Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011"

Transkript

1 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20

2 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden

3 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden Vi kan tenke på en funksjon som en maskin x Funksjon f f(x)

4 3 Definisjon- og verdimengde f D f V f

5 4 Funksjon som en graf 2 f(x) = x 2 2x 2 3 4

6 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) Lufttrykket målt ved en stemmegaffel er gitt ved tabellen tid / ms trykk / µbar 0,0,36 0,6,303,2 0,62,8 0,482..

7 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) Største heltall - funksjonen f(x) = x = største heltall som er mindre eller lik x

8 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.)

9 5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.) 4 Algebraisk (Beskrevet ved hjelp av formel) f(x) = sin x x

10 6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0

11 6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x og dens graf. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0

12 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi f 2

13 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. 2 f

14 7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. Hvis en vertikal linje krysser i flere punkter på grafen, så er den ikke grafen til en funksjon. 2 f

15 8 Lineære Funksjoner Definisjon En funksjon kalles lineær hvis grafen dens er en rett linje En lineær funksjon kan skrives på formen f(x) = mx + b, der m er stigningstallet og b er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Eksempel f(x) = x + 4

16 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje

17 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.

18 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen y = c f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.

19 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo

20 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten.

21 9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten. y = mx

22 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0.

23 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x).

24 0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x). Eksempel f(x) = x 2 x er et 2.gradspolynom.

25 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3

26 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant.

27 Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant. Eksempel y = x 4 = x 4 og rotfunksjoner er andre eksempler.

28 2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8.

29 2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8. nte røtter kan brukes til å definere funksjoner y = 3 x y = x 2 x 2 x

30 3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x)

31 3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x) 4 2 y = x x + x y = x 2 x 2 x 2 4

32 4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er stigende på [0, >

33 4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I Definisjon En funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f(x ) > f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er avtagende på <, 0]

34 5 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Odde) En funksjon f(x) kalles for en odde funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Potensfunksjonen: f(x) = x 3

35 6 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Jevn) En funksjon f(x) kalles for en jevn funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Polynomet: f(x) = x 4 + x 2

36 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x ) 2

37 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x + ) 2

38 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) + 2

39 7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) 2

40 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

41 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

42 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

43 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( 2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

44 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

45 8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon

46 9 Vinkler Grader 90

47 9 Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/2,5708

48 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

49 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = sin(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

50 20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = tan(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)

51 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = sec(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

52 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = csc(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

53 2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = cot(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)

54 22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x)

55 22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x) Eksempel: f(x) = sin(x)

56 23 Trigonometriske identiteter (cos θ, sin θ) cos 2 θ + sin 2 θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B

57 24 Cosinus-loven B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a C θ c b A

58 25 Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f(x) = 2 x 3 2

59 26 Eksponensialfunkjsoner Definisjon En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y = ( 4 )x 3 y = 4 x y = ex y = ( 2 )x y = 2 x 2 Tangenten til e x igjennom punktet (0,) har stigningsgrad

60 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

61 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

62 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

63 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

64 27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x

65 28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når f(x ) = f(x 2 ) x = x 2

66 28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når Eksempler: f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 f(x) = ax + b, a og b er konstanter. f(x) = e x f(x) = sin x, π 2 < x < π 2 f(x) = tan x, π 2 < x < π 2

67 29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f g f(x)

68 29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f f f(x) Vi skriver g = f

69 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

70 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

71 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

72 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

73 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

74 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

75 30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y g(x) = x Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.

76 3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen f(x) = log a x defineres som den inverse av. a x

77 3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen defineres som den inverse av. Den naturlig logaritmen defineres som den inverse av. f(x) = log a x a x f(x) = ln x e x

78 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

79 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

80 32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b

81 33 Inverse trigonometriske funksjoner Trigonometriske funksjoner er ikke en-til-en Inverse trigonometriske funksjoner defineres ved å invertere funksjonene på passende intervaller sin (x) = Arcsin x

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 2

Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015

Plenum Kalkulus. Fredrik Meyer. 23. oktober 2015 Plenum Kalkulus Fredrik Meyer. oktober 05 7. Oppgave (7.). Du skal lage en rektangulær innehengning til hesten din. Den ene siden dekkes av låven og på de tre andre sidene skal du bygge gjerde. Hva er

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

1 Trigonometriske relationer

1 Trigonometriske relationer gdmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribtion og fremvisning af dette dokment eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA6524-04.06.2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA65 -.6.7 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Brukerveiledning. Oversatt til norsk av Øistein Gjøvik

Brukerveiledning. Oversatt til norsk av Øistein Gjøvik Brukerveiledning Oversatt til norsk av Øistein Gjøvik Lær mer om å tegne grafer til funksjoner, plotte data fra tabeller, evaluere likninger, utforske transformasjoner og mere til! Hvis du har spørsmål

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2 Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

MA0003-8. forelesning

MA0003-8. forelesning Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Matematikk i videregående skole

Matematikk i videregående skole Identification Label Teacher Name: Class Name: Teacher ID: Teacher Link # Lærerspørreskjema Matematikk i videregående skole Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling Universitetet i Oslo International

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x.

(coshu) = sinhudu. dx. Her har vi at u = w Hx, og du dx = w dy. dx = H w w. H sinh w H x = sinh w H x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 3 Avsnitt 3. 49 a) Fra tabell 3.4 på sie 222 i boka: (coshu) = sinhuu. Her har vi at u = w H, og u = w y H. Det følger

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

"Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MX etter R`94"

Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI Eksempler som oppfyller målene i Læreplan for 2MX etter R`94 1 "Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MX etter R`94" Arbeidet bygger på Matematikk med TI-83 for GK av samme forfatter. Mål og hovedmomenter 1 2 Mål 3:

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Inverse trigonometriske funksjoner

Inverse trigonometriske funksjoner Inverse trigonometriske funksjoner Inverse funksjoner generelt Et par av funksjoner, f og g, kalles omvendte funksjoner hvis f(g(x)) = x for alle x i definisjonsområdet til g, ogg(f(x)) = x for alle x

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer