Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011"

Transkript

1 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20

2 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden

3 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden Vi kan tenke på en funksjon som en maskin x Funksjon f f(x)

4 3 Definisjon- og verdimengde f D f V f

5 4 Funksjon som en graf 2 f(x) = x 2 2x 2 3 4

6 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) Lufttrykket målt ved en stemmegaffel er gitt ved tabellen tid / ms trykk / µbar 0,0,36 0,6,303,2 0,62,8 0,482..

7 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) Største heltall - funksjonen f(x) = x = største heltall som er mindre eller lik x

8 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.)

9 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.) 4 Algebraisk (Beskrevet ved hjelp av formel) f(x) = sin x x

10 6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0

11 6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x og dens graf. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0

12 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi f 2

13 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. 2 f

14 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. Hvis en vertikal linje krysser i flere punkter på grafen, så er den ikke grafen til en funksjon. 2 f

15 8 Lineære Funksjoner Definisjon En funksjon kalles lineær hvis grafen dens er en rett linje En lineær funksjon kan skrives på formen f(x) = mx + b, der m er stigningstallet og b er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Eksempel f(x) = x + 4

16 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje

17 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.

18 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen y = c f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.

19 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo

20 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten.

21 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten. y = mx

22 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0.

23 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x).

24 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x). Eksempel f(x) = x 2 x er et 2.gradspolynom.

25 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3

26 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant.

27 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant. Eksempel y = x 4 = x 4 og rotfunksjoner er andre eksempler.

28 2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8.

29 2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8. nte røtter kan brukes til å definere funksjoner y = 3 x y = x 2 x 2 x

30 3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x)

31 3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x) 4 2 y = x x + x y = x 2 x 2 x 2 4

32 4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er stigende på [0, >

33 4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I Definisjon En funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f(x ) > f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er avtagende på <, 0]

34 5 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Odde) En funksjon f(x) kalles for en odde funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Potensfunksjonen: f(x) = x 3

35 6 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Jevn) En funksjon f(x) kalles for en jevn funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Polynomet: f(x) = x 4 + x 2

36 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x ) 2

37 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x + ) 2

38 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) + 2

39 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) 2

40 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

41 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

42 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

43 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( 2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

44 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

45 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

46 9 Vinkler Grader 90

47 9 Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/2,5708

48 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

49 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = sin(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

50 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = tan(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

51 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = sec(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

52 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = csc(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

53 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = cot(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

54 22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x)

55 22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x) Eksempel: f(x) = sin(x)

56 23 Trigonometriske identiteter (cos θ, sin θ) cos 2 θ + sin 2 θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B

57 24 Cosinus-loven B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a C θ c b A

58 25 Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f(x) = 2 x 3 2

59 26 Eksponensialfunkjsoner Definisjon En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y = ( 4 )x 3 y = 4 x y = ex y = ( 2 )x y = 2 x 2 Tangenten til e x igjennom punktet (0,) har stigningsgrad

60 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

61 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

62 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

63 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

64 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

65 28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når f(x ) = f(x 2 ) x = x 2

66 28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når Eksempler: f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 f(x) = ax + b, a og b er konstanter. f(x) = e x f(x) = sin x, π 2 < x < π 2 f(x) = tan x, π 2 < x < π 2

67 29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f g f(x)

68 29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f f f(x) Vi skriver g = f

69 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

70 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

71 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

72 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

73 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

74 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

75 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y g(x) = x Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

76 3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen f(x) = log a x defineres som den inverse av. a x

77 3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen defineres som den inverse av. Den naturlig logaritmen defineres som den inverse av. f(x) = log a x a x f(x) = ln x e x

78 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

79 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

80 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

81 33 Inverse trigonometriske funksjoner Trigonometriske funksjoner er ikke en-til-en Inverse trigonometriske funksjoner defineres ved å invertere funksjonene på passende intervaller sin (x) = Arcsin x

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor

Detaljer

Oppfriskningskurs i Matematikk

Oppfriskningskurs i Matematikk Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en

Detaljer

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3

Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 8 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8 Derivasjon I agens forelesning skal vi se på følgene: 1 Kjerneregelen 2 Deriverte til trigonometriske

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene. Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +

Detaljer

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,

Detaljer

Oppfriskningskurs i Matematikk

Oppfriskningskurs i Matematikk Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig

Detaljer

Oppfriskningskurs Sommer 2019

Oppfriskningskurs Sommer 2019 Oppfriskningskurs Sommer 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 9 fra Øving 2 a) Er funksjonen f(x) = en-til-en? Hvorfor/hvorfor ikke? { 1 x hvis 0 x

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) = NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse

Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Eksamen R2 høsten 2014 løsning

Eksamen R2 høsten 2014 løsning Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.

Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye. Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon?

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon? EKSAMEN Emnekode: MA94 Emnenavn: FUNKSJONER Dato: 9. mai 202 Varighet: 09.00 5.00 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Formelark følger med oppgaven Merknader: alle oppgavene

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 2

Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Test, 5 Funksjoner (1P)

Test, 5 Funksjoner (1P) Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. november 2011 Kapittel 15.1. Retningsfelt og Picards teorem 3 Retningsvektorfelt for y = y

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.

x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger. TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8

Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Løsningsforslag i matematikk

Løsningsforslag i matematikk Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

1 Trigonometriske relationer

1 Trigonometriske relationer gdmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribtion og fremvisning af dette dokment eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

R2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner

R2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b

Detaljer

R2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag

R2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h

Detaljer

x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3

x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3 Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk

Detaljer