x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.

Transkript

1 TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x = 0 er gitt som side 78 i læreboken sin x = x x! + x5 5! + Ox7. Vi setter dette inn i grenseuttrykket og får x sin x lim x 0 x x 0 x x 0 x x! + x5 5! + Ox 7 x x! x5 5! + Ox 7 x x 0! x 5! + Ox4 =! =. Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger Me vil linearisera fx = + x om x =, altså vil me finna for a =. Me deriverer og finn Lx = fa + f ax a, f x = Ved innsetting i uttrykket for L finn me då + x x = x + x. Lx = + x = x Me vil linearisera fx = / x om x = 4, altså vil me finna Lx = fa + f ax a, for a = 4. Me deriverer og finn f x = x /. Ved innsetting i uttrykket for L finn me då Lx = x 4 = x oktober 0 Side av 7

2 4.9.8 Lineariseringen av en funksjon f om et punkt a er gitt ved Definisjon 8, side 7 i læreboken Lx = fa + f ax a. I vårt tilfelle er fx = cosx og a =. Dessuten har vi at f x = sinx. Dette gir oss Lx = cos = = sin x x. x 4.0. Taylorpolynomet av grad til fx rundt punktet x = a er gitt ved P x = fa + f ax a + f a Nå er fx = cos x, og a = /4, så vi får P x = cos 4 sin 4 x 4 cos 4 x a + f a x a. x 4 + sin 4 x 4 = x 4 x 4 + x Vi starter med å regne ut de tre første deriverte til fx = x = x, f x = x, f x = 4 x, f x = 8 x 5. Vi bruker så definisjonen av et andreordens Taylor polynom for f rundt x = a side 7 i læreboken, og regner ut P x med a = 4, P x = f4 + f 4x 4 + f 4 x 4 = x = x = 8 + x 4 x x 4 x oktober 0 Side av 7

3 Vi finner så en approksimasjon til ved sette inn x =, P = 8 + 7, Fra Taylors teorem side 75 i læreboken, vet vi at feilen er gitt som n = E x = f s x 4, for en s mellom a og x. Vi ønsker å finne en øvre grense for feilen, det vil si at vi må finne den verdien av s som gjør f s størst. Vi vet at f x = 8 x 5 er synkende på intervallet [, 4], slik at max f s = f = 8 5. Dette betyr at vi kan finne en øvre grense på feilen, For x = får vi at E x f x 4 f = x 4. E , Det minste intervallet som vi med sikkerhet kan si inneholder er derfor P 0, , P + 0, = 7, 80448, 7, Fra kalkulatoren vet vi selvsagt at 7, med ni desimalers nøyaktighet. Vi ser at dette er innenfor intervallet Taylors formel av grad for fx rundt x = a er fx = fa + f ax a + f a x a + f a x a f 4 a 4 x a4 + f 5 a 0 x a5 + f a 70 x a + f 7 s 540 x a7, der s ligger mellom x og a. Siden og a =, får vi d dx n+ ln x = n n! x n+ ln x = x x + x 4 x x 5 x + 7s 7 x 7, der s ligger et ukjent sted mellom og x. Lagrange-resten er E n x = 7s 7 x oktober 0 Side av 7

4 4.0. Vi vet at for fx = cos x, er slik at Siden får vi for fx = sin x at P 4 x = x P 4 x = x + x4 4!, sin x = + x4 4! cos x, P 4 x = x x4. = x + x Den generelle Taylorformelen for fx = sin x rundt x = 0 er Siden sin x = x x! + x5 5! x7 xn n 7! n +! + n+ xn+ coss n +! fx P n x = E n x, må vi analysere Lagrange-resten E n x. Siden cos s, og vi skal tilnærme sin dette betyr at x =, ser vi at Vi skal ha at E n x = n+ xn+ coss n +! fx P n x 5 0. Siden fx P n x n+!, går dette fint dersom og det oppnår vi dersom n. n +! 5 0, n +!. Review Exercise, side 8 Vi lar fx = sin x. Taylor-polynomet av grad til f om x = 0 er gitt som P x = f0 + f 0x + f 0! Vi finner først de deriverte til f, x + + f 0 x.! fx = sin x, f0 = 0, f x = sin x cos x = sin x, f 0 = 0, f x = cos x, f 0 =, f x = 4 sin x, f 0 = 0, f 4 x = 8 cos x, f 4 0 = 8, f 5 x = sin x, f 5 0 = 0, f x = cos x, f 0 =. 4. oktober 0 Side 4 av 7

5 Vi har nå at P x =! x 8 4! x4 +! x = x x x. Fra Taylors teorem vet vi at Vi bruker dette til å evaluere grensen, sin x x + x 4 lim x 0 x fx = P x + Ox 7. x x x + Ox 7 x + x 4 x 0 x 5 x + Ox 7 x 0 x x Ox = 5. Challenging problem, side 0 a Vi vet at slik at cos j + t cos j Dermed har vi at cosa + b = cos a cos b sin a sin b, cosa b = cos a cos b + sin a sin b, sinjt = cos j t = cosjt cos t sinjt sin t cosjt cos t + sinjt sin t = sinjt sin t. t cos j + t sin t. Vi må kreve at sin t 0, det vil si at t ikke er et heltall. Hvis vi så summerer over j =,,..., n på begge sider får vi at { } cos j t cos j + t sinjt = sin j= j= t n { } j= cos j t cos j + t = sin t. La oss se litt nærmere på summen i telleren ved å skrive ut noen av leddene, j= { } cos j t cos j + t = cos t cos t + cos t cos 5 t + cos 5 t cos 7 t cos n t cos n + t = cos t cos n + t. 4. oktober 0 Side 5 av 7

6 Vi ser at alle leddene utenom det første og det siste kanselleres mot hverandre. Slike summer kaller vi gjerne teleskopsummer se side 9 9 i læreboken. Vi har altså vist at sinjt = cos t cos n + t sin t. j= b La fx = sin x og del intervallet [0, ] opp i n like store intervaller, [x i, x i ], der x i = i n for i =,,..., n. Størrelsen på hvert intervall er da x = n. Vi har nå en partisjon, P = {x 0, x,..., x n }, av intervallet [0, ]. Hvis vi videre lar c = x, x,..., x n, kan vi sette opp en Riemann-sum, Rf, P, c = fc j x = j= sini n n. j= Vi vet at 0 sin x dx Rf, P, c se side 0 04 i læreboken. Vi setter så uttrykket vi fant i a med t = n inn i uttrykket for Riemann-summen, Rf, P, c = sin i n j= n = cos cos n + sin n n. Legg merke til at t, det vil si ikke et heltall. Videre kan vi vise ved hjelp av addisjonsregelen for cosinus at = cos n + n = cos cos sin sin = sin. Vi står da igjen med Rf, P, c = cos + sin 4 n sin = cos 4 n sin +. n Når vi nå skal evaluere Rf, P, c i grensen n, bruker vi Taylor-polynomene til cos y og sin y om y = 0, cos y = y + Oy4, sin y = y + Oy. 4. oktober 0 Side av 7

7 Med y = får vi at lim Rf, P, c = 4 lim = 4 lim = 4 lim cos n sin + n cos n sin 4 + O n + O = 4 lim + O n 4 + O n = 4 4 =. Vi har brukt at O a n = O p n for alle konstanter a se Big-O Notation side p 77 i læreboken. Vi konkluderer oppgaven med å ha vist at 0 n 4 sin x dx Rf, P, c =. 4. oktober 0 Side 7 av 7