Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Lineære likningssystemer, vektorer og matriser"

Transkript

1 Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO

2 Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om de fleste av dere ikke skal ta så mange flere matematikk-kurs enn dette, er det viktig at dere føler dere som matematikkstudenter dette semesteret. Emnebeskrivelsen for MAT00 er som følger: Kort om emnet: I dette emnet står løsningsmetoder og studie av løsninger av 3 typer likninger i fokus. Emnet gir en innføring i følgende 3 hovedtemaer: ) Lineære likningssystemer, vektorer og matriser (herunder Gauss- Jordan eliminasjon, matriseoperasjoner, determinanter, egenverdier og egenvektorer). 2) Differenslikninger (herunder følger, grenseverdier, komplekse tall, enkel grafteori, trær, nettverk og boolsk algebra). 3) Differensiallikninger og modellering (herunder derivasjon, integrasjon, eksponential-, logaritme-, og trigonometriske funksjoner). Hva lærer du? Emnet gir deg en matematisk verktøykasse som du vil ha bruk for i videre realfagsstudier som ikke forutsetter full fordypning i matematikk fra videregående skole. Målet er å gi deg en forståelse av hvordan visse typer problemstillinger kan modelleres og lære deg å finne løsninger på problemene. Problemstillingene hentes fra relevante fagområder, som f.eks. biologi, informatikk og kjemi. Vi håper at det nye kurset virkelig vil gi deg en matematisk verktøykasse, og at du vil synes det er spennende og interessant. Til kurset er det skrevet en trilogi bestående av 3 kompendier som følger de 3 hovedtemaene. Utgangspunktet for stoffvalg og presentasjon har vært 2MX eller 2MY og 3MY fra videregående skole, samt tidligere eksamensoppgaver i kurs tilsvarende MAT00 ved UiO. ii

3 Dette kompendiet er skrevet til bruk i undervisningen av det første temaet Lineære likningssystemer, vektorer og matriser, og vi går rett på med Lineære likningssystemer som første kapittel. Deretter innfører vi matriser og ser på hvordan de kan brukes for å løse lineære likningssystemer. Vi ser så på anvendelser, spesielt problemer av typen som faller inn under såkalt populasjonsdynamikk. Her er det mange morsomme problemer! Matematikken du har som bakgrunn fra videregående vil nå bakes inn i en større sammenheng, og vi vil minne om dette stoffet etterhvert som vi trenger det. Noe av denne matematikken vil vi også prøve og ta litt ekstra grundig på plenum og grupper, men sørg for å repetere stoff fra videregående så fort det dukker opp ting du føler du ikke husker godt nok! Underveis i teksten gis det mange eksempler, og bakerst vil du finne oppgavesamling og tidligere eksamensoppgaver. Ta gjerne en titt på dem med en gang, så ser du hva slags problemer vi skal ende opp med å løse. Oppgavene varierer i vanskelighetsgrad, og noen er markert Ekstra vanskelig. Det er veldig viktig at du prøver å løse alle oppgavene! Husk at det er nettopp da du virkelig ser hva du har forstått. Hjelp vil du få underveis av forelesere, plenumsregnere, gruppelærere og orakler. Lykke til med kurset! Tusen takk til mine medspillere Erik Bédos, Arne B. Sletsjøe, Elisabeth Seland, Jørgen Myre og Xiang He Kong for kontinuerlige innspill og kommentarer til dette heftet. Også en stor takk til Dina Haraldsson for hjelp med tidligere eksamensoppgaver, Kari T. Hylland for hjelp med treningsoppgaver, Magnus Dehli Vigeland for å ha lært meg xfig på en dag, slik at det ble noen figurer i kompendiet også, og til Helge Flakstad for å ha gitt meg bøker og informasjon om pensum fra videregående. Send gjerne trykkfeil og kommentarer til Blindern, juni 2008 Inger Christin Borge iii

4 Innhold Notasjon vi Lineære likningssystemer. Lineære likninger Vektorer og n-tupler Løsningsmengde og parameterfremstilling Lineære likningssystemer Løsningsmetoder Geometriske løsninger Et viktig resultat Nå skal du kunne Matriser 2 2. Definisjoner og regneoperasjoner Regneregler og noen spesielle matriser Anvendelse: Binære matriser og søkevektorer Determinanten til en matrise Matriselikninger Nå skal du kunne Lineære likningssystemer og matriser Den utvidede matrisen til et likningssystem Et viktig bevis Radoperasjoner Redusert trappeform Gauss-Jordan-eliminasjon Et nyttig resultat Cramers regel iv

5 3.8 Nå skal du kunne Anvendelser av lineære likningssystemer Populasjonsdynamikk Egenverdier og egenvektorer Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? Nå skal du kunne A Oppgaver 80 A. Kapittel A.2 Kapittel A.3 Kapittel A.4 Kapittel B Tidligere eksamensoppgaver 96 C Fasit og løsningsforslag 7 C. Kapittel C.2 Kapittel C.3 Kapittel C.4 Kapittel C.5 Tidligere eksamensoppgaver D Støtte- og tilleggslitteratur 42 E Norsk-engelsk ordliste 43 Register 47 v

6 Notasjon {} mengde element i N de naturlige tallene,2,3,... Z de hele tallene..., 2,, 0,, 2,... Q de rasjonale tallene (brøker) R de reelle tallene (tallinjen) med ordet tall menes et reelt tall R 2 det reelle planet R 3 det reelle rommet R n det n-dimensjonale rommet avslutter et Bevis avslutter et Eksempel eller en Bemerkning vi

7 Kapittel Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 2.. Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så må løses. I lineær algebra studerer vi spesielt systemer av lineære likninger og deres løsninger. For eksempel kan problemet med å finne et tall slik at π ganger tallet er 2 gjøres om til en likning ved å kalle tallet vi vil finne for x. Problemet blir nå å finne x der x oppfyller likningen πx = 2. I likningsspråket kalles x en variabel (den ukjente i problemet vi vil løse). Vi må også kunne behandle likninger med flere variable, eller problemer med flere ukjente om man vil: For eksempel kan vi tenke på fire tall slik at summen av dem er 2. Hvis vi kaller de ukjente tallene for x, x 2, x 3 og x 4, blir problemet vårt gjort om til likningen x + x 2 + x 3 + x 4 = 2. Begge likningene vi har sett til nå er eksempler på lineære likninger. Definisjon. La n N. En (reell) lineær likning i n variable (eller ukjente) x, x 2,..., x n er en likning på formen a x + a 2 x a n x n = b

8 der a, a 2,..., a n og b er (reelle) konstanter. Tallene a, a 2,..., a n kalles koeffisientene til likningen. Matematikk er den mest eksakte vitenskapen vi har. Og uten definisjonene klarer vi oss ikke lenge. De sier nemlig nøyaktig hva vi mener med de ulike begrepene vi jobber med. For at vi skal kalle en likning lineær, kan vi kun ha ledd der vi ganger variablene med konstanter (også kalt skalarer) og i tillegg har vi lov til å ta summer av slike ledd. Lineære likninger inneholder dermed ikke produkter eller røtter av variablene, og variablene er heller ikke argumenter for for eksempel trigonometriske, logaritmiske eller eksponentiale funksjoner. Dette vil videre si at problemer der for eksempel ordet produkt dukker opp, slik som Finn to tall slik at produktet er 5 ikke vil gi opphav til lineære likninger. Areal- og volum-problemer er andre eksempler som involverer produkter av de ukjente. Eksempel.2 Likningen 5x + x 2 3x 3 = 0 er en lineær likning i x, x 2 og x 3 fordi den er på formen a x +a 2 x 2 +a 3 x 3 = b der a, a 2, a 3 og b er reelle konstanter (a = 5, a 2 =, a 3 = 3 og b = 0). Likningen 4x x 2 + 4x 3 + x 3 4 = x er ikke lineær, siden vi har leddet x 3 4 som ikke er på formen a 4 x 4 for en reell konstant a 4..2 Vektorer og n-tupler Før vi går løs på løsninger og anvendelser av lineære likninger, skal vi definere noen begreper. Definisjon.3 La n være et naturlig tall. Et n-tuppel, skrevet x = (x,..., x n ), er n tall ordnet i en bestemt rekkefølge. 2

9 Eksempel.4 Tallene, 2, 3 og 4 kan danne flere 4-tupler. Når vi skriver 4-tuppelet (, 3, 2, 4) har vi bestemt at er det første tallet, 3 er det andre, 2 det tredje og 4 det fjerde tallet. Et -tuppel (x ) gir oss et tall, dvs. geometrisk får vi et punkt på tallinjen R. Et 2-tuppel (x, x 2 ) gir oss et punkt i planet (skrives R 2 ), som er 2- dimensjonalt. Matematikere er ikke redde for å generalisere, og snakker gjerne om det n-dimensjonale rommet R n. Det er mengden av alle n-tupler, dvs. R n = {(x,..., x n ): x i R} som leses R i n-te er lik mengden av n-tupler x opp til x n der x i -ene er elementer i R. Vi må kunne regne med n-tupler, og addisjon av n-tupler og multiplikasjon av n-tupler med konstanter (de lineære regneoperasjonene) skal gi oss nye n-tupler. Det bringer oss til følgende definisjon. Definisjon.5 La x = (x,..., x n ) og y = (y,..., y n ) være to n-tupler og la a være en konstant i R. Vi definerer x + y = (x + y,..., x n + y n ); ax = (ax,..., ax n ). Vi kan ikke addere et m-tuppel og et n-tuppel hvis m n. Eksempel.6 La x = (5, 3, 8, 2) og y = (7, 6,, 0). Da er x y 2 = (5, 3, 8, 2) (7, 6,, 0) 2 = (5, 3, 8, 2) + ( 7, 3,, 0) 2 2 = ( 3 2, 0, 5 2, 2), som er et nytt 4-tuppel. Vi har bruk for å kunne multiplisere n-tupler også. Det er flere måter å gjøre dette på, og vi skal se på følgende produkt: 3

10 Definisjon.7 La x = (x,..., x n ) og y = (y,..., y n ) være to n-tupler. Vi definerer skalarproduktet av x og y som x y = x y + + x n y n. Vi ser at skalarproduktet ikke gir oss noe nytt n-tuppel, men et tall (en skalar, derav navnet). Eksempel.8 La x = (5, 3, 8, 2) og y = (7, 6,, 0). Da er x y = (5, 3, 8, 2) (7, 6,, 0) = ( 2) 0 = = 6, så skalarproduktet av to 4-tupler gir oss et -tuppel (ett tall) i R. For dere som har møtt vektorer før, vil nok regningene med n-tupler virke litt kjente. I 2MX lærte dere å regne med vektorer i planet, og at en vektor er et rett linjestykke med en retning. En vektor i planet (R 2 ) kan sees på som et 2-tuppel. Forklaring: En vektor i R 2 skrives gjerne x = x, x 2, mens 2-tuppelet skrives x = (x, x 2 ). Geometrisk kan 2-tuppelet x tegnes som et punkt i R 2. Dette punktet gir oss en vektor x ved at vi tegner linjestykket fra origo ut til punktet x og følger retningen fra origo langs linjestykket. Omvendt, hvis vi har en vektor x i planet, parallellforskyver vi linjestykket slik at startpunktet på linjestykket i forhold til retningen blir liggende i origo. Da vil endepunktet på linjestykket gi oss punktet x. Her er en figur til forklaringen: x x = (x, x 2 ) 2 x 0 x 4

11 Ved å bruke analogien til 2-tupler vil vi tenke på n-tupler som vektorer i R n. Noen ganger er det mest hensiktsmessig å bruke ordet tuppel (når vi fokuserer på mengder av ordnede tall), mens andre ganger (faktisk veldig ofte) vil ordet vektor dukke opp. Vi skal møte søkevektorer, svarvektorer, egenvektorer, kolonnevektorer og radvektorer. De kunne godt hatt navn søketuppel osv. Vi tar også med at vektoren (eventuelt tuppelet) 0 = (0,..., 0) kalles nullvektoren..3 Løsningsmengde og parameterfremstilling Hvordan løser vi lineære likninger? Hvordan finner vi x i likningen πx = 2? Den som leter, den finner, og blant tallene våre finner vi at x = 2 passer inn π i likningen. Det finnes ingen andre tall som oppfyller likningen. Altså var det tallet 2 vi tenkte på i starten av kapittelet. Dette er forøvrig diameteren i π en sirkel med omkrets 2. Hva med løsningen av likningen x + x 2 + x 3 + x 4 = 2? (.) La oss først definerer hva vi mener med en løsning av en lineær likning: Definisjon.9 En løsning av en lineær likning a x + a 2 x a n x n = b er et n-tuppel (s, s 2,..., s n ) slik at likningen er oppfylt når vi setter x = s, x 2 = s 2,..., x n = s n. Mengden av alle løsninger kalles løsningsmengden, eller den generelle løsningen, til likningen. Eksempel.0 For likningen πx = 2 er løsningsmengden { 2 } siden likningen er oppfylt når vi setter x = 2 og det er den eneste løsningen. π π 5

12 Bemerkning. Bruken av {}-parentesene i eksemplet skyldes at vi snakker om en løsningsmengde. Når vi kun har én løsning, kan de gjerne droppes. Hva med de fire tallene hvorav summen er 2 i likning (.)? Her har vi flere løsninger. For eksempel er 4-tuppelet (,,, 9) en løsning, siden likningen er oppfylt når vi setter x =, x 2 =, x 3 = og x 4 = 9. Videre har vi løsninger ( 5, 5,, ), (, 3, 7, 3) osv. Vi kan faktisk fortsette i det 2 2 uendelige med å finne løsninger. Hvordan kan vi presentere mengden av alle disse løsningene? La oss bestemme oss for at tallet x er s. Vi tenker på s som et symbol som kan anta alle verdier i R. Dette symbolet kalles en parameter. På denne måten kvitter vi oss med variabelen x og har redusert likningen (.) til x 2 + x 3 + x 4 = 2 s. Nå leter vi etter tre tall slik at summen av dem er 2 s. Hvis for eksempel s = 3, så er (,, 7), (3, 3, 3) og ( 5, 7, 3) eksempler på løsninger. Vi har 2 2 fortsatt ikke sagt hvordan vi kan holde orden på alle disse løsningene. For det første skal vi jo finne x 2, x 3 og x 4. I tillegg kan vi velge hvilken verdi vi vil for s. Vi innfører en parameter for x 2 også, så kvitter vi oss med en variabel til. La parameteren s 2 erstatte x 2. Da har vi redusert likning (.) videre til x 3 + x 4 = 2 s s 2. Fortsatt har vi samme problem som ovenfor: vi kan velge hvilke verdier vi vil for s og s 2, og vi har fortsatt to variable igjen i likningen. Siden vi har to variable igjen, er det ikke usannsynlig at det hjelper å kvitte seg med enda en av dem. Så vi gir oss ikke, og innfører parameteren s 3 for x 3. Dermed er likningen (.) redusert til x 4 = 2 s s 2 s 3. Vi kan fortsatt velge hvilke verdier vi vil for de tre parameterne, men når vi har gjort det, vet vi også hva x 4 er, dvs. vi har ikke noen ukjente igjen, men 6

13 bare parametere. Dermed kan vi presentere løsningsmengden til likningen (.): {(s, s 2, s 3, 2 s s 2 s 3 ): s, s 2, s 3 R}. (.2) Definisjon.2 Denne måten å presentere løsningsmengden til en likning på kalles en parameterfremstilling av løsningsmengden. Alternativt skriver vi at løsningsmengden (.2) består av alle (x, x 2, x 3, x 4 ) slik at (x, x 2, x 3, x 4 ) = (s, s 2, s 3, 2 s s 2 s 3 ) der s, s 2, s 3 R. Vi får altså alle løsninger av (.) ved å velge forskjellige verdier for s, s 2 og s 3. Dette gir uendelig mange løsninger. For eksempel kan vi velge s =, s 2 =, s 3 =, som gir oss 4-tuplet (,,, 9). Generelt ser vi at alle 4-tupler (s, s 2, s 3, 2 s s 2 s 3 ) passer inn i likningen x +x 2 +x 3 +x 4 = 2 siden s + s 2 + s 3 + (2 s s 2 s 3 ) = 2. Bemerkning.3 En parameter er også en variabel, men den varierer innenfor hvert enkelt problem vi studerer. Det er altså en forskjell på en variabel og en parameter annet enn at den ene heter x og den andre heter s. Vi kan tenke på en parameter som en variabel som har fått en spesiell rolle. Vi vil treffe både varible og parameter utover i kurset, og vil påpeke parameternes rolle i de ulike problemene vi studerer. Eksempel.4 For å finne løsningsmengden til likningen 5x + 3x 2 = 5, løser vi ut for en av variablene, og erstatter denne med en parameter (vi har en likning med to ukjente, og har ikke nok informasjon til å finne bare en løsning): x = x 2 7

14 Ved å sette x 2 = s 2 får vi at løsningsmengden er {(3 3 5 s 2, s 2 ): s 2 R}. (.3) Vi ser at vi startet med en likning med to variable (der vi bruker x-navn ), men for å presentere løsningen av likningen trenger vi bare én parameter (til dette bruker vi s-navn ). Bemerkning.5 Det fins uendelig mange parameterfremstillinger for én og samme mengde dersom mengden er uendelig stor. Eksempel.6 I Eksempel.4 kan vi løse ut for x 2 istedenfor x. Da får vi x 2 = x. Vi setter x = s. En annen parameterfremstilling av løsningsmengden blir da {(s, s ): s R}. (.4) Hvis vi har veldig lyst, kan vi lage andre parameterfremstillinger ved å multiplisere parameteren med en konstant, og dermed få uendelig mange parameterfremstillinger. For eksempel er en tredje mulighet å multiplisere s i (.4) med 3, dvs. sette x = 3s. Da får vi {(3s, 5 5s ): s R}. (.5) Parameterfremstillingene (.3), (.4) og (.5) er alle eksempler på fremstillinger av samme mengde. Hvis det skulle spille noen rolle, hvilken skal vi velge? Vi vet at en mengde av 2-tupler gir oss punkter i planet R 2. Hvis vi fremstiller løsningsmengden geometrisk, får vi i dette tilfellet en linje (uendelig mange punkter) i (x, x 2 )-planet med stigningstall 5 og skjæringspunkt 3 med x 2 -aksen i punktet (0, 5). For å få frem dette tydeligst mulig, ser vi at parameterfremstillingen (.4) kan være mest hensiktsmessig siden her er x- koordinaten en parameter, og likningen for linja leses av i y-koordinaten uten noe mer regning. 8

15 Vi minner om at dere har hatt om parameterfremstillinger av rette linjer i 2MX..4 Lineære likningssystemer Akkurat som vi kan ha mange ukjente størrelser i problemet vårt, kan vi også ha flere opplysninger som gir oss ulike sammenhenger mellom de ukjente størrelsene. For eksempel kan vi ha fire tall slik at summen er 2, og i tillegg får vi vite at det ene tallet er dobbelt så stort som summen av de andre tre tallene. Dette kan vi gjøre om til likningene { L : x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 (.6) L 2 : x = 2(x 2 + x 3 + x 4 ). Jo flere ekstra opplysninger vi har, jo flere likninger skal variablene oppfylle. Vi får dermed det vi kaller et likningssystem, og vi bruker en {-parentes for å samle likningene i systemet. Definisjon.7 En endelig mengde av lineære likninger i variablene x, x 2,..., x n kalles et lineært likningssystem i n variable. En løsning av et lineært likningssystem er et n-tuppel (s, s 2,..., s n ) slik at alle likningene i systemet er oppfylt når vi setter x = s, x 2 = s 2,..., x n = s n. Mengden av alle løsninger kalles løsningsmengden, eller den generelle løsningen, til likningssystemet. Likningssystemene kan bli ganske kompliserte når vi har mange variable som avhenger av hverandre. Her er et eksempel: Eksempel.8 Vi studerer trafikken i et veinettverk mellom to punkter A og B, se figur nedenfor (en bydel i London kanskje?). Hver time kommer k biler inn til punkt A og etter hvert kommer alle de k bilene ut i punkt B. Bydelen har enveiskjørte gater, slik pilene viser, og mellom punktene A og B har vi 8 veibiter, delt opp av 3 knutepunkt C, D og E. La x i være trafikkstrømmen (målt i antall biler per time) langs veibit i. 9

16 k A x x 2 D E x 5 x 8 B k x 3 x 4 x 7 C x 6 Vi kan nå sette opp lineære likninger som sier hvordan trafikken på de ulike veibitene avhenger av hverandre (siden dette er et problem som bare vil involvere summering av variable). Sammenhengene mellom veibitene er gitt av knutepunktene, og siden det er 5 knutepunkt, får vi 5 likninger: A : B : x + x 2 + x 3 = k x 6 + x 7 + x 8 = k C : x 3 = x 4 + x 6 D : x 4 = x 5 + x 7 E : x + x 2 + x 5 = x 8 Vi ønsker å løse dette systemet, og vi skal straks se på løsningsmetoder, både i dette og i det neste kapittelet. Du skal løse dette systemet i en av oppgavene. Kanskje bør man lage et knutepunkt til for at trafikken skal flyte bedre? Vi tar med en liten bemerkning om begrepet parameter. Størrelsen k i dette problemet kalles også en parameter, siden den har en spesiell rolle og vil variere innenfor dette problemet (den vil for eksempel variere alt etter hvilken tid på døgnet det er snakk om). Vi kan fort forestille oss at trafikken i London kan gi store likningssystemer. Eller hva med verdensøkonomien? Da kan man også sette opp kompliserte (men ofte lineære) avhengighetsforhold mellom sektorer som jordbruk, fiskeindustri, oljeindustri osv. Les (for eksempel på nettet) om Wassily Leontief, som fikk Nobelprisen i økonomi i 973. Han drev nettopp med lineære sammenhenger innenfor store økonomiske enheter. I denne sammenhengen må vi nevne at den første Nobelprisen i økonomi (969) gikk til nordmannen Ragnar Frisch (delt med Jan Tinbergen fra Ned- 0

17 erland), som også studerte likningssystemer, av lineære likninger og differensog differensiallikninger (de tre typene likninger vi lærer om i MAT00!). På 930-tallet ble disse studiene brukt til å planlegge den økonomiske politikken i Norge. Frisch har vært meget viktig for norsk økonomi..5 Løsningsmetoder Vi skal løse likningssystemet (.6), og se hvilken forskjell den ekstra opplysningen (likning L 2 ) gir oss i forhold til løsningen av likning (.). Vi minner om addisjonsmetoden og substitusjonsmetoden siden tankegangen her blir viktig videre: Addisjonsmetoden (Også kalt eliminasjonsmetoden.) Her eliminerer vi en eller flere av variablene i likningssystemet ved å multiplisere en av likningene i systemet med en passende konstant og legge dette multiplumet til en eller flere av de andre likningene (vi adderer likninger). Vi har systemet (.6): { L : x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 L 2 : x 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 Vi kan nå velge hvilken variabel vi vil prøve å eliminere først, så det gjelder å få et overblikk over systemet som skal løses, og å være lur. Hvis vi legger 2 L til L 2, får vi 2 L : 2x + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 24 L 2 : x 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 3x = 24 Dermed har vi eliminert tre av variablene, og sitter igjen med én likning i én variabel. Løsningen av likningen 3x = 24 er x = 8. Altså har vi funnet at tallet som er dobbelt så stort som summen av de tre andre tallene må være 8. Hva med de tre andre tallene? Vi har funnet at x må være 8, så

18 likningssystemet er nå redusert til { L : x 2 + x 3 + x 4 = 4 L 2 : 2x 2 2x 3 2x 4 = 8. La oss fortsette med addisjonsmetoden. Hvis vi legger 2 L til L 2, får vi utsagnet 0 = 0, noe som utvilsomt er riktig. Utsagnet 0 = 0 forteller oss at vi i realiteten kun har én likning, siden begge likningene sier det samme. Vi trenger altså ikke den ekstra opplysningen L 2 gir oss, for den gir oss akkurat samme informasjon som likning L. Dermed vil likningssystemet vårt bare bestå av L : x 2 + x 3 + x 4 = 4, dvs. vi har tre tall slik at summen er 4. Da har vi redusert det opprinnelige problemet til et problem av samme type som likning (.), og igjen innfører vi parametere for to av variablene. Dermed blir løsningen av likningssystemet (.6) (x, x 2, x 3, x 4 ) = (8, s 2, s 3, 4 s 2 s 3 ) der s 2, s 3 R. Vi har fortsatt uendelig mange løsninger, siden vi kan velge hvilke verdier vi vil for både s 2 og s 3 (vi kunne godt ha kalt parameterne for s og s 2 eller noe annet, men det er oversiktlig å følge indekseringen i variablene). Den ekstra opplysningen vi fikk (likning L 2 ) har gjort at vi ikke har så stor frihet når det gjelder å finne løsninger. For eksempel er (,,, 9) ikke lenger en løsning, mens (8, 2,, ) er en løsning (ved å velge s 2 = 2 og s 3 = ). Systemet vi ser på har altså løsninger. Vi sier at likningssystemet er konsistent, dvs. at det gir mening. 2

19 Definisjon.9 Et lineært likningssystem kalles konsistent hvis det har minst én løsning. Et lineært system som ikke har noen løsninger kalles inkonsistent. Hadde det for eksempel stått 5 istedenfor 4 i L, hadde vi fått utsagnet 0 = 2, som er galt. Da ville systemet vært inkonsistent, dvs. systemet har ingen løsninger. Det betyr at hvis vi innfører en tilleggsopplysning som sier at summen av de andre tre tallene er 5, så har vi ikke noen løsninger av problemet. Substitusjonsmetoden Når vi bruker denne metoden løser vi ut for en av variablene i en av likningene og bytter ut (substituerer) denne variabelen med uttrykket vi får i alle de andre likningene. La oss se på systemet (.6) igjen: { L : x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 L 2 : x 2x 2 2x 3 2x 4 = 0 Vi kan velge hvilken variabel vi ønsker å bytte ut. Det er forøvrig her det matematiske talentet gjerne kommer inn (så lenge vi har en oppskrift går ting greit, men når vi skal ta valg er det noen valg som er bedre enn andre, da de ofte er tidsbesparende og/eller elegante!). Vi velger å bruke L 2, som gir x = 2x 2 +2x 3 +2x 4. Bytter vi ut x i L, får vi likningen 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 2, som er det samme som likningen x 2 +x 3 +x 4 = 4. Vi kan videre sette inn 4 for x 2 +x 3 +x 4 i L, og får at x = 8. Dermed har vi redusert likningssystemet til akkurat de samme likningene som ved å bruke addisjonsmetoden, og vi får (naturligvis) samme svar. Vi ser at så lenge vi ikke har nok informasjon til å bestemme en nøyaktig løsning på problemet vårt, for eksempel når vi har flere variable enn vi har likninger, må vi innføre parametere for å presentere den generelle løsningen til problemet. 3

20 Bemerkning.20 Hvis vi reduserer systemet vårt til én likning med n variable, må vi innføre n parametere. Disse kan vi fritt velge verdier for, og når vi har gjort det, er verdien til den siste variabelen bestemt. Hvilke av de n variablene som skal erstattes med en parameter, kan vi velge fritt. Dessuten kan vi manipulere med parameterne alt etter hvordan vi ønsker at løsningene skal se ut (lovlige manipuleringer er å multiplisere med konstanter og summere parametere). La oss løse et likningssystem med tre likninger og tre ukjente (der vi forøvrig ikke kommer til å trenge en parameter i løsningene fordi vi får nøyaktig én løsning): Eksempel.2 Vi vil løse systemet L : x + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 2x + 4x 2 3x 3 = L 3 : 3x + 6x 2 5x 3 = 0. Strategien er å bruke en av likningene til å eliminere en variabel fra de to andre likningene (eliminere samme variabel fra begge), slik at vi får frem et system med to likninger og to ukjente. Vi velger å bruke L til å eliminere x fra L 2 og L 3. Det kan enten gjøres ved substitusjonsmetoden ved å erstatte x med 9 x 2 2x 3, eller ved addisjonsmetoden der vi legger 2 L til L 2 og 3 L til L 3. Vi velger den siste metoden, og får systemet: L : x + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 2x 2 7x 3 = 7 L 3 : 3x 2 x 3 = 27 Dette likningssystemet vil ha de samme løsningene som vårt opprinnelige system (vi har bare brukt likningene som systemet oppfyller til å forenkle systemet). Nå utgjør L 2 og L 3 et system av to likninger med to ukjente, og vi bruker addisjonsmetoden (eller substitusjonsmetoden) til å eliminere x 2. Vi utfører 4

21 operasjonene 3 L 2 og 2 L 3: L : x + x 2 + 2x 3 = 9 L 2 : 6x 2 + 2x 3 = 5 L 3 : 6x 2 22x 3 = 54 (Vi har fortsatt ikke forandret på løsningsmengden ved å gjøre dette.) Vi legger så sammen L 2 og L 3 og får x 3 = 3, dvs. x 3 = 3. Så kan vi nøste oss bakover: Vi setter inn x 3 = 3 i for eksempel L 3 : 6x 2 22x 3 = 54 og får 6x 2 = , dvs. x 2 = 2. Vi setter så inn x 2 = 2 og x 3 = 3 i L : x + x 2 + 2x 3 = 9, og får x = 9 2 6, dvs. x =. Likningssystemet vi startet med har altså nøyaktig én løsning, nemlig (x, x 2, x 3 ) = (, 2, 3). Vi skal snart se hvordan vi kan løse større likningssystemer ved å sette addisjonsmetoden inn i et større maskineri. Bemerkning.22 Merk at vi har brukt x, x 2, x 3,... x n som navn på variablene våre, men så lenge vi kun har systemer med opptil tre (eventuelt fire) variable kaller vi de ofte x, y og z (og eventuelt w). 5

22 .6 Geometriske løsninger Vi har sett hvordan vi kan løse lineære likningssystemer algebraisk. En løsning er et n-tuppel, der n er antall variable i systemet. Vi vet at et -tuppel kan tolkes som et punkt på tallinjen og et 2-tuppel som et punkt i planet. Et 3-tuppel gir oss et punkt i rommet R 3. På denne måten kan vi visualisere løsningene, og se for oss hva som skjer. La oss se litt nærmere på hvordan likningssystemene kan løses geometrisk. Bemerkning.23 Vår geometriske visualiseringsevne stopper etter tre dimensjoner (rommet R 3 ). Vi kan derfor kun se for oss løsningsmengden til systemer med opptil tre variable. Hver likning i et lineært likningssystem med opptil tre variable representerer en lineær figur i rommet. Lineære figurer er punkter, linjer og plan. (Tegn gjerne tegninger mens du leser videre, og vær stø på hånden hvis du ikke har linjal. Vi skal ikke ha noen krumning på figurene.) Én likning med én variabel (f.eks. πx = 2) har som geometrisk løsningsmengde ett punkt på talllinjen R (dvs. én løsning). Én likning med to variable (f.eks. 5x + 3y = 5) har en linje i R 2 (dvs. uendelig mange løsninger) som sin geometriske løsningsmengde. Den generelle likningen for en linje skrives ofte på formen y = ax + b (som vi får ved å flytte y alene på venstresiden), der a er stigningstallet til linja, og b er y-verdien der linja skjærer y-aksen. Én likning med tre variable (f.eks. 4x+2y+z = 0) har som geometrisk løsningsmengde et plan i rommet R 3 (dvs. uendelig mange løsninger). Den generelle likningen for et plan er ax + by + cz = d der a, b, c og d er reelle tall (og der a, b, c ikke alle er 0). (Prøv å overbevise deg om dette ved å sette hver av variablene lik 0, for eksempel x = 0 gir by + cz = d, som er en linje i (y, z)-planet. På den måten, 6

23 ved å sette sammen mange linjer, får vi et plan. Vi skal imidlertid ikke studere plan nærmere her, for oss er det viktigste å vite at lineære likninger i tre variable gir oss plan.) Og hvis du lurer: Én likning med n variable der n 4 (f.eks. 3x + 4x 2 7x 3 + 8x 4 x 5 = ) gir oss et (n )-dimensjonalt plan (vi trenger n parametere) i det n-dimensjonale rommet R n. Men det kan vi altså ikke forestille oss. Imidlertid får vi fortsatt uendelig mange løsninger. Når vi skal løse et likningssystem, skal vi oppfylle flere likninger på en gang. Det betyr geometrisk å finne alle skjæringspunktene mellom de lineære figurene likningene representerer. To likninger med to variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom to linjer. Vi har tre alternativer: linjene er parallelle (ingen løsning) linjene skjærer hverandre i ett punkt (én løsning) linjene faller sammen (uendelig mange løsninger) Illustrasjon: Tre likninger med to variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom tre linjer. Se Oppgave 3. Fire likninger med to variable, fem likninger med to variable, osv. (Utforsk!) To likninger med tre variable: Geometrisk løsningsmengde er skjæringspunktene mellom to plan. Igjen har vi tre alternativer: 7

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

John Haugan. Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra

John Haugan. Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra John Haugan Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra Studieprogram Energi og miljø i bygg, 25-26 2 John Haugan Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra Studieprogram Energi og miljø i bygg,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:

Husk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter: Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller

Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig

Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer