Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver."

Transkript

1 Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk En stor klasse av problemer som kan løses via lineære likningssystemer faller inn under overskriften Populasjonsdynamikk, og det er disse typene problemer vi skal studere nå De dukker ofte opp i biologi, men også innenfor andre fagområder (vi skal blant annet se på bilister som kjører med og uten piggdekk) Populasjonsdynamikk dreier seg om å studere dynamikken i en populasjon, dvs vi deler opp en populasjon som består av individer i underpopulasjoner og studerer bevegelsen mellom tilstander i populasjonen over generasjoner Eksempel 4 Eksempler på populasjoner kan være mennesker i et land, dyr i et avgrenset område, planter i et drivhus eller sykler i en by Underpopulasjoner av sykler i en by kan for eksempel være stjålet og ikke stjålet En tilstand for denne populasjonen kan være at 20% er stjålet 54

2 og at 80% ikke er stjålet Når tiden går vil underpopulasjonene utvikles og forandres etter gitte sammenhenger, og denne populasjonsdynamikken gjør at populasjonen endres Spørsmålet man vil ha svar på i populasjonsdynamikk er: Hva skjer med populasjonen over tid, når de gitte sammenhengene repeteres for hver generasjon? Det er et par superviktige antagelser vi gjør når vi skal løse denne typen problemer: Vi antar at de gitte sammenhengene er lineære (vi skal straks se hva dette betyr) I populasjonsdynamikk regnes tiden i adskilte tidspunkter, dvs tiden måles i for eksempel måneder, år eller generasjoner Det betyr at vi kan la n være et naturlig tall, og snakke om tilstanden til en populasjon ved tid n Det er mange problemer som kan løses ved å gjøre disse antagelsene Vi er ofte interessert i å studere situasjoner som kan deles opp i adskilte tidsrom selv om tiden går hele tiden Vi er da interessert i milepæler, noe som kan måles hver generasjon Eksempel 42 Eksempler på milepæler (adskilte tidsrom) kan være at vi setter på piggdekk hver høst, noen populasjoner får avkom hver 4 måned, og noen bytter kanskje strømleverandør en gang i året Vi skal snart ta for oss et tekstoppgave-eksempel, men la oss innføre litt språkbruk først (les gjerne dette en gang til etter eksemplet) Matematisk tenker vi på en populasjon som et system som skal studeres Hvis vi har r underpopulasjoner av en populasjon, lar vi x i være antall (som kan være gitt som prosentandel) individer i underpopulasjon i Da får vi en vektor x,, x r R r, og for hver generasjon får vi en tilstandsvektor Definisjon 43 Tilstandsvektoren u n til en populasjon ved tiden n er en vektor som sier hvor mange individer det er i hver underpopulasjon i generasjon n 55

3 Initialvektoren u 0 til en populasjon gir oss populasjonens tilstand ved tid 0, dvs startpunktet for utviklingen vi studerer Bemerkning 44 I MAT00 skal vi jobbe med 2 eller 3 underpopulasjoner, og vi vil derfor bruke x, y (og z) for antall individer i disse underpopulasjonene Tilstandsvektoren til en populasjon med 3 underpopulasjoner x, y og z ved tiden n skriver vi derfor u n og initialvektoren blir u 0 x 0 y 0 z n z 0 Eksempel 45 Hvis vi lar være prosentandel sykler som er stjålet ved tiden n og være andel sykler som ikke er stjålet ved tid n, blir tilstandsvektoren for syklene i Eksempel 4, hvis vi sier at dette er ved tid 20 m, lik u m 80 I populasjonsdynamikk slik vi skal studere det, antar vi altså at de gitte sammenhengene er lineære Vi vet at de lineære regneoperasjonene er addisjon og multiplikasjon med skalarer Det betyr at vi kan finne tilstandsvektoren u n+ i generasjon n + ved å bruke lineære regneoperasjoner på antallene, og z n i tilstandsvektoren u n Dermed får vi u n+ + + a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n z n+ a 3 + a 32 + a 33 z n der a ij -ene er skalarer Navnevalget er ikke tilfeldig, for dette kjenner vi igjen Vi har jo at a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 + a 32 + a 33 z n a 3 a 32 a 33 z n 56

4 Det betyr at hvis vi kaller 3 3-matrisen ovenfor for A, så vil u n+ + + A Au n, z n+ z n dvs at (Viktig!) i vår modell for populasjonsdynamikk er sammenhengen mellom to tilstander til en populasjon gitt ved å multiplisere med en matrise! Definisjon 46 Matrisen A ovenfor, som koder all informasjon om utviklingen av populasjonen vår, kalles overgangsmatrisen til populasjonen Bemerkning 47 Legg merke til at mange bruker bokstaven M eller P for overgangsmatriser, og at noen kaller dem projeksjonsmatriser Eksempel 48 Vi kan for eksempel ha følgende lineære sammenhenger: z n z n z n z n Siden blir overgangsmatrisen + + z n+ A z n, Mye av jobben i populasjonsdynamikk-oppgavene ligger i å finne overgangsmatrisen ut fra gitte tekst-opplysninger Her er et konstruert eksempel: 57

5 Eksempel 49 Anta at MAT00-studenter kun kan være i to tilstander: enten jeg leser eller jeg sover Anta videre at studentene følger følgende rutiner: Dersom en student er jeg leser idag, er det hundre prosent sikkert at studenten er jeg sover imorgen, og dersom studenten er jeg sover idag, er det 40% sjanse for at studenten er jeg sover imorgen også, og 60% sjanse for at studenten er jeg leser imorgen La være antall MAT00-studenter som leser ved dag n, og la være antall MAT00-studenter som sover ved dag n La oss finne overgangsmatrisen som styrer tilstandene til MAT00-studentene, dvs matrisen M slik at + + M Fra teksten får vi at + (antall som leser ved dag n + ) er 60% av de som sov dagen før Antall studenter som sover ved dag n er, og dermed får vi at + 06 Antall studenter som sover ved dag n +, angitt ved +, er antall som leste ved dag n, pluss 40% av de som sov ved dag n, så Dette gir , så M Vi skal se nærmere på hva som skjer med disse studentene utover i kapittelet La oss se på et (stort) eksempel, basert på en eksamensoppgave i MAT000 58

6 fra våren 2006 Eksempel 40 (Matematikk og miljø!) Vi skal se på hvorfor Oslo kommune gjeninnførte ordningen med piggdekkgebyr, kalt PiggAv, fra november 2004, og konsekvensene av dette Oppgavetekst: I 990 kjørte 00% av Oslo-bilistene med piggdekk om vinteren La og være prosentandelen av bilister som kjører henholdsvis piggfritt eller med piggdekk n år senere, dvs x 0 0 og y 0 00 Vi antar at antall bilister er konstant, men at 0% av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 90 % piggfritt og 0% med piggdekk Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 80% med piggdekk og 20% har skiftet til piggfritt Forklar at + M Sitat slutt Matrisen M er oppgitt i oppgaven som M Overgangsmatrisen er ofte oppgitt, og du blir gjerne bedt om å forklare hvorfor den blir slik Dette er ment som en hjelp, siden du vet hva du skal frem til For å forklare, må du imidlertid skjønne hvordan man kommer seg fra tekst til overgangsmatrise, så la oss vise hvordan vi finner matrisen i denne oppgaven Overgangsmatrisen M skal lage matematikk av teksten og hjelpe oss å holde styr på piggdekksituasjonen i Oslo Tilstandsvektoren ved år n er gitt ved, og vi skal altså finne M slik at + + M 59

7 Vi må altså finne uttrykk for + og +, uttrykt ved og Vi leser teksten en gang til og begynner å jobbe Vi antar at antall bilister er konstant, men at 0% av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Det betyr at et år senere er antall nye bilister 0( + ), antall piggfrie bilister fra året før er 09 og antall bilister med pigg fra året før er 09 Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 90% piggfritt og 0% med piggdekk Det betyr at + får tilskudd av 09(0 + 0 ) og + får tilskudd av 0(0 + 0 ) fra de nye bilistene Videre vil + beholde 09(09 ) og + vil få 0(09 ) av de piggfrie bilistene fra året før Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 80% med piggdekk og 20% har skiftet til piggfritt Det betyr at antall bilister med pigg fra året før gir opphav til at + beholder 08(09 ) og at + får 02(09 ) I disse oppgavene må man altså holde hodet kaldt, lese sakte og skaffe seg et bilde av situasjonen Da kan det ofte hjelpe å tegne en figur Her er en tegning (man må tegne selv for å forstå, men denne tas med som et eksempel): 09(0 + 0 ) 0(0 + 0 ) PIGGFRI 02(09 ) PIGG xn+ + 09(09 ) 0(09 ) 08(09 ) I tegningen er det en sirkel for hver underpopulasjon, med piler som går frem og tilbake og inn og ut (dynamikken i populasjonen!) På pilene står bidragene (de som er uthevet i teksten ovenfor) Alt vi har skrevet i oppgaveløsningen til nå kan altså sies med denne tegningen I en eksamensbesvarelse er denne tegningen sammen med et par 60

8 forklarende setninger et godt svar Fra tegningen kan vi nå summerer bidragene og får + 09(09 ) + 09(0 + 0 ) + 02(09 ) , og + 08(09 ) + 0(0 + 0 ) + 0(09 ) På matriseform får vi dermed så overgangsmatrisen er M, som er den vi får oppgitt i oppgaven Dette er som sagt gitt som en hjelp for å sjekke at svaret er riktig Som forklaring kreves regningene som er gitt ovenfor Når vi har funnet overgangsmatrisen, kan vi bruke matriseteori for å studere situasjonen videre Vi har allerede lært mye om matriser, men i populasjonsdynamikk er det et par matrisebegreper vi enda ikke har møtt og som er veldig viktige Vi må derfor innføre begrepene egenverdier og egenvektorer før vi fortsetter eksemplet med PiggAv, 42 Egenverdier og egenvektorer Det er flere måter å motivere egenverdier og egenvektorer på, men nå som vi holder på med populasjonsdynamikk, bruker vi den innfallsvinkelen Vi er interessert i å studere populasjoner der tilstanden forandres fra generasjon til generasjon ved å multiplisere med samme matrise M for hver gang Hva skjer over tid med denne populasjonen? 6

9 Hvis vi vet initialvektoren u 0 kan vi regne ut u k for alle k ved at u Mu 0 u 2 M(Mu ) M 2 u 0 u k Mu k M(M k u 0 ) M k u 0 Det er ingen sak for en datamaskin å regne ut disse tilstandsvektorene Hvis du har god tid, kan du også gjøre det selv Du kan enten multiplisere M med seg selv nok ganger, og så multiplisere med u 0 eller regne iterativt u Mu 0, u 2 Mu osv Det siste alternativet er raskest Bemerkning 4 Vi vil bruke n og M n i eksemplene (og oppgavene), mens vi vil bruke k og M k i gjennomgangen av teorien Det skyldes at i eksemplene (og oppgavene) er gjerne M en 2 2- eller en 3 3-matrise, mens i det generelle tifellet er M en n n-matrise, og da kan vi ikke bruke n i M n og u n Dessuten vil vi gjerne bruke n for et naturlig tall så ofte vi kan Tallene n og k er begge vilkårlige naturlige tall Eksempel 49 fortsetter Overgangsmatrisen for MAT00-studentene som enten sover eller leser er 0 06 M 04 Anta nå at det er 300 MAT00-studenter og at alle leser første dag (n 0), dvs x 0 y Da kan vi for eksempel regne ut x y M x 0 y , så andre dag er det ingen som leser, men alle sover (noe som også stemmer 62

10 med teksten: alle som leser idag, sover imorgen) Videre har vi og x 2 y 2 x 3 y 3 M M x y x 2 y Den tredje dagen er det altså 80 som leser mens 20 sover, og den fjerde dagen er det 72 som leser og 228 som sover Hva skjer med MAT00-studentene hvis disse rutinene følges hver dag? Følg med (vi trenger litt mer teori først) Eksempel 40 fortsetter I PiggAv-oppgaven har vi oppgitt at initialvektoren (i 990) er, og dermed kan vi regne ut andel bilis- x 0 0 y 0 00 ter som kjører henholdsvis piggfritt og med pigger i årene etter 990 Tilstandsvektorene er gitt ved n Her er tilstandsvektorene for n,, 8 (til 2008) regnet ut: n (4) n

11 I eksamensoppgaven er et av spørsmålene følgende: I hvilket år kjører for første gang mer enn 70% av bilistene piggfritt? Andel bilister som kjører piggfritt er gitt av, og vi ser av tabellen at x mens x 7 70, altså er svaret 997 For å regne ut tabell (4), må dere imidlertid regne ganske mye, og selv om dere ikke trenger hele tabellen for å finne svaret her, er det allikevel altfor tidkrevende å bruke denne metoden (også på eksamen!) Da er det fint at det fins andre metoder for å finne svaret på denne oppgaven Samtidig vil disse andre metodene gi oss mye nyttig informasjon som vi ikke ser så lett i tabellen, og som vi vil trenge for å svare på andre typer spørsmål Vi ser nå etter en metode for å gjøre utregningen av M k u 0 enklere Det virker kanskje ikke så naturlig første gang dere ser dette, men hva om det fantes vektorer x, x 0, som var slik at Mx λx, (42) dvs at det å multiplisere med M er det samme som å multiplisere med en skalar λ R? Bemerkning 42 Det er vanlig å bruke den greske bokstaven λ (leses lambda ) for skalarer i denne sammenhengen Vektorene x som oppfyller (42) vil også oppfylle M k x λ k x (43) Dette ser vi fra følgende regning (husk regnereglene for matriser): M k x M k Mx M k λx λm k x λm k 2 Mx λm k 2 λx λ 2 M k 2 x λ k Mx λ k λx λ k x Det går veldig fort å regne ut λ k x, så vi vil gjerne ha tak i vektorer x som 64

12 oppfyller (42) Før vi går igang med den jakten, la oss ta et par eksempler for å vise at slike vektorer fins: Eksempel 43 Hvis vi lar M være matrisen har vi at M M 2 4 2, så for denne matrisen kan vi oppfylle (42) med x Eksempel 44 La M være matrisen Da har vi at (sjekk!) M M Denne matrisen oppfyller dermed (42) med x, (44) og λ 2 (45) og λ Så var det jakten på de spesielle vektorene Som vi så i eksemplene ovenfor, vil disse vektorene naturlig tilhøre noen spesielle λ-er (skalarer), og vi vil jakte på λ-ene først: Betingelsen (42) gir opphav til et lineært likningssystem, og for å få systemet på en form vi kjenner, skriver vi: λx λix 65

13 Vi har altså multiplisert med identitetsmatrisen I Husk at det har vi lov til uten at den forandrer noe som helst (husk regneregler for matriser; I fungerer som tallet ) Da får vi at betingelsen (42) gir oss Mx λix eller (M λi)x 0 (46) Vi har altså fått et homogent likningssystem (46) og bruker nå Bemerkning 34 og Teorem 30: Vi har enten én eller uendelig mange løsninger, dvs for å oppfylle (42), må vi ha det(m λi) 0 Uansett hva λ er har vi alltid én løsning, nemlig x 0, men den er ikke interessant i dette tilfellet, så for å finne de λ-ene som gir uendelig mange x-er, løser vi likningen det(m λi) 0 (47) I problemene vi skal regne på vil (47) bli en andre- eller tredjegradslikning med λ som ukjent (Generelt gir dette en polynomial likning der λ er den ukjente Vi skal definere ordet polynom i neste kapittel) De skalarene λ som passer inn i likningen (47) kalles egenverdiene til matrisen M Navnet kommer av at de er egne, dvs spesielle, for hver matrise Likningen (47) kalles den karakteristiske likningen til matrisen M Hvis vi har en 2 2-matrise M vil denne likningen gi en andregradslikning i λ: La m m 2 M Da får vi m 2 m 22 det(m λi) 0 m λ m 2 m 22 λ m

14 som gir (m λ)(m 22 λ) m 2 m 2 0 λ 2 λ(m + m 22 ) + m m 22 m 2 m 2 0 Bemerkning 45 Når vi løser en andregradslikning kan vi få ingen, én eller to løsninger (så lenge vi jobber med de reelle tallene) Hvis matrisen M er n n, vil (47) ha høyst n forskjellige løsninger, og i de tekstoppgavene vi vil møte, vil vi få nøyaktig n forskjellige løsninger, dvs vi har nøyaktig n forskjellige egenverdier Husk at vi konsentrerer oss om tilfellene der n er 2 eller 3 Eksempel 46 I Eksempel 43 hadde vi matrisen M 2 4 og påsto at λ 2 er en egenverdi for M Vi finner alle egenverdiene til M ved å regne ut det(m λi) 0, dvs λ det(m λi) 2 4 λ ( λ)(4 λ) + 2 λ2 5λ Andregradslikningen λ 2 5λ har løsningsmengde {2, 3}, dvs at M har to egenverdier, λ 2 eller λ 3 Vi oppsummerer begrepet egenverdi og definerer begrepet egenvektor: Definisjon 47 Egenverdiene til matrisen M er de tallene λ slik at Mx λx (48) for vektorer x 0 Vektorene x kalles egenvektorene tilhørende egenverdien λ 67

15 En egenverdi λ har alltid uendelig mange tilhørende egenvektorer, nemlig sx for alle mulige valg av skalarer s 0 der x er en egenvektor for λ Legg merke til at nullvektoren ikke er en egenvektor per definisjon Eksempel 43 fortsetter Regningen (44) viser at λ 2 er en egenverdi for M med tilhørende egenvektor Vi kan også sjekke at alle vektorer på formen s der s R og s 0 er egenvektorer tilhørende egenverdien λ 2 Når vi skal finne alle egenvektorene tilhørende de ulike egenverdiene, må vi løse likningssystemet (48) La oss ta et eksempel Eksempel 48 Vi skal nå regne ut alle egenvektorer til matrisen M 2 4 og dermed se at det vi påsto i Eksempel 43 stemmer Egenverdiene til M regnet vi ut i Eksempel 46 til å være lik 2 eller 3 For hver egenverdi finner vi de tilhørende egenvektorene: λ 2: Vi skal ha oppfylt x x y y som gir oss likningssystemet { { x y 2x 2x + 4y 2y x y 0 x + y 0 Dette systemet består egentlig bare av én likning, x y Vi setter x s, 68

16 så y s, og får løsninger x y s der s R, s 0, som er egenvektorene tilhørende λ 2 λ 3: Vi skal nå finne x og y som oppfyller x y x y Vi får likningssystemet { { x y 3x 2x + 4y 3y 2x y 0 2x + y 0, som gir én likning, x y Vi setter y s, så x s (husk at det fins 2 2 mange parameterfremstillinger av samme mengde), og får løsninger x y s 2 der s R, s 0, som er egenvektorene tilhørende λ 3 (sjekk det!) Bemerkning 49 Vi skal også kunne finne egenverdier og egenvektorer for 3 3-matriser (som kan bli gitt i eksamensoppgaver) Da vil vi få en tredjegradslikning, som i våre problemer vil ha tre forskjellige løsninger For å finne disse tre løsningene, vil dere på en eller annen måte få oppgitt et hint om en av løsningene Vi skal se eksempler på dette i oppgavene Tilbake til populasjonsdynamikk, og hvorfor egenverdier og egenvektorer er så nyttige: Ved Bemerkning 45 antar vi at vi jobber med n n-matriser M slik at M har nøyaktig n forskjellige egenverdier Vi ønsket en enklere metode for å regne ut M k u 0, og vi er nå veldig nærme å få oppfylt dette ønsket: Fra (43) er det nå enkelt å regne ut M k x 69

17 når x er en egenvektor tilhørende λ, siden vi da har Mx λx, og altså M k x λ k x Initialvektoren u 0 vil imidlertid ikke være en egenvektor, så trikset nå blir derfor å skrive u 0 ved hjelp av egenvektorer, dvs at hvis x,, er n forskjellige egenvektorer til M tilhørende (henholdsvis) egenverdiene λ,, λ n, vil vi finne skalarer a,, a n slik at u 0 a x + + a n (49) Da får vi en enklere metode for å regne ut M k u 0 ved å bruke regnereglene for matriser: M k u 0 M k (a x + + a n ) a M k x + + a n M k (40) a λ k x + + a n λ k n Vi har sett at en egenverdi alltid har uendelig mange tilhørende egenvektorer Vi plukker ut en av egenvektorene for hver egenverdi Det er gjerne en som er opplagt å bruke, nemlig den som står foran parameteren i vår valgte parameterfremstilling Bemerkning 420 Det er viktig å merke seg at det er langt fra alle matriser som har nok egenverdier og egenvektorer til at vi får oppfylt (49) For eksempel har matrisen 3 2 M 2 kun som egenverdi med tilhørende egenvektorer s der s R, s 0 Det viktigste å merke seg er imidlertid at for de matrisene vi vil møte i forbindelse med populasjonsdynamikk vil vi få vårt ønske (49) oppfylt! For å finne a i -ene i (49), får vi igjen et lineært system som må løses, denne 70

18 gangen med a,, a n som de ukjente variablene, og vi ser på et eksempel 2 Eksempel 48 fortsetter La oss si at vi ønsker å skrive vektoren 3 ved hjelp av egenvektorer for matrisen M i Eksempel 48 For hver av de to egenverdiene 2 og 3 plukker vi ut en egenvektor, så for λ 2 velger vi 2 egenvektoren, mens for λ 3 bruker vi Vi skal altså finne tall a og b slik at 2 3 a + b 2 Det gir likningssystemet { 2 a 2 b 3 a + b som gir a 7 og b 0 (mange måter å regne ut dette på), altså er (sjekk det!) 2 Hvis vi ønsker å regne ut M n, får vi følgende regning 3 2 M n M n 2 (7 + 0 ) 3 7M n + 0M n n n n 5 3 n 7 2 n n 2 7

19 Hvis vi for eksempel setter n 8, får vi at Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? Vi kan nå fortsette vår analyse av populasjonsdynamikkproblemer La oss fullføre PiggAv-oppgaven og samtidig bruke dette eksemplet til å vise hvordan vi kan svare på det tilbakevendende spørsmålet Hva skjer med populasjonene våre ettersom tiden går? Eksempel 40 fortsetter Eksamensoppgaven starter med følgende oppgave (før vi får all teksten om bilistene): La M Vis at egenverdiene til M er og 063 og finn de tilhørende egenvektorene Vi vet nå hvordan vi skal gjøre dette Vi må løse likningen det(m λi) 0, som gir andregradslikningen λ 2 63λ (sjekk) Da får vi løsninger λ 63 ± ± som var det vi skulle vise Vi finner så egenvektorene: { 063 λ : 72

20 Vi skal oppfylle x y x y Det gir likningssystemet { { 09x + 027y x 0x + 073y y 0x + 027y 0 0x 027y 0, som gir én likning, x 27y Vi setter y s, så x 27s og får egenvektorene x 27 s y der s R, s 0 Tilsvarende regning (gjør det!) for λ 063 gir egenvektorene x s y der s R, s 0 Hvis vi nå skal løse oppgaven: I hvilket år kjører for første gang mer enn 70% av bilistene piggfritt, regner vi ikke ut tabellen (4), men skriver initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi finner a og b slik at 0 27 a + b 00 Husk å passe på rekkefølgen du velger på egenverdiene; den må nå følges resten av oppgaven, slik at tilhørende egenvektorer og egenverdier følger hverandre! For å finne a og b får vi et likningssystem som før, men med tilnærmede løsninger denne gangen (problemer fra virkeligheten får gjerne tilnærmede svar) Sjekk at vi får a 27 og b 73, dvs

21 Dermed kan vi finne et uttrykk for bruke til å løse oppgaven Vi får 0 M n, som vi kan M n M n ( ) M n + 73M n n + 73 (063) n 73 73(063) n (063) n Vi har altså andel som kjører piggfitt i år n etter 990 gitt ved 73 73(063) n (4) og andel som kjører med pigg i år n etter 990 gitt ved (063) n (42) For å svare på oppgaven, skal vi løse > 70, så vi får 73 73(063) n > 70 Hvis vi rydder i denne ulikheten, får vi (husk å snu ulikhet når vi multipliserer med et negativt tall): (063) n < 3 73 En slik likning kan vi løse ved å ta logaritmen (fra 2MX) på hver side: ln((063) n ) < ln( 3 73 ) 74

22 Da kan vi bruke en av regnereglene for logaritmer og få n ln(063) < ln( 3 73 ) Siden ln til et tall mindre enn er negativt, får vi n > ln( 3 73 ) ln(063) Til slutt bruker vi kalkulator på uttrykket på høyresiden og får n > 69, dvs n 7, og svaret er 997 Når tiden går og n vokser, ser vi av uttrykket (4), andel bilister som kjører med pigger, aldri vil overstige 73% med disse antagelsene Ettersom tiden går ser vi også at populasjonen vil stabilisere seg, og oppnå en likevekt eller en grenseverdi Dette skyldes at (063) n går mot 0 når n vokser mot uendelig (når tiden går) Definisjon 42 Hvis vi oppnår en stabil tilstand for populasjonen, kalles denne tilstanden for likevektstilstanden, og skrives u (leses u-uendelig, så kanskje vi heller skulle ha valgt v for vektoren) Matematisk skriver vi lim u k u, k som leses grenseverdien av tilstandsvektoren når k går mot uendelig er lik likevektstilstanden Dette gjelder altså når grenseverdien eksisterer, dvs vi får en vektor når vi lar k gå mot Når grenseverdien blir en vektor, sier vi også at grenseverdien konvergerer (Det er et ord som er brukt i noen eksamensoppgaver) Viktig! Når vi har skrevet initialvektoren ved hjelp av egenvektorer bruker vi (40) til å få et uttrykk for M k u 0 Siden M k u 0 u k, har vi fått et uttrykk for tilstanden til hver av underpopulasjonene ved tiden k Fra 75

23 disse uttrykkene kan vi ofte finne likevektstilstanden til populasjonen (dersom denne eksisterer), som er et viktig begrep i problemene vi vil løse Det sier oss jo nettopp hva som skjer med populasjonen ettersom tiden går Noen ganger ønsker vi også å sammenligne likevektstilstandene til underpopulasjonene, for eksempel finne likevektsforholdet mellom to underpopulasjoner x k og y k Det er gitt ved x k lim k y k Vi skal se et eksempel på det i eksemplet med MAT00-studentene etter at vi har avsluttet PiggAv-eksemplet: Eksempel 40 fortsetter I PiggAv-oppgaven blir likevektstilstanden x y lim n lim n 73 73(063) n (063) n 73 27, siden leddene (063) n blir forsvinnende små når n vokser Vi kan si at under våre antagelser vil populasjonen av bilister i Oslo konvergere mot likevektstilstanden i favør andel bilister som kjører piggfritt Det var ikke Samferdselsetaten i Oslo fornøyd med, og innførte altså PiggAv for å endre på antagelsene! Det gjorde at vi fikk opp andel bilister som kjører piggfritt fra 72% i 2004 til 762% i 2005, 807% i 2006 og 805% i 2007 (tall fra Samferdselsetaten) Eksempel 49 fortsetter La oss til slutt se hva som skjer med MAT00- studentene hvis sove- og leserutinene i Eksempel 49 følges hver dag Med andre ord, la oss finne likevektstilstanden til populasjonen av MAT00- studenter gitt antagelsene våre Overgangsmatrisen er 0 06 M, 04 76

24 og vi finner først egenverdiene til M med tilhørende egenvektorer: Vi løser likningen λ 06 det(m λi) 04 λ 0, som gir andregradslikningen λ 2 04λ 06 0 (sjekk) Da får vi løsninger λ 04 ± ± 6 2 { 06, så M har egenverdier 06 og Vi finner egenvektorene: λ 06: Vi skal oppfylle x y 06 x y Det gir likningssystemet { { 06y 06x x + 04y 06y x + y 0 x + y 0, dvs vi har én likning, x y Vi setter x t, så y t og får egenvektorene x y t der t R, t 0 Tilsvarende regning (gjør det!) for λ gir egenvektorene der s R, s 0 x y s For å finne likevektstilstanden, må vi finne et uttrykk for u n og se hva 06 77

25 som skjer med denne vektoren når n går mot uendelig Trikset er altså å skrive initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi må finne a og b slik at a + b 0 Dette gir et likningssystem med løsning a 875 og b 875 (sjekk det!), dvs Dermed kan vi finne et uttrykk for M n, som vi kan 0 bruke for å finne likevektstilstanden til MAT00-studentene Vi får M n M n ( ) M n + 875M n n ( 06) n ( 06) n ( 06) n Vi har altså antall MAT00-studenter som leser ved dag n gitt ved ( 06) n og antall som sover ved dag n gitt ved ( 06) n Siden ( 06) n blir forsvinnende lite når n går mot uendelig, får vi likevekt- 78

26 stilstanden x y lim n lim n ( 06) n ( 06) n , dvs at populasjonen av 300 MAT00-studenter stabiliserer seg (under våre antagelser) på 375% som leser og 625% som sover Likevektsforholdet mellom de som leser og de som sover er gitt ved ( 06) n lim lim n n ( 06) 25 n Vi merker oss at vi ikke har tilnærmet noen tall i denne oppgaven (siden dette ikke er et problem fra virkeligheten!) 44 Nå skal du kunne definisjonene av: tilstandsvektor, initialvektor, overgangsmatrise, egenverdi, egenvektor, karakteristisk likning til en matrise, likevektstilstand forklare hva populasjonsdynamikk dreier seg om, herunder gjøre rede for begreper og antagelser som inngår finne overgangsmatrisen til et populasjonsdynamikkproblem ut fra gitt tekst og bruke matriseteori til å løse oppgaver i populasjonsdynamikk ha muligheten til å få A på eksamensoppgaver i temaet lineære likningssystemer, vektorer og matriser i MAT00 79

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 10

Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Kapittel 5 Exercise 6 Hva er innavlskoeffisienten for individ I i følgende stamtre? Svar: Her er det best å bruke en annen metode enn løkkemetoden. Slektskapskoeffisientmetoden

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

6.2 Eksponentiell modell

6.2 Eksponentiell modell Oppgave 6.14 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer.

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

1T og 1P på Studiespesialiserende

1T og 1P på Studiespesialiserende 1T og 1P på Studiespesialiserende Snart skal du velge hvilket matematikkurs du ønsker å følge på VG1. Valget ditt på VG1, kommer også å påvirke dine valgmulighetene på VG2 og VG3. Vi ønsker derfor å informere

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA6516-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 13, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE)

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Heltid - ikke studiepoenggivende utdanning Godkjent av Avdelingsstyret ved ingeniørutdanningen 14. mars 2011 Fakultet for teknologi, kunst

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Differenslikn. p.124 Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2005 MAT-INF1100 Differenslikn. p.224 Differenslikning av orden 2 (1) Vi kjenner formler for

Detaljer

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015

RAMMER FOR MUNTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK ELEVER 2015 RAMMER FOR MUNIG EKSAMEN I MAEMAIKK EEVER 2015 Fagkoder: MA1012, MA1014, MA1016, MA1018, MA1101,MA1105, MA1106, MA1110, REA3021, REA3023, REA3025, REA3027, REA3029 Årstrinn: Vg1, Vg2 og Vg3 Gjelder for

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4. juni 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Lesing i matematikk - med modelltegning som hjelp til å løse oppgavene. Ann-Christin Arnås ann-christin.arnas@gyldendal.no

Lesing i matematikk - med modelltegning som hjelp til å løse oppgavene. Ann-Christin Arnås ann-christin.arnas@gyldendal.no Lesing i matematikk - med modelltegning som hjelp til å løse oppgavene Ann-Christin Arnås ann-christin.arnas@gyldendal.no Hva sier læreplanen om lesing i matematikk? Å kunne lese i matematikk inneber å

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene.

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (1 poeng) Oppgave 3 (2 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 2x 10 x( x 5) x b) lg 3 5 2 Oppgave 2 (1 poeng) Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgave 3 (2 poeng) Løs

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Oppgave 1 a) Finn alle løsningene til likningen 10x 100 = 90x 1. b) Finn alle løsninger v til likningen slik at 0 v 4π. 2 cos

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene I TIMSS 95 var elever i siste klasse på videregående skole den eldste populasjonen som ble testet. I matematikk ble det laget to oppgavetyper: en for elever

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Norgestur Introduksjon Bli med på en rundreise i Norge! Vi skal lage et spill hvor du styrer et helikopter rundt omkring et kart over Norge, mens du prøver å raskest mulig finne steder og byer du blir

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer