x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder"

Transkript

1 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes en måte å forenkle beregningene. Erstatt kolonnevektoren b med m m identitetsmatrisen I m. Bruk Gauss-Jordan på den utvidede m (m + n) matrisen. Du får en ny matrise som består av den trappeformerte à og en m m matrise C: [ ] [ ] G J A I à C. x x... x n b b... b m,. Erstatt deretter C med kolonnevektoren Cb. La oss ta det oppsummerende Eksempel.5 på nytt: Eksempel 4. La oss betrakte systemet x + 3x x 3 + x 5 = b x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = b 5x 3 + x 4 + 5x 6 = b 3 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = b 4 Den utvidede matrisen til systemet er A = 3 b b 5 5 b b 4 Ved bruk av Gauss-Jordan får vi matrisen b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3, 37

2 og fortsetter å resonnere som i Eksempet.5. La oss bruke tipset ovenfor, dvs. erstatte b med identitsmatrisen: G J Jordan. Legg merke til at vi trappeformerte bare koeffi sientmatrisen A, ikke den hele utvidede matrisen A. Erstatt endelig den høyre 4 4 delmatrisen C med kolonnevektoren Cb = og få den ønskelige matrisen b b b 3 b 4 = 3 4 5b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3 5b 6b b 4 7b 3b b 4 3 b 5 3 b + 6 b 4 5b b + b 3. 38

3 4. Formelen for determinanter 4.. Determinanter til n n matriser (ikke pensum) Den generelle formelen er veldig kompisert (n! produkter, n! n! med pluss og med minus): ) det A = det ([a i,j ] i,j=,,...,n = sgn (σ) a,σ() a,σ() a 3,σ(3)...a n,σ(n) σ S n der S n er mengden av alle permutasjoner (Diskret matematikk, MAT-5) av mendgen {,, 3,..., n} og sgn (σ) = { hvis σ er en like permutasjon (even permutation), hvis σ er en odde permutasjon (odd permutation). Se nedenfor formlene for n =,, 3, 4, 5, Determinanter til matriser det [ a ] = a Determinanter til matriser [ ] a a det = a a a a a a Determinanter til 3 3 matriser a a a 3 det a a a 3 = a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 +a a 3 a 3 +a a 3 a 3 a 3 a a 3. a 3 a 3 a Determinanter til 4 4 matriser (ikke pensum) 4 produkter, med pluss og med minus: det a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 = a a a 33 a 44 a a a 34 a 43 a a 3 a 3 a 44 + a a 3 a 4 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 33 a 4 a a a 33 a 44 + a a a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 43 a a 3 a 4 a 34 + a a 4 a 4 a 33 +a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 34 a a 4 a 3 a 43 + a a 4 a 33 a 4 a 3 a a 3 a 44 + a 3 a a 4 a 34 +a 3 a 3 a 4 a 4 a 3 a 3 a 4 a 4 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 4 a 33 a 3 a 4 a 3 a 4 + a 4 a 3 a 3 a 4. 39

4 4..6 Determinanter til 5 5 matriser (ikke pensum) produkter, 6 med pluss og 6 med minus: a a a 3 a 4 a 5 a a a 3 a 4 a 5 det a 3 a 3 a 33 a 34 a 35 a 4 a 4 a 43 a 44 a 45 a 5 a 5 a 53 a 54 a 55 = a a a 33 a 44 a 55 a a a 33 a 45 a 54 a a a 34 a 43 a 55 + a a a 34 a 53 a 45 + a a a 43 a 35 a 54 a a a 35 a 44 a 53 a a 3 a 3 a 44 a 55 + a a 3 a 3 a 45 a 54 + a a 3 a 4 a 34 a 55 a a 3 a 4 a 35 a 54 a a 3 a 34 a 5 a 45 + a a 3 a 5 a 35 a 44 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 +a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 33 a 4 a 55 + a a 4 a 33 a 5 a 45 + a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 33 a 4 a 5 a 54 a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 4 a 5 a 34 a 53 + a a 5 a 34 a 43 a 5 a a a 33 a 44 a 55 +a a a 33 a 45 a 54 + a a a 34 a 43 a 55 a a a 34 a 53 a 45 a a a 43 a 35 a 54 + a a a 35 a 44 a 53 +a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 43 a 55 + a a 3 a 4 a 53 a 45 + a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 5 a 34 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 +a a 4 a 4 a 33 a 55 a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 54 + a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 45 +a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 5 a 5 a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 34 a 5 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 a a 4 a 3 a 43 a 55 +a a 4 a 3 a 53 a 45 + a a 4 a 33 a 4 a 55 a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 4 a 35 a 53 + a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 5 a 33 a 4 a 54 + a a 5 a 33 a 5 a 44 + a a 5 a 4 a 34 a 53 a a 5 a 34 a 43 a 5 a 3 a a 3 a 44 a 55 + a 3 a a 3 a 45 a 54 + a 3 a a 4 a 34 a 55 a 3 a a 4 a 35 a 54 a 3 a a 5 a 34 a 45 + a 3 a a 5 a 35 a 44 + a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 +a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 +a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 + a 3 a 4 a 5 a 5 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 + a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 4 a 33 a 55 + a a 4 a 4 a 35 a 53 +a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 4 a 5 a 33 a 54 a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 5 a 33 a 5 a 44 +a a 5 a 5 a 34 a 43 a 3 a 4 a 3 a 4 a 55 + a 3 a 4 a 3 a 5 a 45 + a 3 a 4 a 4 a 5 a 53 a 3 a 4 a 5 a 43 a 5 +a 3 a 3 a 5 a 4 a 54 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 5 a 4 a 4 a 53 + a 3 a 5 a 4 a 43 a 5 + a 4 a 3 a 3 a 4 a 55 a 4 a 3 a 3 a 5 a 45 a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 + a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 a 4 a 3 a 4 a 5 a 53 + a 4 a 3 a 5 a 5 a 43 +a 4 a 4 a 33 a 5 a 5 a 4 a 33 a 4 a 5 a 5 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 + a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 5 a 4 a 5 a 34 + a 3 a 4 a 5 a 4 a 53 a 3 a 5 a 4 a 5 a 43 a 4 a 5 a 4 a 33 a 5 + a 5 a 4 a 33 a 4 a Determinanter til 6 6 matriser (ikke pensum) 7 produkter, 36 med pluss og 36 med minus. Formelen er for stor til å vise den her. 4

5 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de betingelsene fra Def Jeg vil ikke gi en eksamesoppgave om å sjekke at noe er et vektorrom: det er jo kjedelig å sjekke de betingelsene! Noen eksempler kan bli forvirrende for dere. Se på oppgave 4.. Mengden der tilfredsstiller flere aksiomer til et vektorrom (ikke alle!), men nullvektoren er = (, ), ikke (, )! Jeg vil unngå slike eksempler på eksamen. Enda mer: vi skal begrense oss med følgende vektorrom:. Hovedeksemplet er n-rommet R n (Def. 3..) som består av n-tupler (n-tuples, ordered n-tuples) [a, a, a 3,..., a n ], a i R. Vi skriver dem vanligvis som kolonnevektorer a a..., a i R. a n Hvis n =, består R av et tomt tuppel [] som spiller rollen av nullvektoren: R = {} = {[]}. Hvis n 3 (særlig når n =, ) kan man bruke geometri (Ch. 3) og tegne vektorer, vektorrom, underrom osv. Vi skal se senere at alle (endelig dimensjonale) vektorrom kan beskrives som R n.. m n matriser M m n. Kan beskrives som R mn. 3. Funksjoner. Alle (evt. kontinuerlige, deriverbare) funksjoner danner et uendelig dimensjonalt vektorrom. Med det finnes mange endelig dimensjonale underrom som kan beskrives som R n. 4. Polynomer P n av grad (degree) n, dvs. funksjoner f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, a i R. Kan beskrives som R n+. Vi skal foreløbig arbeide kun med R n. Vektorrom nr. -4 vil bli betraktet senere. Det blir forklart hva beskrives som R n betyr. 4

6 5. Underrom Vi bytter Th. 4.. og Def Teoremet blir da en definisjon. Men vi forbedrer teoremet litt. I boken sies det implisitt at underrommet skal være ikke-tom (a set of one or more vectors), dvs. det skal inneholde minst én vektor. Men denne betingelsen er mye lettere å sjekke hvis vi vet hvilken vektor som er med! Vår endelig definisjon (korrigert Theorem 4..) er: Definisjon 5. La V være et vektorrom, og W V en delmengde ( subset). Vi sier at W er et underrom ( subspace) dersom: a) v, w (v, w W = v + w W ), dvs. for alle par v, w vektorer fra W er deres sum også i W. b) α, w (α R, w W = α w W ), dvs. for envher skalær α og enhver vektor w fra W er deres produkt α w også i W. c) W. Merknad 5. For å sjekke at noe er et underrom (eller ikke et underrom), er det lurt å begynne med c). For eksempel, la V = R, og W være en rett linje som ikke går gjennom origo. Da er W ikke et underrom, siden W. Merknad 5.3 Nullvektoren i c) er den samme nullvektor som rommet V har, ikke noen merkelig vektor som (, ) i oppgave 4.. Merknad 5.4 Sannsynligheten for at én av eksamensoppgavene er om å sjekke at noe er et underrom, er ikke null, men ganske liten. Det er jo morsommere å sjekke tre betingelser istedenfor ti (som i Def. 4..), men kjedelig likevel. I eksamensoppgavene fra 6, og - som jeg laget, står det noe slik: W er et underrom (du behøver ikke å bevise dette), og deretter begynner noe mer interessant: å finne dimensjonen, en basis osv. Merknad 5.5 Hvis m < n, er ikke R m et underrom i R n (det er ikke en delmengde!), men vi kan betrakte følgende underrommet V R n : a a... V = a m, a i R, R n.... Dette underrommet kan beskrives som R m. 4

