Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
|
|
|
- Alf Borgen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011
2 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av)
3 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For hvilke x konvergerer rekkene ( 1) n 1 x n n n=1 ( 1) n=1 n 1 x 2n 1 = x x x 3 3 (1) = x x 3 2n x 5 5 (2) x n n! n=0 = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + (3) n!x n = 1 + x + 2!x 2 + 3!x 3 + 4!x 4 + (4) n=0
4 4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0
5 4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c
6 4 Konvergens av potensrekker Teorem (Konvergensteoremet for potenrekker) Hvis potensrekken a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + n=0 1 Konvergerer for x = c 0, så konvergerer den absolutt for x < c 2 Divergerer for x = d, så divergerer den for x > d
7 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
8 Setning Konvergensen til 1 Rekken c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0
9 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R
10 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R.
11 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = )
12 Setning Konvergensen til c n (x a) n kan beskrives på nøyaktig 3 måter n=0 1 Rekken konvergerer absolutt for x a < R og divergerer for x a > R, der R er et positivt reelt tall. Uvisst for x = a R og x = a + R. 2 Rekken konvergerer absolutt for alle x (R = ) 3 Rekken konvergerer i x = a og divergerer ellers (R = 0)
13 6 Konvergensradius til en potensrekke Definisjon Størrelsen R kalles for konvergensradiusen til potensrekkenrekken. Definisjon Intervallet der potensrekken konvergerer kalles konvergensintervallet til potensrekken
14 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R
15 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten
16 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest
17 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest
18 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest.
19 7 Konvergensanalyse av potensrekker 1 Anvend rottesten eller forholdstesten for å finne intervall der rekken konvergerer absolutt. x a < R 2 Hvis intervallet er endelig. Sjekk konvergens på endepunktene. Bruk enten en sammenlikningstest integraltest eller alternerende rekketest. 3 For x a > R, DIVERGERER potensrekken
20 8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0
21 8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil.
22 8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2
23 8 Derivasjon av potensrekker Hvis c n (x a) konvergerer for x a < R har vi en funksjon f(x) = c n (x a) n n=0 f(x) kan deriveres så mange ganger vi vil. Vi deriverer f(x) ved å derivere ledd for ledd f (x) = n c n (x a) n 1 n=1 f (x) = n(n 1) c n (x a) n 2 n=2 De deriverte konvegerer også for x a < R.
24 9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0
25 9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0
26 9 Integrasjon av potensrekker Anta f(x) = c n (x a) n konvergerer for x a < R. n=0 1 Da konvergerer 2 f(x) dx = c n (x a) n+1 for x a < R. n + 1 n=0 c n (x a) n+1 + C for x a < R. n + 1 n=0
27 10 Multiplikasjon av potensrekker ( ) ( ) ( ) a n x n b n x n = c n x n n=0 n=0 n=0 Hva er c n? Setning n c n = a 0 b n + a 1 b n a n b 0 = a k b n k k=0
28 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker
29 12 Derivering av potensrekke Gitt en potensrekke f(x) = c k (x a) k k=0 Hva er alle dens deriverte i x = a?
30 12 Derivering av potensrekke Gitt en potensrekke f(x) = c k (x a) k k=0 Hva er alle dens deriverte i x = a? Hva er d n f dx n(a)?
31 13 Maclaurin-rekker Definisjon (Maclaurinrekken generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av alle orden i et intervall som inneholder x = 0. Maclauinrekken til f(x) er k=0 f (k) (0) k! x k = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + n!
32 14 Taylor-rekker Definisjon (Taylorrekken generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av alle orden i et intervall som inneholder x = a. Taylorrekken til f(x) er k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! f (k) (a) (x a) k k! (x a) f (n) (a) (x a) n + n!
33 15 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet av grad n generert av f(x)) La f(x) ha deriverte av minst orden n i et intervall som inneholder x = a. Taylorpolynomet til f(x) av orden n er n k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! f (k) (a) (x a) k k! (x a) f (n) (a) (x a) n n!
34 16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = 0
35 16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = x, om x = 3
36 16 Eksempler på Taylorpolynomer Finn taylorpolynomene til 1 e x, om(kring) x = x, om x = 3 3 sin x, om x = 0
37 17 Taylorpolynomer av sin x om x = sin x = P(x)
38 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P sin x x = P 1 (x)
39 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P P 3 sin x x 1 3! x 3 = P 3 (x)
40 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P P 3 sin x x 1 3! x ! x 5 = P 5 (x)
41 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P P 3 P 7 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x 7 = P 7 (x)
42 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P P 3 P 7 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x 9 = P 9 (x)
43 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x 11 = P 11 (x)
44 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P P 3 P 7 P 11 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x 13 = P 13 (x)
45 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x ! x 15 = P 15 (x)
46 17 Taylorpolynomer av sin x om x = 0 1 P 1 P 5 P 9 P 13 P P 3 P 7 P 11 P 15 sin x x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x ! x ! x ! x ! x 17 = P 17 (x)
47 18 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1
48 18 En tankevekker-rekke Taylorrekken til f(x) = { 0 x = 0 e 1/x x 0 1 = 0
49 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker
50 20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
51 20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
52 20 Taylors teorem (Teori) Teorem (Taylors teorem) 1 Gitt en funksjon f og dens n deriverte f, f, f,..., f (n+1) er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (a)(b a) + f (a) (b a) 2 + 2! + f (n) (a) n! (b a) n + f (n+1) (c) (b a)n+1 (n + 1)!
53 21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b.
54 21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at
55 21 Spesialtilfelle Teorem (Mellomverdisatsen) 1 Gitt en funksjon f og dens første-deriverte f er kontinuerlige på et lukket intervall mellom a og b. 2 Da finnes et punkt c mellom a og b slik at f(b) = f(a) + f (c)(b a)
56 22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a
57 22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x).
58 22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)!
59 22 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. f(x) = f(a) + f (a)(a b) + f (a) 2! R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! (a b) f (n) (a) (a b) n + R n (x) n!
60 23 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1)
61 23 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n!
62 23 Et eksempel e = e 1 = ! n! + R n(1) R n (1) < e (n + 1)! (< 1 som oftest:) n! Matematisk nøtt: Kan e skrives som en brøk?
63 24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)!
64 24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x.
65 24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x.
66 24 Estimering av restleddet Teorem (Restledds-estimerings teoremet) M positiv konstant. f (n+1) (t) M for alle t mellom a og x da tilfredstiller restleddet ulikheten Anvendelser: R n (x) M x a n+1 (n + 1)! Taylor rekken for e x konvergerer mot e x for alle reelle tall x. Taylor rekken for cos x konvergerer mot cos x for alle reelle tall x. Taylor rekken for sin x konvergerer mot sin x for alle reelle tall x.
67 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x
68 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 sin x 0 x dx med feil mindre enn 0,
69 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 x 3 sin x x dx med feil mindre enn 0,
70 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 1 sin x x sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 dx = C + x 1 3 3! x ! x 5
71 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x ! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx ! ! 1 7 7! = 0,
72 25 Anvendelser av taylorrekker 1 sin x Skriv dx som en potensrekke. x 2 Estimer Si(1) = 1 0 sin x ln(1 + x 2 ) 3 Regn ut lim x x 0 sin x x dx med feil mindre enn 0, x 3 1 sin x dx = C + x 1 x 3 3! x ! x 5 2 Si(1) = 1 sin x 0 x dx ! ! 1 7 7! = 0, sin x 3 lim 1 x ln(1+x2 ) x 0 = 1 x 3 3
73 26 i
74 26 i Løs likningen x = 0
75 26 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i
76 26 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i i = 1
77 27 Eulers identitet e 1 x = cos x + 1 sin x e i x = cos x + i sin x e i π = 1
78 28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka.
79 28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka).
80 28 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka). Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å forstå teoremet.
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Rekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Potensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
Taylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
MAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
UNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Generelle teoremer og definisjoner MA1102 Grunnkurs i analyse II - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA110 Grunnkurs i analyse II - NTNU Lærebok: Kalkulus, Universitetsforlaget, 006, 3. utgave av Tom Lindstrøm Jonas Tjemsland 9. april 015 3 Komplekse tall 3.1 Regneregler
TMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Institutionen för Matematik, KTH
Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
Anvendelser av potensrekker
Anvendelser av potensrekker Forelest: 6 Okt, 2004 Vi kan bare skrape på toppen av isfjellet som er anvendelsene av potensrekker En spesielt viktig anvendelse er innenfor enhver form for differensialligninger
MA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i Analyse II Vår 215 Løsningsforslag Øving 5 11.3:3 f n (x) = 2n+1 x? = x 1 2n+1. (Det er muligens en forskjell
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
Mål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
Løsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6
Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Figur 2: Fortegnsskjema for g (x)
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
Flere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
UNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen
Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Løsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
UNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på