Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
|
|
- Vibeke Markussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består av 5 flervalgsoppgaver, hver med 5 svaralternativer. Du skal angi ett av alternativene, 1,, 3, 4 eller 5, på hver flervalgsoppgave. Rett svar gir 5 poeng, og galt svar gir 0 poeng. Gardering gir 0 poeng. Du kan velge å ikke besvare en flervalgsoppgave. Da får du 1 poeng på den oppgaven. Svarene skal ikke begrunnes. Høyeste mulige poengsum på oppgave 1 er 5 poeng. a) Et lineært ligningssystem har 7 ligninger og 8 ukjente. Koeffisientmatrisen har rang lik 7 og totalmatrisen har rang lik 7. Hvor mange løsninger har systemet? 1) Ingen løsning ) Én løsning 3) To løsninger 4) Uendelig mange løsninger 5) Det er for få opplysninger til å si noe om antall løsninger av systemet Svar: Alternativ 4). Siden rangen til koeffisientmatrisen og totalmatrisen er lik er systemet konsistent, det vil si at det har minst en løsning. I og med at det er flere ukjente enn ligninger vil systemet derfor ha uendelig mange løsninger. b) S = { [ 1 1 ] T, [ 1 ] T } er en basis for R. Hva er koordinatvektoren til x = [ 1 3 ] T med hensyn på basisen S? 1) [ 1 ] T ) [ 1 1 ] T 3) [ 0 1 ] T 4) [ 1 3 ] T 5) Det eksisterer ingen koordinatvektor med hensyn på den oppgitte basisen. Svar: Alternativ 1). Koordinatvektoren [x] S = [ a b ] T er slik at [ ] [ ] [ ] a + b = 1 3 Setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: [ ] [ ] , som gir b = og a = 1. Da blir koordinatvektoren [x] S = [ 1 ] T. 1
2 c) Gitt et vektorrom V utspent av vektorene {a 1,a,a 3,a 4 }. V er et underrom av R 5. Hvor mange vektorer er det i basisen til V? (Hvilken av følgende påstander er mest korrekt?) 1) Minst 4 vektorer ) Nøyaktig 4 vektorer 3) Maksimalt 4 vektorer 4) Nøyaktig 5 vektorer 5) Maksimalt 5 vektorer Svar: Alternativ 3). Siden V er utspent av 4 vektorer kan basisen maksimalt inneholde 4 vektorer, men siden noen av vektorene i basisen kan være lineært avhengige kan man ikke si noe mer nøyaktig om antallet. d) La A,B,C og X være inverterbare matriser av samme orden. Når ligningen (AX) T C 1 = B T løses med hensyn på X fåes 1) C T BA 1 ) C T A 1 B 3) A 1 BC T 4) A 1 C T B 5) BC T A 1 Svar: Alternativ 4). Bruker regnereglene for matriser: ganger med C fra høyre transponerer begge sider ganger med A 1 fra venstre (AX) T C 1 = B T (AX) T = B T C AX = (B T C) T AX = C T B X = A 1 C T B e) La S = {v 1,v,v 3,v 4 }, der v 1 = (1,0,1,0),v = ( 1, 1,1,1),v 3 = (1,1,0,0),v 4 = (0,0,1,1). Hvilken delmengde av S er en basis for vektorrommet V = span(s). 1) {v 1,v 4 } ) {v 1,v,v 4 }
3 3) {v,v 3,v 4 } 4) {v 1,v,v 3,v 4 } 5) Ingen av de ovenstående mengdene er en basis for V. Svar: Alternativ ). Lar v i være kolonnene i matrisen A, og gausseliminerer denne: A = = AG Søyle 1, og 3 er pivotsøyler, så disse er lineært uavhengige. Fra A G ser en også at søyle 1, og 4 er lineært uavhengige, dermed må også søyle 1, og 4 i A være lineært uavhengige. Så {v 1,v,v 4 } danner en basis for V. Oppgave (15 %) - Lineære ligningssystem Gitt matrisen 0 α 1 A = 0 1 α, og vektoren b = 0 α 0 0 α a) Bestem rangen til A for alle reelle tall α. Svar: Når determinanten til matrisen er ulik null har matrisen rang lik 3: 0 α 1 det(a) = 0 1 α α 0 0 = α α 1 1 α = α(α + 1). Dette gir at det(a) = 0 α = 0. Ser nærmere på tilfellene der determinanten er lik null; Setter inn α = 0 i matrisen A og gausseliminerer: Dette gir at rang(a) = 3 når α R\{0}, rang(a) = når α = 0. b) For hvilke verdier av α er A invertibel? Finn A 1 når α = 1. Svar: A er invertibel når det(a) 0, dvs. når α = R\{0}. Finner A 1 når α = 1 ved standardmetoden: / 1/ 0, / 1/ / 1/ 0 3
4 så A 1 = 1/ 1/ 0. 1/ 1/ 0 c) For hvilke verdier av α har ligningssystemet Ax = b nøyaktig en løsning, mer enn en løsning, ingen løsning? Løs ligningsystemet når α = 1. Svar: Ligningssystemet har nøyaktig en løsning når det(a) 0. I oppgave a) viste vi at dette var ekvivalent med at α 0. Ved å sette inn α = 0 i systemet får vi , og ser dermed at rang(a) = rang(ã) = < 3. Da er systemet ubestemt og har uendelig mange løsninger. Løsningsmengden i dette tilfellet er gitt som {(x 1,x,x 3 ) x 1 = t,x = 0,x 3 =,t R}. Det finnes ingen reelle verdier av α som gjør at systemet ikke er løsbart (selvmotsigende). Når α = 1 er A inverterbar, så vi kan løse matriseligningen ved å multiplisere med A 1 : Ax = b x = A 1 b = 1/ 1/ 0 0 = 1. 1/ 1/ Oppgave 3 (15 %) - Egenverdier og egenvektorer Gitt matrisen A = [ ] a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A. Svar: Egenverdiligningen det(a λi) = 8 λ 8 8 λ = ( λ 8) 16 = λ + 16λ + 48 = 0 gir egenverdiene λ 1 = 4 og λ = 1. Siden egenverdiene er forskjellige, så vil ethvert sett av tilhørende egenvektorer være lineært uavhengige. Finner egenvektorer ved standard metode: 4
5 Standardmetode for å bestemme egenvektorene, er å løse det homogene ligningssystemet (A λi)x = 0 ved Gausseliminasjon for hver av egenverdiene. λ 1 = 4: A λ 1 I = [ ] [ ] 4, k = t [ ] 1,t 0. λ = 1: A λ I = [ ] [ ] [ ] 4 1, k 0 0 = t,t 0. 6 liter/min rent vann 8 liter/min 6 liter/min 1 liter/min Figur 1: Tanker med saltlake b) To tanker er forbundet med rør. I rørene strømmer saltlake. Ved start (t = 0) er det 100 liter saltlake med saltkonsentrasjon 0,0kg/liter i tank 1 og 100 liter rent vann i tank. Still opp et system av differensialligninger og bestem saltmengden (i kg) i hver tank som funksjon av tiden ut fra de oppgitte startbetingelsene og volumstrømmene som er påført Figur 1. (Hint: Resultatet fra oppgave a) kan brukes.) Svar: La x j (t) være saltmengden [kg] i tank j ved tiden t [min], der j {1,}. Startbetingelsene er da x 1 (0) = 100 liter 0,0 kg/liter = kg x (0) = 100 liter 0,00 kg/liter = 0 kg. Stiller opp differensialligningssystemet: x 1 = x 1 / x /100 = 0,08x x x = x 1 /100 8 x /100 8 = 0,08x 0.08x, som på matriseform blir ẋ = Bx, (1) [ ] 0,08 0,0 der B =. Dette er et homogent system av lineære differensialligninger. Vi observerer at matrisen B = A/100, slik at egenverdiene til 0,08 0,08 B er lik egenverdiene til A delt på 100 og egenvektorene er de samme. Da gir formelsamlingen at den generelle løsningen av ligningssystemet gitt av (1) er x(t) = c 1 e λ1t k 1 + c e λt k [ ] [ ] = c 1 e 0,04t 1 + c e 0,1t 1. 5
6 Ved å sette inn startbetingelsene gitt i oppgaveteksten bestemmer vi konstantene c 1 og c : som gir ligningssystemet x 1 (0) = c 1 e 0, c e 0,1 0 1 = x (0) = c 1 e 0, c e 0,1 0 = 0, c 1 + c = c 1 c = 0, med løsning c 1 = 1 og c = 1. Da blir endelig løsning av systemet [ ] [ ] x(t) = e 0,04t 1 + e 0,1t 1. Oppgave 4 (10 %) - Transformasjoner En linje l går gjennom origo og danner en vinkel på 30 med x-aksen. En transformasjon T i R speiler punkter om linja l. a) Bestem transformasjonsmatrisen til T. Svar: Dette kan sees på som en sammensatt transformasjon, der vi først roterer 30 med klokka (θ = 30) om origo, deretter speiler om x-aksen (skifter fortegn på y-koordinaten), og tilslutt roterer 30 mot klokka (θ = 30) om origo. Stiller først opp matrisene for hver av disse transformasjonene, for så å multiplisere disse sammen. Rotasjon 30 med klokka (θ = 30) om origo [ ] cos( 30) sin( 30) R 30 = = sin( 30) cos( 30) Rotasjon 30 mot klokka (θ = 30) om origo [ ] 3/ 1/ 1/ 3/ [ ] [ ] cos(30) sin(30) 3/ R 30 = = 1/ sin(30) cos(30) 1/ 3/ Speiling om x-aksen S x = [ ] Rekkefølgen på transformasjonene er R 30, S x og tilslutt R 30. Transformasjonen T blir da: [ ][ ][ ] [ ] 3/ 1/ T = R 30 S x R 30 = 1 0 3/ 1/ 1/ 3/ 0 1 1/ 1/ 3/ = 3/ 3/ 1/ 6
7 b) Utfør transformasjonen på trekanten ABC, der A(1, 3),B( 3,1),C(, 3). Tegn figur. Man kan finne egenrommene til transformasjonsmatrisen (du trenger ikke gjøre dette). Beskriv med ord hva egenrommet til egenverdien 1 representerer. (NB. Du trenger ikke regne ut egenverdiene og egenvektorene) Svar: Setter opp punktene som skal transformeres i matrisen P: [ ] 1 3 P = Transformasjonen utføres ved å multiplisere transformasjonsmatrisen T fra oppgave a) med punktmatrisen P: [ ][ ] [ ] 1/ 3/ TP = =. 3/ 1/ De transformerte punktene blir A (,0), B ( 3,1) og C (4,0). Vi observerer punktet B ligger i ro under transformasjonen siden B=B. Det er ikke så rart, siden B ligger på linja trekanten speiles om. Figur viser resultatet av transformasjonen. 4 l C 3 1 A B B 0-1 A C Figur : Transformasjoner på trekanten ABC. Egenrommet til egenverdien 1 til transformasjonsmatrisen T er alle de punkter som ikke endres av transformasjonen: Tx = x, det vil si alle punkter som ligger på linja det speiles om. Oppgave 5 (35 %) - Grafikk Betrakt trekanten ABC spesifisert i Oppgave 4b) (Hjørnepunkter A(1, 3), B( 3,1), C(, 3)). 7
8 a) Lag en java-metode med kall til OpenGL-metoder, som tegner opp denne trekanten. Kall metoden tegntrekant(). Hint: Bruk OpenGL-metoden gl.glbegin(gl.gl_triangle); til å tegne opp trekanten. Et hjørnepunkt angis ved: gl.glvertex??(?,? ); b) Lag en ny java-metode som kaller metoden i a) og utfører følgende transformasjoner av trekanten: 1) Trekanten roteres 30 grader med urviseren. ) Trekanten skaleres med følgende skaleringsfaktorer: s x = 1 skalering i x-retning s y = 1 skalering i y-retning 3) Trekanten roteres 30 grader mot urviseren. Metoden skal kalle metoden tegntrekant() og tegne opp trekanten i den nye roterte og skalerte posisjonen. Rotasjonen skal være om z-aksen, dvs. en akse normalt på x,y-planet. Sett opp matriselikningene med bruk av homogene koordinater og lag en skisse av trekanten etter hver transformasjon. c) Anta at det innføres et nytt punkt D(1, 3,1). De fire punktene A, B,C og D danner nå en pyramide med trekanten ABC som grunnflate. Definer en todimensjonal tabell i java som inneholder alle koordinatene til hjørnepunktene i pyramiden. Definer også en tabell som gir ulik farge til hver enkelt flate i pyramiden. Tegn opp pyramiden og sett nummer på hjørnene og flatene. d) Skriv om metoden i a) slik at den tar hjørnenummerne som parametre for å tegne trekanten. Angi en farge på trekanten. Hjørnepunktene og fargen på trekanten skal gis på vektorform. e) Lag en metode i java som tegner pyramiden ved å kalle metoden i d) en gang for hver flate. f) Lag en metode i java som animerer pyramiden slik at den roterer rundt y-aksen. Hint: Bruk en for-løkke. 8
LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerEksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerØving 3 Determinanter
Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerPensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerEmne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet
DetaljerDeterminanter til 2 2 og 3 3 matriser
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerEKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerObligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit
Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
DetaljerUiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
DetaljerLineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
DetaljerElementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
DetaljerLineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise
Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med
Detaljer1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
Detaljer