Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010

2 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x)r/s ) = L r/s

3 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x)r/s ) = L r/s

4 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M 5. lim (f(x)r/s ) = L r/s

5 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5. lim (f(x)r/s ) = L r/s

6 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x)) = L ± M 2. lim (f(x)g(x)) = LM 3. lim (k f(x) = k L 4. lim (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5. lim (f(x)r/s ) = L r/s Når s er odde må L 0

7 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x

8 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket

9 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket

10 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 x 2

11 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x x 2 x 2

12 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2

13 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 lim x x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2

14 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 x 2 = lim x = lim 2 1 x x 1 1 x 2 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 og bruk grenselovene

15 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 og bruk grenselovene lim x = lim 2 1 x x 1 1 = lim 1 x (2 lim x 2 x (1 1 x ) x 2 )

16 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 og bruk grenselovene lim x = lim 2 1 x x 1 1 = lim 1 x (2 lim x 2 x (1 1 = lim x 2 lim x 1 x lim x 1 lim x 1 x 2 x ) x 2 )

17 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 og bruk grenselovene lim x = lim 2 1 x x 1 1 = lim 1 x (2 lim x 2 x (1 1 = lim x 2 lim x 1 x lim x 1 lim x 1 x 2 = x ) x 2 )

18 3 Grenser i det uendelige Rasjonale funksjoner Utfordring: Finn lim x 1. Omform uttrykket = () 1 x 2 () 1 2. Erstatt 2x2 x 2 1/x med 1 1/x 2 x 2 = 2x 2 1 x 1 x 2 x 2 x = 2 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 og bruk grenselovene lim x = lim 2 1 x x 1 1 = lim 1 x (2 lim x 2 x (1 1 = lim 1 x 2 lim x x = lim x 1 lim x 1 0 = 2 x 2 x ) x 2 )

19 4 Horisontale asymptoter Definisjon Linjen y = L kalles en horisontal asymtote til grafen y = f(x) hvis lim f(x) = L eller lim f(x) = L x x

20 5 Eksempel horisontale assymtoter Finn lim 3 y = 2 2 HORISONTAL 1 ASYMTOTE f(x) = 2x2 x

21 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige.

22 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige. Eksempel Finn lim x sin x x :

23 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige. Eksempel sin x Finn lim x x : Løsning: lim ±1/x = 0 x

24 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige. Eksempel sin x Finn lim x x : Løsning: lim ±1/x = 0 x 1 x sin x x 1 x

25 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige. Eksempel sin x Finn lim x x : Løsning: lim ±1/x = 0 x 1 x sin x x 1 x (sin x)/x skvises mellom 1/x of 1/x

26 6 Sandwich i det uendelige PS: Sandwich-teoremet gjelder også i det uendelige. Eksempel sin x Finn lim x x : Løsning: lim ±1/x = 0 x 1 x sin x x 1 x (sin x)/x skvises mellom 1/x of 1/x sin x lim x x = 0.

27 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel

28 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2

29 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () =

30 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x

31 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x (x 3 x)

32 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x (x 3 x) 0 + 2x 2 + x 2

33 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x (x 3 x) 2x 2 + x 2

34 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x + 2 (x 3 x) 2x 2 + x 2

35 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x + 2 (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2)

36 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x + 2 (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2) 0 + x + 0

37 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x x (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2) x

38 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x x (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2) x lim (f(x) (x + 2)) =

39 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x x (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2) x lim (f(x) (x + 2)) = lim x

40 7 Skjeve asymtoter. Skjeve asymtoter finnes ved hjelp av polynomdivisjon Eksempel Finn den skjeve asymtoten til f(x) = x3 +2x 2 2 (x 3 +2x 2 2) : () = x x (x 3 x) 2x 2 + x 2 (2x 2 2) x lim (f(x) (x + 2)) = lim x = 0

41 8 Grafen fra eksempelet f(x) = x3 +2x Skrå asymtote

42 8 Grafen fra eksempelet f(x) = x3 +2x 2 2 Neste Skrå asymtote

43 8 Grafen fra eksempelet f(x) = x3 +2x 2 2 Neste Vertikal asymtote Skrå asymtote

44 9 Uendelige grenser Hvis, uansett hva f(x) er stor betyr, f(x) alltid stor når x er tilstrekkelig nær c på høyresiden, 1 så sier vi at f(x) går mot når x går mot c fra høyre Vi skriver lim f(x) = x c +

45 9 Uendelige grenser Hvis, uansett hva f(x) er stor betyr, f(x) alltid stor når x er tilstrekkelig nær c på høyresiden, 1 så sier vi at f(x) går mot når x går mot c fra høyre Vi skriver lim f(x) = x c + 1 men ikke nødvendigvis når x = c

46 10 Presis definisjon av uendelige grenser Definisjon La f være definert på (a, c) (c, b), a < b. Vi sier at f(x) går mot når x går mot c lim f(x) = x c Hvis for hver B > 0 finnes en δ > 0 slik at f(x) > B når 0 < x c < δ. f(x) = 1/ x f(x) = sec x Tilsvarende defineres lim x c f(x) = lim x c ± f(x) = ± lim f(x) = ±

47 11 Vertikale asymptoter Definisjon Linjen x = c er en vertikal asymtote til grafen y = f(x), hvis lim x c f(x) = ± eller lim f(x) = ± + x c