Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver."

Transkript

1 Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk En stor klasse av problemer som kan løses via lineære likningssystemer faller inn under overskriften Populasjonsdynamikk, og det er disse typene problemer vi skal studere nå De dukker ofte opp i biologi, men også innenfor andre fagområder (vi skal blant annet se på bilister som kjører med og uten piggdekk) Populasjonsdynamikk dreier seg om å studere dynamikken i en populasjon, dvs vi deler opp en populasjon som består av individer i underpopulasjoner og studerer bevegelsen mellom tilstander i populasjonen over generasjoner Eksempel 4 Eksempler på populasjoner kan være mennesker i et land, dyr i et avgrenset område, planter i et drivhus eller sykler i en by Underpopulasjoner av sykler i en by kan for eksempel være stjålet og ikke stjålet En tilstand for denne populasjonen kan være at 20% er stjålet 54

2 og at 80% ikke er stjålet Når tiden går vil underpopulasjonene utvikles og forandres etter gitte sammenhenger, og denne populasjonsdynamikken gjør at populasjonen endres Spørsmålet man vil ha svar på i populasjonsdynamikk er: Hva skjer med populasjonen over tid, når de gitte sammenhengene repeteres for hver generasjon? Det er et par superviktige antagelser vi gjør når vi skal løse denne typen problemer: Vi antar at de gitte sammenhengene er lineære (vi skal straks se hva dette betyr) I populasjonsdynamikk regnes tiden i adskilte tidspunkter, dvs tiden måles i for eksempel måneder, år eller generasjoner Det betyr at vi kan la n være et naturlig tall, og snakke om tilstanden til en populasjon ved tid n Det er mange problemer som kan løses ved å gjøre disse antagelsene Vi er ofte interessert i å studere situasjoner som kan deles opp i adskilte tidsrom selv om tiden går hele tiden Vi er da interessert i milepæler, noe som kan måles hver generasjon Eksempel 42 Eksempler på milepæler (adskilte tidsrom) kan være at vi setter på piggdekk hver høst, noen populasjoner får avkom hver 4 måned, og noen bytter kanskje strømleverandør en gang i året Vi skal snart ta for oss et tekstoppgave-eksempel, men la oss innføre litt språkbruk først (les gjerne dette en gang til etter eksemplet) Matematisk tenker vi på en populasjon som et system som skal studeres Hvis vi har r underpopulasjoner av en populasjon, lar vi x i være antall (som kan være gitt som prosentandel) individer i underpopulasjon i Da får vi en vektor x,, x r R r, og for hver generasjon får vi en tilstandsvektor Definisjon 43 Tilstandsvektoren u n til en populasjon ved tiden n er en vektor som sier hvor mange individer det er i hver underpopulasjon i generasjon n 55

3 Initialvektoren u 0 til en populasjon gir oss populasjonens tilstand ved tid 0, dvs startpunktet for utviklingen vi studerer Bemerkning 44 I MAT00 skal vi jobbe med 2 eller 3 underpopulasjoner, og vi vil derfor bruke x, y (og z) for antall individer i disse underpopulasjonene Tilstandsvektoren til en populasjon med 3 underpopulasjoner x, y og z ved tiden n skriver vi derfor u n og initialvektoren blir u 0 x 0 y 0 z n z 0 Eksempel 45 Hvis vi lar være prosentandel sykler som er stjålet ved tiden n og være andel sykler som ikke er stjålet ved tid n, blir tilstandsvektoren for syklene i Eksempel 4, hvis vi sier at dette er ved tid 20 m, lik u m 80 I populasjonsdynamikk slik vi skal studere det, antar vi altså at de gitte sammenhengene er lineære Vi vet at de lineære regneoperasjonene er addisjon og multiplikasjon med skalarer Det betyr at vi kan finne tilstandsvektoren u n+ i generasjon n + ved å bruke lineære regneoperasjoner på antallene, og z n i tilstandsvektoren u n Dermed får vi u n+ + + a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n z n+ a 3 + a 32 + a 33 z n der a ij -ene er skalarer Navnevalget er ikke tilfeldig, for dette kjenner vi igjen Vi har jo at a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 + a 32 + a 33 z n a 3 a 32 a 33 z n 56

4 Det betyr at hvis vi kaller 3 3-matrisen ovenfor for A, så vil u n+ + + A Au n, z n+ z n dvs at (Viktig!) i vår modell for populasjonsdynamikk er sammenhengen mellom to tilstander til en populasjon gitt ved å multiplisere med en matrise! Definisjon 46 Matrisen A ovenfor, som koder all informasjon om utviklingen av populasjonen vår, kalles overgangsmatrisen til populasjonen Bemerkning 47 Legg merke til at mange bruker bokstaven M eller P for overgangsmatriser, og at noen kaller dem projeksjonsmatriser Eksempel 48 Vi kan for eksempel ha følgende lineære sammenhenger: z n z n z n z n Siden blir overgangsmatrisen + + z n+ A z n, Mye av jobben i populasjonsdynamikk-oppgavene ligger i å finne overgangsmatrisen ut fra gitte tekst-opplysninger Her er et konstruert eksempel: 57

5 Eksempel 49 Anta at MAT00-studenter kun kan være i to tilstander: enten jeg leser eller jeg sover Anta videre at studentene følger følgende rutiner: Dersom en student er jeg leser idag, er det hundre prosent sikkert at studenten er jeg sover imorgen, og dersom studenten er jeg sover idag, er det 40% sjanse for at studenten er jeg sover imorgen også, og 60% sjanse for at studenten er jeg leser imorgen La være antall MAT00-studenter som leser ved dag n, og la være antall MAT00-studenter som sover ved dag n La oss finne overgangsmatrisen som styrer tilstandene til MAT00-studentene, dvs matrisen M slik at + + M Fra teksten får vi at + (antall som leser ved dag n + ) er 60% av de som sov dagen før Antall studenter som sover ved dag n er, og dermed får vi at + 06 Antall studenter som sover ved dag n +, angitt ved +, er antall som leste ved dag n, pluss 40% av de som sov ved dag n, så Dette gir , så M Vi skal se nærmere på hva som skjer med disse studentene utover i kapittelet La oss se på et (stort) eksempel, basert på en eksamensoppgave i MAT000 58

6 fra våren 2006 Eksempel 40 (Matematikk og miljø!) Vi skal se på hvorfor Oslo kommune gjeninnførte ordningen med piggdekkgebyr, kalt PiggAv, fra november 2004, og konsekvensene av dette Oppgavetekst: I 990 kjørte 00% av Oslo-bilistene med piggdekk om vinteren La og være prosentandelen av bilister som kjører henholdsvis piggfritt eller med piggdekk n år senere, dvs x 0 0 og y 0 00 Vi antar at antall bilister er konstant, men at 0% av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 90 % piggfritt og 0% med piggdekk Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 80% med piggdekk og 20% har skiftet til piggfritt Forklar at + M Sitat slutt Matrisen M er oppgitt i oppgaven som M Overgangsmatrisen er ofte oppgitt, og du blir gjerne bedt om å forklare hvorfor den blir slik Dette er ment som en hjelp, siden du vet hva du skal frem til For å forklare, må du imidlertid skjønne hvordan man kommer seg fra tekst til overgangsmatrise, så la oss vise hvordan vi finner matrisen i denne oppgaven Overgangsmatrisen M skal lage matematikk av teksten og hjelpe oss å holde styr på piggdekksituasjonen i Oslo Tilstandsvektoren ved år n er gitt ved, og vi skal altså finne M slik at + + M 59

7 Vi må altså finne uttrykk for + og +, uttrykt ved og Vi leser teksten en gang til og begynner å jobbe Vi antar at antall bilister er konstant, men at 0% av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Det betyr at et år senere er antall nye bilister 0( + ), antall piggfrie bilister fra året før er 09 og antall bilister med pigg fra året før er 09 Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 90% piggfritt og 0% med piggdekk Det betyr at + får tilskudd av 09(0 + 0 ) og + får tilskudd av 0(0 + 0 ) fra de nye bilistene Videre vil + beholde 09(09 ) og + vil få 0(09 ) av de piggfrie bilistene fra året før Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 80% med piggdekk og 20% har skiftet til piggfritt Det betyr at antall bilister med pigg fra året før gir opphav til at + beholder 08(09 ) og at + får 02(09 ) I disse oppgavene må man altså holde hodet kaldt, lese sakte og skaffe seg et bilde av situasjonen Da kan det ofte hjelpe å tegne en figur Her er en tegning (man må tegne selv for å forstå, men denne tas med som et eksempel): 09(0 + 0 ) 0(0 + 0 ) PIGGFRI 02(09 ) PIGG xn+ + 09(09 ) 0(09 ) 08(09 ) I tegningen er det en sirkel for hver underpopulasjon, med piler som går frem og tilbake og inn og ut (dynamikken i populasjonen!) På pilene står bidragene (de som er uthevet i teksten ovenfor) Alt vi har skrevet i oppgaveløsningen til nå kan altså sies med denne tegningen I en eksamensbesvarelse er denne tegningen sammen med et par 60

8 forklarende setninger et godt svar Fra tegningen kan vi nå summerer bidragene og får + 09(09 ) + 09(0 + 0 ) + 02(09 ) , og + 08(09 ) + 0(0 + 0 ) + 0(09 ) På matriseform får vi dermed så overgangsmatrisen er M, som er den vi får oppgitt i oppgaven Dette er som sagt gitt som en hjelp for å sjekke at svaret er riktig Som forklaring kreves regningene som er gitt ovenfor Når vi har funnet overgangsmatrisen, kan vi bruke matriseteori for å studere situasjonen videre Vi har allerede lært mye om matriser, men i populasjonsdynamikk er det et par matrisebegreper vi enda ikke har møtt og som er veldig viktige Vi må derfor innføre begrepene egenverdier og egenvektorer før vi fortsetter eksemplet med PiggAv, 42 Egenverdier og egenvektorer Det er flere måter å motivere egenverdier og egenvektorer på, men nå som vi holder på med populasjonsdynamikk, bruker vi den innfallsvinkelen Vi er interessert i å studere populasjoner der tilstanden forandres fra generasjon til generasjon ved å multiplisere med samme matrise M for hver gang Hva skjer over tid med denne populasjonen? 6

9 Hvis vi vet initialvektoren u 0 kan vi regne ut u k for alle k ved at u Mu 0 u 2 M(Mu ) M 2 u 0 u k Mu k M(M k u 0 ) M k u 0 Det er ingen sak for en datamaskin å regne ut disse tilstandsvektorene Hvis du har god tid, kan du også gjøre det selv Du kan enten multiplisere M med seg selv nok ganger, og så multiplisere med u 0 eller regne iterativt u Mu 0, u 2 Mu osv Det siste alternativet er raskest Bemerkning 4 Vi vil bruke n og M n i eksemplene (og oppgavene), mens vi vil bruke k og M k i gjennomgangen av teorien Det skyldes at i eksemplene (og oppgavene) er gjerne M en 2 2- eller en 3 3-matrise, mens i det generelle tifellet er M en n n-matrise, og da kan vi ikke bruke n i M n og u n Dessuten vil vi gjerne bruke n for et naturlig tall så ofte vi kan Tallene n og k er begge vilkårlige naturlige tall Eksempel 49 fortsetter Overgangsmatrisen for MAT00-studentene som enten sover eller leser er 0 06 M 04 Anta nå at det er 300 MAT00-studenter og at alle leser første dag (n 0), dvs x 0 y Da kan vi for eksempel regne ut x y M x 0 y , så andre dag er det ingen som leser, men alle sover (noe som også stemmer 62

10 med teksten: alle som leser idag, sover imorgen) Videre har vi og x 2 y 2 x 3 y 3 M M x y x 2 y Den tredje dagen er det altså 80 som leser mens 20 sover, og den fjerde dagen er det 72 som leser og 228 som sover Hva skjer med MAT00-studentene hvis disse rutinene følges hver dag? Følg med (vi trenger litt mer teori først) Eksempel 40 fortsetter I PiggAv-oppgaven har vi oppgitt at initialvektoren (i 990) er, og dermed kan vi regne ut andel bilis- x 0 0 y 0 00 ter som kjører henholdsvis piggfritt og med pigger i årene etter 990 Tilstandsvektorene er gitt ved n Her er tilstandsvektorene for n,, 8 (til 2008) regnet ut: n (4) n

11 I eksamensoppgaven er et av spørsmålene følgende: I hvilket år kjører for første gang mer enn 70% av bilistene piggfritt? Andel bilister som kjører piggfritt er gitt av, og vi ser av tabellen at x mens x 7 70, altså er svaret 997 For å regne ut tabell (4), må dere imidlertid regne ganske mye, og selv om dere ikke trenger hele tabellen for å finne svaret her, er det allikevel altfor tidkrevende å bruke denne metoden (også på eksamen!) Da er det fint at det fins andre metoder for å finne svaret på denne oppgaven Samtidig vil disse andre metodene gi oss mye nyttig informasjon som vi ikke ser så lett i tabellen, og som vi vil trenge for å svare på andre typer spørsmål Vi ser nå etter en metode for å gjøre utregningen av M k u 0 enklere Det virker kanskje ikke så naturlig første gang dere ser dette, men hva om det fantes vektorer x, x 0, som var slik at Mx λx, (42) dvs at det å multiplisere med M er det samme som å multiplisere med en skalar λ R? Bemerkning 42 Det er vanlig å bruke den greske bokstaven λ (leses lambda ) for skalarer i denne sammenhengen Vektorene x som oppfyller (42) vil også oppfylle M k x λ k x (43) Dette ser vi fra følgende regning (husk regnereglene for matriser): M k x M k Mx M k λx λm k x λm k 2 Mx λm k 2 λx λ 2 M k 2 x λ k Mx λ k λx λ k x Det går veldig fort å regne ut λ k x, så vi vil gjerne ha tak i vektorer x som 64

12 oppfyller (42) Før vi går igang med den jakten, la oss ta et par eksempler for å vise at slike vektorer fins: Eksempel 43 Hvis vi lar M være matrisen har vi at M M 2 4 2, så for denne matrisen kan vi oppfylle (42) med x Eksempel 44 La M være matrisen Da har vi at (sjekk!) M M Denne matrisen oppfyller dermed (42) med x, (44) og λ 2 (45) og λ Så var det jakten på de spesielle vektorene Som vi så i eksemplene ovenfor, vil disse vektorene naturlig tilhøre noen spesielle λ-er (skalarer), og vi vil jakte på λ-ene først: Betingelsen (42) gir opphav til et lineært likningssystem, og for å få systemet på en form vi kjenner, skriver vi: λx λix 65

13 Vi har altså multiplisert med identitetsmatrisen I Husk at det har vi lov til uten at den forandrer noe som helst (husk regneregler for matriser; I fungerer som tallet ) Da får vi at betingelsen (42) gir oss Mx λix eller (M λi)x 0 (46) Vi har altså fått et homogent likningssystem (46) og bruker nå Bemerkning 34 og Teorem 30: Vi har enten én eller uendelig mange løsninger, dvs for å oppfylle (42), må vi ha det(m λi) 0 Uansett hva λ er har vi alltid én løsning, nemlig x 0, men den er ikke interessant i dette tilfellet, så for å finne de λ-ene som gir uendelig mange x-er, løser vi likningen det(m λi) 0 (47) I problemene vi skal regne på vil (47) bli en andre- eller tredjegradslikning med λ som ukjent (Generelt gir dette en polynomial likning der λ er den ukjente Vi skal definere ordet polynom i neste kapittel) De skalarene λ som passer inn i likningen (47) kalles egenverdiene til matrisen M Navnet kommer av at de er egne, dvs spesielle, for hver matrise Likningen (47) kalles den karakteristiske likningen til matrisen M Hvis vi har en 2 2-matrise M vil denne likningen gi en andregradslikning i λ: La m m 2 M Da får vi m 2 m 22 det(m λi) 0 m λ m 2 m 22 λ m

14 som gir (m λ)(m 22 λ) m 2 m 2 0 λ 2 λ(m + m 22 ) + m m 22 m 2 m 2 0 Bemerkning 45 Når vi løser en andregradslikning kan vi få ingen, én eller to løsninger (så lenge vi jobber med de reelle tallene) Hvis matrisen M er n n, vil (47) ha høyst n forskjellige løsninger, og i de tekstoppgavene vi vil møte, vil vi få nøyaktig n forskjellige løsninger, dvs vi har nøyaktig n forskjellige egenverdier Husk at vi konsentrerer oss om tilfellene der n er 2 eller 3 Eksempel 46 I Eksempel 43 hadde vi matrisen M 2 4 og påsto at λ 2 er en egenverdi for M Vi finner alle egenverdiene til M ved å regne ut det(m λi) 0, dvs λ det(m λi) 2 4 λ ( λ)(4 λ) + 2 λ2 5λ Andregradslikningen λ 2 5λ har løsningsmengde {2, 3}, dvs at M har to egenverdier, λ 2 eller λ 3 Vi oppsummerer begrepet egenverdi og definerer begrepet egenvektor: Definisjon 47 Egenverdiene til matrisen M er de tallene λ slik at Mx λx (48) for vektorer x 0 Vektorene x kalles egenvektorene tilhørende egenverdien λ 67

15 En egenverdi λ har alltid uendelig mange tilhørende egenvektorer, nemlig sx for alle mulige valg av skalarer s 0 der x er en egenvektor for λ Legg merke til at nullvektoren ikke er en egenvektor per definisjon Eksempel 43 fortsetter Regningen (44) viser at λ 2 er en egenverdi for M med tilhørende egenvektor Vi kan også sjekke at alle vektorer på formen s der s R og s 0 er egenvektorer tilhørende egenverdien λ 2 Når vi skal finne alle egenvektorene tilhørende de ulike egenverdiene, må vi løse likningssystemet (48) La oss ta et eksempel Eksempel 48 Vi skal nå regne ut alle egenvektorer til matrisen M 2 4 og dermed se at det vi påsto i Eksempel 43 stemmer Egenverdiene til M regnet vi ut i Eksempel 46 til å være lik 2 eller 3 For hver egenverdi finner vi de tilhørende egenvektorene: λ 2: Vi skal ha oppfylt x x y y som gir oss likningssystemet { { x y 2x 2x + 4y 2y x y 0 x + y 0 Dette systemet består egentlig bare av én likning, x y Vi setter x s, 68

16 så y s, og får løsninger x y s der s R, s 0, som er egenvektorene tilhørende λ 2 λ 3: Vi skal nå finne x og y som oppfyller x y x y Vi får likningssystemet { { x y 3x 2x + 4y 3y 2x y 0 2x + y 0, som gir én likning, x y Vi setter y s, så x s (husk at det fins 2 2 mange parameterfremstillinger av samme mengde), og får løsninger x y s 2 der s R, s 0, som er egenvektorene tilhørende λ 3 (sjekk det!) Bemerkning 49 Vi skal også kunne finne egenverdier og egenvektorer for 3 3-matriser (som kan bli gitt i eksamensoppgaver) Da vil vi få en tredjegradslikning, som i våre problemer vil ha tre forskjellige løsninger For å finne disse tre løsningene, vil dere på en eller annen måte få oppgitt et hint om en av løsningene Vi skal se eksempler på dette i oppgavene Tilbake til populasjonsdynamikk, og hvorfor egenverdier og egenvektorer er så nyttige: Ved Bemerkning 45 antar vi at vi jobber med n n-matriser M slik at M har nøyaktig n forskjellige egenverdier Vi ønsket en enklere metode for å regne ut M k u 0, og vi er nå veldig nærme å få oppfylt dette ønsket: Fra (43) er det nå enkelt å regne ut M k x 69

17 når x er en egenvektor tilhørende λ, siden vi da har Mx λx, og altså M k x λ k x Initialvektoren u 0 vil imidlertid ikke være en egenvektor, så trikset nå blir derfor å skrive u 0 ved hjelp av egenvektorer, dvs at hvis x,, er n forskjellige egenvektorer til M tilhørende (henholdsvis) egenverdiene λ,, λ n, vil vi finne skalarer a,, a n slik at u 0 a x + + a n (49) Da får vi en enklere metode for å regne ut M k u 0 ved å bruke regnereglene for matriser: M k u 0 M k (a x + + a n ) a M k x + + a n M k (40) a λ k x + + a n λ k n Vi har sett at en egenverdi alltid har uendelig mange tilhørende egenvektorer Vi plukker ut en av egenvektorene for hver egenverdi Det er gjerne en som er opplagt å bruke, nemlig den som står foran parameteren i vår valgte parameterfremstilling Bemerkning 420 Det er viktig å merke seg at det er langt fra alle matriser som har nok egenverdier og egenvektorer til at vi får oppfylt (49) For eksempel har matrisen 3 2 M 2 kun som egenverdi med tilhørende egenvektorer s der s R, s 0 Det viktigste å merke seg er imidlertid at for de matrisene vi vil møte i forbindelse med populasjonsdynamikk vil vi få vårt ønske (49) oppfylt! For å finne a i -ene i (49), får vi igjen et lineært system som må løses, denne 70

18 gangen med a,, a n som de ukjente variablene, og vi ser på et eksempel 2 Eksempel 48 fortsetter La oss si at vi ønsker å skrive vektoren 3 ved hjelp av egenvektorer for matrisen M i Eksempel 48 For hver av de to egenverdiene 2 og 3 plukker vi ut en egenvektor, så for λ 2 velger vi 2 egenvektoren, mens for λ 3 bruker vi Vi skal altså finne tall a og b slik at 2 3 a + b 2 Det gir likningssystemet { 2 a 2 b 3 a + b som gir a 7 og b 0 (mange måter å regne ut dette på), altså er (sjekk det!) 2 Hvis vi ønsker å regne ut M n, får vi følgende regning 3 2 M n M n 2 (7 + 0 ) 3 7M n + 0M n n n n 5 3 n 7 2 n n 2 7

19 Hvis vi for eksempel setter n 8, får vi at Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? Vi kan nå fortsette vår analyse av populasjonsdynamikkproblemer La oss fullføre PiggAv-oppgaven og samtidig bruke dette eksemplet til å vise hvordan vi kan svare på det tilbakevendende spørsmålet Hva skjer med populasjonene våre ettersom tiden går? Eksempel 40 fortsetter Eksamensoppgaven starter med følgende oppgave (før vi får all teksten om bilistene): La M Vis at egenverdiene til M er og 063 og finn de tilhørende egenvektorene Vi vet nå hvordan vi skal gjøre dette Vi må løse likningen det(m λi) 0, som gir andregradslikningen λ 2 63λ (sjekk) Da får vi løsninger λ 63 ± ± som var det vi skulle vise Vi finner så egenvektorene: { 063 λ : 72

20 Vi skal oppfylle x y x y Det gir likningssystemet { { 09x + 027y x 0x + 073y y 0x + 027y 0 0x 027y 0, som gir én likning, x 27y Vi setter y s, så x 27s og får egenvektorene x 27 s y der s R, s 0 Tilsvarende regning (gjør det!) for λ 063 gir egenvektorene x s y der s R, s 0 Hvis vi nå skal løse oppgaven: I hvilket år kjører for første gang mer enn 70% av bilistene piggfritt, regner vi ikke ut tabellen (4), men skriver initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi finner a og b slik at 0 27 a + b 00 Husk å passe på rekkefølgen du velger på egenverdiene; den må nå følges resten av oppgaven, slik at tilhørende egenvektorer og egenverdier følger hverandre! For å finne a og b får vi et likningssystem som før, men med tilnærmede løsninger denne gangen (problemer fra virkeligheten får gjerne tilnærmede svar) Sjekk at vi får a 27 og b 73, dvs

21 Dermed kan vi finne et uttrykk for bruke til å løse oppgaven Vi får 0 M n, som vi kan M n M n ( ) M n + 73M n n + 73 (063) n 73 73(063) n (063) n Vi har altså andel som kjører piggfitt i år n etter 990 gitt ved 73 73(063) n (4) og andel som kjører med pigg i år n etter 990 gitt ved (063) n (42) For å svare på oppgaven, skal vi løse > 70, så vi får 73 73(063) n > 70 Hvis vi rydder i denne ulikheten, får vi (husk å snu ulikhet når vi multipliserer med et negativt tall): (063) n < 3 73 En slik likning kan vi løse ved å ta logaritmen (fra 2MX) på hver side: ln((063) n ) < ln( 3 73 ) 74

22 Da kan vi bruke en av regnereglene for logaritmer og få n ln(063) < ln( 3 73 ) Siden ln til et tall mindre enn er negativt, får vi n > ln( 3 73 ) ln(063) Til slutt bruker vi kalkulator på uttrykket på høyresiden og får n > 69, dvs n 7, og svaret er 997 Når tiden går og n vokser, ser vi av uttrykket (4), andel bilister som kjører med pigger, aldri vil overstige 73% med disse antagelsene Ettersom tiden går ser vi også at populasjonen vil stabilisere seg, og oppnå en likevekt eller en grenseverdi Dette skyldes at (063) n går mot 0 når n vokser mot uendelig (når tiden går) Definisjon 42 Hvis vi oppnår en stabil tilstand for populasjonen, kalles denne tilstanden for likevektstilstanden, og skrives u (leses u-uendelig, så kanskje vi heller skulle ha valgt v for vektoren) Matematisk skriver vi lim u k u, k som leses grenseverdien av tilstandsvektoren når k går mot uendelig er lik likevektstilstanden Dette gjelder altså når grenseverdien eksisterer, dvs vi får en vektor når vi lar k gå mot Når grenseverdien blir en vektor, sier vi også at grenseverdien konvergerer (Det er et ord som er brukt i noen eksamensoppgaver) Viktig! Når vi har skrevet initialvektoren ved hjelp av egenvektorer bruker vi (40) til å få et uttrykk for M k u 0 Siden M k u 0 u k, har vi fått et uttrykk for tilstanden til hver av underpopulasjonene ved tiden k Fra 75

23 disse uttrykkene kan vi ofte finne likevektstilstanden til populasjonen (dersom denne eksisterer), som er et viktig begrep i problemene vi vil løse Det sier oss jo nettopp hva som skjer med populasjonen ettersom tiden går Noen ganger ønsker vi også å sammenligne likevektstilstandene til underpopulasjonene, for eksempel finne likevektsforholdet mellom to underpopulasjoner x k og y k Det er gitt ved x k lim k y k Vi skal se et eksempel på det i eksemplet med MAT00-studentene etter at vi har avsluttet PiggAv-eksemplet: Eksempel 40 fortsetter I PiggAv-oppgaven blir likevektstilstanden x y lim n lim n 73 73(063) n (063) n 73 27, siden leddene (063) n blir forsvinnende små når n vokser Vi kan si at under våre antagelser vil populasjonen av bilister i Oslo konvergere mot likevektstilstanden i favør andel bilister som kjører piggfritt Det var ikke Samferdselsetaten i Oslo fornøyd med, og innførte altså PiggAv for å endre på antagelsene! Det gjorde at vi fikk opp andel bilister som kjører piggfritt fra 72% i 2004 til 762% i 2005, 807% i 2006 og 805% i 2007 (tall fra Samferdselsetaten) Eksempel 49 fortsetter La oss til slutt se hva som skjer med MAT00- studentene hvis sove- og leserutinene i Eksempel 49 følges hver dag Med andre ord, la oss finne likevektstilstanden til populasjonen av MAT00- studenter gitt antagelsene våre Overgangsmatrisen er 0 06 M, 04 76

24 og vi finner først egenverdiene til M med tilhørende egenvektorer: Vi løser likningen λ 06 det(m λi) 04 λ 0, som gir andregradslikningen λ 2 04λ 06 0 (sjekk) Da får vi løsninger λ 04 ± ± 6 2 { 06, så M har egenverdier 06 og Vi finner egenvektorene: λ 06: Vi skal oppfylle x y 06 x y Det gir likningssystemet { { 06y 06x x + 04y 06y x + y 0 x + y 0, dvs vi har én likning, x y Vi setter x t, så y t og får egenvektorene x y t der t R, t 0 Tilsvarende regning (gjør det!) for λ gir egenvektorene der s R, s 0 x y s For å finne likevektstilstanden, må vi finne et uttrykk for u n og se hva 06 77

25 som skjer med denne vektoren når n går mot uendelig Trikset er altså å skrive initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi må finne a og b slik at a + b 0 Dette gir et likningssystem med løsning a 875 og b 875 (sjekk det!), dvs Dermed kan vi finne et uttrykk for M n, som vi kan 0 bruke for å finne likevektstilstanden til MAT00-studentene Vi får M n M n ( ) M n + 875M n n ( 06) n ( 06) n ( 06) n Vi har altså antall MAT00-studenter som leser ved dag n gitt ved ( 06) n og antall som sover ved dag n gitt ved ( 06) n Siden ( 06) n blir forsvinnende lite når n går mot uendelig, får vi likevekt- 78

26 stilstanden x y lim n lim n ( 06) n ( 06) n , dvs at populasjonen av 300 MAT00-studenter stabiliserer seg (under våre antagelser) på 375% som leser og 625% som sover Likevektsforholdet mellom de som leser og de som sover er gitt ved ( 06) n lim lim n n ( 06) 25 n Vi merker oss at vi ikke har tilnærmet noen tall i denne oppgaven (siden dette ikke er et problem fra virkeligheten!) 44 Nå skal du kunne definisjonene av: tilstandsvektor, initialvektor, overgangsmatrise, egenverdi, egenvektor, karakteristisk likning til en matrise, likevektstilstand forklare hva populasjonsdynamikk dreier seg om, herunder gjøre rede for begreper og antagelser som inngår finne overgangsmatrisen til et populasjonsdynamikkproblem ut fra gitt tekst og bruke matriseteori til å løse oppgaver i populasjonsdynamikk ha muligheten til å få A på eksamensoppgaver i temaet lineære likningssystemer, vektorer og matriser i MAT00 79

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

4.9 Anvendelser: Markovkjeder

4.9 Anvendelser: Markovkjeder 4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Halveringsmetoden igjen a) I skriptet vårt fra leksjon 6 skal altså linje 16 erstattes med while abs(b-a)>1e-3. Når vi gjør

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Systemer av første ordens lineære differensiallikninger

Systemer av første ordens lineære differensiallikninger Kapittel 4 Systemer av første ordens lineære differensiallikninger Differensiallikninger, forkortet difflikninger, er svært viktige, og dukker opp nærmest overalt i anvendelser. En difflikning er en likning

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 10

Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Kapittel 5 Exercise 6 Hva er innavlskoeffisienten for individ I i følgende stamtre? Svar: Her er det best å bruke en annen metode enn løkkemetoden. Slektskapskoeffisientmetoden

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus.

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer