x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder"

Transkript

1 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes en måte å forenkle beregningene. Erstatt kolonnevektoren b med m m identitetsmatrisen I m. Bruk Gauss-Jordan på den utvidede m (m + n) matrisen. Du får en ny matrise som består av den trappeformerte à og en m m matrise C: [ ] [ ] G J A I à C. x x... x n b b... b m,. Erstatt deretter C med kolonnevektoren Cb. La oss ta det oppsummerende Eksempel.5 på nytt: Eksempel 4. La oss betrakte systemet x + 3x x 3 + x 5 = b x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = b 5x 3 + x 4 + 5x 6 = b 3 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = b 4 Den utvidede matrisen til systemet er A = 3 b b 5 5 b b 4 Ved bruk av Gauss-Jordan får vi matrisen b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3, 37

2 og fortsetter å resonnere som i Eksempet.5. La oss bruke tipset ovenfor, dvs. erstatte b med identitsmatrisen: G J Jordan. Legg merke til at vi trappeformerte bare koeffi sientmatrisen A, ikke den hele utvidede matrisen A. Erstatt endelig den høyre 4 4 delmatrisen C med kolonnevektoren Cb = og få den ønskelige matrisen b b b 3 b 4 = 3 4 5b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3 5b 6b b 4 7b 3b b 4 3 b 5 3 b + 6 b 4 5b b + b 3. 38

3 4. Formelen for determinanter 4.. Determinanter til n n matriser (ikke pensum) Den generelle formelen er veldig kompisert (n! produkter, n! n! med pluss og med minus): ) det A = det ([a i,j ] i,j=,,...,n = sgn (σ) a,σ() a,σ() a 3,σ(3)...a n,σ(n) σ S n der S n er mengden av alle permutasjoner (Diskret matematikk, MAT-5) av mendgen {,, 3,..., n} og sgn (σ) = { hvis σ er en like permutasjon (even permutation), hvis σ er en odde permutasjon (odd permutation). Se nedenfor formlene for n =,, 3, 4, 5, Determinanter til matriser det [ a ] = a Determinanter til matriser [ ] a a det = a a a a a a Determinanter til 3 3 matriser a a a 3 det a a a 3 = a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 +a a 3 a 3 +a a 3 a 3 a 3 a a 3. a 3 a 3 a Determinanter til 4 4 matriser (ikke pensum) 4 produkter, med pluss og med minus: det a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 = a a a 33 a 44 a a a 34 a 43 a a 3 a 3 a 44 + a a 3 a 4 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 33 a 4 a a a 33 a 44 + a a a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 43 a a 3 a 4 a 34 + a a 4 a 4 a 33 +a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 34 a a 4 a 3 a 43 + a a 4 a 33 a 4 a 3 a a 3 a 44 + a 3 a a 4 a 34 +a 3 a 3 a 4 a 4 a 3 a 3 a 4 a 4 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 4 a 33 a 3 a 4 a 3 a 4 + a 4 a 3 a 3 a 4. 39

4 4..6 Determinanter til 5 5 matriser (ikke pensum) produkter, 6 med pluss og 6 med minus: a a a 3 a 4 a 5 a a a 3 a 4 a 5 det a 3 a 3 a 33 a 34 a 35 a 4 a 4 a 43 a 44 a 45 a 5 a 5 a 53 a 54 a 55 = a a a 33 a 44 a 55 a a a 33 a 45 a 54 a a a 34 a 43 a 55 + a a a 34 a 53 a 45 + a a a 43 a 35 a 54 a a a 35 a 44 a 53 a a 3 a 3 a 44 a 55 + a a 3 a 3 a 45 a 54 + a a 3 a 4 a 34 a 55 a a 3 a 4 a 35 a 54 a a 3 a 34 a 5 a 45 + a a 3 a 5 a 35 a 44 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 +a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 33 a 4 a 55 + a a 4 a 33 a 5 a 45 + a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 33 a 4 a 5 a 54 a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 4 a 5 a 34 a 53 + a a 5 a 34 a 43 a 5 a a a 33 a 44 a 55 +a a a 33 a 45 a 54 + a a a 34 a 43 a 55 a a a 34 a 53 a 45 a a a 43 a 35 a 54 + a a a 35 a 44 a 53 +a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 43 a 55 + a a 3 a 4 a 53 a 45 + a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 5 a 34 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 +a a 4 a 4 a 33 a 55 a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 54 + a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 45 +a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 5 a 5 a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 34 a 5 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 a a 4 a 3 a 43 a 55 +a a 4 a 3 a 53 a 45 + a a 4 a 33 a 4 a 55 a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 4 a 35 a 53 + a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 5 a 33 a 4 a 54 + a a 5 a 33 a 5 a 44 + a a 5 a 4 a 34 a 53 a a 5 a 34 a 43 a 5 a 3 a a 3 a 44 a 55 + a 3 a a 3 a 45 a 54 + a 3 a a 4 a 34 a 55 a 3 a a 4 a 35 a 54 a 3 a a 5 a 34 a 45 + a 3 a a 5 a 35 a 44 + a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 +a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 +a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 + a 3 a 4 a 5 a 5 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 + a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 4 a 33 a 55 + a a 4 a 4 a 35 a 53 +a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 4 a 5 a 33 a 54 a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 5 a 33 a 5 a 44 +a a 5 a 5 a 34 a 43 a 3 a 4 a 3 a 4 a 55 + a 3 a 4 a 3 a 5 a 45 + a 3 a 4 a 4 a 5 a 53 a 3 a 4 a 5 a 43 a 5 +a 3 a 3 a 5 a 4 a 54 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 5 a 4 a 4 a 53 + a 3 a 5 a 4 a 43 a 5 + a 4 a 3 a 3 a 4 a 55 a 4 a 3 a 3 a 5 a 45 a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 + a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 a 4 a 3 a 4 a 5 a 53 + a 4 a 3 a 5 a 5 a 43 +a 4 a 4 a 33 a 5 a 5 a 4 a 33 a 4 a 5 a 5 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 + a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 5 a 4 a 5 a 34 + a 3 a 4 a 5 a 4 a 53 a 3 a 5 a 4 a 5 a 43 a 4 a 5 a 4 a 33 a 5 + a 5 a 4 a 33 a 4 a Determinanter til 6 6 matriser (ikke pensum) 7 produkter, 36 med pluss og 36 med minus. Formelen er for stor til å vise den her. 4

5 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de betingelsene fra Def Jeg vil ikke gi en eksamesoppgave om å sjekke at noe er et vektorrom: det er jo kjedelig å sjekke de betingelsene! Noen eksempler kan bli forvirrende for dere. Se på oppgave 4.. Mengden der tilfredsstiller flere aksiomer til et vektorrom (ikke alle!), men nullvektoren er = (, ), ikke (, )! Jeg vil unngå slike eksempler på eksamen. Enda mer: vi skal begrense oss med følgende vektorrom:. Hovedeksemplet er n-rommet R n (Def. 3..) som består av n-tupler (n-tuples, ordered n-tuples) [a, a, a 3,..., a n ], a i R. Vi skriver dem vanligvis som kolonnevektorer a a..., a i R. a n Hvis n =, består R av et tomt tuppel [] som spiller rollen av nullvektoren: R = {} = {[]}. Hvis n 3 (særlig når n =, ) kan man bruke geometri (Ch. 3) og tegne vektorer, vektorrom, underrom osv. Vi skal se senere at alle (endelig dimensjonale) vektorrom kan beskrives som R n.. m n matriser M m n. Kan beskrives som R mn. 3. Funksjoner. Alle (evt. kontinuerlige, deriverbare) funksjoner danner et uendelig dimensjonalt vektorrom. Med det finnes mange endelig dimensjonale underrom som kan beskrives som R n. 4. Polynomer P n av grad (degree) n, dvs. funksjoner f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, a i R. Kan beskrives som R n+. Vi skal foreløbig arbeide kun med R n. Vektorrom nr. -4 vil bli betraktet senere. Det blir forklart hva beskrives som R n betyr. 4

6 5. Underrom Vi bytter Th. 4.. og Def Teoremet blir da en definisjon. Men vi forbedrer teoremet litt. I boken sies det implisitt at underrommet skal være ikke-tom (a set of one or more vectors), dvs. det skal inneholde minst én vektor. Men denne betingelsen er mye lettere å sjekke hvis vi vet hvilken vektor som er med! Vår endelig definisjon (korrigert Theorem 4..) er: Definisjon 5. La V være et vektorrom, og W V en delmengde ( subset). Vi sier at W er et underrom ( subspace) dersom: a) v, w (v, w W = v + w W ), dvs. for alle par v, w vektorer fra W er deres sum også i W. b) α, w (α R, w W = α w W ), dvs. for envher skalær α og enhver vektor w fra W er deres produkt α w også i W. c) W. Merknad 5. For å sjekke at noe er et underrom (eller ikke et underrom), er det lurt å begynne med c). For eksempel, la V = R, og W være en rett linje som ikke går gjennom origo. Da er W ikke et underrom, siden W. Merknad 5.3 Nullvektoren i c) er den samme nullvektor som rommet V har, ikke noen merkelig vektor som (, ) i oppgave 4.. Merknad 5.4 Sannsynligheten for at én av eksamensoppgavene er om å sjekke at noe er et underrom, er ikke null, men ganske liten. Det er jo morsommere å sjekke tre betingelser istedenfor ti (som i Def. 4..), men kjedelig likevel. I eksamensoppgavene fra 6, og - som jeg laget, står det noe slik: W er et underrom (du behøver ikke å bevise dette), og deretter begynner noe mer interessant: å finne dimensjonen, en basis osv. Merknad 5.5 Hvis m < n, er ikke R m et underrom i R n (det er ikke en delmengde!), men vi kan betrakte følgende underrommet V R n : a a... V = a m, a i R, R n.... Dette underrommet kan beskrives som R m. 4

7 5. De tre viktigste begrepene Begrepene er: en basis (a basis) (viktigst av alle), spennet eller utspenningsrommet til (the space spanned by) vektorer, og lineært avhengige/uavhengige (linearly dependent/independent) vektorer. Vi bytter av og til teoremer/definisjoner i boken, og endrer selve definisjonene. I definisjonene i boken snakker man om mengder {g, g,..., g k } av vektorer. Det er ikke lurt, se Remark etter Def i boka. Vi vil snakke om tupler (g, g,..., g k ) i stedet, siden rekkefølgen av vektorer er vesentlig. Vi bruker runde parenteser for å skille tupler av vektorer fra vektorer (tupler av tall). Vi vil skrive (g, g,..., g k ) V hviss (= hvis og bare hvis) g i V for alle i. 5.. Intuitive definisjoner Vi har jo en intuitiv forståelse av dimensjonen dim V til et vektorrom V (the dimension of a vector space V ). Det er klart at: dim R =, dim R =, dim R =, dim R 3 = 3,... dim R n = n. La V være et underrom i R n, n 3. Geometrisk er V enten {} (dim V = ), en rett linje som går gjennom origo (dim V = ), et plan som går gjennom origo (dim V = ) eller hele rommet R 3 (dim V = 3). La G = (g, g,..., g k ) V, være et k-tuppel av vektorer i V. Vi sier at: Definisjon 5.6 (intuitiv). G utspenner V (G spans V ) hviss V er det minste underrom som inneholder G. Vi skriver da V = span (G). V kalles da spennet til G ( the space spanned by G), se Th Det sies også at G utspenner V (G spans V, eller: the vectors g i span V ). 43

8 . Vi sier at G er lineært uavhengig ( linearly independent) hviss k = dim W der W = span (G). 3. Vi sier at G er en basis ( a basis) for V hviss G er både utspenner V og er lineært uavhengig. Eksempel 5.7 La V = {}. Det er ikke korrekt å si at V har ingen basis. Alle vektorrom har en basis! Dette rommet har en tom basis Tuplene G = (). H = (), J = (, ), K = (,, ), utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.8 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være en rett linje som går gjennom origo. Hvis g og g V, så danner en basis for V. Tuplene G = (g) H = (, g), J = (g, g), K = (g, ) g,,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.9 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være et plan som inneholder origo. Hvis g, g V, og de to vektorene ikke ligger på en rett linje, så danner en basis for V. Tuplene G = (g, g ) H = (g, g, g + g ), J = (g, g, g ), K = (g, ) g 5g,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 44

9 Eksempel 5. La V = R 3. Hvis g, g, g 3 V, og de tre vektorene ikke ligger i et plan, så danner G = (g, g, g ) en basis for V. Tuplene H = (g, g, g 3, g ), J = (g, g, g 3 6g, g ), K = (g, ) g 5g,g 3, g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 5.. Formelle definisjoner La oss først introdusere kvantorer (quantifiers), som hjelper til å formulere logiske setninger korrekt: Kvantor Forklaring i norsk Forklaring i engelsk Kommentar For alle/envher/ethvert For all/any Eksisterer det minst én/ett Exists at least one! Eksisterer det eksakt én/ett Exists exactly one! Eksisterer det høyst én/ett Exists at most one Brukes kun i dette kurset Definisjon 5. Gitt et vektorrom V og et k-tuppel G = (g, g,..., g k ), g i V. Vi sier at: a) G utspenner ( spans) V (evt. et underrom W ) dersom slik at slik at ( w V (evt. w W )) ( et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. b) G er lineært uavhengig ( linearly independent) dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. c) G er en basis ( a basis) for V dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) slik at w = α g + α g α k g k. 45

10 Vektoren [w] G = α α... α n kalles koordinatvektoren (Def. 4.4.) til w mht basisen G ( the coordinate vector of w relative to the base G). La oss diskutere definisjonene. Definisjon c) er det samme som Theorem Definisjon b) tilsvarer Def. 4.3., men er litt annerledes. Vår definisjon sier at det ikke kan eksistere to forskjellige k-tupler α for én vektor w. Ta w =. Vi kan alltid beskrive vektoren som w = = g + g g k, dvs. for nullvektoren finnes det et k-tuppel [,,..., ] R k. Det følger fra vår definisjon at det ikke eksisterer et annet k-tuppel med α = [α, α,..., α k ] R k = α g + α g α k g k. Men dette er faktisk Def. 4.3., dvs. vår definisjon er sterkere siden den gjelder alle vektorer w, ikke bare w =. Det kan enkelt bevises (vi skal ikke gjøre dette) at de to definisjonene er ekvivalente. La oss definere lineært avhengige vektorer (det motsatte til uavhengige): G er lineært avhengig dersom slik at α β, mens Igjen, hvis vi velger ( w V ) ( α = [α, α,..., α k ] & β = [β, β,..., β k ]) w = α g + α g α k g k = β g + β g β k g k. w =, α = [α, α,..., α k ], β = [,,..., ], får vi Def. 4.3., som ser sterkere ut, men er faktisk ekvivalent til vår definisjon. 46

11 Merknad 5. Hvis setningen A er sterkere enn setningen B, har negasjonene A og B den motsatte relasjonen: A er svakere B. Derfor er vår definisjon for uavhengige vektorer sterkere enn den i boken, mens definisjonen for avhengige vektorer er svakere. Men dette spiller jo ingen rolle: definisjonene A og B (og negasjonene A og B) er faktisk ekvivalente. Sammenlign nå vår definisjon a) med Theorem Teoremet sier at alle lineære kombinasjoner α g + α g α k g k, α = [α, α,..., α k ] R k, danner et underrom W i V. Hvis W = V, sies det at G utspenner hele rommet V (sammenlign igjen med vår definisjon a)). 6 Oppsummering til Ch Hvis man betrakter eksemplene i boka, ser man en bestemt resonneringsmåte:. Gitt vektorer (g, g,..., g k ) R n (evt. (g, g,..., g k, w) R n ).. Lag en vektorlikning med ukjente koeffi sienter [α, α,..., α k ]. 3. Vektorlikningen gir et lineært system med variablene α, α,..., α k. 4. Lag den utvidede matrisen A til systemet. 5. Bruker Gauss-Jordan på A. 6. Tolk resultatene. Hvis man studerer nøye de matrisene A man får i eksemplene, ser man at hver A består av kolonnevektorer g, g,..., g k (evt. g, g,..., g k, w). Teoremet nedenfor kan hjelpe å forstå (nesten) alle eksempler og oppgaver fra Ch Teorem 6. La A være en n (k + ) matrise som består av k + kolonnevektorer fra R n : A = [g, g,..., g k, w]. Vi bruker elementære radoperasjoner på denne matrisen og får en ny matrise med nye kolonnevektorer: For hvert k-tuppel [α, α,..., α k ] R k :. B = [h, h,..., h k, u]. α g + α g α k g k = α h + α h α k h k =. 47

12 . α g + α g α k g k = w α h + α h α k h k = u. 3. w span (g, g,..., g k ) u span (h, h,..., h k ). 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) utspenner R n. 5. Tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært avhengig/uavhengig hviss tuppelet (h, h,..., h k ) er det. 6. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for span (g, g,..., g k ) hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for span (h, h,..., h k ). 7. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for R n. Bevis. (ikke pensum) Anta at vi utførte s radoperasjoner med matrisen A. Dette er ekvivalent til at vi multipliserte A med s elementære matriser fra venstre: B = E s...e E A = GA der G = E s...e E er en ivertibel matrise siden elementære matriser er invertible. La H = G. Følgende skjer med kolonnevektorer: B = GA = [Gg, Gg,..., Gg k, Gw] = [h, h,..., h k, u].. Følger fra post : sett w = u =.. Hvis så er α g + α g α k g k = w, α h + α h α k h k = α Gg + α Gg α k Gg k = G (α g + α g α k g k ) = G w = u. Omvendt, hvis er α h + α h α k h k = u, α g + α g α k g k = α Hh + α Hh α k Hh k = H (α h + α h α k h k ) = H u = w. 3. w span (g, g,..., g k ) hviss w er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at u er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k ). 48

13 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss enhver vektor w R n er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at enhver vektor u R n er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k )) = R n. 5. Anta at tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært uavhengig. La Det følger at Det følger fra post at [α, α,..., α k ] [,,..., ] R n. α g + α g α k g k. α h + α h α k h k, og tuppelet (h, h,..., h k ) er lineært uavhengig. Den omvendte setningen bevises analogt. 6. Følger fra post Følger fra poster 4 og Eksempler Vi har nå en universell metode for å løse eksempler fra Ch :. Lag en matrise som består av de ivolverte kolonnevektorene. Hvis det er radvektorer som er gitt, transponer dem.. Bruk Gauss-Jordan på denne matrisen. 3. Tolk resultatet. Eksempel 6. (Ex. 4..4) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer u, v, w, w, og bruk Gauss-Jordan: G J. 7 8 Det er klart at 3 = 3 +, 49

14 mens ikke er en lineær kombinasjon av og Teorem 6.() at 6 w = 3u + v = mens w ikke er en lineær kombinasjon av u og v.,. Det følger fra Eksempel 6.3 (Ex. 4..5) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Det er klart at vektoren R 3 ikke kan beskrives som en lineær kombinasjon av,, dvs. at tuppelet ikke utspenner R 3. Det følger fra Teorem 6.(4) at tuppelet,, 3 ikke utspenner R 3 heller. Eksempel 6.4 (Ex og 4.3.7) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Man ser med én gang at = + eller + =, 5

15 dvs. er tuppelet,, lineært avhengig. Det følger fra Teorem 6.(5) at tuppelet (v, v, v 3 ) er også det, nemlig at v + v + ( ) v 3 =. Eksempel 6.5 (Ex ) Lag en 4 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 5 Kolonnevektorene i den nye matrisen er lineært uavhengige, derfor er tuppelet (v, v, v 3 ) lineært uavhengig. Eksempel 6.6 (Ex og 4.4.9) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, v og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 9 Vi ser følgenge:. Tuppelet H = danner en basis for R 3, derfor også danner en basis for R 3.. derfor =,, G = (v, v, v 3 ) + ( ) + v = v + ( ) v + v 3, og koordinatvektoren mht basisen G er [v] G =., 5

16 Den omvendte oppgaven er mye enklere: hvis [w] G = 3, så er w = ( ) =

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Lineære ligningssystem og matriser

Lineære ligningssystem og matriser Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr1 MAT-1120 Lars Kristian Henriksen UiO 21. oktober 2014 Oppgave 1 i) Minste k slik at P k kun har positive elementer er 6. Finner x* ved å laste oslo.m, for så å skrive følgende

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Fredrik Meyer Her er et løsningsforslag på Oppgave 3 og Oppgave 5 i notatet om Zorns lemma. De to første oppgavene ble gjort på plenum. Oppgave 1. Vi skal

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon: EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer