1 Trigonometriske relationer

Transkript

1 gdmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribtion og fremvisning af dette dokment eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse [mailto:info@gdmandsen.net]. Indholdet stilles til rådighed nder Open Content License [ Trigonometriske relationer I forbindelse med beregninger på trigonometriske fnktioner, er der et væld af sammenhænge, overgange, relationer og regneregler, som ofte er nyttige til at bevise nye sammenhænge. Nedenstående er en oversigt over de mest relevante, men de bliver ikke beviset her.. Enhedscirklen Defineret som cirklen med centrm i Origo (x,y) = (0,0) og med radis r =. Positiv omløbsretning er mod ret.. cos(v) aflæses på.aksen sin(v) aflæses på.aksen tan(v) aflæses på x= sin x tan v = cos v v {90 o, 70 o,osv.} Ret linjes hældning vs. hældningsvinkel: α = Δ y Δ x = tan(v) tan (α) = v Illstration : enhedscirklen, r = Stedvektorerne P og Q vil således have koordinaterne P = cos v ;sin v Q = ; tan v P = (cos(v) sin (v )) og Q = ( tan(v ))...hvor P også er en enhedsvektor, P =, jfr. grndrelationen Grndrelationen side 3. trigo_relationer.odt Side /7 Jakob Gdmandsen --7

2 . Trigonometriske grndfnktioner Cosins Dm( f ) = R, Vm( f ) = [ ;] Sins Dm( f ) = R, Vm( f ) = [ ;] Tangens Dm( f ) = R {90 o, 70 o,...,+80 o p } Vm( f ) = [ ;] En oversigt over dvalgte værdier kan ses på Inverse trigonometriske grndfnktioner cos(v) = x v = cos (v) csc(v) = cos(v) v = csc ( x) sin(v) = x v = sin (v) sec(v) = sin (v) = sec ( x) tan(v) = x v = tan (v) tan(v) = sin(v) cos(v) cot (v) = tan(v) v = cot ( x) Ved de inverse fnktioner skal opmærksomheden henledes på definitionsmængde og relationer der medfører flere løsninger: Invers Cosins, cos - Dm(f)=[-;] Invers Sins, sin - Dm(f)=[-;] cos v = cos v sin v = sin 80 v Invers Tangens, tan - Dm(f)= R tan v = tan v 80.. Reciprokke trigonometriske fnktioner De reciprokke trigonometriske fnktioner sec(x) (Sekant), csc(x) (Cosekant) og cot(x) (Cotangens) giver anledning til flere interessante relationer. sec x = sec x = cos cos x x x {, 3 },... x 0 csc x = csc x = sin sin x x x {0,,...} x 0 cot x = tan x cos x = sin x x {0,,...} cot x = tan x x 0 Se mere om relationer vedrørende reciprokke og hyperbolske fnktioner på trigo_relationer.odt Side /7 Jakob Gdmandsen --7

3 .3 Sammenhænge mellem trigonometriske fnktioner.3. Grndrelationen Ved brg af Pythagoras' lærersætning på definitionerne for sins og cosins i enhedscirklen, hvor kateterne har længderne henholdsvis cos(v) og sin(v) samt hypotensen lig, fås:.3. Overgangsformler = cos (v)+sin (v) Grader cos v = cos v sin v = sin v cos v 80 = cos v sin v 80 = sin v cos v 80 = cos v sin v 80 = sin v cos 80 v = cos v sin 80 v = sin v cos v 90 = sin v sin v 90 = cos v cos v 90 = sin v sin v 90 = cos v cos 90 v = sin v sin 90 v = cos v +tan (v) = cos (v) +cot (v) = sin (v) tan v = tan v tan v 80 =tan v tan 80 v = tan v Radianer d.o. cos(v π) = cos(v) sin (v π) = sin (v) cos(v+π) = cos(v) sin (v+π) = sin (v) cos(π v) = cos(v) sin (π v) = sin (v) d.o. d.o. tan (v+π) =tan (v) tan (π v) = tan(v) tan 90 v = tan v tan 90 v = tan v tan v 90 = tan v cot ( v) = cot (v ) sec(v) = sec(v) csc( v) = csc(v ) tan (π v ) = tan(v) tan (π+v ) = tan (v) tan (v π) = tan (v) trigo_relationer.odt Side 3 /7 Jakob Gdmandsen --7

4 .3.3 Additionsformlerne sin( v)=sin( )cos(v) cos()sin(v) sin(+v)=sin() cos(v)+cos()sin( v) cos(+v)=cos()cos(v) sin ()sin(v) cos( v)=cos()cos(v)+sin ()sin(v) tan (+v) = sin (+v) cos(+v) = sin ()cos(v)+cos()sin (v) cos()cos(v) sin()sin (v) = tan ()+tan (v) tan() tan(v) Additionsformlerne ved vektorregning cot (+v ) = cot()cot(v)+ cot()+cot (v) cos(+v)+cos( v)=cos()cos(v) cos(+v) cos( v)= sin()sin (v) sin(+v)+sin( v)= sin() cos(v) sin(+v) sin( v)=cos()sin(v) For =v, og derved v sin(v)= sin( v) cos(v) cos(v)=cos (v) sin (v)=cos (v) = sin (v) tan (v) = tan(v) tan (v) For v/ sin( v = ± cos(v) cos( v = ± +cos(v) +hvis v /er i. eller. kvadrant hvis v /er i 3. eller 4. kvadrant +hvis v/er i. eller 4. kvadrant hvis v/er i. eller 3. kvadrant tan ( v =± cos(v) +cos(v) = sin (v) +cos(v) = cos(v) =csc(v) cot(v) sin(v) +hvis v /er i. eller 3. kvadrant hvis v /er i. eller 4. kvadrant Bemærk fortegn. trigo_relationer.odt Side 4 /7 Jakob Gdmandsen --7

5 .3.4 Sm, differens og prodkt sin()+sin (v) = sin( +v cos ( v sin() sin (v) = cos( +v sin ( v cos()+cos(v) = cos( +v cos ( v cos() cos(v) = sin( +v sin ( v sin()sin (v) = (cos( v) cos(+v)) cos()cos(v) = (cos( v )+cos(+v)) sin()cos(v) = (sin ( v)+sin (+v)).4 Logaritmiske formler For +v = x og -v = y = x+ y og v= x y cos( x)+cos( y) = cos( x+ y cos ( x y cos(x) cos( y) = sin( x+ y sin ( x y sin( x)+sin( y) = sin( x+ y cos ( x y sin( x) sin ( y) = cos( x+ y sin ( x y trigo_relationer.odt Side 5 /7 Jakob Gdmandsen --7

6 .4. Relationer mellem inverse trigonometriske fnktioner sin ( x)+cos ( x) = π tan (x)+cot ( x) = π sec (x)+csc (x) = π csc (x) = sin ( x) ( sec (x) = cos ( x ) cot ( x) = tan x ) sin ( x) = sin (x) cos ( x) = π cos ( x) tan ( x) = tan (x) cot ( x) = π cot (x) sec ( x) = π sec ( x) csc ( x) = csc ( x) trigo_relationer.odt Side 6 /7 Jakob Gdmandsen --7

7 .4. Relationer mellem fnktioner og vinkler i. kavdrant sin(v)= cos(v)= tan(v)= cot(v)= sec(v)= csc(v)= sin(v) + cos(v) tan(v) cot(v) sec(v) csc(v) trigo_relationer.odt Side 7 /7 Jakob Gdmandsen --7