Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
|
|
|
- Thorvald Berg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20
2 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er stigende på [0, >
3 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I Definisjon En funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f(x ) > f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er avtagende på <, 0]
4 3 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Odde) En funksjon f(x) kalles for en odde funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Potensfunksjonen: f(x) = x 3
5 4 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Jevn) En funksjon f(x) kalles for en jevn funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Polynomet: f(x) = x 4 + x 2
6 5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x ) 2
7 5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x + ) 2
8 5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) + 2
9 5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) 2
10 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
11 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
12 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
13 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( 2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
14 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
15 6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
16 7 Vinkler Grader 90
17 7 Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/2,5708
18 8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)
19 8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = sin(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)
20 8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = tan(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x)
21 9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = sec(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)
22 9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = csc(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)
23 9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = cot(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x)
24 0 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x)
25 0 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x) Eksempel: f(x) = sin(x)
26 Trigonometriske identiteter (cos θ, sin θ) cos 2 θ + sin 2 θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B
27 2 Cosinus-loven B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a C θ c b A
28 3 Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f(x) = 2 x 3 2
29 4 Eksponensialfunkjsoner Definisjon En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y = ( 4 )x 3 y = 4 x y = ex y = ( 2 )x y = 2 x 2 Tangenten til e x igjennom punktet (0,) har stigningsgrad
30 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
31 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
32 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
33 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
34 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
35 6 En-entydige funksjoner (en-til-en) Definisjon (En-entydighet) En funksjon kalles en-entydig hvis det for hver y i vedimengden finnes en og bare en x i definisjonsmengden som har verdien f(x) = y.
36 7 Vertikal linjetest Horisontal linjetest En funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje har mer enn ett punkt felles med grafen. f(x) = x 2 er ikke -
37 7 Vertikal linjetest Horisontal linjetest En funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje har mer enn ett punkt felles med grafen. f(x) = x 2 er ikke - Eksponensialfunksjonen e x er en-entydig
38 8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 2
39 8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 Hor. linjetest 2
40 8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 Hor. linjetest 2 Ver. linjetest
41 9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon.
42 9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x
43 9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.
44 9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon. 4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f(x).
45 9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon. 4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f(x). 5 Vi skriver den inverse til f som f (x)
46 20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon.
47 20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Den inverse til f er funksjonen f med egenskapen:
48 20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Den inverse til f er funksjonen f med egenskapen: 3 Hvis f(a) = b så er f (b) = a
49 2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x
50 2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er x = log a b
51 2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er Regneregler log a bc = log a b + log a c x = log a b
52 2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er Regneregler log a bc = log a b + log a c 2 log a b c = c log a b x = log a b
53 2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er x = log a b Regneregler log a bc = log a b + log a c 2 log a b c = c log a b 3 log a b/c = log a b log a c
54 22 Den naturlige logaritmen Definisjon (Den naturlige logaritmen) Den naturlige logaritmen er logarimen med e = 2, som grunntall.
55 23 Tilpassing av funksjoner Funksjoner som ikke er -tydige kan bli det ved å forandre på definisjonsmengden Eksempel Funksjonen f(x) = x 2, x 0 er. Den inverse er f (x) = x 2 2
56 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x)
57 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
58 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
59 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
60 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2.
61 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2. 2 Løs likningen x = y 2 y = x.
62 24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2. 2 Løs likningen x = y 2 y = x. 3 Løsningen vi får er f (x) = x.
63 25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 y = tan x
64 25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 2 y = cot x
65 25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 3 Secant: sec x = cos x 2 y = sec x
66 25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 3 Secant: sec x = cos x 4 Cosecant: csc x = sin x 2 y = csc x
67 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x y = cos x y = cos x
68 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x y = sin x y = sin x
69 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x y = tan x y = tan x
70 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x y = cot x y = cot x
71 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x 5 arcsec x y = sec x y = sec x
72 26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x 5 arcsec x 6 arccsc x y = csc x y = csc x
73 27 Sammensatte funksjoner Definisjon La f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g f er definert ved g f(x) = g(f(x)). Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f(x) er i definisjonsmengden til g.
74 27 Sammensatte funksjoner Definisjon La f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g f er definert ved g f(x) = g(f(x)). Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f(x) er i definisjonsmengden til g. Eksempel La f(x) = e x og g(x) = x. Definisjonsmengden til g er x 0. Definisjonsmengden til g f er derfor bestemt av f(x) 0. Dvs e x 0. Dvs x 0.
