Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f
|
|
- Anne-Marie Nordli
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»). Sammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f Eksempel. La A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} og C = {x, y} La g: A-> B være definert ved g(a) = 2, g(b) = 3, g(c) = 1. 1
2 La f: B -> C være definert ved: f(1) = x, f(2) = y, f(3) = x. La h = f g. Vi får: h(a) = f(g(a)) = f(2) = y h(b) = f(g(b)) = f(3) = x h(c) = f(g(c)) = f(1) = x Inverse funksjoner: La f: A - > B. Den inverse funksjonen til f er den funksjonen g: B -> A som er slik at g(f(a)) = a. Den inverse funksjonen betegnes med f -1. Eksempel. A = {a, b, c, d } og B = {1, 2, 3, 4} 2
3 La f være definert ved: f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(d) = 3. Den inverse funksjonen g til f er gitt ved g(1) = c, g(2) = a, g(3) = d, g(4) = b. Vi ser også at f er den inverse funksjonen til g. f(g(2)) = f(a) = 2 Mer om funksjoner En generell funksjon er på formen f: A B. Hvis både A og B er tallmengder, kaller vi f for en tallfunksjon. Følgende tallfunksjoner vil en kunne få bruk for i ulike datafag: 3
4 De to nederste funksjonene i tabellen er avrundingsfunksjoner. Funksjonen tak (eng. ceiling) La x være et desimaltall, dvs. x R. Funksjonen f: R Z (R er de reelle tallene og Z er de hele tallene) lik f(x) = x, er definert som avrundingen av x oppover til nærmeste heltall. Hvis x er et heltall så er x = x Symbolet kalles for tak (eng. ceiling). Eksempler. La f(x) = x. Da blir f(3,14) = 3,14 = 4 f(0,0001) = 0,0001 = 1 f(-1,1) = 1,1 = -1 f(-3) = 3 = -3 4
5 I Java har vi en tilsvarende funksjon: NB! I Java blir resultatet egentlig ikke et heltall, men et desimaltall der desimalene er «tatt vekk». Funksjonen gulv (eng. floor) Funksjonen f: R Z lik f(x) = x, er definert som avrundingen av x nedover til nærmeste heltall. Hvis x er et heltall så er x = x. Eksempler La f(x) = x. Da blir f(3,14) = 3,14 = 3 f(0,0001) = 0,0001 = 0 f(-1,1) = 1,1 = -2 f(-3) = 3 = -3 Grafen til en funksjon. Gitt funksjonen f: A B. Grafen til f er den delmengden 1 av AxB som er gitt ved G f = { (a,b) a A, b = f(a) }. 2 Grafen er med andre ord en mengde av par. Dette kan også illustreres ved et koordinatsystem. 1 G f AxB. 2 Husk: AxB = { (a, b) a A og b B} 5
6 Eksempel. La A = {a, b, c, d, e} og B = {1, 2, 3} La f være definert ved f(a) = 3, f(b) = 1, f(c) = 2, f(d) = 3. Koordinatsystem: Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen 0 (også kalt nr. 0 eller indeks 0). 3 Tallene i en følge kalles ledd. (eng. term) En generell endelig følge kan settes opp slik: 3 Enkelte ganger er det mer aktuelt å si at det første tallet har posisjonen/indeks/nr 1. 6
7 Denne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik: En følge kan også skrives opp på kortform: {a n }, n 0 eller eventuelt {a n }, n 1 Andre bokstaver enn n kan også brukes. Eksempler. OBS! La alle a n være tall fra en tallmengde S. Da kan følgen {a n }, n 0 sees på som en funksjon f: N S (fra de naturlige tallene til S) der f(n) = a n. Geometriske følger. En geometrisk følge er en følge der forholdet (brøken) mellom et vilkårlig ledd og det foregående er en konstant. Hvis a n er det generelle leddet, betyr det at a n /a n-1 er en konstant for alle n 1. Eksempel 1. Gitt følgen 1, 2, 4, 8, 16, Vi ser at 7
8 Siden forholdet mellom et tall og det foregående tallet i følgen er en konstant, er dette en geometrisk følge. Eksempel 2. Gitt følgen Vi ser at Følgelig er dette en geometrisk følge. Eksempel 3. Gitt følgen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, Vi ser at Siden vi i får forskjellige svar er forholdet mellom leddene ikke en konstant og følgen er derfor ikke en geometrisk følge. Generell formel. Det generelle leddet a n i en geometrisk følge er alltid på formen 8
9 a n = ar n, n 0 Forelesningsnotat i Diskret matematikk, torsdag 22. september 2016 Her er a det første leddet i følgen. (dvs. a 0 = a) og r det faste forholdet mellom et ledd og det foregående leddet, dvs. r = a n /a n+1, n 1 Eksempler La a = 1 og r = 2. Da blir a n = 2 n, og vi får følgen 1, 2, 4, 8, 16, 32, La a = 2 og r = 3. Da blir a n = 2 3 n og vi får følgen 2, 6, 18, 54, La a = 3 og r = -2. Da blir a n = 3 (-2) n. Det gir følgen 3, -6, 12, -24, 4 Aritmetiske følger. En følge kalles en aritmetisk følge hvis differensen mellom et vilkårlig ledd og det foregående leddet er en konstant. Det betyr at hvis a n er det generelle leddet, så er a n a n+1 fast for alle n 1. Avstanden mellom leddene er konstant. Eksempel 1 Gitt følgen 2, 4, 6, 8, 10,. (partallene) Vi ser at 4 2 = 2, 6 4 = 2, 8 6 = 2 osv. Siden differensen er den samme er dette en aritmetisk følge. Generell formel. 4 NB! Når fortegnet til leddene i følgen skifter mellom positiv og negativ annenhver gang er må r være negativ! 9
10 Det generelle leddet an i en aritmetisk følge har formen: a n = a + dn, n 0 Her er a det første leddet (dvs. a 0 = a) og d den faste differensen mellom et ledd og det foregående leddet. d = a n a n-1, n 1 I eksempelet over (følgen 2, 4, 6, 8, 10,.) er a = 2 og d = 2. Dermed blir a n = 2 + 2n. Eksempel 2. La a = 5 og d = 3. Da blir a n = 5 + 3n og vi får den aritmetiske følgen 5, 8, 11, 14, 17, 20,. Differensligninger. En spesiell type følger får vi ved hjelp av en differensligning (eng. reccurence relation) Da kan f.eks. an være gitt slik: a n = 2a n-1 + 3a n-2, a 0 = 1, a 1 = 2 Dermed kan vi bestemme leddene I følgen: a 2 = = 7, a 3 = = 20, osv. Slike følger skal vi studere nærmere i kapittel 8. Det er mange typer følger som er av interesse i ulike datafag. Det er aritmetiske følger, geometriske følger og andre typer følger. Her er noen av de viktigste: 10
11 11
Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerEksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerDenne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
DetaljerRekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
DetaljerRekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
DetaljerVi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.
Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
DetaljerVi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.
Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller
DetaljerInnføring i bevisteknikk
Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen
Detaljeri Dato:
c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl
DetaljerOppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerRelasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017
Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerVi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a
Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs
DetaljerDe hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
DetaljerArbeidshefte Multiplikasjon og divisjon
Navn : Dato : 4. desember 2018 Matte er gøy! 1 Gangetabellen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2011. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerHans Petter Hornæs,
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerPrimtall. Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p.
Primtall Et heltall p > 0 kalles et primtall hvis kun 1 og p går opp i p. Hvordan avgjøre om et heltall a > 1 er et primtall? Regel: Hvis a > 1 ikke er et primtall, så må det finnes et primtall p a som
DetaljerFørst litt repetisjon
Først litt repetisjon En relasjon er en mengde av verdipar, der første koordinaten a er fra mengden A og andrekoordinaten b er fra mengden B. Verdiparet beskriver en forbindelse (en relasjon) fra a til
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerRelasjoner. Ekvivalensrelasjoner. En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden. La R være en relasjon på en mengde A.
Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis ( a, a) R for alle a A. R er symmetrisk hvis ( a, b) R, så er (
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerVi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad.
Differensligninger Vi startet med en repetisjon om løsning av. ordens differensligninger.. ordens differensligning. a n = c 1 a n-1 + c a n-, der c 1 og c er konstanter. Vi ser her at neste ledd i følgen
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerITGK - H2010, Matlab. Repetisjon
1 ITGK - H2010, Matlab Repetisjon 2 Variabler og tabeller Variabler brukes til å ta vare på/lagre resultater Datamaskinen setter av plass i minne for hver variabel En flyttallsvariabel tar 8 bytes i minne
DetaljerR for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk
DetaljerOppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)
Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 10: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs
DetaljerR for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
DetaljerFunksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene
Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 2007 5. oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:14) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerTeori og oppgaver om 2-komplement
Høgskolen i Oslo og Akershus Diskret matematikk høsten 2014 Teori og oppgaver om 2-komplement 1) Binær addisjon Vi legger sammen binære tall på en tilsvarende måte som desimale tall (dvs. tall i 10- talssystemet).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 9. oktober 2013. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 4. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:57) MAT1030 Diskret
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerEmne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.
Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerKommentarer til oppgavene
Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5,
DetaljerJulenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)
Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerEgenskaper til relasjoner på en mengde A.
Egenskaper til relasjoner på en mengde A. Refleksivitet Relasjonen er refleksiv hvis (a, a) R for alle a A. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er refleksiv hvis alle punktene i grafen har en sløyfe. 2)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
Detaljer24. AUGUST Diskret matematikk. onsdag 23. august 2017
24. AUGUST 2017 Diskret matematikk onsdag 23. august 2017 1 Hva er matematikk? Matematikk er, likhet med norsk, engelsk og Java, et språk om man kan uttrykke noe i, f.eks. sammenhenger og sannheter. Symbolene
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 1 2.4 7 I Fanos geometri (se side 18 i læreboka) er punktene gitt ved symbolene
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1
Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha
DetaljerObligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer
Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle
DetaljerModulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.
Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerDiskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015
Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerKONTROLLSTRUKTURER. MAT1030 Diskret matematikk. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer. Eksempel (Ubegrenset while-løkke)
KONTROLLSTRUKTURER MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 2: Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. januar 2008 Mandag innførte vi pseudokoder
DetaljerMatematikk 15 V-2008
Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :
Detaljer5. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2
1 5. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: beskrive plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal,
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8
Delkapittel 1.8 Algoritmeanalyse Side 1 av 12 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 1 - Delkapittel 1.8 1.8 Algoritmeanalyse 1.8.1 En algoritmes arbeidsmengde I Delkapittel 1.1 ble det definert og diskutert
DetaljerHint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.
Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere
DetaljerForelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018
Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt
DetaljerFormelsamling Kalkulus
Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6
DetaljerFagdag 1 - S2. Kommentarer og oppsummering. Oppgave 1 - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker
Fagdag - S Kommentarer og oppsummering Oppgave - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker De naturlige tallene: Det n-te leddet er rett og slett det samme som nummeret (indeksen) i rekken: (Kunne
DetaljerOppsummering av Uke 3. MAT1030 Diskret matematikk. Binære tall. Oppsummering av Uke 3
Oppsummering av Uke 3 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 3: Mer om representasjon av tall Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. januar 2008 Mandag 14.01 og delvis onsdag 16.01
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. er a2 4 og a5 13. a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos( x ) b) g( x) x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) b) c) (4 3 ) d x x x 4 ln d 1 0 x x x x dx 4 x Oppgave 3 (3 poeng)
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er
DetaljerMAT1030 Forelesning 13
MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Dag Normann - 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:15) Kapittel 6: Funksjoner Forrige uke Forrige forelesning snakket vi om relasjoner. Vi snakket om ekvivalensrelasjoner
DetaljerAnalysedrypp III: ɛ-δ og alt det der
Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende
DetaljerDifferensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
DetaljerAlle hele tall g > 1 kan være grunntall i et tallsystem.
Tallsystemer Heltall oppgis vanligvis i det desimale tallsystemet, også kalt 10-tallssystemet. Eksempel. Gitt tallet 3794. Dette kan skrives slik: 3 1000 + 7 100 + 9 10 + 4 = 3 10 3 + 7 10 2 + 9 10 1 +
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret
DetaljerAvsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
Detaljer