Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU"

Transkript

1 Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april Generelle vektorrom 41 Reelle vektorrom Veltorrom: I et vektorrom er det definert to operasjoner kalt vektoraddisjon (1) og skalarmultiplikasjon (6) En mengde V er et vektorrom dersom den oppfyller følgende aksiomer for alle vektorer u, v, w V og skalarer k, m R: 1 u, v V = u + v V 2 u + v = v + u 3 u + (v + w) = (u + v) + w 4 Det finnes en nullvektor slik at 0 V og u + 0 = 0 + u = u 5 For enhver u V, finnes det en negativ, u, slik at u + ( u) = 0 6 k R, u V = ku V 7 k(u + v) = ku + kv 8 (k + m)u = ku + mu 9 k(mu) = (km)(u) 10 1u = u Skjæringpunkt av underrom: Hvis W 1, W 2,, W r er underrom av V, er også skjæringspunktene av underrommene et underrom av V Spenn: Underrommet av vektorrommet V som er dannet fra alle lineære kombinasjoner av vektorene i et ikke-tomt sett S, kalles utspennelsen av S (span of S) Man sier at vektorene i S utspenner underrommet Dersom S = w 1, w 2,, w r angir vi underrommet som span{w 1, w 2,, w r } eller span(s) Løsningen av det homogene likningssystemet Ax = 0 med n ukjente er et underrom av R n Entydighet: To underrom er like hvis og bare hvis hver av vektorene som utspenner det ene underrommet kan skrives som en lineær kombinasjon av vektorene i det andre underrommet, og omvendt 42 Underrom Underrom: En undermengde W av et vektorsett V kalles et underrom, hvis W alene utgjør et vektorrom Sjekk av underrom: Dersom W er en delmengde av et vektorrom V, er W et underrom av V dersom W er lukket under skalarmultiplikasjon (6) og lukket under addisjon (1) 43 Lineær uavhengighet Lineær uavhenighet og avhengighet: Dersom S = v 1, v 2,, v r er en ikke-tom mengde av vektorer i vektorrommet V, har likningen k 1 v 1 + k 2 v k r v r minst én løsning, nemlig k 1 = 0, k 2 = 0,, k r = 0 Denne løsningen kalles den trivielle løsningen Dersom dette er den eneste løsningen sier man at S er lineær uavhengig Dersom det er flere løsninger sier man at S er lineær avhengig 1

2 La S = v 1, v 2,, v r være et sett med vektorer i R n Dersom r > n, er S lineær avhengig Lineær uavhengighet i sett med 0: (a) Et vektorsett som inneholder 0 er lineært uavhengig (b) Et vektorsett med én vektor er lineært uavhengig hvis og bare hvis vektoren ikke er 0 (c) Et sett med to vektorer er lineært uavhengig hvis og bare hvis ingen av vektorene er en lineær kombinasjon av den andre 44 Koordinater og basis Basis: Hvis V er et vilkårlig vektorrom og S = v 1, v 2,, v n er en endelig mengde av vektorer i V, er S en basis av V dersom det følgende er tilfellet: (a) S er lineær uavhengig (b) S utspenner V Unikhet ved basis-representasjon: Dersom S = v 1, v 2,, v n er en basis til V, kan enhver vektor v i V skrives som nøyaktig én lineær kombinasjon av S Koordinater: Dersom S = v 1, v 2,, v r er en basis til vektorrommet V, og v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n er en vektor skrevet som en lineær kombinasjon av S, kalles skalarene c 1, c 2,, c n for koordinatene til v relativt til basis S Vektoren (c 1, c 2,, c n ) i R n konstruert fra disse koordinatene kalles koordinatvektoren til v relativt S og angis som (v) S = (c 1, c 2,, c n ) Pluss/minus teorem: La S være et endelig sett med vektorer i et endelig-dimensjonalt vektorrom V (a) Dersom S utspenner V, men ikke er en basis til V, kan S bli redusert til en basis til V, ved å fjerne riktige vektorer fra S (b) Dersom S er et lineær uavhengig, men ikke en basis til V, kan S bli utvidet til en basis til V ved å legge til riktige vektorer i S Sammenheng mellom dimensjon til vektorrom og underrom: Hvis W er et underrom av et endelig-dimensjonalt vektorrom V, gjelder følgende: (a) W er endelig-dimensjonal (b) dim(w ) dim(v ) (c) W = V dim(w ) = dim(v ) 46 Basisbytte Problem: Dersom v er en vektor i et endeligdimensjonalt vektorrom V, og hvis vi bytter basisen til V fra en basis B til en basis B, hvordan er koordinatvektorene [v] B = [v] B? Løsning: Dersom vi bytter basis til et vektorrom V fra den gamle basisen B = {u 1, u 2,, u n } til en ny basis B = {u 1, u 2,, u n}, vil det for enhver vektor v V, være slik at den gamle koordinatvektoren [v] B er relatert til den nye koordinatvektoren [v] B ved formelen [v] B = P [v] B, der kolonnene i basisbyttematrisa P er koordinatvektorene til de nye basisvektorene relativt til den gamle basisen Altså vil P B B = [ [u 1] B [u 2] B [u n] B ] og P B B = [[u 1 ] B [u 2 ] B [u n ] B ] 45 Dimensjoner Alle basiser til et og samme endelig-dimensjonalt vektorrom har samme antall vektorer Dimensjon: Dimensjonen til et endeligdimensjonalt vektorrom V angis ved dim(v ) og er definert som antall vektorer til en basis av V Nullvektor-rommet er definert til å ha dimensjon 0 Invertibiliteten til P : Dersom P er basisbyttematrisa fra basis B til basis B for et endeligdimensjonalt vektorrom V, er P inverterbar og P 1 er basisbyttematrisa fra basis B til basis B Altså er P B B = P 1 B B Prosedyre for å finne basisbyttematrisa P B B : 2

