Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Transkript

1 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x ) når x < x i I En funksjon f kalles avtagende på intervallet I vis f (x ) > f (x ) når x < x i I f (x) = x er stigende på [0, > Jevne og odde funksjoner (Odde) En funksjon f (x) kalles for en odde funksjon vis f ( x) = f (x) for alle x i definisjonsmengden. otensfunksjonen: f (x) =x 5 6 Jevne og odde funksjoner Horisontal og vertikal forskyvning Skalering og refleksjon (Jevn) En funksjon f (x) kalles for en jevn funksjon vis f ( x) =f (x) for alle x i definisjonsmengden. Horisontal forskyvning mot øyre Horisontal forskyvning mot venstre Vertikal forskyvning opp Vertikal forskyvning ned f (x ) Vertikal krymping Horisontal krymping Vertikal ekspansjon Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 6 Horisontal refleksjon olynomet: f (x) =x + x Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/,5708 Trigonometriske funksjoner x a f (x) =cos(x) cos x = a/ sin x = / tan x = /a f (x) =sin(x) Trigonometriske funksjoner x a f (x) =sec(x) sec x = / csc x = / cot x = a/ f (x) =csc(x) f (x) =tan(x) f (x) =cot(x)

2 0 eriodisitet Trigonometriske identiteter Cosinus-loven En funksjon er periodisk med periode T vis (cos θ, sin θ) : f (x) =sin(x) 5 f (x + T )=f (x) cos θ + sin θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B B a C c θ c = a + a cos θ A Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f (x) = x Eksponensialfunkjsoner En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y =( )x y =( )x y = x y = x y = ex Tangenten til e x igjennom punktet (0,) ar stigningsgrad. 5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y a x /a y = a x y (a x ) y = a xy a x x =(a) x 5 a x / x =(a/) x 6 En-entydige funksjoner (en-til-en) (En-entydiget) En funksjon kalles en-entydig vis det for ver y ivedimengden finnes en og are en x idefinisjonsmengdensomarverdien f (x) =y. 7 Vertikal linjetest Horisontal linjetest En funksjon er en-til-en vis og are vis ingen orisontal linje ar mer enn ett punkt felles med grafen. f (x) =x er ikke - Eksponensialfunksjonen e x er en-entydig 8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f (x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon Hor. linjetest Ver. linjetest

3 9 Inverse funksjoner (Den inverse til en funksjon) La f (x) være en -funksjon. Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon. Denne funksjonen kalles for den inverse til f (x). 5 Vi skriver den inverse til f som f (x) 0 Inverse funksjoner (resis definisjon av den inverse til en funksjon) La f (x) være en -funksjon. Den inverse til f er funksjonen f med egenskapen: Hvis f (a) = så er f () =a Logaritmefunksjoner (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Viskriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = er x = log a Regneregler log a c = log a + log a c log a c = c log a log a /c = log a log a c Den naturlige logaritmen Tilpassing av funksjoner Om å finne den inverse (Den naturlige logaritmen) Den naturlige logaritmen er logarimen med e =,788...som grunntall. Funksjoner som ikke er -tydige kan li det ved å forandre på definisjonsmengden Funksjonen f (x) =x, x 0er. Den inverse er f (x) = x Algoritme: å finne den inverse Åfinnedeninversetilf (x) Bytt om x og y i y = f (x) Løs likningen x = f (y) med ensyn på y Løsningen vi får er y = f (x). (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f (x) =x,x 0. Bytt om x og y: x = y. Løs likningen x = y y = x. Løsningen vi får er f (x) = x. 5 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos Cotangens:cot x = cos x sin x Secant: sec x = cos x Cosecant: csc x = sin x y = sec x Inverse trigonometriske funksjoner arccos x arcsin x arctan x arccot x 5 arcsec x 6 arccsc x y = cos x y = cos x 7 Sammensatte funksjoner La f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g f er definert ved g f (x) =g(f (x)). smengden er alle x idefinisjonsmengdenix slik at f (x) er i definisjonsmengden til g. La f (x) = e x og g(x) = x. smengden til g er x 0. smengden til g f er derfor estemt av f (x) 0. Dvs e x 0. Dvs x 0.

4 8 9 0 Transendentale funksjoner Gjenomsnitlig endring Sekanters stigningstall x = a Funksjoner som ikke er algeraiske kalles for transendentale funksjoner. Eksempler er de trigonometriske funksjonene og deres inverse, eksponentsial funksjoner og logaritmer. y = f () f (a) Gjennomsnittlig endring av f (x) på intervallet [a, ]: y f () f (a) = x a : Gjennomsnittlig fart v = tilakelagt vei rukt tid a x y Stigningstallet til sekanten til y = f (x) igjennom punktene (a, f (a)) og (, f ()) er lik gjennomsnittlig endringsrate til f (x) på [a, ] Stigningstallet til en kurve Stigningstallet til kurven i er lik stigningstallet til tangenten i Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f (x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f (x) i (a, f (a)) y = x + + : f (x) =x Sekanten igjennom (, ) og ( +, + + ) + Har stigningstall = +. Tangentens stigningstall får vi ved å sette = 0. Hvorfor??? Stigningstallet i x = erlik Grensen av en funksjon 5 6 Når grenser ikke eksisterer Grenselover olynomer og rasjonale funksjoner Brudd Vokser for mye Svinger for mye L = lim f (x) lim (f (x) ± g(x)) = L ± M lim (f (x)g(x)) = LM lim (kf(x) =kl lim (f (x)/g(x)) = L/M,nårM 0 5 lim (f (x) r/s )=L r/s Når s er odde må L 0 M = lim g(x) Grensen til et polynom (x) =a n x n + + a x + a 0 lim (x) =(c) =a nc n + + a c + a 0. Grensen til en rasjonal funksjon (x)/(y) er lim (x)/(x) =(c)/(c).

5 7 Algeraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x x lim x x = lim x(x ) x (x + )(x ) = lim x x (x + ) = Faktoriser teller og nevner Forkort røken Finn grensen av teller og nevner 8 Sandwic-teoremet A g(x) f (x) (x) inæretenavx = c B lim g(x) = lim (x) =L Ergo lim f (x) =L