75 28 Transendentale funksjoner Definisjon Funksjoner som ikke er algebraiske kalles for transendentale funksjoner. Eksempler er de trigonometriske funksjonene og deres inverse, eksponentsial funksjoner og logaritmer.
76 29 Gjenomsnitlig endring x = b a y = f(b) f(a) Gjennomsnittlig endring av f(x) på intervallet [a, b]: y x = f(b) f(a) b a a x b y Eksempel: Gjennomsnittlig fart v = tilbakelagt vei brukt tid
77 30 Sekanters stigningstall P Q Stigningstallet til sekanten til y = f(x) igjennom punktene P(a, f(a)) og Q(b, f(b)) er lik gjennomsnittlig endringsrate til f(x) på [a, b]
78 3 Stigningstallet til en kurve P Q Stigningstallet til kurven i P er lik stigningstallet til tangenten i P
79 32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a))
80 32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 Eksempel: f(x) = x 2
81 32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 P Q Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 )
82 32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Q P h + h
83 32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 P h + h Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Tangentens stigningstall får vi ved å sette h = 0. Hvorfor??? Stigningstallet i x = er lik 2
84 33 Grensen av en funksjon 2 2 2
85 34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
86 34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
87 34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
88 35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
89 35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
90 35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
91 35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
92 35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s Når s er odde må L 0 M = lim x c g(x)
93 36 Polynomer og rasjonale funksjoner Grensen til et polynom P(x) = a n x n + + a x + a 0 lim P(x) = P(c) = a nc n + + a c + a 0. x c Grensen til en rasjonal funksjon P(x)/Q(y) er lim P(x)/Q(x) = P(c)/Q(c). x c
94 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
95 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
96 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x(x ) x (x + )(x ) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
97 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x(x ) x (x + )(x ) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
98 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) =
99 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) =
100 37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) = 2
101 38 Sandwich-teoremet A g(x) f(x) h(x) i nærheten av x = c B lim g(x) = lim h(x) = L x c x c Ergo lim f(x) = L x c
Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner
1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Analyse og metodikk i Calculus 1
Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En
En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
Oppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 8 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8 Derivasjon I agens forelesning skal vi se på følgene: 1 Kjerneregelen 2 Deriverte til trigonometriske
Oppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
Trasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010
Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon
Løsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
MA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
Den deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier
1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter
Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner
Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så
Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
lny = (lnx) 2 y y = 2lnx x y = 2ylnx x = 2xlnx lnx
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 3.7 95 Vi antar at > 0 og får Avsnitt 3.8 6 a) 2π/3 b) π/4 c) 5π/6 ln = (ln) 2 = 2ln = 2ln = 2ln ln.
NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 2015 før forelesningen 10:30 Antall oppgaver: 17
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:0 Antall oppgaver: 7 Deriver de følgende funksjonene. 2 a) f(x) = cos(2x )
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.
Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si
Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
1 Trigonometriske relationer
gdmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribtion og fremvisning af dette dokment eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse
Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sinθ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.7 99 Vi deriverer to ganger: = A 1 cos(ln) B1 sin(ln) = A 1 cos(ln) A 1 sin(ln)+b 1 sin(ln) B 1 cos(ln)
Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon
Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3
IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
EKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
Løsningsforslag i matematikk
Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x)
Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITD15013 Emnenavn: Matematikk 1 første deleksamen Dato: 13. desember 017 Hjelpemidler: Eksamenstid: 09.00 1.00 Faglærer: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Formelhefte. Kalkulator
QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
Løsningsforslag til øving 9
NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til øving 9 FY0001 Brukerkurs i fysikk Oppgave 1 a) Etter første refleksjon blir vinklene (i forhold til positiv x-retning) henholdsvis 135 og 157, 5, og etter
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
Notasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
Oppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k
R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
Hans Petter Hornæs,
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
Sammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4.1 og 4.2
R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4. og 4.2 405, 406, 4, 43, 49, 420, 422, 424 Versjon: 04..4 405 a) Kjerneregel: f x sin u,u x 2 2x f x cos u 2x 2 2x 2 cos x 2 2x b) Produktregel: uv u
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Fasit, Kap : Derivasjon 2.
Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe
Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være