Lineære likningssystemer og matriser

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Lineære likningssystemer og matriser"

Transkript

1 Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger og n ukjente (vi dropper å kalle likningene L 1 osv.): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (3.1).. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ved å bruke definisjonen av produkt av matriser, kan dette systemet skrives (se også Eksempel 2.18) på matriseform: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... x 1 x 2. = b 1 b 2.. (3.2) a m1 a m2 a mn x n b m 38

2 La A være matrisen med a ij -ene, x matrisen med x i -ene og b være matrisen med b i -ene (x og b er kolonnevektorer). Da kan (3.2) skrives Ax = b, (3.3) som er en likning av matriser. Her passer det bra å definere et ord som vil dukke opp senere i kurset: Definisjon 3.1 Et lineært likningssystem (3.1) kalles homogent hvis alle b i - ene er lik 0, dvs. b i (3.3) er en nullvektor. Hvis b 0 kalles systemet inhomogent. Definisjon 3.2 Vi kaller matrisen A[ i (3.3)] for koeffisientmatrisen til likningssystemet (3.1), mens matrisen A b der vi stiller opp kolonnevektoren b til høyre for matrisen A kalles den utvidede matrisen til likningssystemet. Når vi skal løse lineære likningssystemer, skal vi jobbe med den utvidede matrisen til systemet. Eksempel 3.3 Den utvidede matrisen til likningssystemet (fra Eksempel 1.21) er matrisen x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 5x 3 = Dette systemet er forøvrig inhomogent siden b = Å skrive et lineært likningssystem på matriseform åpner mange dører for oss. Blant annet kan vi vise Teorem

3 3.2 Et viktig bevis I Kapittel 1 møtte vi et viktig resultat: Teorem 1.24 Et lineært likningssystem har enten ingen, én eller uendelig mange løsninger. Vi har nå innført nok teori til å gi et algebraisk bevis for dette. Matematikk handler om å bevise resultater, men i dette kurset skal vi først og fremst bruke resultatene. Dette beviset tar vi likevel med. Det vil være forklarende i forbindelse med andre typer likninger som vi skal møte senere i kurset, så gjør deg selv en stor tjeneste, og bruk minst en halvtime på å lese og tenke på dette beviset. Bevis for Teorem 1.24: La Ax = b være et generelt lineært likningssystem skrevet på matriseform. Vi må altså vise at hvis systemet har flere enn én løsning, så har det uendelig mange løsninger. Anta at systemet har minst to forskjellige løsninger, og la x 1 og x 2 være to av løsningene, x 1 x 2. Da vil differansen x 0 = x 1 x 2 være forskjellig fra 0. Siden Ax 1 = b og Ax 2 = b, får vi Ax 0 = A(x 1 x 2 ) = Ax 1 Ax 2 = b b = 0. Dette betyr at x 0, som er forskjellig fra 0, og som er differansen av to løsninger av det muligens inhomogene systemet Ax = b, er en løsning av det homogene systemet Ax = 0. La k være en skalar. Vi påstår at x 1 +kx 0 er en løsning av systemet Ax = b for alle skalarer k. Det stemmer, siden (husk regnereglene for matriser): A(x 1 + kx 0 ) = Ax 1 + kax 0 = Ax 1 + k 0 = b. Dermed har vi funnet uendelig mange løsninger (k kan jo velges fritt fra hele R) av systemet Ax = b, som var det vi skulle vise. Bemerkning 3.4 Et homogent likningssystem Ax = 0 har alltid minst én 40

4 løsning, nemlig x = 0, så hvis systemet er homogent vil vi ha enten én eller uendelig mange løsninger. 3.3 Radoperasjoner Vi ønsker å løse generelle lineære likningssystemer. Vi bruker følgende geniale strategi: Vi bytter ut systemet med et annet system som har samme løsningsmengde, men som er lettere å løse! Det høres jo ikke så dumt ut. Når vi løste likningssystemer i Kapittel 1, jobbet vi med likningene (vi adderte dem og multipliserte dem med tall). Nå skal vi isteden jobbe med den utvidede matrisen, ved at ordet likning erstattes av ordet rad. Når vi erstatter systemet med et annet er det tre typer operasjoner vi skal bruke: 1) Multiplisere en rad med en konstant 0. 2) Bytte om to rader. 3) Legge til et multiplum av en rad til en annen. Disse radoperasjonene er det nemlig mulig å gjøre uten at løsningsmengden til likningssystemet forandres! Vi viser først strategien på et eksempel: Eksempel 3.5 Vi vil løse likningssystemet i Eksempel 1.21 ved hjelp av radoperasjoner, og tar for oss den utvidede matrisen vi fant (i Eksempel 3.3) (første gang vi gjør dette lønner det seg å ha likningssystemet ved siden av seg, og du må gjerne sammenligne med det vi gjorde i Eksempel 1.21): Vi har den utvidede matrisen

5 Kall radene i matrisen for R 1, R 2 og R 3. Det første vi ønsker er å få 0 i posisjonene 2, 1 og 3, 1 (dette tilsvarer å eliminere x 1 fra likning L 2 og L 3 ). Det får vi til ved å bruke operasjon 3) ovenfor: vi legger ( 2) R 1 til R 2 og legger ( 3) R 1 til R 3. Da blir matrisen omgjort til Hvis vi ser på hva som har skjedd i likningssystemet, så har L 2 og L 3 nå kun to ukjente hver. Videre skal vi eliminere x 2 fra L 3, dvs. vi vil ha 0 i posisjon 3, 2. Dette får vi til ved først å multiplisere R 2 med og deretter legge ( 3) R 2 til R 3 (operasjon 3): (bruker operasjon 1):. Vi rydder opp i R 3 ved å multiplisere med 2 (operasjon 1): og L 3 sier nå at x 3 = 3! Dermed gjenstår å finne x 1 og x 2. På matrisenivå gjøres dette ved å få 0 i posisjonene 1, 2, 1, 3 og 2, 3, og det får vi til ved å legge ( 7 2 ) R 3 til R 2 og, 42

6 ( 2) R 3 til R 1 (operasjon 3): , og tilslutt legge ( 1) R 2 til R 1 (operasjon 3): Dermed sier L 1 at x 1 = 1, L 2 sier at x 2 = 2, og L 3 altså at x 3 = 3, og vi har løst likningssystemet vårt (og svaret stemmer med det vi fikk i Eksempel 1.21) Redusert trappeform I forrige eksempel løste vi likningssystemet ved å redusere den utvidede matrisen til matrisen , (3.4) der vi kunne lese av løsningen. Dette er et eksempel på en matrise som er på redusert trappeform: Definisjon 3.6 En utvidet matrise er på trappeform hvis 1) 3) nedenfor er oppfylt: 1) Hvis en rad ikke bare består av 0-ere, så er første tallet i raden som er forskjellig fra 0 lik 1 (denne 1-eren kalles en ledende 1-er, unntatt hvis den står i kolonnen helt til høyre. I matrisen ovenfor er de ledende 1-erne streket under). Merk: Hvis det første tallet i raden som er forskjellig fra 0 står i kolonnen helt til høyre, kan vi alltid sette dette tallet lik 1 ved radoperasjon 43

7 1: Raden k blir til raden ved å multiplisere raden med 1 k når k 0. Dette gir altså ikke en ledende 1-er. 2) Hvis det fins rader som bare består av 0-ere, så er de samlet i bunnen av matrisen. 3) For hvert par av rader som ligger under hverandre og som ikke bare består av 0-ere, skal den ledende 1-eren i den nederste av de to radene være lengre til høyre enn den ledende 1-eren i raden over (derav ordet trapp). Hvis vi i tillegg har oppfylt følgende punkt 4), sier vi at matrisen er på redusert trappeform: 4) Hver kolonne som inneholder en ledende 1-er har 0 overalt ellers, dvs. også 0-ere over de ledende 1-erne. Eksempel 3.7 Matrisen (3.5) er på trappeform, men ikke redusert trappeform (overbevis deg selv, og finn trappen) med to ledende 1-ere (understreket). Matrisen (3.6) er på redusert trappeform. Bemerkning 3.8 (Viktig!) Det kan hende at du vil møte matriser senere i livet der raden gir en ledende 1-er. Men når vi i MAT1001 snakker om trappeform er det i forbindelse med utvidede matriser, siden vi er interessert i å løse likningssystemer. For oss vil dermed raden ikke gi en ledende 1-er. 44

8 Når den utvidede matrisen til et lineært likningssystem er redusert til redusert trappeform, kan vi lese av løsningen til likningssystemet (også når vi har (ikke-redusert) trappeform, men da må vi gjøre noen ekstra regninger; såkalt baklengs substitusjon ). Vi har sett at et lineært likningssystem kan være inkonsistent (gir ikke mening og har ingen løsning) eller konsistent (med nøyaktig én eller uendelig mange løsninger). Hvordan kan vi se hvor mange løsninger vi har fra den reduserte trappeformen? Én løsning Den reduserte trappeformen vil være identitetsmatrisen og i tillegg en kolonne til høyre, som for eksempel matrisen (3.4). Ingen løsning I den reduserte trappeformen vil vi få en rad som består av bare 0-ere, bortsett fra det siste tallet i raden, som er 1, slik som nederste rad i (3.5). En slik rad vil svare til likningen 0 = 1, som jo betyr at systemet er inkonsistent. Vi skal komme til hvordan vi reduserer en matrise til redusert trappeform, og vi nevner allerede nå at hvis det underveis i denne prosessen dukker opp en rad med bare 0- ere bortsett fra det siste tallet, så stopper vi prosessen, siden systemet da er inkonsistent, og vi konkluderer med at systemet ikke har noen løsning (vi reduserer jo matrisen fordi vi vil løse likningssystemet). Uendelig mange løsninger Som vi så i Kapittel 1, får vi inn parametere når vi presenterer uendelig mange løsninger. Dette kan vi se fra den reduserte trappeformen siden i dette tilfellet vil vi få færre ledende 1- ere enn kolonner i koeffisientmatrisen (som er lik antall variable). For eksempel hvis vi har redusert en utvidet matrise til ser vi at vi har 3 likninger (antall rader), 4 variable (antall kolonner i koeffisientmatrisen, der vi ikke teller siste kolonne, siden den svarer til 45

9 vektoren b) og vi har 3 ledende 1-ere. Denne matrisen tilsvarer systemet x 1 + 3x 4 = 4 x 2 + 2x 4 = 1 x 3 + 6x 4 = 2. Vi ser at variablene x 1, x 2 og x 3 svarer til de ledende 1-erne. Disse kalles derfor ledende variable. Variablene som ikke svarer til ledende 1-ere kalles frie variable (her: x 4 ), nettopp fordi de er frie og kan velges til hva som helst. Vi innfører derfor parametere for de frie variablene. Antall parametere vi trenger gir oss dimensjonen til løsningsmengden. Hvis vi innfører en parameter t for x 4 i vårt eksempel, kan vi finne uttrykk for de andre variablene uttrykt ved hjelp av parameteren x 4 = t x 1 = 4 3t x 2 = 1 2t x 3 = 2 6t, som passer med at vi i Kapittel 1 presenterte løsningsmengden som {( 4 3t, 1 2t, 2 6t, t): t R}. Nå som vi har lært om matriser kan vi også presentere løsningene som 4 3t t 2 6t : t R = t 2 6 : t R. t 0 1 Vi har én parameter, så løsningsmengden er 1-dimensjonal (som blir en linje i R 4, der ( 4, 1, 2, 0) er et punkt på linjen og ( 3, 2, 6, 1) er en såkalt retningsvektor for linjen). 46

10 3.5 Gauss-Jordan-eliminasjon Vi har sett hvordan vi kan løse lineære likningssystemer når vi har den utvidede matrisen på redusert trappeform. Vi skal nå gi oppskriften for å redusere en matrise til trappeform (kalt Gauss-eliminasjon, eller gaussing ) og videre til redusert trappeform (kalt Gauss-Jordan-eliminasjon). Vi fulgte metoden i Eksempel 3.5, så ta en titt på det igjen, helst mens du leser oppskriften (forøvrig en fin algoritme å programmere). Vi gjentar at for utvidede matriser stopper vi prosessen hvis vi får en rad 0 0 1, siden vi da ikke har noen løsning (vi reduserer jo matrisen kun fordi vi vil løse et likningssystem). Hvordan redusere en (ikke null-)matrise til trappeform (Ta 500 g hvetemel...) 1) Finn første kolonne (fra venstre) som ikke bare har 0-ere. 2) Hvis kolonnen du fant i 1) har 0 i første rad, bytt første rad med en annen rad slik at komponenten i første rad i kolonnen fra 1) er forskjellig fra 0. 3) La a være komponenten i første rad i kolonnen fra 1). Multipliser første rad med 1 for å lage en ledende 1-er. a 4) Legg til et passende multiplum av første rad til radene under slik at alle komponentene under den ledende 1-eren du laget i 3) blir 0. 5) Dekk over første rad og første kolonne og start på 1) med matrisen som gjenstår. Fortsett slik helt til du er ferdig med alle radene. Matrisen du står igjen med er da på trappeform. og videre til redusert trappeform (når vi ikke har rader 0 0 1) 6) Start fra bunnen av matrisen med første rad nedenfra som ikke bare har 0-ere, og jobb oppover rad for rad: For hver rad med en 47

11 ledende 1-er, legg til et passende multiplum av raden til radene over denne for å få bare 0-ere over den ledende 1-eren. For hver gang vi gjør noe med matrisen pleier vi å skrive symbolet, og vi oppgir gjerne hva vi har gjort. Eksempel 3.9 Reduseringen av matrisen i Eksempel 3.5 kan dermed beskrives slik: R 1 tilr 2 3 R 1 tilr R R 2tilR R R 2tilR R 3tilR R 3tilR Et nyttig resultat Noen ganger er vi bare interessert i å vite hvor mange løsninger et lineært likningssystem har, og ikke nødvendigvis så interessert i å finne dem. I denne sammenhengen viser det seg at determinanten (som vi lærte å regne ut i Seksjon 2.4) til koeffisientmatrisen til likningssystemet kan forenkle regningen. Den sier oss nemlig noe om hvor mange løsninger systemet har. Siden vi skal 48

12 bruke determinanten, må vi ha kvadratiske matriser, så for å bruke dette resultatet må vi ha like mange likninger som variable. Teorem 3.10 Anta at vi har et lineært likningssystem med n likninger og n ukjente, og la A være koeffisientmatrisen til systemet. Hvis det(a) 0 har likningssystemet nøyaktig én løsning. Hvis det(a) = 0 har likningssystemet enten ingen eller uendelig mange løsninger. Resultatet er litt vanskelig å bevise, men du får lov til å bruke det allikevel. Prøv det ut på noen av oppgavene du allerede har regnet og se at det stemmer! Dette er spesielt nyttig når vi har parametere med i likningssystemet (slik vi hadde i Eksempel 1.18 om trafikknettet i en bydel i London). Vi tar med et eksempel på dette: Eksempel 3.11 Oppgave: a) Regn ut determinanten til matrisen 1 a 0 A = a der a er et reelt tall. b) Undersøk for hvilke verdier av a likningssystemet x + ay = 1 ax + 2y + z = 6 2x + 2z = 8 har én løsning, ingen løsning, eller uendelig mange løsninger. Finn alle løsningene i det siste tilfellet. 49

13 Løsning: a) Vi finner determinanten til A ved regningen 1 a 0 a = a a = 4 a(2a 2) + 0 = 2a 2 + 2a a b) Vi ser at A er koeffisientmatrisen til likningssystemet vi får oppgitt, så for å gjøre bruk av Teorem 3.10, må vi finne ut når det(a) 0: Vi løser andregradslikningen det(a) = 0, dvs. 2a 2 + 2a + 4 = 0, eller a 2 a 2 = 0 (ved å dele med 2). Da får vi følgende løsninger: a = 1 ± = 1 ± 3 2 Ved Teorem 3.10 får vi én løsning når a { 1, 2}. Når a = 1 eller a = 2 har vi enten ingen eller uendelig mange løsninger. For å finne ut av når vi har hva, må vi se på hvert av tilfellene spesielt. a = 1 : Vi setter inn a = 1 i likningssystemet, setter opp den utvidede matrisen og reduserer: = { R 1 tilr 2 2 R 1 tilr R 2 tilr R 2tilR Vi ser at x og y er ledende variabel, mens z er fri. Vi innfører derfor en param- 50

14 eter t for z. Da blir y = 5 t og x = 4 t, og vi får uendelig mange løsninger når a = 1, gitt ved a = 2 : t 1 : t R. 0 1 Vi setter inn og får en ny utvidet matrise som vi reduserer: R 1 tilr 2 2 R 1 tilr R R 2tilR Av den siste raden ser vi at vi kan redusere den ene likningen til 0 = 6, så likningssystemet gir ingen mening, dvs. har ingen løsning når a = 2. Dermed har vi analysert alle verdier av a og oppgaven er ferdig løst. 3.7 Cramers regel Et annet nyttig resultat er Cramers regel. Teorem 3.10 sa oss at hvis det(a) 0 så har likningssystemet med koeffisientmatrise A nøyaktig én løsning. Denne løsningen kan vi finne ved hjelp av Cramers regel: Teorem 3.12 Hvis vi har et likningssystem med n likninger og n ukjente med utvidet matrise [A b] der det(a) 0, så har likningssystemet nøyaktig én løsning. Denne løsningen er gitt ved x 1 = det(a 1) det(a), x 2 = det(a 2) det(a),..., x n = det(a n) det(a) der A j er matrisen vi får ved å erstatte kolonne j i A med b. 51

15 Denne regelen er en type regel som gjerne brukes for å studere egenskaper ved løsningene (siden den sier hvordan de ser ut) og ikke så ofte for å finne løsningene, men la oss allikevel ta et eksempel der vi nettopp finner løsningene (for mange av oppgavene vi regner kan Cramers regel være tidsbesparende): Eksempel 3.13 La oss nok en gang løse likningssystemet i Eksempel 1.21 (som vi også løste med radoperasjoner i Eksempel 3.5): Den utvidede matrisen er altså x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 5x 3 = 0 [A b] = og determinanten til A er det(a) = = 1 0, så ved Teorem 3.10, har likningssystemet nøyaktig én løsning. Ved Cramers regel blir løsningen (sjekk utregningene! Vi har streket under komponentene der b er satt inn.) x 1 = det(a 1) det(a) = = 1 1 = 1, 52

16 x 2 = det(a 2) det(a) = x 3 = det(a 3) det(a) = som er den samme løsningen som vi har funnet før! = 2 1 = 2, = 3 1 = 3, 3.8 Nå skal du kunne definisjonene av: homogent lineært likningssystem, koeffisientmatrisen og den utvidede matrisen til et lineært likningssystem, en matrise på trappeform og på redusert trappeform løse lineære likningssystemer ved Gauss-Jordan-eliminasjon bruke determinanten til koeffisientmatrisen til et lineært likningssystem for å si noe om antall løsninger til systemet bruke Cramers regel til å finne løsningen til et lineært likningssystem som har én løsning bevise for alle interesserte at et lineært likningssystem kan ha enten ingen, én eller uendelig mange løsninger fullstendig overbevise alle som fortsatt tviler om sammenhengen mellom matriser og lineære likningssystemer 53

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge Lineær algebra Kurskompendium, Utøya, MAT1000 Inger Christin Borge 2006 Forord Dette er et kompendium skrevet til bruk i MAT1000-varianten av Utøyaseminarene, arrangert av Matematisk fagutvalg ved Matematisk

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Lineære ligningssystem og matriser

Lineære ligningssystem og matriser Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden

LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden Dette emnet gir en innføring i lineær optimering og tilgrensende felt. hva er LP (lin.opt.=lin.programmering) mer generelt: matematisk optimering

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj velse 2: Egenskaper ved determinanter av Klara Hveberg I denne velsen skal vi bruke Matlab til a studere hva elementre radoperasjoner gjr med determinanten til en matrise. Deretter skal vi se pa determinanten

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Kapittel 5: dualitetsteori

Kapittel 5: dualitetsteori LP Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP Leksjon 5: #1 of 17 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear

Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear Lineær Algebra Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear y = ax + b linje y = f(x) funksjon Taylor utvikling f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Ma Linær Algebra og Geometri Øving 1

Ma Linær Algebra og Geometri Øving 1 Ma0 - Linær Algebra og Geometri Øving Øistein Søvik 0. september 0 Excercise Set. = 4 x6 x x = x 6 4 x x = x 4 4 4 x x. In each part, determine whether the equation is linear in x, x and x Før vi begynner

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter: Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden

Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden LP. Leksjon 1 Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden et eksempel fra produksjonsplanlegging simpleksalgoritmen, noen begreper algoritmen LP. Leksjon 1: #1 of 14 Eksempel: produksjonsplanlegging Produkter:

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer