(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

Transkript

1 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave om å sjekke at noe er et vektorrom: det er jo kjedelig å sjekke de 10 betingelsene! Sannsynligheten for at én av eksamensoppgavene er om å sjekke at noe er et underrom (a subspace) i et kjent vektorrom, er ikke null, men ganske liten. Det er jo morsommere å sjekke tre betingelser (som i Th eller Definisjon 5.2 nedenfor) istedenfor ti (som i Def ), men kjedelig likevel. I eksamensoppgavene fra 2006, , og , som jeg laget, står det noe slik: W er et underrom (du behøver ikke å bevise dette), og deretter begynner noe mer interessant: å finne dimensjonen, en basis osv. For å definere n-rommet (the n-space) R n, vil vi ikke bruke n-tupler (ntuples, Def ) av reelle tall, men matriser (radvektorer eller kolonnevektorer) i stedet. Tupler skal vi bruke senere på et høyere nivå (tupler av vektorer). Noen eksempler fra boka kan bli forvirrende for dere. Se på Ex med en merkelig egenskap 1+1 = 1, eller oppgave 4.2. Mengden i oppgaven tilfredsstiller flere aksiomer til et vektorrom (ikke alle!), men nullvektoren er 0 = (1, 1), ikke (0, 0)! Jeg vil unngå slike eksempler på eksamen. Enda mer: vi skal begrense oss med følgende vektorrom (og deres underrom): R n, matriser Mat m n, funksjoner (sjeldent!) og polynomer P n. Vi gir 4 forskjellige definisjoner til R n. Det er ikke tillatt å gjøre slik i matematikk (definere samme objekt på 4 forskjellige måter), men vi håper at dette ikke er farlig. Dvs. vi har fire forskjellige R n. Vi kan si at de er like, men dette er ikke matematisk korrekt! Det er bedre å si at de er isomorfe (Def ). Begrepene isomorfi og isomorfe objekter brukes ofte i diverse matematiske fag. Isomorfe objekte har absolutt samme egenskaper. La oss betrakte to trekanter ABC og DEF. Begge er rettvinklede, med sidene 3cm, 4cm, og 5cm. Den ene er tegnet på tavla med hvit kritt i det Store Aud i Tromsø. Den andre er tegnet på en tavle et sted i Australia med rød kritt. Er de like? Nei, ABC DEF! Men de er jo kongruente ( dvs. isomorfe mht geometri. De har samme geometriske egenskaper: arealet, lengden til høyden fra C (F ) til AB (DE), radien i den innskrevne/omskrevne sirkelen osv. Merknad 5.1 Ordet isomorf oversettes fra gresk til norsk som formlik. Men formlikhet er et svakere begrep enn kongruens. Hvis den andre trekanten DEF har sidene 9cm, 12cm, og 15cm, er den formlik til ABC, men ikke kongruent, dvs. ABC og DEF blir da ikke geometrisk isomorfe. 1. Hovedeksemplet er n-rommet R n (Def ). Vi skal se senere (Seksjon Hovedprinsippet ) at alle (endelig dimensjonale) vektorrom kan beskrives som (er isomorfe til) R n. 43

2 (a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer a 1 a 2, a i R. a n (b) R n defineres som mengden av radvektorer [a 1, a 2, a 3,, a n ], a i R. (c) La n < m. R n defineres som delmengden i R m som består av kolonnevektorer a 1 a 2 a n, a i R. 0 0 (d) La n < m. R n defineres som delmengden i R m som består av radvektorer [a 1, a 2,, a n, 0,, 0], a i R. R 0 består av en tom matrise [] som spiller rollen av nullvektoren: R 0 = {0} = {[]}. Denne tomme matrisen kan betraktes enten som en tom kolonnevektor, dvs. en 0 1 matrise, eller som en tom radvektor, dvs. en 1 0 matrise. Hvis n 3 (særlig når n = 1, 2), kan man bruke geometri (Ch. 3 i boka) for å tegne vektorer, vektorrom, underrom osv. i R n. 2. m n matriser Mat m n. Kan beskrives som R mn. 3. Funksjoner. Alle (evt. kontinuerlige, deriverbare) funksjoner danner et uendelig dimensjonalt vektorrom. Med det finnes mange endelig dimensjonale underrom som kan beskrives som R n. 4. Polynomer P n av grad (degree) n, dvs. funksjoner f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 + a n x n, a i R. Kan beskrives som R n+1. Vi skal foreløbig arbeide kun med R n. Vektorrom nr. 2-4 vil bli betraktet senere. Det blir forklart hva beskrives som R n betyr. 44

3 5.1 Underrom Vi bytter Th og Def Teoremet blir da en definisjon. Men vi forbedrer teoremet litt. I boka sies det implisitt at underrommet skal være ikke-tom (a set of one or more vectors), dvs. det skal inneholde minst én vektor. Men denne betingelsen er mye lettere å sjekke hvis vi vet hvilken vektor som er med! Vår endelig definisjon (korrigert Th ) er nedenfor. Husk at kvantoren (quantifier på engelsk) betyr for alle eller for enhver eller for ethvert, mens kvantoren betyr det eksisterer. Definisjon 5.2 La V være et vektorrom, og W V en delmengde ( subset). Vi sier at W er et underrom ( subspace) dersom: a) v w (v, w W = v + w W ), dvs. for alle par v, w vektorer fra W er deres sum også i W. b) α w (α R, w W = α w W ), dvs. for envher skalær α og enhver vektor w fra W er deres produkt α w også i W. c) 0 W. Merknad 5.3 For å sjekke at noe er et underrom (eller ikke et underrom), er det lurt å begynne med c). For eksempel, la V = R 2, og W være en rett linje som ikke går gjennom origo. Da er W ikke et underrom, siden 0 W. Merknad 5.4 Nullvektoren i c) er den samme nullvektoren som rommet V har, ikke noen merkelig vektor som (1, 1) i oppgave 4.2. Merknad 5.5 I løpet av dette kurset er skalærer reelle tall, dvs. vi studerer vektorrom over kroppen ( the field: begrepet defineres for eksempel i kurset Algebra 1) R. Alle slike vektorrom er isomorfe til R n. Kun i Ch. 5.3 i slutten av kurset vil vi arbeide med komplekse skalærer, dvs. betrakte vektorrom over kroppen C. Alle slike vektorrom er isomorfe til C n. De som tar Algebra 1, vil studere vektorrom over kroppen Q (er isomorfe til Q n ). I mer avanserte kurs som kryptografi eller kodeteori, studerer man vektorrom over kroppen Z p (restene modulo p), som er isomorfe til (Z p ) n. 5.2 De tre viktigste begrepene Begrepene er: en basis (a basis) (viktigst av alle), spennet eller utspenningsrommet til (the space spanned by) vektorer, og lineært avhengige/uavhengige (linearly dependent/independent) vektorer. Vi bytter av og til teoremer/definisjoner i boka, og endrer selve definisjonene. I definisjonene i boka snakker man om mengder {g 1, g 2,, g k } 45

4 av vektorer. Det er ikke lurt, se Remark etter Def i boka. Vi vil snakke om tupler (g 1, g 2,, g k ) i stedet, siden rekkefølgen av vektorer er vesentlig. Vi bruker runde parenteser for tupler, i motsetning til kvadratiske parenteser for matriser og vektorer. Merknad 5.6 Hva er forskjellen mellom tupler og mengder? La a, b, c være forskjellige vektorer. 1. I mengder, er ikke rekkefølgen av elementene vesentlig, dvs. {a, b, c} = {c, b, a} = {b, c, a}, mens tuplene er forskjellige. (a, b, c), (c, b, a), (b, c, a) 2. I mengder, kan elementene bli skrevet ned flere ganger uten å påvirke resultatet, dvs. mens tuplene {a, b, c} = {a, a, a, b, c, c} = {a, b, b, b, b, c, c, c, c, c} (a, b, c), (a, a, a, b, c, c), (a, b, b, b, b, c, c, c, c, c) er forskjellige. De har t.o.m. forskjellige størrelser, dvs. det første er et 3-tuppel, det andre er et 6-tuppel, og det siste er et 10-tuppel. Vi vil skrive (g 1, g 2,, g k ) V hviss (= hvis og bare hvis) g i V for alle i Intuitive definisjoner Vi har jo en intuitiv forståelse av dimensjonen dim V til et vektorrom V (the dimension of a vector space V ). Det er klart at: dim R 0 = 0, dim R 1 = 1, dim R 2 = 2, dim R 3 = 3, dim R n = n. 46

5 La V være et underrom i R n, n 3. Geometrisk er V enten {0} (dim V = 0), en rett linje som går gjennom origo (dim V = 1), et plan som går gjennom origo (dim V = 2) eller hele rommet R 3 (dim V = 3). La være et k-tuppel av vektorer i V. G = (g 1, g 2,, g k ) V, Definisjon 5.7 (intuitiv, se også Th ) 1. Vi sier at G er en basis ( a basis) for V hviss G kan brukes for å lage et koordinatsystem for V. Da er k = dim V, og enhver vektor w V har tilsvarende koordinatvektoren [w] G = (Def ) til w mht basisen G ( the coordinate vector of w relative to the base G). α 2 α k 2. Vi sier at G utspenner V (G spans V ) hviss: (a) enten k = dim V, og G er en basis for V ; (b) eller k > dim V, og vi kan slette noen vektorer fra G for å få en basis for V. 3. Vi sier at G er lineært uavhengig ( linearly independent) hviss: (a) enten k = dim V, og G er en basis for V ; (b) eller k < dim V, og vi kan utvide G med noen vektorer fra V for å få en basis for V. Merknad 5.8 For ethvert tuppel G V, finnes det alltid et unikt underrom W V, som G utspenner. Dette underrommet betegnes som W = span (G), og kalles spennet til G (the span of G). Eksempel 5.9 La V = {0}. Det er ikke korrekt å si at V har ingen basis. Alle vektorrom har en basis! Dette rommet har en tom basis Tuplene G = (). H = (0), J = (0, 0), K = (0, 0, 0), utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. 47

6 Eksempel 5.10 (se Ex og Fig ) La V være en rett linje som går gjennom origo. Hvis g 0 og g V, så danner en basis for V. Tuplene G = (g) H = (0, g), J = (g, g), K = (2g, 12 ) g, 0,10g, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Tuppelet L = (0) utspenner ikke V, span (L) = {0}. Eksempel 5.11 (se Ex og Fig ) La V være et plan som inneholder origo. Hvis g 1, g 2 V, og de to vektorene ikke ligger på en rett linje, så danner en basis for V. Tuplene G = (g 1, g 2 ) H = (g 1, g 2, g 1 + g 2 ), J = (g 1, g 2, g 1 ), K = (2g 1, 12 ) g 1 5g 2,10g 1, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Tuppelet L = ( 2g g 2, 4g 1 g 2 ) utspenner ikke V, og span (L) er den rette linjen som går gjennom vektoren 2g g 2. Vi kan ikke utvide L for å få en basis for noe, derfor er L lineært avhengig. Eksempel 5.12 La V = R 3. ligger i et plan, så danner en basis for V. Tuplene Hvis g 1, g 2, g 3 V, og de tre vektorene ikke G = (g 1, g 2, g 3 ) H = (g 1, g 2, g 3, g 2 ), J = (g 1, g 2, g 3 6g 1, g 2 ), K = (2g 1, 12 ) g 1 5g 2,10g 3, g 2, utspenner V, men danner ikke en basis. De er lineært avhengige. Tuppelet L = (2g 1, 12 ) g 1 5g 2 48

7 utspenner ikke R 3, men kan utvides til en basis for R 3, for eksempel L L = (2g 1, 12 ) g 1 5g 2, g 3. Derfor er L lineært uavhengig, men L utspenner ikke V, 5.3 Formelle definisjoner Spennet span (L) = R 2 R 3. Definisjon 5.13 (se Th , Def og Th ) Gitt et vektorrom V og et underrom W V. Vi sier at G = (g 1, g 2,, g k ) W, utspenner W (G spans W ) hviss én (eller alle!) av de følgende ekvivalente betingelsene er oppfylt: 1. W består av alle mulige lineære kombinasjoner (se Def ) α i R, g 1 + α 2 g α k g k, dvs. W = { g 1 + α 2 g α k g k α i R}. 2. For enhver w W, har vektorlikningen w = g 1 + α 2 g α k g k minst én (faktisk, enten én eller uendelig mange) løsning dvs. [,α 2,,α k ] R k, ( w W ) ( [,α 2,,α k ] R k) (w = g 1 + α 2 g α k g k ). 3. W er det minste underrom som inneholder G. 4. Enten k = dim W, og G er en basis for W, eller k > dim W, og vi kan slette noen vektorer fra G for å få en basis for W. Vi skriver da W = span (G). W kalles spennet til G ( the space spanned by G, eller span of G). 49

8 5.3.2 Lineært uavhengige vektorer Definisjon 5.14 (Def , Th og Th ) Gitt et vektorrom V og et k-tuppel G = (g 1, g 2,, g k ), g i V. Vi sier at tuppelet G er lineært uavhengig hviss én (eller alle!) av de følgende ekvivalente betingelsene er oppfylt: 1. Vektorlikningen har nøyaktig én løsning g 1 + g α k g k = 0 α 2 α n = 2. For enhver w V, har vektorlikningen Rk. g 1 + g α k g k = w høyst én (dvs. én eller ingen) løsning α 2 Rk. α n 3. Ingen av vektorene g i kan utrykkes som en lineær kombinasjon av de andre vektorene fra G. 4. Enten k = dim V, og G er en basis for V, eller k < dim V, og vi kan utvide G med noen vektorer fra V for å få en basis for V Basis Definisjon 5.15 (Def og Th ) Gitt et vektorrom V og et k-tuppel G = (g 1, g 2,, g k ), g i V. Vi sier at tuppelet G er en basis for V hviss én (eller alle!) av de følgende ekvivalente betingelsene er oppfylt: 1. G er lineært uavhengig, og V = span (G). 50

9 2. For enhver vektor w V eksisterer det en unik vektor α 2 Rk α k slik at dvs. w = g 1 + g α k g k, ( w V ) (! [, α 2,, α k ] R k) (w = g 1 + g α k g k ). Vektoren [w] G = kalles koordinatvektoren (Def ) til w mht basisen G ( the coordinate vector of w relative to the base G). Merknad 5.16 (Th og Def i boka) Alle basiser for et vektorrom V har det samme antallet elementer som heter dimensjonen (dim V ) til V ( the dimension of V ). α 2 α k 51