EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse"

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene til funksjonen og bestem residuene i disse. z +6z + b) Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ skal en beregne det reelle integralet Oppgave B- a) Finn Laurentrekkene til funksjonen om z =. 3+cosθ. z 5 ( + z) b) Beregn det komplekse linjeintegralet dz z =a z 5 ( + z) for <a< og a> der sirkelen z = a gjennomløpes en gang i positiv omløpsretning. Oppgave B-3 a) Finn polene til funksjonen z 4, og vis at dersom z er en pol for f(z), så er residuet i z lik z 4. Side av 6 5. juni 3 TMA4 Matematikk 4K H-3 b) Regn ut verdien av integralet hvor er ) sirkelen z = i positiv retning ) sirkelen z = i positiv retning 3) sirkelen z ++i = i positiv retning 4) sirkelen z + i = 3 i postitiv retning. dz z 4 Oppgave B-4 Bestem funksjonene f(y) og g(y) slik at den komplekse funksjonen blir analytisk og F () =. F (z) =U(x, y)+iv (x, y) =(x x + f(y)) + i(xy ++g(y)) Oppgave B-5 La s>oga> være gitt og definer e isz (z ai). 3 a) Finn de singulære punkter for f. Bestem type og beregn residuet. b) La Γ R betegne halvsirkelen med radius R i øvre halvplan. Vis at lim f(z) dz =. Γ R c) Bestem e isx i (x ai) dx 3 for s>, a>. Hva blir verdien av dette integralet når s<oga>? Oppgave B-6 La R være rektangelet med hjørner ( K, ), (K, ), (K, b), ( K, b). a) Vis at integralene e z dz langs de vertikale sidene i rektangelet går mot null når K. b) Vis at e (x+ib) dx = e x dx for vilkårlig b. (auchys sats) Side a

2 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a c) Finn Fourier-transformen til f(x) =e x gitt at e x dx =. Oppgave B- Bestem v(x, y) slik at den komplekse funksjonen Oppgave B-7 dz a) Bestem integralet der er enhetssirkelen med positiv omløpsretning i (z k)(z /k) og k er et positiv reelt tall, k. b) Bruk resultatene under a) til å beregne integralet +k k cos θ (Vink: bruk substitusjon z = e iθ.) der k er et positivt reelt tall, k. Oppgave B-8 Vis at en analytisk (holomorf) funksjon i enhetsdisken ( z < ) som har konstant imaginærdel må være en konstant. (Vink: auchy-riemann ligningene.) Oppgave B-9 Hvilke verdier kan integralet dz z + anta når er en vilkårlig sirkel (positiv orientering) som ikke går gjennom z = ±i? Oppgave B- a) Hva er verdien av det komplekse integralet R e iz z + dz når R (med R>) er den lukkede konturen påfiguren? R y e b) La Γ R være halvsirkelen z = R, Imz>, og vis at lim ΓR iz dz =. z + R x x + x y + iv(x, y) blir analytisk og f() =. Uttrykk også f(z) som et polynom i z. Oppgave B- La betegne sirkelen z = (positivt orientert). Finn verdien av integralet z n e /z dz der n er et helt tall. Bruk så Maclaurinrekken til e z, og lovlighet av den leddvise integrasjonen som trengs, til åeta formelen e z+/z dz =i n!(n +)!. Oppgave B-3 For hvilken verdi av konstanten a er funksjonen n= u(x, y) =ax 4y + e x cos y harmonisk? La a være lik denne verdien, og finn alle analytiske funksjoner f(x + iy) har u(x, y) som realdel. Oppgave B-4 La være kurven gitt ved z(t) =x(t)+iy(t) for t, der Beregn integralene x(t) =t og y(t) = arctan t. Re zdz og z dz. Oppgave B-5 Vis at dersom f(z) er en analytisk funksjon med Re Imf(z) for alle z, så er f(z) kons c) Bruk resultatene i a) og b) til å finne verdien av integralet cos x x + dx. Oppgave B-6 Finn alle verdier av fjerderoten 4 i +i.

3 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a Oppgave B-7 Oppgave B-8 Betrakt uttrykket cos θ=? (Hint: Eulers formel) z z z = c n z n. n= b) La Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ og la kurva R vere samanse intervallet [ R, R] ogkurvaγ R, positivt gjennomløpt. Finn verdien av integralet R f(z) dz, R >. Vis ved direkte estimering at c) Finn verdien av integralet lim f(z) dz =. Γ R x 4 (x 6 +) dx. a) Bestem rekkens konvergensradius. b) Finn en ligning for koeffisienten c n og beregn c 5. Oppgave B-9 Finn integralet der a) er sirkelen z = 4. b) er sirkelen z =. z 998 dz i z i Oppgave B- Funksjonen f(z) er definert ved z iz +3 (z )(z +). a) Finn løysingane til likninga z iz +3=. Finn den Laurentrekka til f(z) omz = som gjeld nærast z =, og finn konvergensomr for rekka. b) La og vere sirklane z =og z =3. Finn verdien av integrala f(z) dz og f(z) dz. Oppgave B- Finn Laurentrekka til funksjonen e (z+)/(z ) om punktet z =, og finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen gjeven ved z =, gjennomløpt i positiv retning. Oppgave B- a) Finn nullpunkta til polynomet z 6 + =. La funksjonen f(z) vere definert ved z4 z 6 +. Finn dei singulære punkta til f(z), og vis at residuet til f(z) i eit singulært punkt z er 6z. Oppgave B-3 a) Funksjonen f er definert ved Finn dei singulære punkta, og rekn ut residua. b) Finn verdien av integralet ved å bruke substitusjonen z = e iθ. z + z(z +3z +). cosθ 3+cosθ

4 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 7 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 8 a Oppgave B-4 Funksjonen f(z) er definert ved (z )(z ). Finn residuet til f(z) i punktet z =. Finn Laurentrekka til f(z) omz =iområdet z >. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sirkelen definert ved z = (positivt orientert). Oppgave B-5 a) Finn Taylorrekka til funksjonen e 3iz 3e iz +omkringz =. Finn deretter Laurentrekka til funksjonen g(z) = [ e 3iz 3e iz + ] omkring z =. z 3 Kva er konvergensområdet for denne rekka? b) La Γ R vere halvsirkelen definert ved z = Re iθ θ, positivt orientert. Vis at lim g(z) dz =. Finn verdien av lim g(z) dz. Γ R R Γ R c) Finn verdien av integralet Oppgave B-6 Bestem konstanten A slik at funksjonen I = sin 3x 3sinx dx. x 3 u(x, y) = arctan x y + A(x + y ), x >, y> blir harmonisk. Finn dei konjugert harmoniske funksjonane v(x, y). Oppgave B-7 a) Finn dei singulære punkta til funksjonen b) Finn verdien av integralet I =, og rekn ut residua. z +4iz +sinθ. Oppgave B-8 Finn de to Laurentrekkene om z = for funksjonen. Bestem verdien av z 3 ( z)( + z) integralene f(z) dz f(z) dz når og betegner sirklene z = og z = 3 (begge positivt orientert). Oppgave B-9 a) Sett e iz og la Γ R betegne sirkelbuen z = Re iθ, θ /4. Vis at lim Γ R f(z) dz =. (Hint: sin θ 4θ/ når θ /4.) b) La R betegne den lukkede kurven bestående av intervallet [,R]på x-aksen, sirkelbue og det rette linjestykket fra Re i/4 til. Finn verdien av integralene cos(t ) dt og sin(t ) dt ved å integrere f(z) en gang r R og deretter la R. Det oppgis at e t dt =. Oppgave B-3 a) Gitt funksjonen (z +) 6 /z 7. Hvilken type singularitet har f(z) i punktet z = Begrunn svaret. Finn residuet til f(z) i z =. b) Finn verdien av integralet ved residuregning. cos 6 θ Oppgave B-3 Finn alle Laurentrekkene til funksjonen (z +)(z +z) om punktet z =, og an åpne konvergensområdene for rekkene. Bestem verdien av integralet f(z) dz der er en sirkel i positiv omløpsretning med sentrum i ogradius. Oppgave B-3 La a>ogω> være gitt. La R>a,ogla R være den enkle lukkede kurven i det komp plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ (positiv omløpsretning). Beregn R e iωz a + z dz og vis at cos ωx a + x dx = a e aω for alle a>ogω>.

5 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 9 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave B-33 Løs ligningen sin z =. Oppgave B-38 La Γ R være halvsirkelbuen z = Re iθ for θ, derr er en positiv konstant. Vis at e lim ΓR iz dz =. z + Oppgave B-34 a) La R>, og la R være den enkle lukkede kurven i det komplekse plan som består av det reelle intervallet fra R til R og halvsirkelbuen z = Re iθ for θ (positiv omløpsretning). Bruk residuregning til å evaluere integralet Finn også e lim R + ΓR iz e dz og lim z + R + ΓR iz z(z +) dz. b) Finn verdien av det reelle integralet R z z 4 +6 dz. x x 4 +6 dx. Oppgave B-39 Bestem konstanten A slik at u(x, y) =e y (x cos x + Ay sin x) blir en harmonisk funksjon. Finn de analytiske funksjonene av z = x + iy som har u(x, y) realdel. Oppgave B-35 La f(z) være en hel funksjon, det vil si, analytisk for alle z. Vis at dersom f(z) M z k for alle z for en fast konstant M>ogetfastheltallk, så erf(z) etpolynompå formen cz k. Oppgave B-36 Bestem integralet ved å benytte substitusjonen z = e iθ. Oppgave B-37 Finn Laurentrekken(e?) om z = til funksjonen +cosθ sin θ ez z 3 og bestem { } Im f(z) dz der er det rette linjestykket som går fra til i. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekkene med sentrum i z = til funksjonen z 4z 4 og angi gyldighetsområdene til hver av dem. Oppgave B-4 Finn Fouriercosinustransformen f(w) =F{f(t)} = f(t)coswt dt til den jevne funksjonen f(t) = t + ved hjelp av residuregning. Forklar hvorfor f(w) erenjevnfunksjon. Oppgave B-4 Finn alle Laurentrekker med sentrum i punktet z = til funksjonen (z )(z 4). opp konvergensområdet for kvar rekke. Finn verdien av integralet f(z) dz, der er sir med radius 3 og sentrum i z =, orientert mot urvisaren.

6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side a Oppgave B-43 a) Finn alle singulære punkt til funksjonen z. Teikn figur. Rekn ut residuet til f(z) z 5 + i punktet z = e i/5. xdx b) Rekn ut integralet x 5 + ved å integrere langs randa til sirkelsektoren z = reiθ, θ /5, r R, ogsåla. (Svaret skal skrivast på reell form.) b) Vis at lim f(z) dz =. Γ R Finn verdien av integrala (x ) cos ωx x sin ωx dx og (x +) x cos ωx +(x ) sin ωx (x +) dx. Oppgave B-44 Ved hjelp av substitusjonen z = e iθ og integrasjon rundt sirkelen z = skal ein rekne ut verdien av integralet,dera er eit vilkårleg positivt tal. a i sin θ Oppgave B-48 La ein funksjon f(z) haeinpolavordenm i punktet z. Vis at funksjonen ϕ(z) = f (z) f(z) ogs ein pol i z, og finn residuet av ϕ(z) iz. Oppgave B-45 La P (z) ogq(z) vere to polynom, der graden til Q(z) er større enn eller lik pluss graden til P (z). Vis at P (z) lim dz =, r Q(z) der r er sirkelen med sentrum i origo og radius r. La z,z,...,z m vere alle polane til r m P (z). Finn verdien av summen Q(z) P (z) Res z=z k Q(z). Oppgave B-46 Finn dei to Laurentrekkene til funksjonen omkring punktet z =,ogavgjer (i z)(z ) kvar rekkene konvergerer. Oppgave B-47 Funksjonen f(z) er definert ved eiωz (z i) k= Oppgave B-49 Funksjonen ϕ(z) erdefinertved ϕ(z) = i e. iz a) Finn alle singulære punkt til funkjonen ϕ(z), vis at desse er polar, og avgjer ordene polane. b) Rekn ut residuet til ϕ(z) i alle polane. La vere sirkelen om origo med radius 4 o sirkelen om origo med radius, begge positivt orientert. Finn verdien av integrala ϕ( og ϕ(z) dz. Oppgave B-5 Ved bruk av substitusjonen z = e iθ og residurekning skal ein finne verdien av integralet 3cosθ 5. der ω er eit positivt tall. La R vere eit reelt tal, R>, la Γ R vere halvsirkelen gjeven ved z = Re iθ, θ, ogla R vere kurva samansett av Γ R og intervallet frå R til R, med positiv orientering. a) Finn verdien av integralet R f(z) dz.

7 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 3 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 4 a Fasit B- a) z = 3, z = 3+, enkle poler Res z=z 8, Res z=z 8 b) B- a) ( ) n+ z n for < z <, ( ) n z n for z > n= 5 b) i for <a<, for a> B-3 a), -, i, i b), i, ( i), B-4 f(y) = y, g(y) = y B-5 a) z = ai, pol av orden 3; Res z=ai s e as c) s e as for s>, a>, for s<, a> n=6 B-3 a =4,4z + e z + i B-4 ( + i ), 4 ( +i ) ( B-6 /8 (8k +) cos + i sin 6 B-7 63/8 (8k +) ), k =,,, 3 6 B-8 a) ( 5 ) b) c n = c n + c n for n 3; c 5 =5 B-9 a) 998 B- b) n= 3 n e n!(z ) n for z > ; 6ie B- a) e (k+)i/6, k =,,...5 b) /3 c) /3 ( ±(,7 ±,i) ) B-6 c) e w /4 B-7 a) k k b) k B-9, ± 3i B- a) i, 3i ; i b) (4 + 7i)/5, i z +i ) B-3 a), ( 3 ± 5 ;, b) ( ) n= n (z )n ( ) ( i) n+ for < z < 5 B- a) /e c) /e B-4 ; ( ) n (z ) ; n n= B- v(x, y) =xy + y, z + z B- i (n +)! 3(3 n ) B-5 a) i n z n ; n! n= b) 3i c) 3/ n= 3(3 n+ ) i n+3 z n (n +3)! for < z <

8 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 5 av 6 TMA4 Matematikk 4K H-3 Side 6 a B-6, ln(x + y )+ B-7 a) ( ± 3)i; ± i 3 b) 3 B-4 B-4 e w n= (z ) n 3 n+ for < z < 3, n= 3 n for z > 3; i (z ) n 3 B-8 B-9 b) z n 3 for < z <, n=, B-3 a) Pol av orden 7; b) 5/8 z n 5 for z > ; i, n= B-43 a) e (k+)i/5, k =,,...4; 5 ei/5 b) 5sin(/5) B-44 +a B-45 B-46 (z ) n for < z < ; (i ) n+3 n= n=3 (i ) n 3 (z ) n for z > B-3 (z +) n for < z + <, n= (z +) n 3 for z + > ; n= B-3 a e ωa B-33 +k i ln( ± 3), k =,±, ±,... B-34 a) b) 4 B-47 a) ωe ω b) ωe ω, B-48 m B-49 a) /4+k, k =,±, ±,...; enkle polar b) ;, i B-5 /4 B-36 3 B-37 n= z n 3 e n! for z > ; e B-38, i B-39 A =, v(x, y) =e y (x sin x + y cos x)+, ze iz + i B-4 4 n( z 4n z 4n+) for z < / (, 4 n+ z ) for z > / 4n+3 z 4n+4 n= n=

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene

Detaljer

EKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I TMA4120 MATEMATIKK 4K, LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 4K, 3..5. LØSNINGSFORSLAG Oppgave. y + y + t y(τ)e t τ dτ = u(t ) t >, y() = Anta at den Laplacetransformerte Y (s) av y(t) eksisterer. Siden integralet er konvolusjonen av y(t)

Detaljer

(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)

(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π) NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Løsningsforslag Øving 9 hapter 13.7 La z. Logaritmen til z, ln z, er definert som tallene ln z ln

Detaljer

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID

Oppgave 1 OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 6147 OG SMN 6195 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK. KLASSE:4EL,4RTog5ID OPPGAVER OG LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SMN 647 OG SMN 695 KOMPLEKS ANALYSE STED: HØGSKOLEN I NARVIK KLASSE:4EL,4RTog5ID DATO: 8 januar 004 TID: 9.00-.00 ANTALL SIDER: 0 (inklusiv formler)

Detaljer

Løysingsforslag for TMA4120, Øving 9

Løysingsforslag for TMA4120, Øving 9 Løysingsforslag for TMA4, Øving 9 October, 6 7..5) La z = x + iy og w = a + bi. Biletet til x = c, c konstant, under mappinga w = z,erallepunktidetkomplekseplanetpåforma w = z =(c + iy) = c y +ciy, det

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE DATO: 9 desember 3 Hver deloppgave teller like mye! Oppgave a) Finn eventuelle akkumulasjonspunkter til følgende mengder: ) z n = i n (n =,,...) ) z n = in

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II

Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 3 I dette kapittelet har mange av oppgavene et mindre teoretisk preg enn i de foregående kapitlene, og jeg regner derfor med at lærebokas eksempler og fasit

Detaljer

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.

Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene. Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +

Detaljer

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag: Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt). NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk

Detaljer

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004

Løsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004 Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form

Et Komplekst tall på kartesisk(standard), polar(eksponentialform) og trigonometrisk form Kapittel Komplekse tall.1 Kompleksetall-Oppsummering Kvadratroten av 1 må være en løsning til ligningen x = 1, om den finnes. Tallet i kalles den imaginære enheten og er det vi trenger for å definere de

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 917 44 Eksamensdato: 22. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 2n+2 2 n+2 = n=1. n=1. 2 n > for alle n N. Denne summen er.

2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 2n+2 2 n+2 = n=1. n=1. 2 n > for alle n N. Denne summen er. MA2 Vår 28 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 9.2.9 Ønsker å finne ut om 3+ 2 n+2 er konvergent eller divergent. Observer først at; 3 + 2 n 2 n+2 = ( 3 ) + +2

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N

Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid

Detaljer

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall

4_Komplekse_tall.odt tg. Kap.4 Komplekse tall 4_Komplekse_tall.odt 04.09.015 tg Kap.4 Komplekse tall e i π +1=0 Innledning... Egenskaper...4 Geometrisk form...5 Regneregler...6 Lengde og argument...8 Polar form...9 Eksponentform - Eulers formel...1

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til

Detaljer

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning

Eksamen R2, Våren 2011 Løsning R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.

LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i. Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ = NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk

Detaljer

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D

Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid

Detaljer

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm

Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm Kapittel 9 Tillegg om strømfunksjon og potensialstrøm 9.1 Divergensfri strøm 9.1.1 Strømfunksjonen I kompendiet, kap. 4.6 og kap. 9, er det påstått at dersom et todimensjonalt strømfelt v(x y) = v x (x

Detaljer

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Løysingsforslag Øving 3 Oppgåver frå læreboka, s. lxxi 7 Anta at y p = acos2t+bsin2t. Då har me

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en

Detaljer

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet

Kompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer

Detaljer

Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelie fakultet Eksamen i: FYS4-Matematiske metoder i fysikk Dato: juni 9 Tid for eksamen: 9- Oppavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektronisk kalkulator,

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

R2 eksamen våren 2018 løsningsforslag

R2 eksamen våren 2018 løsningsforslag R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

TMA4120 Matte 4k Høst 2012

TMA4120 Matte 4k Høst 2012 TMA Matte k Høst Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Løsningsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave :..a Skal vise at u(x, t = v(x + ct

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså

Detaljer

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall

Komplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative

Detaljer

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem

Detaljer