MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3

Transkript

1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger fra R n til R m Lineære likningssystemer Lineær uavhengighet av vektorer 1 / 42

2 Matriser La m og n være naturlige tall. En (reell) m n matrise A er et rektangulært objekt med m rader og n kolonner av reelle tall av typen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a m1 a m2 a mn Addisjon av matriser og mult. av matrise med skalar To m n matriser A og B kan legges sammen (elementvis, koeffisientvis) til en ny m n matrise A + B. En m n matrise A kan ganges med et (reelt) tall c (koeffisientvis) til en ny m n matrise c A. Disse to operasjonene tilfredsstiller vanlige regneregler; vi har f.eks. at c (A + B) = c A + c B, osv. 2 / 42

3 Vektorer x 1 x 2 En m 1 matrise x = kalles en kolonnevektor.. x m Ofte sier vi bare vektor i stedet for kolonnevektor. Av typografiske hensyn skriver vi noen ganger x = (x 1, x 2,, x m ) for å angi en kolonnevektor x. Mengden av alle m 1 kolonnevektorer betegnes med R m. Slike vektorer kan legges sammen, og ganges med reelle tall. En m n matrise A kan angis ved sine kolonnevektorer, og vi skriver da A = [ a 1 a 2 a n ] når a 1, a 2,, a n er kolonnevektorene til A. En 1 n matrise [y 1 y 2 y n ] kalles en radvektor. En matrise kan også angis ved sine radvektorer. 3 / 42

4 Lineære kombinasjoner La a 1, a 2,, a n R m og c 1, c 2,, c n R. Vektoren b i R m gitt ved b = c 1 a 1 + c 2 a c n a n kalles en lineær kombinasjon av vektorene a 1, a 2,, a n (med vektene c 1, c 2,, c n ). Vi lar W = Span{a 1,, a n } betegne mengden av alle slike lineære kombinasjoner, og sier da at W er utspent av a 1,, a n (eller at a 1, a 2,, a n utspenner W ). Vi har f.eks. at a 1, a 2,, a n utspenner R m når Span{a 1, a 2,, a n } = R m m.a.o. når enhver vektor i R m er en lin. komb. av a 1, a 2,, a n. 4 / 42

5 Eksempel. For j = 1, 2,..., m, la e j = (0,, 0, 1, 0,, 0) være vektoren i R m der alle komponentene er 0 ere, bortsett fra at j-te komponent er 1. Da er Span{e 1, e 2,, e m } = R m fordi hvis b = (b 1, b 2,, b m ) R m, så er b = b 1 e 1 + b 2 e b m e m Span{e 1, e 2,, e m }. Så e 1, e 2,, e m utspenner R m. 5 / 42

6 Eksempel. La a 1, a 2 være vektorer i R 3, begge forskjellige fra nullvektoren. Sett W = Span{a 1, a 2 }. Hvis a 1 og a 2 er parallelle, er W = Span{a 1 } = Span{a 2 } så W er linjen gjennom origo utspent av a 1 (eller a 2 ). Hvis a 1 og a 2 ikke er parallelle, er W planet gjennom origo utspent av a 1 og a 2. En normalvektor n til planet W gir da en vektor i R 3 som ikke er med i W. Så {a 1, a 2 } utspenner W, men ikke R 3. 6 / 42

7 Produkt av en matrise og en vektor La A være en m n matrise gitt ved A = [a 1 a 2 a n ] og la x R n være gitt ved x = (x 1, x 2,, x n ). Produktet av A og x er vektoren A x i R m gitt ved x 1 x 2 A x = [a 1 a 2 a n ]. = x 1 a 1 + x 2 a x n a n. x n Merk: Produktet av en 1 n radvektor R = [r 1 r 2 r n ] og en vektor x i R n gir prikkproduktet av vektorene: x 1 R x = [r 1 r n ]. = r 1 x 1 + r 2 x r n x n x n Produktet av A med x kan også beskrives slik: Den i-te komponenten til vektoren A x får vi ved å gange den i-te radvektoren til A med x. 7 / 42

8 Lineære avbildninger En funksjon T : R n R m kalles en lineær avbildning dersom den tilfredsstiller at T (x + y) = T (x) + T (y) T (c x) = c T (x) for alle x, y R n og alle c R. Eksempel. La A være en m n matrise. Da er funksjonen T A : R n R m definert for hver x R n ved T A (x) = A x en lineær avbildning. 8 / 42

9 Enhver lineær avbildning fra R n til R m kan angis på formen T A : Teorem. La T : R n R m være en lineær avbildning. Da fins det nøyaktig en m n matrise A som er slik at T (x) = A x for alle x R n, dvs som er slik at T = T A. Matrisen A kalles standardmatrisen til T og er gitt ved A = [T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n )] Eksempel. Hvis T : R 2 R 2 er rotasjonen (mot klokka) om origo med en vinkel ϕ, så er standardmatrisen til T gitt ved [ ] cos ϕ sin ϕ A = [T (e 1 ) T (e 2 )] =. sin ϕ cos ϕ For andre geometriske eksempler på lineæravbildninger, se i avsnittene 1.8 og 1.9 i boka. 9 / 42

10 Lineære likningssystemer Betrakt et lineært likningssystem med m likninger i variablene x 1, x 2,, x n (med reelle koeffisienter): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Den utvidede matrisen til systemet er da matrisen a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 M =..... a m1 a m2 a mn b m 10 / 42

11 Selve koeffisientmatrisen til systemet er m n matrisen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =..... a m1 a m2 a mn Med b = (b 1, b 2,, b m ) kan systemet angis på matriseform ved A x = b. Lar vi A = [a 1 a 2 a n ] kan systemet angis på vektorform ved x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b Vi har derfor at systemet er konsistent (dvs har minst en løsning) hvis og bare hvis b Span{a 1, a 2,, a n }. 11 / 42

12 Et lineært likningssystem kan løses ved å omforme det til et enklere system med samme løsningsmengde. Den utvidede matrisen M omformes da ved (elementære) radoperasjoner. Det finnes tre slike operasjoner: bytt om to rader multipliser en rad med et tall 0 legg et multippel av en rad til en annen rad Ved hjelp av rad-reduksjon algoritmen (også kalt Gauss-Jordan eliminasjonsmetoden) kan man omforme en matrise ved radoperasjoner til en matrise som er på redusert trappeform. 12 / 42

13 En matrise R er på redusert trappeform dersom: alle eventuelle nullrader i R er samlet i bunnen. i alle de andre radene er første tall (fra venstre) som ikke er null en 1 er. Disse 1 ere kalles pivoter. en pivot i en rad (som ikke er den første raden) ligger til høyre for pivoten i raden over. enhver kolonne i R som inneholder en pivot består ellers av bare 0-ere. En kolonne i R som inneholder en pivot kalles en pivotkolonne. Rad-reduksjonsalgoritmen repeteres best på egenhånd. (Se eksempel i boka). MATLAB beregner den reduserte trappeformen til en matrise M ved kommandoen rref(m). 13 / 42

14 Betrakt et system A x = b, med utvidet matrise M = [A b]. Sett R = rref(m). Vi har da følgende tre muligheter: systemet er inkonsistent, dvs uten løsninger: R inneholder da en rad av typen [0 0 1]. (Det svarer til at siste kolonne i R er en pivotkolonne). systemet har nøyaktig en løsning: alle kolonnene i R unntatt den siste er da pivotkolonner. (Systemet har ingen frie variabler). systemet har uendelig mange løsninger: det fins da minst en kolonne i tillegg til den siste som ikke er en pivotkolonne; variablene som svarer til slike kolonner kalles frie variabler. 14 / 42

15 To nyttige resultater: Teorem. La A være en m n matrise. Følgende påstander er ekvivalente: (1) Systemet A x = b er konsistent for enhver b i R m (2) Kolonnene til A utspenner R m (3) Det fins en pivot i alle radene til rref(a). Teorem. Anta at vektorene a 1, a 2,, a n i R m utspenner R m. Da er m n. 15 / 42

16 Lineær uavhengighet Vektorene a 1, a 2,, a n i R m kalles lineært uavhengige dersom vektorlikningen x 1 a 1 + x 2 a x n a n = 0 har bare den trivielle løsningen x 1 = x 2 = = x n = 0. I motsatt fall kalles a 1, a 2,, a n for lineært avhengige; ved å sette inn en ikke-triviell løsning i likningen ovenfor får vi da en lineær avhengighetsrelasjon mellom vektorene. En endelig delmengde S av R m kalles lineært uavhengig dersom dens vektorer er lineært uavhengige. I motsatt fall sier vi at S er lineært avhengig. Merk: hvis n 2, så er a 1, a 2,, a n lineært avhengige hvis og bare hvis minst en av a j -ene kan skrives som en lineær kombinasjon av de andre vektorene. 16 / 42

17 Betrakt nå A = [a 1 a 2 a n ]. Vektorlikningen kan da skrives som x 1 a 1 + x 2 a x n a n = 0 A x = 0 Et slikt homogent system er alltid konsistent siden nullvektoren er alltid en løsning (den trivielle). Vi har: Teorem. Følgende påstander er ekvivalente: (1) Vektorene a 1, a 2,, a n er lineært uavhengige (2) Systemet A x = 0 har bare den trivielle løsningen (3) Alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner. Teorem. Anta at a 1, a 2,, a n R m er lineært uavhengige. Da er n m. 17 / 42

18 Mer om lineære avbildninger Betrakt en lineær avbildning T : R n R m. Når er T 1-1? Når er T på R m? Minner om følgende definisjoner: La T : V W være en funksjon mellom to mengder V og W. Bildet av T er delmengden av W definert ved T (V ) = {T (v) v V }. T kalles 1-1 (eller en-entydig, eller injektiv) dersom ethvert element i T (V ) kommer fra nøyaktig ett element i V. T kalles på W (eller surjektiv) dersom T (V ) = W. 18 / 42

19 La A være standardmatrisen til en lineær avbildning T : R n R m. Vi har da T (x) = T A (x) = A x for alle x R n At T = T A er 1-1 kan beskrives slik: Ethvert konsistent system av typen A x = b har nøyaktig en løsning. Slike systemer kan ikke ha noen frie variabler: enhver kolonne i rref(a) må da være en pivotkolonne. Vi får derfor: Teorem. T = T A er 1-1 alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner. 19 / 42

20 Det at T = T A : R n R m er på R m betyr at likningen T (x) = b har løsninger uansett valg av b R m, dvs at systemet A x = b er konsistent for enhver b R m. Ved et tidligere teorem får vi dermed: Teorem. Avbildningen T = T A er på R m alle radene i rref(a) inneholder en pivot kolonnevektorene til A utspenner R m. 20 / 42

21 En oppsummering av noen av resultatene fra kap. 1: La A være en m n matrise, A = [a 1 a 2 a n ]. La T A : R n R m være gitt ved T A (x) = A x for alle x R n. Da gjelder at a 1, a 2,, a n er lineært uavhengige i R m alle kolonnene i rref(a) er pivotkolonner T A er 1-1 systemet A x = 0 har bare den trivielle løsningen ethvert konsistent system A x = b har nøyaktig en løsning a 1, a 2,, a n utspenner R m alle radene i rref(a) inneholder en pivot T A er på R m systemet A x = b er konsistent for enhver b R m 21 / 42

22 Repetisjon: Avsnitt og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert ved ] AB = [Ab 1 Ab 2 Ab p (Siden alle b j -ene er i R n, så er denne def. meningsfull.) Det kan da sjekkes at AB s koeff. ij er gitt ved (AB) ij = A s rad nr. i ganget med B s kolonne nr. j, dvs. (AB) ij = n a ik b kj k=1 Mange bøker bruker dette som definisjon av produktet. 22 / 42

23 Vi har da videre at (AB)x = A(Bx), x R p. Dette viser at matriseprodukt svarer til sammensetning av de lineære transformasjonene knyttet til matrisene: T AB = T A T B. Teorem. For produkter som har mening holder: 1. A(BC) = (AB)C. 2. A(B + C) = AB + AC. 3. (B + C)A = BA + CA. 4. r(ab) = (ra)b = A(rB). 5. (r + s)a = ra + sa. 6. IA = AI = A. (der I = passende identitetsmatrise). MERK: generelt holder ikke AB = BA; hvis dette holder sier vi at A og B kommuterer. 23 / 42

24 Potens av kvadratisk matrise: A 2 = A A, osv: A k er A multiplisert med seg selv k ganger (for k N). Transponering av matrise A: lar rader bli kolonner i ny matrise, som betegnes A T. Teorem. 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T. 3. (ra) T = ra T. 4. (AB) T = B T A T (Merk rekkefølgen her!). 24 / 42

25 Den inverse av en matrise En n n matrise A kalles invertibel (eller inverterbar) dersom det finnes en n n matrise C slik at CA = AC = I der I er n n identitetsmatrisen. Kaller da C den inverse til A; betegnes med C = A 1. Så AA 1 = A 1 A = I. Den inverse er entydig bestemt (hvis den fins). Betegnelser man bør kunne: invertibel = ikkesingulær ikke invertibel = singulær 25 / 42

26 Teorem. Hvis [ a b c d og ad bc 0 (determinanten til A er ulik 0), så er A 1 = [ 1 ad bc ] d c b a ]. Teorem. Hvis A er en invertibel n n matrise, så har likningssystemet Ax = b en entydig løsning x for enhver b R n, og denne er x = A 1 b. 26 / 42

27 Teorem. 1. Hvis A er invertibel, er også A 1 invertibel og (A 1 ) 1 = A. 2. Hvis A og B er invertible, så er også AB invertibel og (AB) 1 = B 1 A Hvis A er invertibel, er også A T invertibel og (A T ) 1 = (A 1 ) T. Her kan egenskap 2 generaliseres til produkt av flere matriser. Dette teoremet kan f.eks. vises ved hjelp av følgende nyttige resultat: Teorem: Anta A og B er n n matriser som oppfyller AB = I. Da er både A og B invertible, og de er hverandres invers (dvs. A 1 = B og B 1 = A). 27 / 42

28 Litt mer: Elementære matriser: en slik matrise E fåes fra I ved en elementær radoperasjon. Hva blir da EA? Jo, samme som å anvende denne radoperasjonen på A!! Hvordan beregne A 1 (noe vi unngår hvis vi kan!!): Bruk radreduksjonsalgoritmen på [ A I ]. Kommer da frem til [ I A 1 ] når A er radekvivalent med I (dvs. A er invertibel). 28 / 42

29 Invertibel matrise teoremet (forkortes IMT) La A være en n n matrise. Følgende er da ekvivalent: 1. A er invertibel. 2. A er radekvivalent med identitetsmatrisen I. 3. A har n pivot elementer (ledende enere). 4. Ax = 0 har bare løsningen x = Kolonnene i A er lineært uavhengige. 6. Lin.avbildningen T A : x Ax er Ax = b er konsistent for enhver b R n. 8. Kolonnene i A utspenner R n. 9. Lin.avbildningen T A : x Ax er på R n. 10. Det fins en n n matrise C slik at CA = I. 11. Det fins en n n matrise D slik at AD = I. 12. A T er invertibel. 29 / 42

30 Invertible lineæravbildninger: En lineæravbildning T : R n R n kalles invertibel hvis det fins en funksjon S : R n R n slik at S(T (x)) = x (x R n ), T (S(y)) = y (y R n ). En slik S kalles den inverse til T. Man kan vise at S også er lineær. Teorem 9: Betrakt en lineæravbildning T : R n R n og la A være standardmatrisen for T. Da er T invertibel hvis og bare hvis A er invertibel. Og i så fall er den inverse S til T en lineæravb. med standardmatrise A / 42

31 Partisjonerte matriser Ofte er det naturlig dele opp matriser i blokker. Kalles partisjonerte matriser. F.eks. A = = [ A11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 Sier da også at A er en 2 3 blokk matrise. Generelt kan vi ha en m n partisjonert matrise. Slike matriser dukker f.eks. opp i Ax = b problemer der det er naturlig dele opp bde variablene og likningene i visse grupper. ] 31 / 42

32 Regneregler Multiplikasjon av konforme partisjonerte matriser, f.eks. [ A11 A 12 A 21 A 22 ] [ B11 B 12 B 21 B 22 ] [ A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 ] Gjelder hvis dimensjonene stemmer (produktene har mening). Legg merke til likhet med vanlig matrisemultiplikasjon. Et annet eksempel: [ ] A11 [ B11 B 12 A 21 ] = [ A11 B 11 A 11 B 12 A 21 B 11 A 21 B 12 ] 32 / 42

33 Et nyttig resultat for oss er følgende: Teorem. (Kolonne-rad ekspansjon av AB) Hvis A er m n matrise og B er n p, s er AB = [ col 1 (A) col 2 (A) col n (A) ] row 1 (B) row 2 (B). row n (B) = col 1 (A) row 1 (B) + + col n (A) row n (B). Det finnes også formler for den inverse av 2 2 partisjonerte matriser (som man kan slå opp ved behov!). 33 / 42

34 Determinanter Determinanten til en 1 1 matrise er tallet selv. For n 2 defineres determinanten til en n n matrise A induktivt ved deta = n ( 1) 1+j a 1j deta 1j j=1 Her er A 1j submatrisen (delmatrisen) man får fra A ved å slette rad 1 og kolonne j. Generelt: submatrisen A ij fremkommer fra A ved å slette rad i og kolonne j. Formelen over kalles kofaktorekspansjon langs første rad i A. Tallet ( 1) 1+j deta 1j kalles en kofaktor. 34 / 42

35 Det viser seg at man får samme tall ved andre kofaktorekspansjoner også! Teorem. Alle kofaktorekspansjoner for A gir samme tall. Så for alle rader k og for alle kolonner l har vi at deta = n j=1 ( 1)k+j a kj deta kj = n i=1 ( 1)i+l a il deta il. For triangulære matriser er det enkelt å beregne determinanten: Teorem. Hvis A er en triangulær matrise (øvre eller nedre triang.), så er deta lik produktet av diagonalelementene. 35 / 42

36 Egenskaper ved determinanter Hva skjer med determinanten når vi utfører radoperasjoner? Teorem. La A være en kvadratisk matrise. 1. Hvis vi adderer et multippel av en rad i A til en annen, så endres ikke determinanten. 2. Hvis B fremkommer fra A ved å bytte to rader, er detb = deta. 3. Hvis en rad i A mulipliseres med r og B er den nye matrisen, så er detb = r deta. Tilsvarende resultat gjelder for kolonneoperasjoner fordi: Teorem. deta T = deta. 36 / 42

37 Et viktig egenskap er: Teorem. En kvadratisk matrise A er invertibel hvis og bare hvis deta 0. Idéen bak dette resultatet kan skisseres slik: Ved å bruke kun radoperasjoner av typen bytte av to rader og legge til et mult. av en rad til en annen rad kan en kvadratisk matrise A alltid omformes til en øvre triangulær matrise U. Determinanten til A er da lik ( 1) r ganget med produktet av diagonalelementene i U, der r er antall ganger vi byttet to rader. Hvis A er invertibel, må alle diagonalelementene i U være forskjellige fra 0, og det gir da at deta 0. Hvis A er ikke invertibel, er minst en av diagonalelementene i U lik 0, og da er deta = / 42

38 Ved en lignende argumentasjon kan man vise følgende: Teorem. Hvis A og B er n n matriser, så er det(ab) = (deta)(detb). Generelt vil det(a + B) deta + detb. Men determinanten er lineær hvis vi holder fast alle kolonnene (eller alle radene) unntatt én. Mer presist kan dette formuleres slik for kolonner: La A være en n n matrise og x R n. La A j (x) betegne matrisen vi får fra A ved å erstatte j-te kolonne i A med vektoren x. F.eks. A 2 (x) = [ a 1 x a 3 a n ] La da T j : R n R være definert ved T j (x) = det ( A j (x) ). Da er T j lineær. 38 / 42

39 Teorem (Cramer s regel). Anta at A er en invertibel n n matrise og la b R n. Da har systemet Ax = b en entydig løsning x = (x 1,, x j,, x n ) gitt ved x j = det( A j (b) ) (1 j n). deta Dette er en pen formel fordi den viser eksplisitt hvordan løsningen kan uttrykkes via determinanter. MEN: i praktiske beregninger brukes denne formelen nesten aldri! Det er raskere og numerisk mer stabilt å bruke f.eks. Gauss eliminasjon (eller andre iterative metoder). 39 / 42

40 Ved å bruke Cramer s regel flere ganger kan man også få en formel for den inverse til en (invertibel) matrise A: A 1 = 1 deta adj(a). Her er adj(a) en n n matrise som kalles den (klassisk) adjungerte til A. Elementet i posisjon (i, j) i adj(a) er kofaktoren gitt ved ( 1) i+j deta ji. NB! Legg merke til indeksen her: A ji er submatrisen som fremkommer fra A ved å slette rad j og kolonne i. Igjen: Hvis man virkelig vil beregne A 1 i praksis, bruker man ikke denne formelen, men benytter da andre metoder, f.eks. radreduksjon av [ A I ] eller SVD (singulær verdi dekomposisjonen) (kommer senere i kap. 7). 40 / 42

41 For 2 2 og 3 3 matriser er determinanten knyttet til areal/volum begrepene: Teorem. Hvis A er en 2 2 matrise er arealet til parallellogrammet utspent av kolonnene til A lik deta. Hvis A er en 3 3 matrise er volumet til parallellepipedet utspent av kolonnene til A lik deta. Teorem. Hvis T : R 2 R 2 er en lineæravb. med stand.matrise A og S er et parallellogram i R 2, så er Area T (S) = deta Area S. Hvis T : R 3 R 3 er en lineæravb. med stand.matrise A og S er et paralellepiped i R 3, så er Volume T (S) = deta Volume S. Disse resultatene er viktige bl.a. for variabelskifte-formelen for dobbelt/trippel...) integraler i kalkulus/analyse. 41 / 42

42 Neste uke: Begynner i kap. 4. Skal studere vektorrom mer abstrakt og se på underrom, eksempler osv. Godt tips: se på stoffet før forelesningene! 42 / 42