3 1 Lag matrisa [B B] 2 Bruk radoperasjoner for å få matrisa i (1) på redusert trappeform 3 Matrisa på trappeform vil være [I P B B ] Bytte til standarbasisen: La B = {u 1, u 2,, u n } være en hvilken som helst basis for R n og la S = {e 1, e 2,, e n } være standardbasisen til R n Da vil P B S = [u 1 u 2 u n ] 47 Radrom, kolonnerom og nullrom Radvektorer og kolonnevektorer: For en matrise a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn er vektorene r 1 = [a 11, a 12,, a 1n ] r 2 = [a 21, a 22,, a 2n ] r m = [a m1, a m2,, a mn ], i R n som er dannet fra radene til A kalt radvektorene til A, og vektorene c 1 = a 11 a 21 a m1, c 2 a 12 a 22 a m2,, c n a 1n a 2n, a mn i R m som er dannet fra kolonnene i A er kalt kolonnevektorene til A Radrom, kolonnerom og nullrom: Dersom A er en m n matrise, er underrommet til R n utspent av radvektorene til A kalt radrommet til A, og underrommet til R m utspent av kolonnevektorene til A kalt kolonnerommet til A Løsningsrommet til det homogene likningssystemet Ax = 0, som er et underrom av R n, kalles nullrommet til A Et lineær likningssystem Ax = b er konsistent hvis og bare hvis b er i kolonnerommet til A Generelle og partikulære løsningsmengder: Hvis x 0 er en løsning til det konsistentet lineære likningssystemet Ax = b, og hvis S = {v 1, v 2,, v k } en basis til nullrommet til A, så kan alle løsningene til Ax = b uttrykkes på formen x = x 0 + c 1 v 1, c 2 v c k v k Motsatt vil det for alle valg av skalarer c 1, c 2,, c k være slik at x i uttrykket er en løsning til Ax = b Radoperasjon og radrom: Elementære radoperasjoner endrer hverken nullrommet eller radrommet til en matrise Dersom matrisa R er redusert trappeform av A, vil radene i R med en ledende ener (ikke-null-radene) danne en basis til radrommet til A, og kolonnevektorene i A som korresponderer med kolonnevektorene i R med en ledende ener, vil danne en basis for kolonnerommet av A Kolonnerom til radekvivalene matriser: Dersom A og B er radekvivalente matriser vil det følgende gjelde: (a) Et gitt sett av kolonnevektorer til A er lineært uavhengige hvis og bare hvis de korresponderende vektorene til B er lineært uavhengige (b) Et gitt sett av kolonnevektorer til A danner en basis for kolonnerommet til A hvis og bare hvis de korresponderende kolonnevektorene til B danner en basis til kolonnerommet til B Prosedyre for å finne basis til span(s), og uttrykke overflødige vektorer som en lineær kombinasjon av basisvektorene: 1 Lag matrisa A med kolonnevektorer lik vektorene i S = {v 1, v 2,, v k } 2 Gjør matrisa A til redusert trappeform R = {w 1, w 2,, w 3 } ved hjelp av radoperasjoner 3 Identifiser kolonnevektorene til R som har en ledende ener Korresponderende kolonnevektorer i A danner en basis for span(s) Dette konkluderer første del av prosedyren 4 Dann et sett med avhengighetsuttrykk ved å uttrykke hver av kolonnevektorene til R, som ikke har en ledende ener, som en lineær kombinasjon av vektorene som inneholder en ledende ener 3

4 5 Bytt kolonnevektorene fra R som dukker opp i avhengighetsuttrykkene med korresponderende kolonnevektorer i A Dette konkluderer andre del av prosedyren 48 Rank, nullity og fundamentale matriserom Dimensjonsteorem for matriser I: Radrommet og kolonnerommet til en matrise A har samme dimensjon Rang og nullitet: Den felles dimensjonen til radrommet og kolonnerommet til en matrise A kalles rangen til A Dimensjonen til nullrommet til A kalles for nulliteten til A Ortogonalt komlement: Dersom W er et underrom av R n, så kalles settet av vektorer i R n som er ortogonale til alle vektorene i W for det ortogonale komplementet av W og er angitt ved W Videre gjelder: (a) W er et underrom av R n (b) Den eneste vektoren felles mellom W og W er 0 (c) Det ortogonale komplementet til W er W Geometrisk sammenheng mellom fundamentale rom: Hvis A er en m n matrise, gjelder følgende: (a) Nullrommet til A og radrommet til A er ortogonale komplementer i R n (b) Nullrommet til A T og kolonnerommet til A er ortogonale komplementer i R n Dimensjonsteorem for matriser II: A er en matrise med n kolonner vil Dersom rang(a) + nullitet(a) = n Dersom A er en matrise vil rang(a) = rang(a T ) Videre vil rang(a) + nullitet(a T ) = m Hvordan finne nullitet og rang: Dersom A er en m n matrise vil det følgende gjelde: (a) rang(a) = antall ledende (ikke-frie) variabler i den generelle løsningen til Ax = b (b) nullitet(a) = antall parametere i den generelle løsningen til Ax = b Dersom Ax = b er et konsistent lineært likningssystem med m likninger med n ukjente, og dersom rang(a) = r, vil den generelle løsningen av likningssystemet ha n r parametere Overbestemte og underbestemte systemer: La A være en m n matrise (a) (Overbestemt tilfelle) Hvis m > n, er det lineære likningssystemet Ax = b inkonsistent for minst én vektor b (b) (Underbestemt tilfelle) Hvis m < n, er det lineære likningssystemet Ax = b enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger 4

5 5 Egenverdier og egenvektorer 51 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier og egenvektorer: Dersom A er en n n matrise, kalles en vektor x 0 R n for en egenvektor til A, dersom Ax er et skalarmultiplum av x Altså dersom Ax = λx, der λ er en skalar Skalaren λ kalles for egenverdien til A x vil dermed være korresponderende egenvektor til λ 52 Diagonalisering Similære matriser: Dersom A og B er to kvadratiske matriser, sier vi at B er similær til A dersom det finnes en invertibel matrise P slik at B = P 1 AP Diagonaliserbare matriser: En kvadratisk matrise A kalles diagonaliserbar dersom den er similær til en diagonal matrise Altså D = P 1 AP, der D er en diagonal matrise Man sier da at P diagonaliserer A Karakteristisk likning: Dersom A er en n n matrise, så er λ en egenverdi til A hvis og bare hvis likningen det(λi A) = 0, er oppfylt Dette kalles den karakteristiske likningen til A Diagonaliserbarhet: Dersom A er en n n matrise, er de følgende utsagnene ekvivalente: (a) A er diagonaliserbar (b) A har n lineært uavhengige egenvektorer Dersom en n n-matrise A har n forskjellige egenverdier, er A diagonaliserbar Prosedyre for å diagonalisere en matrise: Egenverdier til triangulære matriser: Dersom A er en n n triangulær matrise, er egenverdiene til A matriseelementene langs diagonalen til A Egenverdikorollar: Dersom A er en n n matrise, er de følgende utsagnene ekvivalente: (a) λ er en egenverdi til A (b) Likningssystemet (λi A)x = 0 har ikketrivielle løsninger (c) Det finnes en vektor x 0 slik at Ax = λx (d) λ er en løsning til den karakteristiske likningen det(λi A) = 0 1 Sjekk at matrisa er diagonaliserbar ved å finne n lineært uavhengige egenvektorer En må te å gjøre dette på er å finne basisen til hvert av egenrommene og slå disse sammen til et sett S med vektorer Dersom S har mindre enn n vektorer, er ikke matrisa diagonaliserbar 2 Dann matrisa P = [p 1 p 2 p n ], der p i er en kolonnevektor fra S 3 Matrisa P 1 AP vil være diagonal og ha egenverdiene λ 1, λ 2,, λ n som matriseelementer langs diagonalen Egenverdiene har de korresponderende egenvektorene p 1, p 2,, p 3 Egenverdier til eksponenter av matriser: Dersom k er et positivt heltall, λ en egenverdi til matrisa A og x en korresponderende egenvektor, vil λ k være en egenverdi til A k med x som korresponderende egenvektor Egenrom: Vektorrommet utspent av egenvektorene til en matrise A kalles egenrommet til A Dersom v 1, v 2,, v k er egenvektorene til en matrise A med forskjellige korresponderende egenverdier vil {v 1, v 2,, v k } være lineært uavhengige Geometrisk og algebraisk multiplisitet: Dersom λ 0 er en egenverdi til en n n matrise A, vil dimensjonen til egenrommet som korresponderer til λ 0 kalles den geometriske multiplisiteten til λ 0 Antallet ganger λ λ 0 dukker opp i det karakteristiske polynomet til A kalles den algebraiske multiplisiteten til λ 0 5

6 Geometrisk og algebraisk multiplisitet: La A være en kvadratisk matrise (a) For enhver egenverdi av A, er den geometriske multiplisiteten mindre enn eller lik den algebraiske multiplisiteten (b) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den geometriske multiplisiteten til alle egenverdiene er lik den algebraiske multiplisiteten 53 Det komplekse vektorrom : Dersom n er et positivt heltall, så vil et kompleks n-tuppel være en sekvens av n komplekse tall (v 1, v 2,, v n ) Et sett med alle komplekse n- tupler kalles det komplekst n-rom og angis ved C n Skalarer er komplekse tall, og operasjoner som multiplikasjon, addisjon, subtraksjon, konjugasjon og skalarmultiplikasjon utføres komponentvis Egenverdi til symmetriske matriser: Dersom A er en reell symmetrisk matrise, har A reelle egenverdier 54 Differensiallikninger Fra MA1101: y = ay y = Ce ax Prosedyre for å løse y = Ay dersom A er diagonaliserbar: 1 Finn en matrise P som diagonaliserer A 2 Gjennomfør substitusjonene y = P u og y = P u for å oppnå et nytt diagonalt system u = Du, der D = P 1 AP 3 Løs u = Du 4 Bestem y fra likningen y = P u Komplekst prikkprodukt: Dersom u = (u 1, u 2,, u n ) og v = (v 1, v 2,, v n ) er to vektorer i C n, er det komplekse prikkproduktet definert til å være u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n Lengden i C n er definert til å være v = sqrtv v = v v v n 2 Egenskaper til det komplekse prikkproduktet: La u, v og w være tre vektorer i C n, og la k være en skalar (a) u v = v u (b) u (v + w) = u v + u w (c) k(u w) = (ku) v (d) u kv = k(u v) (e) v v 0 (f) v v = 0 v = 0 (g) u v = u T v = v T u Komplekse egenverdier og egenvektorer til reelle matriser: Dersom λ er en egenverdi til en reell n n matrise A og hvis x er en korresponderende egenvektor, vil også λ være en egenvektor til A med korresponderende egenvektor u 6

7 6 Indreproduktrom 61 Indreprodukt Indreprodukt: Et indreprodukt tilhørende et reelt vektorrom V er en funksjon som assosierer et reelt tall u, v med ethvert par av vektorer i V på en slik måte at følgende aksiomer er oppfylt for alle vektorer u, v og w i V og alle skalarer k: (a) u, v = v, u (b) u + v, w = u, w + v, w (c) ku, v = k u, v (d) v, v 0, og v, v = 0 v = 0 Aksiom 1 endres til u, v = v, u i definisjonen til et komplekst indreproduktrom Norm: Dersom V er et indreproduktrom, så defineres normen (eller lengden) til en vektor v, angitt ved v, definert til å være v = v, v, og distansen mellom to vektorer, angitt ved d(u, v), definert til å være Ortogonalt kompliment er definert i et indreproduktrom på samme måte som tidligere De samme teoremene holder også her 63 Gram-Schmidt-Prosessen Ortogonale og ortonormale sett: Et sett bestående av to eller flere vektorer i et reelt indreproduktrom kalles et ortogonalt sett dersom ethvert par av distinkte vektorer i settet er ortogonale Et ortogonalt sett der alle vektorene i tillegg har norm 1 kalles et ortonormalt sett Koordinater relativt til en ortogonal basis: Dersom S = {v 1, v 2,, v n } er en ortogonal basis for et indreproduktrom V, og u er en vektor i V, så vil u = u, v 1 v 1 2 v 1 + u, v 2 v 2 2 v u, v n v n 2 v n Dersom S i tillegg er ortonormal vil u = u, v 1 v 1 + u, v 2 v u, v n v n d(u, v) = u v En vektor med norm 1 kalled en enhetsvektor 62 Vinkler og ortogonalitet i indreproduktrom Cauchy-Schwarz ulikhet: u, v = u v Vi definerer ofte vinkelen mellom to vektorer i et indreproduktrom til ( ) u, v θ cos 1 u v Trekantulikheter: Dersom u, v og w er vektorer i et indreproduktrom V og k en skalar, så vil (a) u + v u + v (b) ( u + v) d(u, w) + d(w, v) Projeksjonsteorem: Dersom W er et endeligdimensjonalt underrom av et indreproduktrom V, så han enhver vektor u V bli beskrevet entydig som u = w 1 + w 2, der w 1 = proj W u W og w 2 = proj W u W Fra de to teoremene over følger det blant annet at proj W v = u, v 1 v 1 2 v 1 + u, v 2 v 2 2 v u, v n v n 2 v n Eksistens av en ortonormal basis: Ethvert ikke-null endeligdimensjonalt indreproduktrom har en ortonormal basis Denne oppnås gjennom Gram-Schmidt-prosessen Ortogonalitet: Two vektorer u og v i et indreproduktrom V kalles ortogonale dersom u, v = 0 Pytagoras teorem i et indreproduktrom sier u + v 2 = u 2 + v 2 Gram-Schidt-prosessen: For å omgjøre en basis {u, u 2,, u r } til en ortogonal basis {v 1, v 2,, v r }, gjør følgende: Steg 1 v 1 = u 1 Steg 2 v 2 = u 2 u 2,v 1 v 1 2 v 1 7

8 Steg 3 v 3 = u 3,v 1 v 1 2 v 1 u 3,v 2 v 2 2 v 2 (fortsett til steg r) Frivillig steg For å omgjøre den ortogonale basisen til en ortonormal basis, normalisert den ortogonale basisen 64 Beste tilnærming; Minste kvadraters metode Problem: Gitt et lineært system Ax = b med m likninger med n ukjente, find en vektor x som gjør b Ax minst mulig med hensyn på det Euklidske indreproduktet i R m Vi kaller en slik x for minste kvadraters løsning av systemet, b Ax kalles minste kvadraters feilvektor og b Ax kalles minste kvadraters feil Beste tilnærming teorem: Dersom W er et endeligdimensjonalt underrom til et indreproduktrom V, og hvis b er en vektor i V, så vil proj W b være den beste tilnærmingen til b fra W Altså b proj W b < b w proj W b w W Minste kvadraters løsning av et lineært system: Til ethvert lineært system Ax = b vil det assosierte normalsystemet A T Ax = A T b være konsistent Videre vil alle løsninger av normalsystemet være en minste kvadraters løsning av Ax = b Dersom W = kol(a) og x er en minste kvadraters løsning av Ax = b, så vil proj W b = Ax Dersom A er en m n matrise med lineært uavhengige kolonnevektorer, så vil det for enhver m 1 matrise b være slik at det lineære systemet Ax = b ha en unik minste kvadraters løsning Denne løsningen er gitt ved x = (A T A) 1 A T b 65 Minste kvadraters tilpasning til data Entydighet av minste kvadraters løsning: La (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ) være et sett av to eller målepunkter som ikke alle ligger påen vertikal linje La videre 1 x 1 y 1 1 x 2 M = og y = y 2 1 x n y n Da eksisterer det en unik minste kvadraters rett linje tilpasning til dataene Videre vil y = a + b x v = være gitt ved formelen [ ] a b v = (M T M) 1 M T y For tilpasning av data til høyereordens polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a r r vil 1 x 1 x 2 1 x r 1 a 1 x 2 x 2 2 x r 0 2 M = og a v 1 =, 1 x n x 2 n x r n slik at minste kvadraters tilpasning til p(x) blir p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + + a rx r 66 Funksjonstilpasning; Fourier rekker Problem: La f være en funksjon som er kontinuerlig på intervallet [a, b], la videre C[a, b] ha indreprodukt f, g = b a f(x)g(x)dx, og la W være et endeligdimensjonalt underrom av C[a, b] Finn en funksjon g W som minimaliserer f g 2 = b a [f(x) g(x)] 2 dx Løsning: Løsningen på problemet over er g = proj W f a r Videre vil proj kol(a) b = Ax Denne løsningen kalles minste kvadraters tilpasning til f fra W 8

9 Fourierrekker: Kort fortalt går Fourierrekker ut på å finne minste kvadraters tilpasning til en kontinuerlig funksjon f(x) på intervaller [0, 2π] ved en trigonometrisk polynom av grad n eller mindre Ved å bruke Gram-Schmidt-prosessen kan man finne at der og proj W f = a [a 1 cos x + + a n cos nx] + [b 1 sin x + + b n sin nx], a k = 1 π b k = 1 π 2π 0 2π 0 f(x) cos kx dx f(x) sin kx dx kalles Fourierkoeffesientene til f 9

10 7 Diagonalisering og kvadratisk form 71 Ortogonale matriser Ortogonal matrise: En matrise A kalles ortogonal dersom A 1 = A T AA T = A T A = I 72 Ortogonal diagonalisering Ortogonal similaritet: Dersom A og B er kvadratiske matriser, sier vi at A og B er ortogonalsimilære, dersom det finnes en ortogonal matrise P slik at P T AP = B Egenskaper til en ortogonal matrise I: Det følgende er ekvivalent for en n n matrise A (a) A er ortogonal (b) Radvektorene til A danner et ortonormalt sett (c) Kolonnevektorene til A danner et ortonormalt sett (d) Ax = x, x R n (e) Ax Ay = x y, x, y R n Egenskaper til en ortogonal matrise II: (a) Den inverse av en ortogonal matrise er invers (b) Et produkt av ortogonale matriser er ortogonal (c) Dersom A er ortogonal vil det(a) = 1 det(a) = 1 Noen egenskaper til ortonormale basiser: Dersom S er en ortonormal basis for et n- dimensjonalt indreproduktrom V, og dersom (u) S = (u 1, u 2,, u n ) og (v) S = (v 1, v 2,, v n ), så vil (a) u = u u u2 n (b) d(u, v) = (u 1 v 1 ) (u n v n ) 2 (c) u, v, u 1 v 1 + u 2 v u n v n Forutsetninger for ortogonal diagonalisering: Det følgende er ekvivalent for en n n matrise A (a) A er ortogonal diagonaliserbar (b) A har et ortonormalt sett med egenvektorer (c) A er symmetrisk Egenskaper til symmetriske matriser: Dersom A er en n n matrise så vil: (a) alle egenverdiene til A være reelle (b) egenvektorer fra forskjellige egenrom være ortogonale Prosedyre for å ortogonal diagonalisere en symmetrisk kvadratisk matrise: Steg 1 Finn en basis for hvert av egenrommene til A Steg 2 Bruk Gram-Schmidt-prosessen på hver av basisene for å få en ortonormal basis for hvert av egenrommene Steg 3 Dann matrisa P med kolonner lik de forskjellige vektorene fra (2) Denne matrisa vil ortogonal diagonalisere A, og egenverdiene på diagonalen i D = P T AP vil være i samme rekkefølge som korresponderende vegenvektorer i P Transformasjon mellom ortonormale basiser: La V være et endelig-dimensjonalt indreproduktrom Dersom P er en transformasjonsmatrise fra en ortonormal basis til V til en annen ortonormal basis til V, er P en ortogonal matrise Dersom P = [u 1 u 2 u n ] og D = P T AP, der D er diagonal matrisen til A slik som forklart over, kan man skrive Schurs teorem: Dersom A er en n n matrise med reelle matriseenheter og reelle egenverdier, da finnes en ortogonal matrise P slik at P T AP er øvre triangulær Diagonalen vil bestå av de forskjellige egenverdiene 75 Selvadjungerte, unitære og normale matriser A = λ 1 u 1 u T λ 1 u 1 u T 1 Dette kalles spektral dekomposisjon av A 10

11 Konjugert-transponert (adjungert): Dersom A er en kompleks matrise, så er den konjugerttransponerte (eller adjungerte), angitt ved A, definert til å være u v = v T u = v u A = A T Prosedyre for å unitært diagonalisere en selvadjungert matrise: Steg 1 Finn en basis for vært egenrom til A Steg 2 Bruk Gram-Schmidt-prosessen på hver av disse basisene for å få en ortonormal basis for hvert av egenrommene Steg 3 Dann matrisa P med kolonnevektorer som er alle basisvektorene funnet i steg 2 Unitær og selvadjungert matrise: En kvadratisk matrise A kalles unitær dersom A 1 = A, og kalles selvadjungert (eller Hermitisk) dersom A = A Skeiv-symmetrisk matrise: A T = A Skeiv-selvadjungert matrise: A = A Normalmatrise: AA = A A Ikke alle unitært diagonaliserbare matriser er selvadjungerte (jf ortogonal diagonaliserbar symmetrisk), men en matrise er unitært diagonaliserbar hvis og bare hvis det er en normalmatrise Normalmatriser innefatter selvadjungerte matriser, skeiv-selvadjungerte matriser og unitære matriser Egenskaper til selvadjungerte matriser: Egenverdiene til en selvadjungert matrise er reelle Videre vil egenvektorer fra forskjellige egenrom være ortogonale Ekvivalente utsagn: La A være en n n-matrise med komplekse matriseelementer Da er de følgende utsagnene ekvivalente (a) A er unitær (b) Ax = x x C n (c) Ax Ay = x y x, y C n (d) Kolonnevektorene i A danner et ortonormalt sett i C n med hensyn på det komplekse Euklidske indreproduktet (prikkproduktet) (e) Radvektorene i A danner et ortonormalt sett i C n med hensyn på det komplekse Euklidske indreproduktet (prikkproduktet) Unitær diagonalisering: En kvadratisk matrise A kalles unitær diagonaliserbar dersom det finnes en unitær matrise P slik at P AP = D er en kompleks diagonal matrise En slik matrise P sier man at unitært diagonaliserer A Unitær diagonaliserbarhet: Enhver selvadjungert n n-matrise A har et ortonormalt sett av n egenvektorer og er uniært diagonaliserbar av en unitær n n-matrise P 11

12 8 Lineære transformasjoner 81 Generelle lineære transformasjoner Lineær transformasjon: Dersom T : V W er en funksjon fra et vektorrom V til et vektorrom W, så kalles T en lineær transformasjon fra V til W dersom følgende betingelser er oppfylt for alle vektorer u, v V og skalarer k: (a) T (ku) = kt (u) [Homogenitet] (b) T (u + v) = T (u) + T (v) [Additivitet] Dersom V = W kalles T en lineær operator På: En lineær transformasjon T : V W mellom to endeligdimensjonale vektorrom kalles på (eller surjektiv) dersom enhver vektor i W er en transformasjon fra minst én vektor i V Sammenheng mellom injektivitet og kjerne: Dersom T : V W er en lineær transformasjon er følgende ekvivalent (a) T er en-til-en (b) ker(t ) = {0} T (0) = 0 T (v) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) + + c n T (v n ) Kjerne og rekkevidde: Dersom T : V W er en lineær transformasjon, så vil kjernen til T (ker(t )) være settet av alle vektorer som i V som T transformerer til 0 Settet av alle vektorer i W som er avbildninger av T fra minst én vektor i V kalles rekkevidden til T (R(T )) Sammenheng mellom injektivitet, surjektivitet og kjerne til en lineær operator: Dersom T : V V er en lineær operator i et endeligdimensjonalt vektorrom V er følgende ekvivalent (a) T er en-til-en (b) ker(t ) = {0} (c) T er på; dvs R(T ) = V Egenskaper til kjernen og rekkevidden: Dersom T : V W er en lineær transformasjon så vil ker(t ) V og R(T ) W Rang og nullitet: La T : V W være en lineær transformasjon Dersom rekkevidden til T er endeligdimensjonal, så kalles denne dimensjonen rangen til T ; og dersom kjernen til T er endeligdimensjonal, kalles denne dimensjonen nulliteten til T Rangen til T angis ved rang(t ) og nulliteten til T angis ved nullitet(t ) Dimensjonsteorem for lineære transformasjoner: La T : V W være en lineær transformasjon mellom to endeligdimensjonale vektorrom Da vil rang(t ) + nullitet(t ) = n Isomorfi: Dersom en lineær transformasjon T : V W både er en-til-en og på kalles den en isomorfi, og vektorrommene V og W sier man er isomorfe Isomorf med R n : Enhvert n-dimensjonalt vektorrom er isomorf med R n Dersom V og W er to indreproduktrom kalles en isomorfi T : V W en indreprodukt isomorfi dersom T (u), T (v) = u, v 83 Sammensetninger og inverse transformasjoner Sammensetning: Dersom T 1 : U V og T 2 : V W er to lineære transformasjoner, vil sammensetningen av T 2 med T 1 (eller komposisjonen), angitt ved T 2 T 1, være definert ved formelen 82 Isomorfi der u U (T 2 T 1 )(u) = T 2 (T 1 (u)), En-til-en: En lineær transformasjon T : V W mellom to endeligdimensjonale vektorrom kalles en-til-en (eller injektiv) dersom T transformerer distinkte vektorer i V til distinkte vektorer i W Dersom T 1 : U V og T 2 : V W er to lineære transformasjoner, er også (T 2 T 1 ) : U W en lineær transformasjon 12

13 Den inverse av en lineær transformasjon: Den inverse av en lineær transformasjon T, angitt ved T 1, er definert ved T 1 (T ) = T (T 1 ) = I, der I er identitets operatoren [I(x) = x; T I = I T = T ] T en-til-en T 1 er eksisterer Sammensetning av en-til-en lineære transformasjoner: Dersom T 1 : U V og T 2 : V W er en-til-en lineære transformasjoner så vil T 2 T 1 være en-til-en og (T 2 T 1 ) 1 = T1 1 T Matriserepresentasjon av generelle lineære transformasjoner Anta i dette delkapittelet at V er et n-dimensjonalt vektorrom, at W er et m-dimensjonalt vektorrom og at T : V W er en lineær transformasjon Anta videre at B = {u 1, u 2,, u n } er en basis til V, at B er en basis til W og at det for hver vektor x V er slik at koordinatmatrisene til x og T (x) er henholdsvis [x] B og [T (x)] B Sammensetning av matriserepresentasjoner: Dersom T 1 : U V og T 2 : V W er lineære transformasjoner, og B, B og B er basiser for henholdsvis U, V og W, så vil [T 2 T 1 ] B,B = [T 2 ] B,B [T 1] B,B Invertible matriserepresentasjoner: Dersom T : V V er en lineær operator, og dersom B er en basis til V, så er de følgende utsagnene ekvivalente: (a) T er en-til-en (b) [T ] B er invertibel Videre vil [T 1 ] B = [T ] 1 B betingelsene over oppfylt 85 Similaritet dersom de ekvivalente Overgangsmatriser som identitetsoperatorer: Dersom B og B er basiser for et endeligdimensjonalt vektorrom V, og dersom I : V V er identitetsoperatoren i V, så vil P B B = [I] B,B og P B B = [I] B,B Prosedyre for å finne T (x) indirekte: Steg 1 Beregn koordinatvektoren [x] B Steg 2 Multipliser [x] B på venstre med A for å finne [T (x)] B Steg 3 Rekonstruer T (x) fra koordinatvektoren [T (x)] B Problem: Dersom B og B er to basiser for et endeligdimensjonalt vektorrom V og dersom T : V V er en lineær operator, hva slags sammenheng er det mellom matrisene [T ] B og [T ] B? x T T(x) Effekten av basisbytte på lineære operatorer: La T : V V være en lineær operator på et endelig-dimensjonalt vektorrom V, og la B og B være basiser til V Da vil [x] B A [T(x)] B' Figur 1: Representasjon av å finne T (x) indirekte Matrisa A, ofte angitt ved [T ] B,B, som fra prosedyren og figuren over vil være definert ved [T ] B = P 1 [T ] B P, der P = P B B og P 1 = P B B De to matrisene [T ] B og [T ] B er similære, som er ekvivalent med at de representerer samme lineære operator A[x] B = [T (x)] B Dette medfører at vi kan skrive [T ] B,B = [ [T (u 1 )] B [T (u 2 )] B [T (u n )] B ] Vi kaller denne matrisa for T med hensyn på basis B og B 13

14 10 Anvendelser av lineær algebra 102 Geometrisk lineær programmering Problem: Finn verdiene til x1 og x2 som enten maksimaliserer eller minimaliserer objektfunksjonen z = c1 x1 + c2 x2, med gitte lineære begrensninger Et par (x1, x2 ) som tilfredstiller begrensningene kalles en mulig løsning Summen av alle mulige løsninger kalles et mulig område Tilstandsvektor: Tilstandsvektoren for en obeservasjon av en Markov-kjede med k-tilstander er en kolonnevektor x, der i-te komponent xi er sannsynligheten for at systemet er i i-te tilstand på den tiden Maksimum og minimumsverdier: Dersom det mulige området til et lineært programmeringsproblem er ikke-tomt og bundet, så vil objektfunksjonen oppnå både maksimal- og minimalverdi, som oppnås i kritiske punkter til objektfunksjonen Dersom det mulige områikke er bundet, så er det ikke sikkert objektfunksjonen har maksimaleller minimalverdier; men dersom den har dette, oppnås disse i kritiske punkt x2 z maksimalisert Overgang i Markov-kjeder1: Dersom P er overgangsmatrisa til en Markov-kjede og x(n) er tilstandsvektoren ved n-te observasjon, så vil x(n+1) = P x(n) Regulær matrise: En overgangsmatrise er regulær dersom en heltallseksponent av den har kun positive matriseelementer Niva kurver til z = c1 x1 + c2 x2 Sannsynlighetsvektor: En sannsynlighetsvektor q = (q1, q2,, qk ) er slik at qi 0 (i = 1, 2, k), og q1 + q2 + + qk = 1 Mulig omra de z øker Ovegangssannsynlighet og overgangsmatriser: Dersom en Markov-kjede har k mulige tilstander, som vi navngir 1, 2, 3,, k, vil sansynligheten for at systemet er i en tilstand i etter at det var i en tilstand j angis som pi,j og kalles overgangssannsynlighet fra tilstand j til tilstand i Matrisa P = [pij ] kalles overgangsmatrisa til Markovkjeden z minimaliserert Oppførselen til P når n : Dersom P er en regulær overgangsmatrise og x en sannsynlighetsvektor, så vil z minker q1 q1 q1 q2 q2 q2 n, lim P = n qk qk qk x1 Figur 2: Idéen bak at alle ekstremalpunkter må ligge i et skjæringspunkt mellom to lineære begrensninger og 105 q1 q2 lim P n x = = q, n Markov-kjeder qk Markov-kjeder: Ta for deg tilstanden til et system ikke kan forutsies med sikkerhet, men sannsynlighetsfordelingen til etterfølgende tilstander avhenger av nåværende tilstand En slik prosess kalles en Markov-kjede eller Markov-prosess der q er en sannsynlighetsvektor og kalles i dette tilfelle en stabiltilstandsvektor Videre vil P q = q 14

15 Ekvivalente utsagn tilhørende alle tidligere kapitler Ekvivalente utsagn Dersom A er en n n matrise vil følgende utsagn være ekvivalente (a) A er invertibel (b) Ax = 0 har bare den trivielle løsningen (c) Den reduserte trappeformen av A er I n (d) A kan uttrykket som et produkt av elementærmatriser (e) Ax = b er konsistent for alle n 1 matriser b (f) Ax = b har nøyaktig én løsning for alle n 1 matriser b (g) det(a) 0 (h) Kolonnevektorene til A er linær uavhengige (i) Radvektorene til A er lineær uavhengige (j) Kolonnevektorene til A span{r n } (k) Radvektorene til A span{r n } (l) Kolonnevektorene til A utgjør en basis til R n (m) Radvektorene til A utgjør en basis til R n (n) rank(a) = n (o) nullity(a) = 0 (p) Det ortogonale komplementet av nullrommet til A er R n (q) Det ortogonale komplementet av radrommet til A er {0} (r) Området til T A er R n (s) T A er en-til-en (t) λ = 0 er ikke en egenverdi til A (u) A T A er invertibel 15

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012. Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Ruben Spaans May 21, 2009 1 Oppslagsverk Adjungert Ball, la (X, d) være et metrisk rom og la ɛ > 0. Da er for x 0 X: 1. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x,

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:

EKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon: EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn

Detaljer

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer