra Proposisjon er L = 1. (4) følger det fra Korollar at (5) Det følger fra (2) (4) at (6) L 8 11 = L = L L (mod 8), L 2 11 = 1. L = L = L 8 11 = L L 2 11 = 1 ( 1) = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 23), L = L (7) 7 3 (mod 4) 23 4 (mod 4), følger det fra Korollar at L 7 23 = L (mod 7), L 23 7 = L2 7. følger det fra Korollar at L 2 7 = 1. (8) Det følger fra (6) (7) at (9) 7 7 (mod 8), L = L = L 7 23 = L 23 7 = L 2 7 = (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 29), L = L

9 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (10) 29 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 23), L = L6 23. (11) Ut ifra Proposisjon er (12) følger det fra Korollar at L 2 23 = 1. (13) L 6 23 = L = L 2 23 L (mod 8), 3 3 (mod 4) 23 3 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 23 = L (mod 3), L 23 3 = L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. Dermed er (14) Det følger fra (9) (12) at Det følger fra (1), (8), (14) at L 3 23 = L 23 3 = L 2 3 = ( 1) = 1. L = L = L = L = L 6 23 = L 2 23 L 3 23 = 1 1 = 1. L = L L L = ( 1) ( 1) 1 = 1. Således er 7337 en kvadratisk rest modulo Ut ifra Korollar , konkluderer vi at kongruensen 2x x (mod 63533) har to løsninger som ikke er kongruent til hverandre modulo 63533, slik at enhver annen løsning er kongruent modulo til én av disse to. 9

10 Proposisjon Kongruensen har ingen løsning. Bevis. Heltallet 6427 er et primtall. Vi har: La oss regne ut L (1) Ut ifra Proposisjon er 173x 2 27x 5 0 (mod 6427) ( 27) ( 5) = L = L = L L (2) 59 3 (mod 4) (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 59), L = L (3) Ut ifra Proposisjon er L = L = L 5 59 L (4) følger det fra Korollar at 5 1 (mod 4), L 5 59 = L (mod 5), L 59 5 = L4 5. Ut ifra Proposisjon er L4 5 = L22 5 = 1. Dermed er L 5 59 = L 59 5 = L 4 5 = 1. 10

11 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet (5) følger det fra Korollar at 11 3 (mod 4) 59 3 (mod 4), L = L (mod 11), L = L4 11. Ut ifra Proposisjon er L4 11 = L = 1. Dermed er L = L = L 4 11 = 1. (6) Det følger fra (2), (4), (5) at (7) L = L = L = L 5 59 L = 1 ( 1) = (mod 4) (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 71), L = L (8) 37 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 37), L = L (9) Ut ifra Proposisjon er (10) L = L = L 2 37 L (mod 8), følger det fra Korollar at L 2 37 = 1. 11

12 (11) 37 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L = L (mod 17), L = L3 17. (12) 17 1 (mod 4), følger det fra Korollar at L 3 17 = L (mod 3), L 17 3 = L2 3. følger det fra Korollar at L 2 3 = 1. (13) Det følger fra (11) (12) at (14) Det følger fra (7) (10) (12) at 3 3 (mod 8), L = L = L 3 17 = L 17 3 = L 2 3 = 1. L = L = L = L = L = L 2 37 L = ( 1) ( 1) = 1. Det følger fra (6) (14) at L = L L = 1 ( 1) = 1. Således er 4189 ikke en kvadratisk rest modulo Ut ifra Korollar , konkluderer vi at kongruensen 173x 2 27x 5 0 (mod 6427) har ingen løsning modulo Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 Merknad Teorem , Korollar 5.9.2, Korollar er så svært viktige teoretiske verktøy. Flere proposisjoner som ligner på følgende kan for eksempel bevises. Proposisjon La n være et naturlig tall. Det finnes et primtall p slik at p > n p 7 (mod 8). 12

13 5.11 Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 Bevis. La q være produktet av alle de primtallene som er mindre enn eller like n, som er kongruent til 7 modulo 8. Ut ifra Teorem 4.3.3, finnes det et naturlig tall t primtall p 1,..., p t slik at 8q 2 1 = p 1 p t. Vi gjør følgende observasjoner. (1) Anta at det finnes et naturlig tall i slik at i t p i = 2. Da er p 1 p t = (p 1 p i 1 p i+1 p t ) 2, altså har vi: Da er (2) Det følger fra (1) at Imidlertid er 2 p 1 p t. p 1 p t 0 (mod 2). 8q (mod 2). 8q (mod 2). Ut ifra Proposisjon , kan det ikke være sant at både 8q (mod 2) 8q (mod 2). antakelsen at p i = 2 fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at det ikke er sant at p i = 2. Derfor er p i > 2 for alle de naturlige tallene i slik at i t. (3) La i være et naturlig tall slik at i t. Vi har (4q) 2 2 = 2 ( 8q 2 1 ) = 2p 1 p t = (2p 1 p i 1 p i+1 p t ) p i. Dermed har vi: p i (4q) 2 2. Derfor er (4q) (mod p i ), altså er (4q) 2 2 (mod p i ). Dermed er 2 en kvadratisk rest modulo p i, altså er L 2 p i = 1, for hvert naturlig tall i slik at i t. 13

14 (4) For hvert naturlig tall i slik at i t, følger det fra (3) Korollar at enten p i 1 (mod 8) eller altså enten eller p i 7 (mod 8), p i 1 (mod 8) p i 1 (mod 8). (5) Anta at p i 1 (mod 8) for alle de naturlige tallene i slik at i t. Da er altså er Imidlertid er p 1 p t 1 (mod 8), 8q (mod 8). 8q (mod 8). Ut ifra Proposisjon , kan det ikke være sant at både antakelsen at 8q (mod 8) 8q (mod 8). p i 1 (mod 8) for alle de naturlige tallene i slik at i t fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at det finnes et naturlig tall i slik at i t p i 1 (mod 8), altså p i 7 (mod 8). (6) Anta at p i n. Ut ifra definisjonen til q, har vi da: p i q. Ut ifra Korollar følger det at p i q 8q, altså p i 8q 2. 14

15 5.11 Det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8 (7) 8q 2 1 = p 1 p t, har vi: p i 8q 2 1. Ut ifra Korollar har vi da: p i ( 8q 2 1 ). (8) Det følger fra (6), (7), Proposisjon at p i 8q 2 ( 8q 2 1 ), altså at p i 1. (9) Det kan ikke være sant at både p i 1 p i > 2. antakelsen at p i n fører til denne motsigelsen, konkluderer vi at p i > n. Merknad Med andre ord fastslår Proposisjon at det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 7 modulo 8. Eksempel La oss gå gjennom beviset for Proposisjon når n = 32. Det finnes tre primtall som er mindre enn eller likt 32 som er kongruent til 7 modulo 8, nemlig 7, 23, 31. La q være produktet av disse primtallene, altså q = Da er 8q 2 1 likt Beviset for Proposisjon fastslår at ett av primtallene i en primtallsfaktorisering av 8q 2 1, altså av , er større enn 32. Vi har: = , både er primtall. Det er riktignok sant at > 32. Merknad Vi har nå sett flere eksempler på proposisjoner som ligner på Proposisjon : Teorem 4.4.2, Proposisjon 4.4.9, Oppgave??, Proposisjon Utgangspunktet for bevisene for alle disse proposisjonene er beviset for Teorem Vi har benyttet stadig dypere resultater for å gjennomføre et lignende argument i de andre tilfellene. Faktisk finnes det uendelig mange primtall som er kongruent til r modulo m for hvilke som helst naturlige tall m r slik at sfd(m, r) = 1. Dette kalles Dirichlets teorem, er et dypt resultat. En ny tilnærmingsmetode behøves for å gi et bevis for Dirichlets teorem, det vil si et bevis som virker for alle de mulige tilfellene samtidig. Ett av bevisene benytter teorien for L-funksjoner i analytisk tallteori. Det finnes både algebraiske analytiske varianter av L-funksjoner, teorien for dem er ett av de viktigste temaene innen dagens forskning i tallteori. 15

16

17 Oppgaver O5.1 Oppgaver i eksamens stil Merknad. Benytt kvadratisk gjensidighet i løpet av svarene dine på Oppgave 9 Oppgave 10. Oppgave O Heltallet er et primtall. Er en kvadratisk rest modulo 17827? Oppgave O Hvor mange løsninger (slik at ingen par av disse er kongruent til hverandre) har kongruensen 81x 2 44x 2 0 (mod 3461)? Oppgave O (Valgfritt, men anbefalt). Løs Oppgave 2-4 i Øving 9 ved å benytte kvadratisk gjensidighet. Oppgave O (Valgfritt, men anbefalt). Gjør følgende. (1) La p være et primtall slik at p > 2. Bevis at L 2 p eller at L 2 p = 1 ellers. p 1 (mod 8) p 3 (mod 8), = 1 dersom enten (2) La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p > n p 3 (mod 8). Med andre ord, bevis at det finnes uendelig mange primtall som er kongruent til 3 modulo 8. Tips: La q være produktet av alle de primtallene mindre enn eller like n som er kongruent til 3 modulo 8, benytt en primtallsfaktorisering til q Benytt så (1). 17

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

Forelesning 2 torsdag den 21. august

Forelesning 2 torsdag den 21. august Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Forelesning 6 torsdag den 4. september

Forelesning 6 torsdag den 4. september Forelesning 6 torsdag den 4. september 1.13 Varianter av induksjon Merknad 1.13.1. Det finnes mange varianter av induksjon. Noen av disse kalles noen ganger sterk induksjon, men vi skal ikke benytte denne

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

Forelesning 7 mandag den 8. september

Forelesning 7 mandag den 8. september Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi

Detaljer

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger

Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Oversikt over lineære kongruenser og lineære diofantiske ligninger Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at 462x 27 (mod 195). Benytt først Euklids algoritme for å finne

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Forelesning 5 mandag den 1. september

Forelesning 5 mandag den 1. september Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet

Detaljer

Forelesning 11 mandag den 22. september

Forelesning 11 mandag den 22. september Forelesning 11 mandag den 22. september 2.9 Lineære diofantiske ligninger forts. Proposisjon 2.9.1. La a, b, c, x, y være heltall. Anta at La d være et naturlig tall slik at sfd(a, b) = d. Ut ifra definisjonen

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Oversikt over det kinesiske restteoremet

Oversikt over det kinesiske restteoremet Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?

Detaljer

Forelesning 4 torsdag den 28. august

Forelesning 4 torsdag den 28. august Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG

KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r

Detaljer

Heltallsdivisjon og rest div og mod

Heltallsdivisjon og rest div og mod Heltallsdivisjon og rest div og mod La a og b være to heltall med a 0. Vi sier at a går opp i b (eng. a divides b) hvis det finnes et heltall c slik at b = ac. I så fall kalles a for en faktor i b og b

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Il UNIVERSITETET I AGDER

Il UNIVERSITETET I AGDER Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)

Detaljer

Eksamen MAT H Løsninger

Eksamen MAT H Løsninger Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F

Detaljer

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er

Detaljer

Velkommen til MA Lineær algebra og geometri

Velkommen til MA Lineær algebra og geometri Velkommen til MA1201 - Lineær algebra og geometri Benedikte Grimeland Institutt for matematiske fag 13. august 2014 2 Plan for forelesningen 1. informasjon om praktiske aspekt, samt øvingsopplegg 2. påmelding

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og

Detaljer

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre

Detaljer

Kapittel 4: Mer predikatlogikk

Kapittel 4: Mer predikatlogikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 8: Logikk, predikatlogikk, bevisteknikker Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Mer predikatlogikk 10. februar 010 (Sist oppdatert: 010-0-10

Detaljer

INNHOLD. Side Eksempeleksamen 2T - Hele oppgavesettet 1. Oppgave 1 Eksempeleksamen 10

INNHOLD. Side Eksempeleksamen 2T - Hele oppgavesettet 1. Oppgave 1 Eksempeleksamen 10 INNHOLD Side Eksempeleksamen 2T - Hele oppgavesettet 1 Oppgave 1 Eksempeleksamen 10 Oppgave 1a Eksempeleksamen 12 Teori oppgave 1a Eksempeleksamen 12 Løsning oppgave 1a Eksempeleksamen 14 Oppgave 1b Eksempeleksamen

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007

Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet Christian Mahesh Hansen - 5. februar 2007 1 Sekventkalkyle 1.1 Semantikk for sekventer Semantikk for sekventer Definisjon 1.1 (Gyldig

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 2008 Kvantorer Mandag 04.02.2008 introduserte vi predikatlogikk Vi

Detaljer

Kvantorer. MAT1030 Diskret matematikk. Kvantorer. Kvantorer. Eksempel. Eksempel (Fortsatt) Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring

Kvantorer. MAT1030 Diskret matematikk. Kvantorer. Kvantorer. Eksempel. Eksempel (Fortsatt) Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Kvantorer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 8: Predikatlogikk, bevisføring Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 6. februar 008 Mandag 04.0.008 introduserte vi predikatlogikk Vi innførte

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16 INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori

MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm,

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02

Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple

Detaljer

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994 KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017

Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammet Matematikk, studieretning Matematikk,

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Innføring i bevisteknikk

Innføring i bevisteknikk Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen

Detaljer

MAT1030 Forelesning 8

MAT1030 Forelesning 8 MAT1030 Forelesning 8 Logikk, predikatlogikk, bevisteknikker Roger Antonsen - 11. februar 009 (Sist oppdatert: 009-0-17 10:5) Kapittel 4: Mer predikatlogikk Oppsummering Læringsmålene for kapitlet om logikk

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Kapittel 4: Mer predikatlogikk

Kapittel 4: Mer predikatlogikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 8: Logikk, predikatlogikk, bevisteknikker Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Mer predikatlogikk 11. februar 009 (Sist oppdatert:

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Plenumsregning 12. Diverse oppgaver. Roger Antonsen mai Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Plan

Plenumsregning 12. Diverse oppgaver. Roger Antonsen mai Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Plan Plenumsregning 12 Diverse oppgaver Roger Antonsen - 22. mai 2008 Plan Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett eksamensoppgaver. Neste uke blir det repetisjon på mandag og onsdag. Send epost

Detaljer

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen

Slides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 1 / 14 Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: magnus.landstad@math.ntnu.no

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen

Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis. Andreas Leopold Knutsen Slides til 4.1 og 4.2: Eksempler på feil i induksjonsbevis Andreas Leopold Knutsen February 9, 2010 Eks. 1: Finn feilen Fibonaccitallene F 1, F 2, F 3,... er denert rekursivt ved: F 0 = 0, F 1 = 1, og

Detaljer

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha. Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser

Detaljer

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.

KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004. KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................

Detaljer

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030

Detaljer

Litt om diofantiske likninger

Litt om diofantiske likninger 1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140

LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG KONT 07, TMA4140 Oppgave 1 (10%) Utsagnet ( ( (p q)) r ) ( q p ) får sannhetstabellen: p q r (p

Detaljer

Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis

Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Plenumsregning 11 Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen - 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen i dag. Oppgave 10.9 Oppgave 10.10 Oppgave 10.11 Oppgave 10.12 Oppgave

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 12: Relasjoner, Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. februar 2008 En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

MAT1030 Forelesning 12

MAT1030 Forelesning 12 MAT1030 Forelesning 12 Relasjoner Dag Normann - 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) Kapittel 5: Relasjoner Repetisjon En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt

Detaljer

Fortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen

Fortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

INF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo

INF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34. Oppgaver til seminaret 25/08 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 34 Settet inneholder oppgaver fra stoffet omhandlet på forelesning uke 34, og består av seminaroppgaver, gruppeoppgaver og og obligatoriske oppgaver. Avsnittene og appendiksene

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke. . Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall

Detaljer

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no

Detaljer

Et detaljert induksjonsbevis

Et detaljert induksjonsbevis Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Øving 1 Frist: 2014-01-24 Mål for denne øvinga:

Detaljer

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!

Merk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere! Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:

Detaljer