MA1201/MA6201 Høsten 2016
|
|
- Ranveig Hoff
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til i denne oppgaven A Vi antar at A er en m n-matrise b) Vi vet fra teorem 46, s 64, at dim N(A) + dim R(A) n, og videre at i dette tilfellet er n (lengden av radvektorene er lik antall kolonner!) Siden de tre vektorene er lineært uavhengige (sjekk gjerne), må vektorene som skal være i nullrommet utgjøre en basis for nullrommet, og vektoren i radrommet utgjøre en basis for radrommet Siden er en basis for radrommet, er matrisen på formen a a a a a a A, a m a m a m med a i for minst en i Videre kan vi raskt sjekke at en slik matrise A vil ha de to vektorene som er oppgitt i oppgaven i nullrommet sitt Dermed er for eksempel en løsning av oppgaven d) Her ser vi fra lengden på vektorene i kolonne- og nullrommet at m n Siden kolonnerommet har basis, må A være på formen a b, der minst en av a og b er ulik null Videre skal være en nullvektor, slik at a b a, og dermed må a, b Dermed er for eksempel A en løsning på oppgaven a) Basisen for R(A) er u og u at x x t og x x 4 s, slik at x gitt av v og v tt Videre ser vi at Ax betyr Dermed er en basis for N(A) s 7 oktober 6 Side av 5
2 La x x x 4 være vektoren i oppgaven; Vi skal finne u au + bu og v cv + dv for (her bruker vi basisvektorene vi akkurat fant!) Vi kan bruke gausseliminasjon for å finne a, b, c, d: x x R x +R R 4 +R x x + x x x 4 x + x 4 R R 4 x (x + x ) x (x + x 4 ) R R R R 4 (x x ) (x + x ) (x x 4 ) (x + x 4 ) Altså får vi a (x x ), b (x x 4 ), c (x + x ) og (x + x 4 ) b) La b b b Vi ønsker å finne en x R(A), det vil si en vektor x på formen slik at Ax b La oss regne litt Ax c x c u + c u c c, c c c c c c c Altså har vi at c b og c b Dermed er x b b b b b b a) La b,,b n være kolonnevektorene i B Da kan vi skrive AB Ab Ab n (se side 84 i boka) Dersom C(B) N(A) må spesielt alle kolonnevektorer i B være i nullrommet til A, og dermed er AB Ab Ab n O På den andre siden, dersom AB O, så må vi ha at Ab Ab n, det vil si at enhver kolonnevektor av B er i nullrommet til A Da må enhver lineærkombinasjon av kolonnevektorene til B være i nullrommet til A, og følgelig er C(B) N(A) b) Hvis A og B er -matriser av rang, så har C(B) dimensjon, mens N(A) har dimensjon Altså har C(B) to basisvektorer, mens N(A) har en Dersom C(B) N(A), så må de to basisvektorene til C(B) være inneholdt i N(A), og dermed multipler av den ene basisvektoren til N(A) Da kan de ikke være lineært uavhengige Det følger at C(B) ikke er inneholdt i N(A) Dette argumentet kan generaliseres: Om U V, så er dim U dim V 7 oktober 6 Side av 5
3 c) AB kan ikke ha rang eller Da står vi igjen med følgende muligheter: rank AB Dette oppnås hvis feks A og B rank AB Dette oppnås hvis feks A B Merknad: Hvorfor gir vi oppgaver med å finne eksempler? Det er flere grunner til det, men i dag vil jeg nevne en spesielt: Det er et kjempenyttig verktøy å ha i den matematiske verktøykassen Hvis du er i tvil om noe stemmer, så tenk på hvor du tror det kan gå galt, og lag et eksempel som viser frem nettopp det Si at jeg hadde støtt på et teorem som sa at rank AB min(rank A, rank B) - og syntes at noe var rart Vel, med litt flaks hadde jeg tenkt at dette burde kunne motbevises med noen enkle matriser av ikke helt full rang, og så begynt å lete etter eksempler Men å vite hvordan man skal finne de eksemplene, det er en kunst som man bare lærer seg ved å trene Kapittel 4 a) Normalvektoren til planet er n Vektoren n utgjør en basis for V Vi skal regne ut projeksjonen av b langs n, men la oss for ryddighetens skyld først regne ut: b n 4 n n n Nå er vi klare til å regne ut projeksjonen av b, via ligningen i boksen på side 9: proj V b proj n b b n n n 4 Da får vi at proj V b b proj V b 4 c) Her følger vi samme fremgangsmåte som i punkt (a) Normalvektoren til planet er n Vi har at b n n n n 7 Projeksjonen av b langs n blir: proj V b proj n b b n n n 7 7 oktober 6 Side av 5
4 Da får vi at 4 proj V b b proj V b La oss skrive dette systemet som Ax x 4 b x Minste kvadraters løsning av systemet er løsningen av A T Ax A T b, så la oss bedrive litt mellomregning: A T A 6 A T b 4 8 Altså skal vi løse systemet 6 x x 8 Det burde være tålelig greit å se at dette gir x 6 og x 8 Planet i oppgaven, V, er utspent av kolonnevektorene i A, dermed er V C(A) Nå vil vi finne punktet i C(A) som er nærmest b Det vil si, finn Ax som er nærmest mulig b Fra første del av oppgaven blir dette: Ax /6 8 / La oss anta at vi jobber i R n ; da vil A være en n n-matrise Hvis proj V µ A, så vil det si at for alle x R n er proj V x µ A x Ax Da har vi for enhver x at: A x proj V (proj V x) proj V x Ax, der vi i den andre likheten bruker at proj V y y dersom y V For den andre delen av oppgaven, se vi først på oppgave 54, som foreslått Der lærer vi at A er symmetrisk (dvs A A T ), hvis Ax y x y for alle vektorer x, y R n Da gir det mening å vise at A oppfyller den betingelsen, slik oppgaven vår foreslår 7 oktober 6 Side 4 av 5
5 Vi vet fra definisjonen av projeksjon at hvis x, y R n, så kan vi skrive x v x + u x og y v y + u y, der v x, v y V og u x, u y V Mer spesifikt er v x proj V x og v y proj V y Nå er vi klar til å sjekke den fine betingelsen vår! Husk at Av v for v V og Au for u V Ax y A(v x + u x ) (v y + u y ) v x (v y + u y ) v x v y x Ay (v x + u x ) A(v y + u y ) (v x + u x ) v y v x v y Så betingelsen stemmer, og A er symmetrisk 5 Siden A har en tendens til å sende vektorer til kolonnerommet sitt, så velger jeg å anta at V C(A) Da har vi definitivt at Ax V Så må vi ta en kikk på V C(A) N(A T ) En vektor er ortogonal til V hvis og bare hvis den ligger i V, det vil si hvis og bare hvis den ligger i nullrommet til A T Så la oss se på x Ax: A T (x Ax) A T x + A T Ax Ax + A x Ax Ax Og da er vi i mål! Vi definerer nemlig en projeksjonsmatrise som en matrise A slik at µ A proj V, og her har vi vist at A har nettopp samme effekt som projeksjonen ned på V har på en vilkårlig vektor x Merk også at med denne og forrige oppgave, har vi vist at A er en projeksjonsmatrise hvis og bare hvis A T A og A A Eksamen Høst 5 4 a) (i) Kolonnerommet til A er definert som underrommet utspent av kolonnevektorene til A (ii) For å finne en basis for kolonnerommet starter vi med å radredusere A: A 5 R 4 8 R R R 4R R R R R +R Siden pivotelementene i R står i første og andre kolonne, er en basis for C(A) gitt ved første og andre kolonnevektor i A, altså og (iii) dim C(A) b) Vi har altså at Im T A {b R b T A (x) Ax for en x R } Vi sjekker kriteriene for underrom, men la oss først ta en kikk på hva en vilkårlig vektor i Im T A ser ut som: La u, v Im T A, da kan vi skrive at u Ax og v Ay, der x, y R Siden A, så er Im T A La c R, da har vi at cax Acx Im A Videre ser vi at Ax + Ay A(x + y) Im T A 7 oktober 6 Side 5 av 5
TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
Detaljer10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA121/MA621 Høsten 216 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 2.3 1 b) c) d) 1 3 1 1 3 1 A I 2
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA20/MA620 Høsten 206 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med foreehold om feil Hvis du finner en ta kontakt med Karin Kapittel 2 a) ) A + B 2A B 2 + [ ] 3 3 7 7 c)
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
DetaljerEksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEmne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Haust Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap. 6., s. 7 u v = ( 7)+( 5) ( 4)+( ) 6 = u = +( 5) +( ) = v
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerMinste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerObligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO
Obligatorisk oppgave nr1 MAT-1120 Lars Kristian Henriksen UiO 21. oktober 2014 Oppgave 1 i) Minste k slik at P k kun har positive elementer er 6. Finner x* ved å laste oslo.m, for så å skrive følgende
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerTMA4115 Matematikk 3 Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk Vår 2017 Obligatoriske oppgaver Lay, avsnitt 1.6 5. Bor-sulfid reagerer voldsomt med vann for å danne borsyre
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Kontakt under eksamen Navn: Bawfeh Kingsley Kometa kontor: 7359975, mobil: 936 24 483) Sensur: 06.0.20 EKSAMEN I NUMERISK
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
Detaljer12 Lineære transformasjoner
2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
Detaljer6.5 Minste kvadraters problemer
6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4.1 1 Dette resultatet følger fra ytre vinkel-teoremet og lineært par-teoremet.
Detaljer