Lineærtransformasjoner

Transkript

1 Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige vektorer og vektorrom trenger vi også å se på funksjoner som tar inn vektorer og gir ut vektorer For to vektorrom V og W er vi interessert i de funksjonene fra V til W som bevarer vektorromsstrukturen Slike funksjoner kaller vi lineærtransformasjoner Det følger umiddelbart fra definisjonen at en funksjon f : A B er surjektiv hvis og bare hvis bildet til funksjonen er hele kodomenet: im f B Oppgave: Sjekk om følgende funksjoner er injektive eller surjektive: f : R R, f(x) x g : R R, g(x) e x h: R R, h(x) x + Funksjoner Siden lineærtransformasjoner er en spesiell type funksjoner, begynner vi med å minne om en del generelle ting om funksjoner Aller først definerer vi presist hva en funksjon er for noe En funksjon består av tre ting: En mengde som kalles funksjonens domene En mengde som kalles funksjonens kodomene En regel som til hvert element i domenet tilordner et element i kodomenet Vi bruker notasjonen f : A B for å angi at f er en funksjon med mengden A som domene og mengden B som kodomene (Mengdene som er tilknyttet en funksjon er også kjent under andre navn Domenet kan også kalles definisjonsmengden til funksjonen, og kodomenet kan også kalles verdimengden) Fra før er du antagelig mest vant til funksjoner som har mengden R av reelle tall som både domene og kodomene Ofte er regelen for funksjonen gitt ved et aritmetisk uttrykk som for eksempel f(x) x + Men det kan også være en regel som f(x) sin x eller f(x) e x etc Følgende egenskaper vil spille en stor rolle for oss Definisjon av lineærtransformasjoner En lineærtransformasjon er en funksjon mellom vektorrom som bevarer vektorromsstrukturen Det vil si at vi kan utføre addisjon eller skalarmultiplikasjon før vi anvender funksjonen eller etterpå, og resultatet skal bli det samme Vi gjør dette presist i følgende definisjon Definisjon La V og W være vektorrom En funksjon : V W er en lineærtransformasjon hvis den oppfyller følgende to kriterier: (u + v) (u) + (v) for alle u og v i V (cu) c (u) for alle vektorer u i V og alle skalarer c Vi kan illustrere de to kravene til en lineærtransformasjon slik: u u + v v (u) (u + v) (v) Definisjon La f : A B være en funksjon Vi sier at f er injektiv (eller en-til-en) hvis det for hver b i B er maksimalt én a i A slik at f(a) b Vi sier at f er surjektiv (eller på) hvis det for hver b i B finnes en a i A slik at f(a) b Bildet til f er mengden av alle elementer i kodomenet som blir truffet av f, altså delmengden u c u (c u) (u) av B im f {f(a) a A} Lineærtransformasjonen bevarer addisjon og skalarmultiplikasjon

2 Eksempel 8 Vi definerer : R R ved: x x x x x x La oss nå sjekke om denne funksjonen er en lineærtransformasjon Vi regner ut: u v u + v u + v u + v u v u + v (u + v ) (u + v ) (u + v ) u v + u u v v u v u + v u v Funksjonen oppfyller altså kravet om å bevare addisjon Vi sjekker at den også oppfyller kravet om å bevare skalarmultiplikasjon: u cu c u cu u cu u c c u u (cu ) cu (cu ) u u u Vi har nå sjekket at funksjonen oppfyller begge kravene i definisjonen, så den er en lineærtransformasjon Eksempel 8 Vi definerer : R R ved: () x x + x x + x Nå kan vi for eksempel legge merke til at ( (, men ) ) Vi har altså ( (, ) ) så er ikke en lineærtransformasjon 6 Her er noen egenskaper ved lineærtransformasjoner som følger ganske enkelt fra definisjonen, kombinert med aksiomene for vektorrom: eorem 8 Hvis : V W er en lineærtransformasjon, så oppfyller den følgende (a) En lineærkombinasjon i V sendes til den tilsvarende lineærkombinasjonen i W : (c v + c v + + c r v r ) c (v ) + c (v ) + + c (v r ) (b) Nullvektoren i V sendes til nullvektoren i W : () Dette teoremet viser oss også en gang til at det er veldig behagelig å jobbe med vektorrom For enhver lineærtransformasjon er fullstendig bestemt når vi vet hva den gjør med en basis eorem 84 La V og W være endeligdimensjonale vektorrom og la : V W være en lineærtransformasjon Anta B (b,, b n ) er en basis for V Da er fullstendig bestemt av bildene (b ),, (b n ) til basisvektorene Bevis Vi vet at enhver vektor v i V kan skrives på en entydig måte som en lineærkombinasjon v c b + + c n b n Fordi er en lineærtransformasjon, er da (v) gitt ved (v) c (b ) + + c n (b n ) Eksempel 8 Anta at : R R er en lineærtransformasjon slik at () () og Kan vi ut fra dette finne ut hva () 8 må være? Vi ser at vi kan skrive 8 som en lineærkombinasjon av og : 8 4 Ved å bruke teorem 8 (a) får vi nå: ( ( 8 4 ) ) () () 4 4 Mer generelt kan vi se at siden de to vektorene og utspenner R, er det nok å vite hva gjør med hver av disse for å vite hva den gjør med en hvilken som helst vektor Spørsmål: La R θ : R R være funksjonen som roterer planet med vinkelen θ Er R θ en lineærtransformasjon? Nå har vi sett noen eksempler på lineærtransformasjon mellom vektorrom på formen R n Vi tar med ett eksempel på en lineærtransformasjon der domenet er et litt annerledes vektorrom

3 Eksempel 86 Vi husker fra forrige kapittel at C(R) er vektorrommet som består av alle kontinuerlige funksjoner fra R til R La : C(R) R være funksjonen gitt ved: (f) f() f() Hvis vi for eksempel ser på en funksjon f : R R i C(R) gitt ved f(x) x +, så har vi: (f) f() f() 4 Vi sjekker at er en lineærtransformasjon: (f + g)() f() + g() (f + g) (f + g)() f() + g() f() g() + (f) + (g) f() g() (cf) (cf)() c (cf)() f() c (f) f() Vi kan observere at for enhver vektor a b i R kan vi definere en funksjon f i C(R) ved f(x) (b a)x + a, Eksempel 87 La : R R være lineærtransformasjonen gitt ved: () x x x x x x Vi vil finne kjernen og bildet til Vi ser at en vektor x x blir sendt til nullvektoren hvis og bare hvis de to komponentene x og x er samme tall, så kjernen blir mengden { a ker a R} a Siden x x (x x ), ser vi at alle vektorer vi når ved å anvende må være på formen a a Vi ser dessuten at vi kan nå alle slike vektorer, siden vi for hvert tall a har at () a a a Det betyr at { a im a R} a og da får vi: (f) f() f() a b Vi har altså at både kjernen og bildet er rette linjer i R : ker Dette betyr at funksjonen treffer alle vektorene i R, slik at im R, og er surjektiv Men er ikke injektiv: Vi kan for eksempel se på to funksjoner f og g i C(R) gitt ved: Da har vi at f(x) og g(x) x x (f) (g), men f g, så er ikke injektiv Kjerne og bilde For enhver funksjon f : A B har vi definert bildet im f, som er delmengden av kodomenet B bestående av alle elementer funksjonen treffer For en lineærtransformasjon har vi også en delmengde av domenet som det er naturlig å knytte til lineærtransformasjonen, nemlig mengden av alle vektorer som sendes til nullvektoren Definisjon La : V W være en lineærtransformasjon Kjernen til er mengden av alle vektorer i V som blir sendt til nullvektoren i W : ker {v V (v) } im Spesielt betyr dette at både bildet og kjernen er underrom av R I eksempelet hadde vi en lineærtransformasjon med R som både domene og kodomene, og vi så at både bildet og kjernen ble underrom av R Dette var ingen tilfeldighet, for vi kan vise generelt at kjernen til en lineærtransformasjon alltid må være et underrom av domenet, og bildet alltid et underrom av kodomenet eorem 88 La : V W være en lineærtransformasjon (a) Kjernen ker er et underrom av V (b) Bildet im er et underrom av W Vi vet at en lineærtransformasjon : V W er surjektiv hvis og bare hvis im W (dette holder generelt for alle funksjoner, ikke bare lineærtransformasjoner) Vi skal nå se at det på samme måte er en nær sammenheng mellom kjernen til og hvorvidt er injektiv

4 Hvis er injektiv, så er det maksimalt én vektor i V som sender til nullvektoren i W Men vi vet jo at må sende nullvektoren i V til nullvektoren i W Dermed får vi at ker {} Vi kan også vise at den motsatte implikasjonen holder, og da får vi følgende teorem eorem 89 En lineærtransformasjon : V W er injektiv hvis og bare hvis ker {} Bevis Vi har allerede vist at hvis er injektiv, så er ker {} Da gjenstår det å vise at hvis ker {}, så er injektiv Vi antar derfor at ker {}, og vi ser på to vektorer u og v i V som er slik at (u) (v) Vi vil vise at dette medfører at u og v må være den samme vektoren Vi kan flytte over (v) til venstre side og få: (u) (v) Men (u) (v) er det samme som (u v), siden er en lineærtransformasjon Dermed har vi (u v), som betyr at u v ligger i kjernen til Antagelsen vi startet med var at den eneste vektoren i kjernen til er nullvektoren, så dette vil si at u v, altså at u v Vi har altså vist at hvis (u) (v), så er u v, og det vil si at er injektiv Dette teoremet forteller oss at det er lettere å finne ut om en lineærtransformasjon er injektiv enn om en vilkårlig funksjon er injektiv Det eneste vi trenger å sjekke er hva kjernen er, altså hvilke vektorer sender til nullvektoren Oppgave: La : V W være en injektv lineærtransofrmasjon La v,, v n være vektorer i V Vis at v,, v n er lineært uavhengige i V hvis og bare hvis (v ),, (v n ) er lineært uavhengige i W Lineærtransformasjoner gitt ved matriser La A være en reell m n-matrise Da kan vi definere en funksjon : R n R m ved (x) Ax Dette blir en lineærtransformasjon, siden vi (ved å bruke regneregler for matriser) får at (u + v) A (u + v) Au + Av (u) + (v) (cu) A (cu) c (Au) c (u) for alle vektorer u og v i V, og alle skalarer c Eksempel 8 La A være -matrisen A, 7 og definer en lineærtransformasjon : R R ved (x) Ax Det å spesifisere på denne måten gjør at vi kan besvare spørsmål om ved å benytte regneteknikkene vi kjenner for matriser Hvis vi for eksempel lurer på hva ( ) blir, så er det bare å regne ut: () 7 9 Hvis vi lurer på om det finnes noen vektor x i R slik at (x), så er det bare å løse likningssystemet Ax på vanlig måte med gausseliminasjon Svaret blir ja, det finnes en slik x, nemlig / x / Som vi så i eksempelet, kan vi alltid få til å besvare spørsmål av typen hva er (v)? og finnes det noen x slik at (x) b? når lineærtransformasjonen er definert ved en matrise A Vi kan også bruke matrisen til å regne ut kjernen og bildet til Kjernen ker er definert som mengden av alle vektorer v slik at (v) Men når (x) Ax for alle x, blir dette det samme som mengden av alle vektorer v slik at Av, og det er nullrommet til A Vi får altså at ker Null A Bildet im er alle vektorer som kan skrives som (v) Når (x) Ax, blir dette det samme som alle vektorer som kan skrives som Av Det er det samme som alle lineærkombinasjoner av kolonnene i A, altså kolonnerommet til A Vi får altså at im Col A Vi oppsummerer det vi har vist nå i et teorem eorem 8 La A være en m n-matrise, og la : R n R m være lineærtransformasjonen gitt ved (x) Ax Da er ker Null A og im Col A Det er altså mange grunner til at det er fordelaktig å ha lineærtransformasjonene våre gitt ved matriser Hvis vi har en lineærtransformasjon : R n R m som ikke er gitt ved en matrise, kan det derfor være nyttig å prøve å finne en matrise A slik at (x) Ax for alle vektorer x i R n I det neste eksempelet gjør vi nettopp dette 4

5 Eksempel 8 La e og e være enhetsvektorene i R, og la : R R være en lineærtransformasjon slik at (e ) 7 og (e ) 8 Basert på dette kan vi finne ut hva (x) er for en vilkårlig vektor x i R Vi kan nemlig skrive x x x e + x e, og da får vi: x (x) (x e + x e ) x (e ) + x (e ) x 7 + x x Her har vi endt opp med å skrive lineærtransformasjonen ved hjelp av en matrise La A være denne matrisen: A (e ) (e ) 7 8 Da har vi altså at (x) Ax for alle vektorer x i R På samme måte som i dette eksempelet kan vi skrive enhver lineærtransformasjon : R n R m på matriseform ved å lage en matrise av vektorene som sender enhetsvektorene i R n til Vi beskriver det generelle tilfellet i et teorem eorem 8 La : R n R m være en lineærtransformasjon Da finnes en m n-matrise A slik at (x) Ax for alle x i R n Matrisen A er entydig bestemt av, og er gitt ved (e ) (e ) (e n ), der (e, e,, e n ) er standardbasisen for R n Definisjon Matrisen A i teorem 8 kalles standardmatrisen til lineærtransformasjonen Oppgave: La R θ : R R igjen være lineærtransformasjonen som roterer planet med vinkelen θ Finn standardmatrisen til R θ Vi kan bruke standardmatrisen også for å sjekke om en lineærtransformasjon er injektiv eller surjektiv Det er en del av øvingene å bevise det følgende teoremet eorem 84 La : R n R m være en lineærtransformasjon og la A være standardmatrisen til Da vet vi: er surjektiv hvis og bare hvis kolonnene i A utspenner hele R m er injektiv hvis og bare hvis kolonnene i A er lineært uavhengige Spørsmål: La være som i teoremet Hvis er både injektiv og surjektiv, hva vet vi da om m og n? Merk Sammenhengen mellom lineærtransformasjoner og matriser forklarer også hvorfor matrisemultiplikasjon er definert som den er definert For hvis A er standardmatrisen til en lineærtransformasjon : R m R n og B er standardmatrisen til en lineærtransformasjon S : R k R m Standardmatrisen til komposisjonen til S og, dvs til lineærtransformasjonen S : R k R n, er da matrisen A B Merk Vi har bare sett på reelle matriser og reelle vektorrom i dette avsnittet Men alt vi har gjort gjelder også for en kompleks m n-matrise A I dette tilfellet definerer A en lineærtransformasjon : C n C m, (x) Ax Og enhver lineærtransformasjon : C n C m har en standardmatrise som vi får ved å bruke akkurat den samme formulen som i teorem 8 Lineærtransformasjoner og basiser Faktisk kan vi gjøre teorem 8 mer generelt Så lenge vektorrommene våre er endeligdimensjonale, kan enhver lineærtransformasjon beskrives ved en matrise Men det krever at vi velger en basis for hvert vektorrom eorem 8 La V og W være endeligdimensjonale vektorrom, og la B og C være basiser for henholdsvis V og W La : V W være en lineærtransformasjon Da finnes en matrise A slik at (x) C A x B for alle vektorer x i V Kolonnene i A er C -koordinatvektorene til vektorene (b ),, (b n ): A (b ) C (b ) C (b n ) C Egentlig er det et valg av basis involvert i teorem 8 også Der har vi valgt å bruke standardbasisene for R n og R m For et vilkårlig vektorrom V har vi ikke nødvendigvis noen slik basis som er det åpenbare valget Derfor burde vi prøve å forstår hva som skjer nå vi skifter fra en basis til en annen Hvis vi anvender teoremet 8 til identitetsfunksjonen, så får vi en matrise som beskriver hvordan koordinatene endrer seg når vi skifter basiser

6 eorem 86 La V være et n-dimensjonalt vektorrom, og la B (b, b,, b n ) og C (c, c,, c n ) være to basiser for V Da finnes en n n-matrise A slik at x C A x B for alle vektorer x i V Kolonnene i A er C -koordinatvektorene til basisvektorene i B: A b C b C b n C Eksempel 87 La V være R, C E (e, e ) være standardbasisen og B være basisen B (b, b ) ( 4, ) Vektorene b og b er koordinatene i standardbasisen Det betyr at matrisen A fra teomeret er bare 4 A Vektoren v med koordinatene med hensyn på B gitt ved v B har standardkordinatene v E A v B 4 8 For å gå fra koordinatene med hensyn på B til koordinatene med hensyn på standardbasisen E må vi bruke den inverse matrisen til A: Da får vi A det A 4 v B A v E Eksempel 88 La V igjen være R, men denne gangen ser vi på to basiser som ikke er standardbasisen Så la B være basisen B (b, b ) og la C være basisen C (c, c ) ( 9, (, 4 ) ) Vi vil finne matrisen A som beskriver overgangen fra basis B til C Vi vet fra teoremet at kolonnene i matrisen A er gitt ved koordinatene til b og b med hensyn på basisen C For å finne koordinatene skriver vi - matrisen som består av kolonnevektorene c, c på venstre og -matrisen som består av kolonnevektorene b, b på høyre Så gausseliminerer vi matrisen på venstre til enhetsmatrisen og utfører de samme radoperasjonene på matrisen på høyre Resultaten på høyre blir matrise A: 9 c c b b Altså er koordinatene b og b med hensyn på basisen C gitt ved 6 4 b C og b C Matrisen A som beskriver basisskiftet fra B til C er 6 4 A Basisskiftet fra C til B er gitt ved inversen til A: A 4 6 Det betyr at koordinatene til c og c med hensyn på basis B er henholdsvis c B 4 6 og Isomorfi c B 4 6 il slutt i dette kapitlet ser vi på hvordan vi kan bruke lineærtransformasjoner til å beskrive at to vektorrom er strukturelt like Med dette mener vi at de oppfører seg på akkurat samme måte som vektorrom, selv om de kan bestå av helt forskjellige elementer Da vil vi si at de to vektorrommene er isomorfe For å kunne definere dette, trenger vi først et begrep om inverser for lineærtransformasjoner Definisjon La : V W være en lineærtransformasjon En invers til er en lineærtransformasjon S : W V som er slik at S( (v)) v for alle v i V, og (S(w)) w for alle w i W Vi vil si at to vektorrom er isomorfe hvis det er mulig å bevege seg frem og tilbake mellom dem ved hjelp av lineærtransformasjoner som bevarer all informasjonen om vektorrommene Vi vil altså ha en situasjon slik som dette, der og S er hverandres inverser: V S W 6

7 Definisjon Hvis : V W er en lineærtransformasjon som har en invers, så er en isomorfi Da sier vi dessuten at vektorrommene V og W er isomorfe, og vi skriver V W En konkret måte på å sjekke om en lineærtransformasjon er en isomorfi er ved hjelp av injektivitet og surjektivitet eorem 89 En lineærtransformasjon er en isomorfi hvis og bare hvis den er både injektiv og surjektiv Eksempel 8 Vi lar V være underrommet { V Sp } i R utspent av vektoren Da er V et endimensjonalt vektorrom, og geometrisk sett er det en linje Vektorrommet V ser ut og oppfører seg akkurat som vektorrommet R Forskjellen er bare at elementene ser forskjellige ut Hvert element i V er en vektor på formen t t mens hvert element i R er bare et tall V R på følgende måte: S ( v (p) v ) a a for et polynom p definert ved p(x) a x + a, q, der q er polynomet definert ved q(x) v x + v Det er lett å sjekke at og S er lineærtransformasjoner, og at de er hverandres inverser Dermed er de isomorfier, og vi får at P C I dette eksempelet viste vi at det todimensjonale komplekse vektorrommet P er isomorft med C På tilsvarende måte kan vi vise at ethvert todimensjonalt komplekst vektorrom er isomorft med C, og mer generelt at ethvert n-dimensjonalt komplekst vektorrom er isomorft med C n eorem 8 Hvis V er n-dimensjonalt komplekst vektorrom, så er V isomorft med C n Og hvis W er et n-dimensjonalt reelt vektorrom, så er W isomorft med R n Faktisk er det å finne en isomorfi mellom C n og V det samme som å velge en basis for V For hvis vi har en isomorfi : C n V, så er ( (e ), (e ),, (e n )) en basis for V Omvendt hvis vi har en basis (b,, b n ) for V, så kan vi definere en isomorfi : C n V ved å sende e til b, e til b,, e n til b n Lineærtransformasjonen er dermed fullstendig bestemt De to vektorrommene V og R Det at V og R ser like ut kan vi gjøre mer presist ved å vise at de er isomorfe Vi definerer lineærtransformasjoner ved: : V R og S : R V () t t S(x) t x x Vi kan lett sjekke at disse faktisk er lineærtransformasjoner, og vi ser at de er hverandres inverser Det betyr at de er isomorfier, og de viser dermed at V R Eksempel 8 Vi husker at P er vektorrommet som består av alle polynomer av grad eller lavere, altså alle funksjoner på formen p(x) a x + a Polynomet p er entydig bestemt av de to tallene a og a, og vi vet at addisjon og skalarmultiplikasjon av polynomer foregår ved å addere eller skalarmultiplisere hver koeffisient Hvis vi bare ser på hva som skjer med koeffisientene, så ligner altså vektorrommet P veldig på C Vi definerer to lineærtransformasjoner : P C og S : C P 7