TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

Transkript

1 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (, ) En skisse av funksjonen kan se slik ut: f() 2 2 Siden f() er en-til-en, så har f() en invers. Dette ser vi ved å bruke den horisontale linjetesten. Hvis man ikke overbevises av denne testen, så kan man bruke denisjonen: En funksjon f() er en-til-en på et denisjonsområde D hvis og bare hvis f( ) f( 2 ) for 2 i D. Vi bruker altså denne denisjonen til å vise at f() = 3 er en-til-en: Vi kan bruke en teknikk kalt Reductio ad absurdum (latin). Her antar vi det motsatte av det som skal bevises for så å komme frem til en selvmotsigelse: Anta at f() = 3 ikke er en-til-en, dvs det eksisterer to verdier i denisjonsmengden, 2 R hvor 2 slik at f( ) = f( 2 ). Det betyr at 3 = = 3 2 = 2 men vi har antatt at 2 følgelig har vi en selvmotsigelse, og dermed er f() en-til-en. 5. august 202 Side av 5

2 For å nne den inverse funksjonen, f (), så ser vi at f() = 3 = y gir Vi bytter og y og får at = 3 y + = f (y) f () = 3 + Fra denisjonen har vi at D f = V f og V f = D f b) Denisjonsmengden til f() = + er D f (, ) (, ), som gir at En skisse av funksjonen kan se slik ut: V f (, 0) (0, ) f() august 202 Side 2 av 5

3 Siden f() er en-til-en, så har f() en invers. Dette ser vi ved å bruke den horisontale linjetesten. For å nne den inverse funksjonen, f (), så ser vi at f() = + = y gir Vi bytter og y og får at = y = f (y) f () = Fra denisjonen har vi at D f = V f og V f = D f c) Denisjonsmengden til f() = + 2 er D f (, ), som gir at En skisse av funksjonen kan se slik ut: V f (0, ] f() Siden f() ikke er en-til-en, så har ikke f() en invers. Som vi altså ser ved bruk av den horisontale linjetesten. Eventuelt kan man igjen bruke denisjonen av enentydige funksjoner ved å observere at når man velger = og 2 = så får man at f( ) = f( 2 ). d) Denisjonsmengden til f() = + 2, 0 er D f [0, ), som gir at V f (0, ] På grunn av funksjonens denisjonsmengde, så er f() en-til-en (f( ) f( 2 ) der 2 ). Følgelig har den en invers. 5. august 202 Side 3 av 5

4 En skisse av funksjonen kan se slik ut: f() For å nne den inverse funksjonen, f (), så ser vi at gir f() = + 2 = y = ± y = f (y) Vi er her bare interessert i 0. Dermed har vi at f (y) = y Vi bytter og y og får at Fra denisjonen har vi at f () = D f = V f og V f = D f e) Denisjonsmengden til f() = 2 + 2, er D f (, ], som gir at V f [, ) 5. august 202 Side 4 av 5

5 En skisse av funksjonen kan se slik ut: f() På grunn av funksjonens denisjonsmengde, så er f() en-til-en. Følgelig har den en invers. Ved å fullføre kvadratet så får vi at Dermed har vi at f() = = ( + ) 2 = y = ± y + = f (y) Vi er her bare interessert i. Dermed har vi at Vi bytter og y og får at Fra denisjonen har vi at f (y) = y + f () = + D f = V f og V f = D f 2 Oppgitt er f() = 2 og g() =, dermed er f (g()) = f( ) = ( ) 2 = 0 og g (f()) = g( 2 ) = 2 = Siden f() ikke er en-til-en, så har ikke f() noen invers. g() er dermed ingen invers til f(). Vi merker oss forøvrig at hvis 0 for f() så hadde g() vært den inverse til f(). 5. august 202 Side 5 av 5

6 3 Oppgitt er f() = 2 og g() =, dermed er (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) 2 og Vi ser da at og (g f)() = g(f()) = g( 2 ) = 2 = D f g [0, ) og V f g [0, ) D g f (, ) og V g f (, ] 4 For g() = 5 og f() = så har vi at (f g)() = f(g()) = f( 5) = 5 For g() = + og f() = 2 så har vi at (f g)() = f(g()) = f( + ) = ( + ) 2 = For f() = 3 og (f g)() = 4 3 så har vi at 4 3 = f(g()) = g() 3 g() = 4 For g() = og f() = f(g()) = f( ) = så har vi at = ( ) = For f() = + og (f g)() = så har vi at f(g()) = + g() = g() = For g() = og (f g)() = så har vi at f(g()) = g() = f () f() = g () f() = For f() = og (f g)() = så har vi at f(g()) = g() = = 2 g() = 2 Dermed blir den utfyllte tabellen seende slik ut: g() f() (f g)() august 202 Side 6 av 5

7 5 a) For Q P har vi at y = 20 0 = 45 Altså har vi at stigningstallet til sekanten Q P er 45m/s. For Q 2 P har vi at y = 20 4 = 5 Altså har vi at stigningstallet til sekanten Q 2 P er 5m/s. For Q 3 P har vi at y = 20 6 = 54.5 Altså har vi at stigningstallet til sekanten Q 3 P er 54.5m/s. For Q 4 P har vi at y = 20 8 = 56 Altså har vi at stigningstallet til sekanten Q 4 P er 56m/s. b) Siden y = 60 så har bilen altså fått en fart på omtrent 60m/s etter 20 sekunder. 6 a) Vi ser på funksjonen som gir oss tabellen f() = sin f() Det er dermed ikke så vanskelig å overbevise seg om at b) Fra funksjonen sin lim 0 = f() = sin så ser vi fra følgende tabell f() august 202 Side 7 av 5

8 at lim f() = 0 7 a) Den deriverte til funksjonen f() = 3 er gitt ved f f( + h) f() 3( + h) 3 3( + h) + 3 () = lim = lim h 0 h h 0 h 3( + h) + 3 ( 3( ) 2 ( ) 2 + h) 3 3( + h) 3 = lim ( ) 3h + h + = lim h 0 h 3( + h) + 3 = 3 lim h 0 h ( + h + ) = 3 2 h 0 b) Vi har at y y = a( ) er likningen for en rett linje gjennom punktet (, y ). Siden stigningstallet a er gitt ved a = f ( ), så har vi at 3 a( ) = a(3) = 2 3 = 2 Dermed har vi at er en likning for den rette linjen. y = 2 ( 3) + 3 = a) Sant, uttrykket oppfyller kravene for en grenseverdi. b) Usant, en grenseverdi kan eksistere i et punkt selv om funksjonensverdien ikke er lik grenseverdien. c) Usant, denne greseverdien eksisterer ikke, siden grensen fra høyre () er forskjellig fra grensen fra venstre (2). d) Sant, funksjonen er ikke denert for verdier størren enn 3. e) Sant, uttrykket oppfyller kravene for kontinuitet (spesielle krav for endepunkt). 9 lim = lim = 8 4 = 2 5. august 202 Side 8 av 5

9 0 For funksjonen f() = (2 ) 2 eksisterer det ingen utvidelse i = og = slik at f() blir kontinuerlig. Uansett hvilke verdier vi legger til for = ±, så vil ikke grenseverdien fra høyre gå mot grenseverdien fra venstre i = ±, følgelig tilfredsstilles ikke alle krav for kontinuitet. Dette ser vi ved observasjon av grafen nedenfor: f() sin 2 For 0 har vi at sin som stemmer siden sinusfunksjonen er en begrenset funksjon fra - til. = 0 er ikke relevant siden vi ikke kan dele på null. 5. august 202 Side 9 av 5

10 Vi har at g() = 2, f() = 2 sin og h() = 2, som gir g() f() h(). Vi ser også at lim g() = lim h() = Da gir skviseteoremet oss at lim 0 f() = Vi må ha at lim 2 f() = f( 2). Vi ser at og lim f() = lim = f( 2) = b( 2) 2 = 4b Dermed får vi likheten 4b = 2 som gir at b = 2 3 f er ikke kontinuerlig på [, 3]. Diskontinuitetspunkt: = 2 og = Dette ser vi ved å bruke kontinuitetstesten: En funksjon f() er kontinuerlig i = c hvis og bare hvis den oppfyller følgende krav:. f(c) eksisterer 2. lim c f() eksisterer 3. lim c f() = f(c) 5. august 202 Side 0 av 5

11 4 lim ( ) = lim ( ) = lim 2 + ( 2 ) = lim = 2 lim = 2 2 = a) f () = 4(2 + 3) 3(2) ( 2 + 3) 2 = ( 2 + 3) 2 = 2 42 ( 2 + 3) 2 b) Stigningstallet i tangentligningen y y = a ( ) er gitt ved a = f () = : Dermed har vi at f () = 2 4 ( 3) 2 = 2 y = a ( ) + y = 2 ( ) + = c) Det nye stigningstallet a 2 nner vi ut ifra følgende likning: a 2 a = a 2 = a = 2 Dermed har vi at y = 2( ) + = august 202 Side av 5

12 6 Langs funksjonen y = 2 = f() har vi for en hver at stigningstallet er gitt ved den deriverte av f: f () = 2 I et eventuelt tangeringspunkt må stigningstallet der være gitt ved a = y = y ( 2) = Dermed har vi to likninger for stigningstallet uttrykkt ved. Kombinerer vi disse så får vi at = 2 Dette gir oss andregradslikningen = 2 2 som har løsningene = ± 2. Dermed er stigningstallet a = ±2 2. Altså har vi to tangentlinjer som går igjennom punktet (0, 2): y = og y 2 = f() y = = 5. august 202 Side 2 av 5

13 7 a) Ved å bruke en substitusjon så har vi at ( y = ) 3 = u 3 = f(u) 5 der g() = 5 = u Dermed gir kjerneregelen oss at dy ( d = 3u 4 g () = 3 ) ( 4 ) = ( ) 4 5 b) Tilsvarende: der Som til slutt gir y = e = e u = f(u) g() = = u ( ) dy d = eu g () = e a) Når v = 0 så har vi at som har løsningene t 2 4t + 3 = 0 t = ( 4) ± ( 4) Farten er dermed lik null når t = og når t = 3. Siden a(t) = v (t) = 2t 4 = 2 ± så har vi at a() = 2 og a(3) = 2 b) Faktorisering gir at v = t 2 4t + 3 = (t )(t 3) Partikkelen beveger seg bakover når v < 0 og forover når v > 0. Dermed vil partikkelen bevege seg forover for 0 t < og t > 3, mens den beveger seg bakover for < t < 3. Et fortegnsskjema kan her være nyttig: c) Ved å sette (t ) (t 3) (t )(t 3) a(t) = 2t 4 = 0 så nner vi at akselerasjonen er null når t = 2. Hastigheten er økende hvis a(t) > 0 og avtagende hvis a(t) < 0. Altså har vi at hastigheten er økende for t > 2 og avtagende for 0 t < 2. t 5. august 202 Side 3 av 5

14 9 Den deriverte av y = ((f()) 2 + ((g()) 2 er gitt ved dy d = ((f()) 2 + ((g()) 2 2 (2f()f () + 2g()g ()) Med de oppgitte verdiene for = 2 så har vi dermed følgende verdi for den deriverte i = 2: dy 9 = ( ) = d = Derivasjon av (t) og y(t) med hensyn på t gir at dy dt = 2 t og d dt = 2 t + Vi kan da nne uttrykk for stigningstallet: dy d = 2 t 2 t+ = t + t = a Likningen for en rett linje er fremdeles y y = a( ), så t + y = ( 2) + t I punktet (, y) = ( 2, ) har vi at t =. Tangentlinjen er derfor gitt ved y = 2 2 Deriverer vi funksjonene får vi at dy d = 2 + a og dy 2 d = 2 + c Siden (, 0) er punktet hvor funksjonene har en felles tangentlinje, så må vi hat at Dette gir oss likningen Videre må vi også ha at dy d = dy 2 = d = (2 + a) = = ( 2 + c) = c a = 4 y (0) = () 2 + a() + b = 0 og y 2 (0) = c() () 2 = 0 5. august 202 Side 4 av 5

15 Vi har nå skaet oss tre likninger med tre ukjente: c a = 4, a + b + = 0, c = som har løsningen a = 3, b = 2, c = Vi påstår at utsagnet er sant. Anta strikken okkuperer intervallet [a, b] før strekking. For [a, b] la f() være posisjonen til punktet etter strekking. Vi må nne et punkt c [a, b] som er slik at f(c) = c. Vi antar at strikken ikke brister, f blir da en kontinuerlig funksjon. Sett g() = f(). Siden striken strekkes til begge sider, har vi at f(a) a og f(b) b, dvs., g(a) 0 og g(b) 0. Skjæringssetningen gir nå eksistensen av et punkt c [a, b] slik at g(c) = f(c) c = 0, dvs., f(c) = c. 23 Vi bruker samme triks som i forrige oppgave og innfører funksjonen g() = f(). Siden f avbilder intervallet [0, ] inn i seg selv, har vi at f(0) 0 og f(). Men det betyr at g(0) = f(0) 0 = f(0) 0 og g() = f() 0. Skjæringssetningen gir så eksistensen av et punkt c [0, ] slik at g(c) = f(c) c = 0, dvs., f(c) = c. 5. august 202 Side 5 av 5