7 5. De tre viktigste begrepene Begrepene er: en basis (a basis) (viktigst av alle), spennet eller utspenningsrommet til (the space spanned by) vektorer, og lineært avhengige/uavhengige (linearly dependent/independent) vektorer. Vi bytter av og til teoremer/definisjoner i boken, og endrer selve definisjonene. I definisjonene i boken snakker man om mengder {g, g,..., g k } av vektorer. Det er ikke lurt, se Remark etter Def i boka. Vi vil snakke om tupler (g, g,..., g k ) i stedet, siden rekkefølgen av vektorer er vesentlig. Vi bruker runde parenteser for å skille tupler av vektorer fra vektorer (tupler av tall). Vi vil skrive (g, g,..., g k ) V hviss (= hvis og bare hvis) g i V for alle i. 5.. Intuitive definisjoner Vi har jo en intuitiv forståelse av dimensjonen dim V til et vektorrom V (the dimension of a vector space V ). Det er klart at: dim R =, dim R =, dim R =, dim R 3 = 3,... dim R n = n. La V være et underrom i R n, n 3. Geometrisk er V enten {} (dim V = ), en rett linje som går gjennom origo (dim V = ), et plan som går gjennom origo (dim V = ) eller hele rommet R 3 (dim V = 3). La G = (g, g,..., g k ) V, være et k-tuppel av vektorer i V. Vi sier at: Definisjon 5.6 (intuitiv). G utspenner V (G spans V ) hviss V er det minste underrom som inneholder G. Vi skriver da V = span (G). V kalles da spennet til G ( the space spanned by G), se Th Det sies også at G utspenner V (G spans V, eller: the vectors g i span V ). 43

8 . Vi sier at G er lineært uavhengig ( linearly independent) hviss k = dim W der W = span (G). 3. Vi sier at G er en basis ( a basis) for V hviss G er både utspenner V og er lineært uavhengig. Eksempel 5.7 La V = {}. Det er ikke korrekt å si at V har ingen basis. Alle vektorrom har en basis! Dette rommet har en tom basis Tuplene G = (). H = (), J = (, ), K = (,, ), utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.8 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være en rett linje som går gjennom origo. Hvis g og g V, så danner en basis for V. Tuplene G = (g) H = (, g), J = (g, g), K = (g, ) g,,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.9 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være et plan som inneholder origo. Hvis g, g V, og de to vektorene ikke ligger på en rett linje, så danner en basis for V. Tuplene G = (g, g ) H = (g, g, g + g ), J = (g, g, g ), K = (g, ) g 5g,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 44

9 Eksempel 5. La V = R 3. Hvis g, g, g 3 V, og de tre vektorene ikke ligger i et plan, så danner G = (g, g, g ) en basis for V. Tuplene H = (g, g, g 3, g ), J = (g, g, g 3 6g, g ), K = (g, ) g 5g,g 3, g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 5.. Formelle definisjoner La oss først introdusere kvantorer (quantifiers), som hjelper til å formulere logiske setninger korrekt: Kvantor Forklaring i norsk Forklaring i engelsk Kommentar For alle/envher/ethvert For all/any Eksisterer det minst én/ett Exists at least one! Eksisterer det eksakt én/ett Exists exactly one! Eksisterer det høyst én/ett Exists at most one Brukes kun i dette kurset Definisjon 5. Gitt et vektorrom V og et k-tuppel G = (g, g,..., g k ), g i V. Vi sier at: a) G utspenner ( spans) V (evt. et underrom W ) dersom slik at slik at ( w V (evt. w W )) ( et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. b) G er lineært uavhengig ( linearly independent) dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. c) G er en basis ( a basis) for V dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) slik at w = α g + α g α k g k. 45

10 Vektoren [w] G = α α... α n kalles koordinatvektoren (Def. 4.4.) til w mht basisen G ( the coordinate vector of w relative to the base G). La oss diskutere definisjonene. Definisjon c) er det samme som Theorem Definisjon b) tilsvarer Def. 4.3., men er litt annerledes. Vår definisjon sier at det ikke kan eksistere to forskjellige k-tupler α for én vektor w. Ta w =. Vi kan alltid beskrive vektoren som w = = g + g g k, dvs. for nullvektoren finnes det et k-tuppel [,,..., ] R k. Det følger fra vår definisjon at det ikke eksisterer et annet k-tuppel med α = [α, α,..., α k ] R k = α g + α g α k g k. Men dette er faktisk Def. 4.3., dvs. vår definisjon er sterkere siden den gjelder alle vektorer w, ikke bare w =. Det kan enkelt bevises (vi skal ikke gjøre dette) at de to definisjonene er ekvivalente. La oss definere lineært avhengige vektorer (det motsatte til uavhengige): G er lineært avhengig dersom slik at α β, mens Igjen, hvis vi velger ( w V ) ( α = [α, α,..., α k ] & β = [β, β,..., β k ]) w = α g + α g α k g k = β g + β g β k g k. w =, α = [α, α,..., α k ], β = [,,..., ], får vi Def. 4.3., som ser sterkere ut, men er faktisk ekvivalent til vår definisjon. 46

11 Merknad 5. Hvis setningen A er sterkere enn setningen B, har negasjonene A og B den motsatte relasjonen: A er svakere B. Derfor er vår definisjon for uavhengige vektorer sterkere enn den i boken, mens definisjonen for avhengige vektorer er svakere. Men dette spiller jo ingen rolle: definisjonene A og B (og negasjonene A og B) er faktisk ekvivalente. Sammenlign nå vår definisjon a) med Theorem Teoremet sier at alle lineære kombinasjoner α g + α g α k g k, α = [α, α,..., α k ] R k, danner et underrom W i V. Hvis W = V, sies det at G utspenner hele rommet V (sammenlign igjen med vår definisjon a)). 6 Oppsummering til Ch Hvis man betrakter eksemplene i boka, ser man en bestemt resonneringsmåte:. Gitt vektorer (g, g,..., g k ) R n (evt. (g, g,..., g k, w) R n ).. Lag en vektorlikning med ukjente koeffi sienter [α, α,..., α k ]. 3. Vektorlikningen gir et lineært system med variablene α, α,..., α k. 4. Lag den utvidede matrisen A til systemet. 5. Bruker Gauss-Jordan på A. 6. Tolk resultatene. Hvis man studerer nøye de matrisene A man får i eksemplene, ser man at hver A består av kolonnevektorer g, g,..., g k (evt. g, g,..., g k, w). Teoremet nedenfor kan hjelpe å forstå (nesten) alle eksempler og oppgaver fra Ch Teorem 6. La A være en n (k + ) matrise som består av k + kolonnevektorer fra R n : A = [g, g,..., g k, w]. Vi bruker elementære radoperasjoner på denne matrisen og får en ny matrise med nye kolonnevektorer: For hvert k-tuppel [α, α,..., α k ] R k :. B = [h, h,..., h k, u]. α g + α g α k g k = α h + α h α k h k =. 47

12 . α g + α g α k g k = w α h + α h α k h k = u. 3. w span (g, g,..., g k ) u span (h, h,..., h k ). 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) utspenner R n. 5. Tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært avhengig/uavhengig hviss tuppelet (h, h,..., h k ) er det. 6. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for span (g, g,..., g k ) hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for span (h, h,..., h k ). 7. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for R n. Bevis. (ikke pensum) Anta at vi utførte s radoperasjoner med matrisen A. Dette er ekvivalent til at vi multipliserte A med s elementære matriser fra venstre: B = E s...e E A = GA der G = E s...e E er en ivertibel matrise siden elementære matriser er invertible. La H = G. Følgende skjer med kolonnevektorer: B = GA = [Gg, Gg,..., Gg k, Gw] = [h, h,..., h k, u].. Følger fra post : sett w = u =.. Hvis så er α g + α g α k g k = w, α h + α h α k h k = α Gg + α Gg α k Gg k = G (α g + α g α k g k ) = G w = u. Omvendt, hvis er α h + α h α k h k = u, α g + α g α k g k = α Hh + α Hh α k Hh k = H (α h + α h α k h k ) = H u = w. 3. w span (g, g,..., g k ) hviss w er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at u er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k ). 48

13 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss enhver vektor w R n er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at enhver vektor u R n er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k )) = R n. 5. Anta at tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært uavhengig. La Det følger at Det følger fra post at [α, α,..., α k ] [,,..., ] R n. α g + α g α k g k. α h + α h α k h k, og tuppelet (h, h,..., h k ) er lineært uavhengig. Den omvendte setningen bevises analogt. 6. Følger fra post Følger fra poster 4 og Eksempler Vi har nå en universell metode for å løse eksempler fra Ch :. Lag en matrise som består av de ivolverte kolonnevektorene. Hvis det er radvektorer som er gitt, transponer dem.. Bruk Gauss-Jordan på denne matrisen. 3. Tolk resultatet. Eksempel 6. (Ex. 4..4) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer u, v, w, w, og bruk Gauss-Jordan: G J. 7 8 Det er klart at 3 = 3 +, 49

14 mens ikke er en lineær kombinasjon av og Teorem 6.() at 6 w = 3u + v = mens w ikke er en lineær kombinasjon av u og v.,. Det følger fra Eksempel 6.3 (Ex. 4..5) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Det er klart at vektoren R 3 ikke kan beskrives som en lineær kombinasjon av,, dvs. at tuppelet ikke utspenner R 3. Det følger fra Teorem 6.(4) at tuppelet,, 3 ikke utspenner R 3 heller. Eksempel 6.4 (Ex og 4.3.7) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Man ser med én gang at = + eller + =, 5

15 dvs. er tuppelet,, lineært avhengig. Det følger fra Teorem 6.(5) at tuppelet (v, v, v 3 ) er også det, nemlig at v + v + ( ) v 3 =. Eksempel 6.5 (Ex ) Lag en 4 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 5 Kolonnevektorene i den nye matrisen er lineært uavhengige, derfor er tuppelet (v, v, v 3 ) lineært uavhengig. Eksempel 6.6 (Ex og 4.4.9) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, v og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 9 Vi ser følgenge:. Tuppelet H = danner en basis for R 3, derfor også danner en basis for R 3.. derfor =,, G = (v, v, v 3 ) + ( ) + v = v + ( ) v + v 3, og koordinatvektoren mht basisen G er [v] G =., 5

16 Den omvendte oppgaven er mye enklere: hvis [w] G = 3, så er w = ( ) =

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Emne 13 Utsagnslogikk

Emne 13 Utsagnslogikk Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Kapittel 3: degenerasjon.

Kapittel 3: degenerasjon. LP. Leksjon 3 Kapittel 3: degenerasjon. degenerasjon eksempel på sirkling den leksikografiske metoden andre pivoteringsregler fundamentaleoremet i LP LP. Leksjon 3: #1 of 15 Repetisjon simpleksalgoritmen:

Detaljer

FAKTORISERING FRA A TIL Å

FAKTORISERING FRA A TIL Å FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F - 2 2 Grunnleggende om faktorisering F - 2 3 Fremgangsmåter F - 3 3.1 Den grunnleggende

Detaljer

Kontinuerlige stokastiske variable.

Kontinuerlige stokastiske variable. Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Matematikk 15 V-2008

Matematikk 15 V-2008 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans Eivind Eriksen Matematikk for økonomi og finans # CAPPELEN DAMM AS 2016 ISBN 978-82-02-47417-1 1. utgave, 1. opplag 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand.

Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand. Utsagnslogikk. Et utsagn (eng: proposition) er en erklærende setning som enten er sann eller usann. Vi kaller det gjerne en påstand. Eksempler: Avgjør om følgende setninger er et utsagn, og i så fall;

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Relasjoner. Relasjoner. Forelesning 11: Relasjoner Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 18. februar 2008 Vi har gjort oss ferdige med innføringen av Boolesk mengdelære.

Detaljer

Deduksjon i utsagnslogikk

Deduksjon i utsagnslogikk Deduksjon i utsagnslogikk Lars Reinholdtsen, Universitetet i Oslo Merknad Dette notatet om deduksjon er ikke pensum, og den behandlingen som Goldfarb gir av emnet fra 33 og utover dekker fullt ut det som

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide 13. november 2014 Turingmaskiner en kortfattet introduksjon Christian F Heide En turingmaskin er ikke en fysisk datamaskin, men et konsept eller en tankekonstruksjon laget for å kunne resonnere omkring

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Vektorer og matriser

Vektorer og matriser DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29 Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer