x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

Transkript

1 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes en måte å forenkle beregningene. Erstatt kolonnevektoren b med m m identitetsmatrisen I m. Bruk Gauss-Jordan på den utvidede m (m + n) matrisen. Du får en ny matrise som består av den trappeformerte à og en m m matrise C: [ ] [ ] G J A I à C. x x... x n b b... b m,. Erstatt deretter C med kolonnevektoren Cb. La oss ta det oppsummerende Eksempel.5 på nytt: Eksempel 4. La oss betrakte systemet x + 3x x 3 + x 5 = b x + 6x 5x 3 x 4 + 4x 5 3x 6 = b 5x 3 + x 4 + 5x 6 = b 3 x + 6x + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 = b 4 Den utvidede matrisen til systemet er A = 3 b b 5 5 b b 4 Ved bruk av Gauss-Jordan får vi matrisen b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3, 37

2 og fortsetter å resonnere som i Eksempet.5. La oss bruke tipset ovenfor, dvs. erstatte b med identitsmatrisen: G J Jordan. Legg merke til at vi trappeformerte bare koeffi sientmatrisen A, ikke den hele utvidede matrisen A. Erstatt endelig den høyre 4 4 delmatrisen C med kolonnevektoren Cb = og få den ønskelige matrisen b b b 3 b 4 = 3 4 5b 6b b 4 7b 3b b b + 3 b + 6 b 4 b + 5b + b 3 5b 6b b 4 7b 3b b 4 3 b 5 3 b + 6 b 4 5b b + b 3. 38

3 4. Formelen for determinanter 4.. Determinanter til n n matriser (ikke pensum) Den generelle formelen er veldig kompisert (n! produkter, n! n! med pluss og med minus): ) det A = det ([a i,j ] i,j=,,...,n = sgn (σ) a,σ() a,σ() a 3,σ(3)...a n,σ(n) σ S n der S n er mengden av alle permutasjoner (Diskret matematikk, MAT-5) av mendgen {,, 3,..., n} og sgn (σ) = { hvis σ er en like permutasjon (even permutation), hvis σ er en odde permutasjon (odd permutation). Se nedenfor formlene for n =,, 3, 4, 5, Determinanter til matriser det [ a ] = a Determinanter til matriser [ ] a a det = a a a a a a Determinanter til 3 3 matriser a a a 3 det a a a 3 = a a a 33 a a 3 a 3 a a a 33 +a a 3 a 3 +a a 3 a 3 a 3 a a 3. a 3 a 3 a Determinanter til 4 4 matriser (ikke pensum) 4 produkter, med pluss og med minus: det a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 = a a a 33 a 44 a a a 34 a 43 a a 3 a 3 a 44 + a a 3 a 4 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 33 a 4 a a a 33 a 44 + a a a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 43 a a 3 a 4 a 34 + a a 4 a 4 a 33 +a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 4 a 34 a a 4 a 3 a 43 + a a 4 a 33 a 4 a 3 a a 3 a 44 + a 3 a a 4 a 34 +a 3 a 3 a 4 a 4 a 3 a 3 a 4 a 4 + a a 3 a 4 a 43 a a 4 a 4 a 33 a 3 a 4 a 3 a 4 + a 4 a 3 a 3 a 4. 39

4 4..6 Determinanter til 5 5 matriser (ikke pensum) produkter, 6 med pluss og 6 med minus: a a a 3 a 4 a 5 a a a 3 a 4 a 5 det a 3 a 3 a 33 a 34 a 35 a 4 a 4 a 43 a 44 a 45 a 5 a 5 a 53 a 54 a 55 = a a a 33 a 44 a 55 a a a 33 a 45 a 54 a a a 34 a 43 a 55 + a a a 34 a 53 a 45 + a a a 43 a 35 a 54 a a a 35 a 44 a 53 a a 3 a 3 a 44 a 55 + a a 3 a 3 a 45 a 54 + a a 3 a 4 a 34 a 55 a a 3 a 4 a 35 a 54 a a 3 a 34 a 5 a 45 + a a 3 a 5 a 35 a 44 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 +a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 33 a 4 a 55 + a a 4 a 33 a 5 a 45 + a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 33 a 4 a 5 a 54 a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 4 a 5 a 34 a 53 + a a 5 a 34 a 43 a 5 a a a 33 a 44 a 55 +a a a 33 a 45 a 54 + a a a 34 a 43 a 55 a a a 34 a 53 a 45 a a a 43 a 35 a 54 + a a a 35 a 44 a 53 +a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 43 a 55 + a a 3 a 4 a 53 a 45 + a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 5 a 34 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 +a a 4 a 4 a 33 a 55 a a 4 a 4 a 35 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 54 + a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 4 a 33 a 5 a 45 +a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 33 a 5 a 5 a 44 a a 5 a 5 a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a 55 a a 3 a 3 a 45 a 54 a a 3 a 4 a 34 a 55 + a a 3 a 4 a 35 a 54 + a a 3 a 34 a 5 a 45 a a 3 a 5 a 35 a 44 a a 4 a 3 a 43 a 55 +a a 4 a 3 a 53 a 45 + a a 4 a 33 a 4 a 55 a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 4 a 35 a 53 + a a 4 a 43 a 5 a 35 +a a 3 a 5 a 43 a 54 a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 5 a 33 a 4 a 54 + a a 5 a 33 a 5 a 44 + a a 5 a 4 a 34 a 53 a a 5 a 34 a 43 a 5 a 3 a a 3 a 44 a 55 + a 3 a a 3 a 45 a 54 + a 3 a a 4 a 34 a 55 a 3 a a 4 a 35 a 54 a 3 a a 5 a 34 a 45 + a 3 a a 5 a 35 a 44 + a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 +a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 3 a 4 a 4 a 55 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 4 a 5 a 45 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 +a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 4 a 4 a 5 a 35 + a 3 a 4 a 5 a 5 a 34 + a a 3 a 4 a 43 a 55 a a 3 a 4 a 53 a 45 a a 3 a 5 a 43 a 54 + a a 3 a 5 a 44 a 53 a a 4 a 4 a 33 a 55 + a a 4 a 4 a 35 a 53 +a a 4 a 33 a 5 a 45 a a 4 a 5 a 43 a 35 + a a 4 a 5 a 33 a 54 a a 4 a 5 a 34 a 53 a a 5 a 33 a 5 a 44 +a a 5 a 5 a 34 a 43 a 3 a 4 a 3 a 4 a 55 + a 3 a 4 a 3 a 5 a 45 + a 3 a 4 a 4 a 5 a 53 a 3 a 4 a 5 a 43 a 5 +a 3 a 3 a 5 a 4 a 54 a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 a 3 a 5 a 4 a 4 a 53 + a 3 a 5 a 4 a 43 a 5 + a 4 a 3 a 3 a 4 a 55 a 4 a 3 a 3 a 5 a 45 a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 + a 4 a 3 a 4 a 5 a 35 a 4 a 3 a 4 a 5 a 53 + a 4 a 3 a 5 a 5 a 43 +a 4 a 4 a 33 a 5 a 5 a 4 a 33 a 4 a 5 a 5 a 3 a 3 a 4 a 5 a 54 + a 3 a 3 a 5 a 5 a 44 + a 3 a 4 a 5 a 34 a 5 a 3 a 5 a 4 a 5 a 34 + a 3 a 4 a 5 a 4 a 53 a 3 a 5 a 4 a 5 a 43 a 4 a 5 a 4 a 33 a 5 + a 5 a 4 a 33 a 4 a Determinanter til 6 6 matriser (ikke pensum) 7 produkter, 36 med pluss og 36 med minus. Formelen er for stor til å vise den her. 4

5 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de betingelsene fra Def Jeg vil ikke gi en eksamesoppgave om å sjekke at noe er et vektorrom: det er jo kjedelig å sjekke de betingelsene! Noen eksempler kan bli forvirrende for dere. Se på oppgave 4.. Mengden der tilfredsstiller flere aksiomer til et vektorrom (ikke alle!), men nullvektoren er = (, ), ikke (, )! Jeg vil unngå slike eksempler på eksamen. Enda mer: vi skal begrense oss med følgende vektorrom:. Hovedeksemplet er n-rommet R n (Def. 3..) som består av n-tupler (n-tuples, ordered n-tuples) [a, a, a 3,..., a n ], a i R. Vi skriver dem vanligvis som kolonnevektorer a a..., a i R. a n Hvis n =, består R av et tomt tuppel [] som spiller rollen av nullvektoren: R = {} = {[]}. Hvis n 3 (særlig når n =, ) kan man bruke geometri (Ch. 3) og tegne vektorer, vektorrom, underrom osv. Vi skal se senere at alle (endelig dimensjonale) vektorrom kan beskrives som R n.. m n matriser M m n. Kan beskrives som R mn. 3. Funksjoner. Alle (evt. kontinuerlige, deriverbare) funksjoner danner et uendelig dimensjonalt vektorrom. Med det finnes mange endelig dimensjonale underrom som kan beskrives som R n. 4. Polynomer P n av grad (degree) n, dvs. funksjoner f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, a i R. Kan beskrives som R n+. Vi skal foreløbig arbeide kun med R n. Vektorrom nr. -4 vil bli betraktet senere. Det blir forklart hva beskrives som R n betyr. 4

6 5. Underrom Vi bytter Th. 4.. og Def Teoremet blir da en definisjon. Men vi forbedrer teoremet litt. I boken sies det implisitt at underrommet skal være ikke-tom (a set of one or more vectors), dvs. det skal inneholde minst én vektor. Men denne betingelsen er mye lettere å sjekke hvis vi vet hvilken vektor som er med! Vår endelig definisjon (korrigert Theorem 4..) er: Definisjon 5. La V være et vektorrom, og W V en delmengde ( subset). Vi sier at W er et underrom ( subspace) dersom: a) v, w (v, w W = v + w W ), dvs. for alle par v, w vektorer fra W er deres sum også i W. b) α, w (α R, w W = α w W ), dvs. for envher skalær α og enhver vektor w fra W er deres produkt α w også i W. c) W. Merknad 5. For å sjekke at noe er et underrom (eller ikke et underrom), er det lurt å begynne med c). For eksempel, la V = R, og W være en rett linje som ikke går gjennom origo. Da er W ikke et underrom, siden W. Merknad 5.3 Nullvektoren i c) er den samme nullvektor som rommet V har, ikke noen merkelig vektor som (, ) i oppgave 4.. Merknad 5.4 Sannsynligheten for at én av eksamensoppgavene er om å sjekke at noe er et underrom, er ikke null, men ganske liten. Det er jo morsommere å sjekke tre betingelser istedenfor ti (som i Def. 4..), men kjedelig likevel. I eksamensoppgavene fra 6, og - som jeg laget, står det noe slik: W er et underrom (du behøver ikke å bevise dette), og deretter begynner noe mer interessant: å finne dimensjonen, en basis osv. Merknad 5.5 Hvis m < n, er ikke R m et underrom i R n (det er ikke en delmengde!), men vi kan betrakte følgende underrommet V R n : a a... V = a m, a i R, R n.... Dette underrommet kan beskrives som R m. 4

7 5. De tre viktigste begrepene Begrepene er: en basis (a basis) (viktigst av alle), spennet eller utspenningsrommet til (the space spanned by) vektorer, og lineært avhengige/uavhengige (linearly dependent/independent) vektorer. Vi bytter av og til teoremer/definisjoner i boken, og endrer selve definisjonene. I definisjonene i boken snakker man om mengder {g, g,..., g k } av vektorer. Det er ikke lurt, se Remark etter Def i boka. Vi vil snakke om tupler (g, g,..., g k ) i stedet, siden rekkefølgen av vektorer er vesentlig. Vi bruker runde parenteser for å skille tupler av vektorer fra vektorer (tupler av tall). Vi vil skrive (g, g,..., g k ) V hviss (= hvis og bare hvis) g i V for alle i. 5.. Intuitive definisjoner Vi har jo en intuitiv forståelse av dimensjonen dim V til et vektorrom V (the dimension of a vector space V ). Det er klart at: dim R =, dim R =, dim R =, dim R 3 = 3,... dim R n = n. La V være et underrom i R n, n 3. Geometrisk er V enten {} (dim V = ), en rett linje som går gjennom origo (dim V = ), et plan som går gjennom origo (dim V = ) eller hele rommet R 3 (dim V = 3). La G = (g, g,..., g k ) V, være et k-tuppel av vektorer i V. Vi sier at: Definisjon 5.6 (intuitiv). G utspenner V (G spans V ) hviss V er det minste underrom som inneholder G. Vi skriver da V = span (G). V kalles da spennet til G ( the space spanned by G), se Th Det sies også at G utspenner V (G spans V, eller: the vectors g i span V ). 43

8 . Vi sier at G er lineært uavhengig ( linearly independent) hviss k = dim W der W = span (G). 3. Vi sier at G er en basis ( a basis) for V hviss G er både utspenner V og er lineært uavhengig. Eksempel 5.7 La V = {}. Det er ikke korrekt å si at V har ingen basis. Alle vektorrom har en basis! Dette rommet har en tom basis Tuplene G = (). H = (), J = (, ), K = (,, ), utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.8 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være en rett linje som går gjennom origo. Hvis g og g V, så danner en basis for V. Tuplene G = (g) H = (, g), J = (g, g), K = (g, ) g,,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Eksempel 5.9 (se Ex. 4.. og Fig. 4..6) La V være et plan som inneholder origo. Hvis g, g V, og de to vektorene ikke ligger på en rett linje, så danner en basis for V. Tuplene G = (g, g ) H = (g, g, g + g ), J = (g, g, g ), K = (g, ) g 5g,g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 44

9 Eksempel 5. La V = R 3. Hvis g, g, g 3 V, og de tre vektorene ikke ligger i et plan, så danner G = (g, g, g ) en basis for V. Tuplene H = (g, g, g 3, g ), J = (g, g, g 3 6g, g ), K = (g, ) g 5g,g 3, g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 5.. Formelle definisjoner La oss først introdusere kvantorer (quantifiers), som hjelper til å formulere logiske setninger korrekt: Kvantor Forklaring i norsk Forklaring i engelsk Kommentar For alle/envher/ethvert For all/any Eksisterer det minst én/ett Exists at least one! Eksisterer det eksakt én/ett Exists exactly one! Eksisterer det høyst én/ett Exists at most one Brukes kun i dette kurset Definisjon 5. Gitt et vektorrom V og et k-tuppel G = (g, g,..., g k ), g i V. Vi sier at: a) G utspenner ( spans) V (evt. et underrom W ) dersom slik at slik at ( w V (evt. w W )) ( et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. b) G er lineært uavhengig ( linearly independent) dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) w = α g + α g α k g k. c) G er en basis ( a basis) for V dersom ( w V ) (! et k-tuppel α = [α, α,..., α k ] R k) slik at w = α g + α g α k g k. 45

10 Vektoren [w] G = α α... α n kalles koordinatvektoren (Def. 4.4.) til w mht basisen G ( the coordinate vector of w relative to the base G). La oss diskutere definisjonene. Definisjon c) er det samme som Theorem Definisjon b) tilsvarer Def. 4.3., men er litt annerledes. Vår definisjon sier at det ikke kan eksistere to forskjellige k-tupler α for én vektor w. Ta w =. Vi kan alltid beskrive vektoren som w = = g + g g k, dvs. for nullvektoren finnes det et k-tuppel [,,..., ] R k. Det følger fra vår definisjon at det ikke eksisterer et annet k-tuppel med α = [α, α,..., α k ] R k = α g + α g α k g k. Men dette er faktisk Def. 4.3., dvs. vår definisjon er sterkere siden den gjelder alle vektorer w, ikke bare w =. Det kan enkelt bevises (vi skal ikke gjøre dette) at de to definisjonene er ekvivalente. La oss definere lineært avhengige vektorer (det motsatte til uavhengige): G er lineært avhengig dersom slik at α β, mens Igjen, hvis vi velger ( w V ) ( α = [α, α,..., α k ] & β = [β, β,..., β k ]) w = α g + α g α k g k = β g + β g β k g k. w =, α = [α, α,..., α k ], β = [,,..., ], får vi Def. 4.3., som ser sterkere ut, men er faktisk ekvivalent til vår definisjon. 46

11 Merknad 5. Hvis setningen A er sterkere enn setningen B, har negasjonene A og B den motsatte relasjonen: A er svakere B. Derfor er vår definisjon for uavhengige vektorer sterkere enn den i boken, mens definisjonen for avhengige vektorer er svakere. Men dette spiller jo ingen rolle: definisjonene A og B (og negasjonene A og B) er faktisk ekvivalente. Sammenlign nå vår definisjon a) med Theorem Teoremet sier at alle lineære kombinasjoner α g + α g α k g k, α = [α, α,..., α k ] R k, danner et underrom W i V. Hvis W = V, sies det at G utspenner hele rommet V (sammenlign igjen med vår definisjon a)). 6 Oppsummering til Ch Hvis man betrakter eksemplene i boka, ser man en bestemt resonneringsmåte:. Gitt vektorer (g, g,..., g k ) R n (evt. (g, g,..., g k, w) R n ).. Lag en vektorlikning med ukjente koeffi sienter [α, α,..., α k ]. 3. Vektorlikningen gir et lineært system med variablene α, α,..., α k. 4. Lag den utvidede matrisen A til systemet. 5. Bruker Gauss-Jordan på A. 6. Tolk resultatene. Hvis man studerer nøye de matrisene A man får i eksemplene, ser man at hver A består av kolonnevektorer g, g,..., g k (evt. g, g,..., g k, w). Teoremet nedenfor kan hjelpe å forstå (nesten) alle eksempler og oppgaver fra Ch Teorem 6. La A være en n (k + ) matrise som består av k + kolonnevektorer fra R n : A = [g, g,..., g k, w]. Vi bruker elementære radoperasjoner på denne matrisen og får en ny matrise med nye kolonnevektorer: For hvert k-tuppel [α, α,..., α k ] R k :. B = [h, h,..., h k, u]. α g + α g α k g k = α h + α h α k h k =. 47

12 . α g + α g α k g k = w α h + α h α k h k = u. 3. w span (g, g,..., g k ) u span (h, h,..., h k ). 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) utspenner R n. 5. Tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært avhengig/uavhengig hviss tuppelet (h, h,..., h k ) er det. 6. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for span (g, g,..., g k ) hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for span (h, h,..., h k ). 7. Tuppelet (g, g,..., g k ) danner en basis for R n hviss tuppelet (h, h,..., h k ) danner en basis for R n. Bevis. (ikke pensum) Anta at vi utførte s radoperasjoner med matrisen A. Dette er ekvivalent til at vi multipliserte A med s elementære matriser fra venstre: B = E s...e E A = GA der G = E s...e E er en ivertibel matrise siden elementære matriser er invertible. La H = G. Følgende skjer med kolonnevektorer: B = GA = [Gg, Gg,..., Gg k, Gw] = [h, h,..., h k, u].. Følger fra post : sett w = u =.. Hvis så er α g + α g α k g k = w, α h + α h α k h k = α Gg + α Gg α k Gg k = G (α g + α g α k g k ) = G w = u. Omvendt, hvis er α h + α h α k h k = u, α g + α g α k g k = α Hh + α Hh α k Hh k = H (α h + α h α k h k ) = H u = w. 3. w span (g, g,..., g k ) hviss w er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at u er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k ). 48

13 4. Tuppelet (g, g,..., g k ) utspenner R n hviss enhver vektor w R n er en lineær kombinasjon av g i. Det følger fra post at dette er ekvivalent til at enhver vektor u R n er en lineær kombinasjon av h i, dvs. at u span (h, h,..., h k )) = R n. 5. Anta at tuppelet (g, g,..., g k ) er lineært uavhengig. La Det følger at Det følger fra post at [α, α,..., α k ] [,,..., ] R n. α g + α g α k g k. α h + α h α k h k, og tuppelet (h, h,..., h k ) er lineært uavhengig. Den omvendte setningen bevises analogt. 6. Følger fra post Følger fra poster 4 og Eksempler Vi har nå en universell metode for å løse eksempler fra Ch :. Lag en matrise som består av de ivolverte kolonnevektorene. Hvis det er radvektorer som er gitt, transponer dem.. Bruk Gauss-Jordan på denne matrisen. 3. Tolk resultatet. Eksempel 6. (Ex. 4..4) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer u, v, w, w, og bruk Gauss-Jordan: G J. 7 8 Det er klart at 3 = 3 +, 49

14 mens ikke er en lineær kombinasjon av og Teorem 6.() at 6 w = 3u + v = mens w ikke er en lineær kombinasjon av u og v.,. Det følger fra Eksempel 6.3 (Ex. 4..5) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Det er klart at vektoren R 3 ikke kan beskrives som en lineær kombinasjon av,, dvs. at tuppelet ikke utspenner R 3. Det følger fra Teorem 6.(4) at tuppelet,, 3 ikke utspenner R 3 heller. Eksempel 6.4 (Ex og 4.3.7) Lag en 3 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 3 Man ser med én gang at = + eller + =, 5

15 dvs. er tuppelet,, lineært avhengig. Det følger fra Teorem 6.(5) at tuppelet (v, v, v 3 ) er også det, nemlig at v + v + ( ) v 3 =. Eksempel 6.5 (Ex ) Lag en 4 3 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 5 Kolonnevektorene i den nye matrisen er lineært uavhengige, derfor er tuppelet (v, v, v 3 ) lineært uavhengig. Eksempel 6.6 (Ex og 4.4.9) Lag en 3 4 matrise som består av kolonnevektorer v, v, v 3, v og bruk Gauss-Jordan: G J. 4 9 Vi ser følgenge:. Tuppelet H = danner en basis for R 3, derfor også danner en basis for R 3.. derfor =,, G = (v, v, v 3 ) + ( ) + v = v + ( ) v + v 3, og koordinatvektoren mht basisen G er [v] G =., 5

16 Den omvendte oppgaven er mye enklere: hvis [w] G = 3, så er w = ( ) =