GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

Transkript

1 Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon. Nærmere bestemt: Hvis så er 3. Hvis så er, k = skalar Til slike vektorrom har vi også knyttet en rekke begreper som lineære transformasjoner, kernel, image, span, lineær uavhengighet, basis, dimensjon, koordinater, osv. Men disse reglene og begrepene kan også benyttes for en rekke andre matematiske objekter, som matriser, polynomer, m.m. Eksempel 1: Gitt differensiallikningen med løsningsmengde V Én løsning er En annen løsning er Både og er altså med i løsningsmengden V. Men da er det lett å vise at også 1) og 2) Løsningene er altså lukket under addisjon og skalar multiplikasjon. Nærmere bestemt består løsningsmengden av alle lineære kombinasjoner av og Vi kan derfor skrive: Som betyr mengden av løsninger av type Løsningsmengden V er altså et vektorrom med basisvektorer og

2 Definisjon på et generelt vektorrom: La V være en vilkårlig samling med objekter. Da sier vi at V er et vektorrom og objektene er vektorer dersom samtlige av de følgende aksiomene er oppfylt: 1. Hvis så er Det finnes et objekt slik at 5. For hver finnes et objekt slik at 6. Hvis og så er Underrom: Dersom vi vet at V er et vektorrom, holder det (som før) å sjekke aksiomene 1, 4 og 6 for å se om W er et underrom av V, dvs. om:

3 Eksempel 2a) La være mengden av alle polynomer av orden, dvs. alle funksjoner på formen. Aksiom 1 er oppfylt: Aksiom 4 er oppfylt: Aksiom 6 er oppfylt:, og ( 0. ordens polynom ) er alle med i Da følger naturlig at også de 7 resterende aksiomene er oppfylt. kan derfor betraktes som et vektorrom Eksempel 2b) La være mengden av alle polynomer av orden, dvs. alle funksjoner på formen, hvor Dersom V skal være et vektorrom må det åpenbart være et underrom av ( fra eks. 2a) ) Men Svar: siden V er ikke et vektorrom

4 Eksempel 3 Mengden av alle (2 2)-matriser,, utgjør vektorrommet La V være mengden av alle matriser på formen. Er V et underrom av? Svaret er ja. gir, k og V er et vektorrom, nærmere bestemt et underrom av Derimot: La W være mengden av alle matriser på formen. Vi innser at W ikke kan være et vektorrom, siden f.eks. Lineær uavhengighet, basis, dimensjon, koordinater Vi bruker begrepene på samme måte som før. Vi har tidligere definert et sett vektorer som lineært uavhengige dersom kun har triviell løsning. Det samme gjelder da eksempelvis for funksjonene Eksempel 4 Jamfør eks. 2a). er et vektorrom med vektorer av type Vi kan sette uavhengige. Dvs. trivielle løsningen Vi har mao. en basis som basisvektorer siden disse funksjonene er lineært, slik at har bare én mulig løsning, nemlig den Men dermed kan vi også beskrive som en koordinatvektor:

5 Eksempel 5 Mengden av alle (3 3)-diagonalmatriser utgjør et underrom V. Men vi kan skrive A som lineærkombinasjonen: Matrisene er selv elementer i V, og de er lineært uavhengige. Dermed er en basis for V, dvs.. Uttrykt som en koordinatvektor kan A skrives som:

6 Lineære transformasjoner, transformasjonsmatriser Eksempel 6 Gitt en basis (Som i eksempel 1) Da har vi altså et vektorrom bestående av alle funksjoner på formen:, eller på koordinatform: Gitt transformasjonen : er en lineær transformasjon fordi og. Men hvordan kan dette uttrykkes på koordinatform? Utregnet på vanlig måte: På koordinatform: Hvor: B er transformasjonsmatrisen Alternativt: Transformasjonsmatrise:

7 Eksempel 6b) Samme lineære transformasjon:. Finn vha. vektorer Svar: Og dermed: Kommentar: Med litt trigonometri er det ikke så vanskelig å vise at : Tilsvarende: Dvs. transformasjonen innebærer en forsterkning (skalering) på og en faseforskyvning (rotasjon) på Transformasjonsmatrisen kan skrives nettopp som :

8 Eksempel 7 Gitt et -rom tilsvarende eks. 4, med basis Altså mengden av alle polynomer på formen På koordinatform: Vi foretar en lineær transformasjon For basisvektorene har vi da: Disse vektorene utgjør kolonnene i matrisen B slik at: Svar: