4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner"

Transkript

1 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en matrise. Definisjon. Nullrommet til en m n matrise A er definert ved Nul A = {x R n : Ax = O}. Dette er de vektorene som avbildes på nullvektoren O under funksjonen (lineær transformasjonen) x Ax. Tavle: Se på [ A = Sjekk at f.eks. x = ( 2, 1, 7 2 ) ligger i Nul A. Vi kan finne Nul A ved å løse det lineære likningssystemet Ax = O ved f.eks. radoperasjoner (Gauss eliminasjon). ] 1 / 11

2 Her er neste viktige underrom knyttet til en matrise. Definisjon. Kolonnerommet til en m n matrise A er underrommet utspent av kolonnene: definert ved der A = [a 1 a 2 a n ]. Col A = Span {a 1, a 2,..., a n }. Derfor er Col A = {Ax : x R n } som jo er rekkevidden (billedmengden) til lineær transformasjonen x Ax. TEOREM 2/3. Nul A og Col A er underrom. Bevis: AO = O, så O Nul A, og hvis Ax = O, Ay = O, så er A(x + y) = Ax + Ay = O + O = O. Og hvis c R og Ax = O, så er A(cx) = cax = co = O. Så Nul A er underrom. Har vist at Col A er underrom. 2 / 11

3 Hvordan finne Nul A eksplisitt? Eksempel (tavle): Se på Redusert trappeform: [ A = R = [ ] ] Finn generell løsning: x = (x 1, x 2, x 3 ) = ( 4 7 x 3, 2 7 x 3, x 3 ). Splitt opp som lineær kombinasjon av visse vektorer: x = (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 ( 4 7, 2 7, 1). Så Nul A = Span {( 4 7, 2, 1)} = Span {(4, 2, 7)}. 7 Sjekk opp mot vektoren vi fant tidligere x = ( 2, 1, 7 2 ). 3 / 11

4 Kommentarer Ax = b har en løsning hvis og bare hvis b Col A. Ax = b har en løsning for alle b R m hvis og bare hvis Col A = R m. Nul A inneholder alltid O. Og det inneholder andre vektorer hvis og bare hvis det homogene systemet Ax = O har en ikketriviell løsning. Løsningsmengden til Ax = b er bare underrom når b = O, ellers er dette en affin mengde (translasjon av underrom). Diskusjon: sammenlikning mellom Nul A og Col A; se på de to problemene for et underrom W : Gitt en vektor v, avgjør om v W. Finn en (ikkenull) vektor i W. 4 / 11

5 Tilbake til generelt vektorrom. Skal se på den mest naturlige klassen av funksjoner mellom to vektorrom. Definisjon. La V og W være to vektorrom. En funksjon T : V W kalles en lineær transformasjon (eller lineær avbildning) dersom den bevarer linearitet dvs. T (u + v) = T (u) + T (v) (u, v V ) T (cu) = ct (u) (u V, c R). Eks. Standardeksemplet er V = R n, W = R m, A en m n matrise og T (x) = Ax. Flere eksempler kommer snart. Oppgave: er T : R n R gitt ved T (x) = x en lineær transformasjon? 5 / 11

6 Definisjon. For en lineær transformasjon T definerer vi Kjernen (Nullrommet): Ker T = {v V : T (v) = O}. Rekkevidden: Ran T = {T (v) : v V }. TEOREM. Ker T og Ran T er underrom av h.h.v. V og W. Bevis: Helt tilsvarende beviset for at Nul A og Col A er underrom (Teorem 2 og 3), dvs. bruker linearitet. Ta evt. på tavle! 6 / 11

7 Eks. La V være mengden av deriverbare funksjoner f : R R. Dette er et vektorrom. T (f ) = f er da en lineær transformasjon fra V inn i vektorrommet W av alle reelle funksjoner definert på R. Eks. La V være mengden av to ganger deriverbare funksjoner f : R R. Dette er et vektorrom. La T (f ) = f + af + bf der a, b er (reelle) konstanter og f (f ) er den deriverte (annenderiverte) av f. Da er T en lineær transformasjon fra V inn i vektorrommet av funksjoner g : R R. Videre er kjernen til T alle løsningene av den homogene lineære annenordens differensiallikningen y + ay + by = 0 Eks. La V være mengden av integrerbare funksjoner f : [a, b] R på et intervall [a, b]. La T (f ) = b a f (x)dx. Da er T en lineær transformasjon. Hvorfor? Hva er kjernen til T? 7 / 11

8 4.3 Lineært uavhengige mengder, basiser Basiser brukes for å kunne uttrykke vektorer på en økonomisk måte, nemlig som lineærkombinasjoner av basisvektorene. Det viktige er at det er en entydig (unik) måte å gjøre dette på (for en gitt basis). Definisjon. Vektorene v 1, v 2,..., v p kalles lineært uavhengige dersom vektorlikningen ( ) λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p = O bare har løsningen λ 1 = λ 2 = = λ p = 0. Altså: O kan bare skrives som lineærkombinasjon av v 1, v 2,..., v p på den trivielle måten. Anta V = R n og la A være matrisen med kolonner v 1, v 2,..., v p. Da er disse vektorene lin. uavh. hvis og bare hvis nullrommet til A bare inneholder O. Så: vi kan da sjekke lineær uavhengighet ved å løse et lineært likningssystem. Hvis λ i -er fins slik at ( ) holder og der minst en λ i er ikkenull, kalles ( ) en lineær avhengighetsrelasjon for v j -ene. 8 / 11

9 TEOREM 4. En indeksert mengde av vektorer er lineært uavhengig hvis og bare hvis ingen av vektorene kan skrives som en lineærkombinasjon av de øvrige. Bevis (tavle): Skisse: se på en lineær avhengighetsrelasjon og løs mhp. en av v j -ene. Definisjon. La H være et underrom i et vektorrom V. En indeksert mengde (elementene ordnet) B = {b 1, b 2,..., b p } kalles en basis for H dersom B er lineært uavhengig og H = Span {b 1, b 2,..., b p }. Eks. Koordinatvektorene e 1, e 2,..., e n (kolonnene i identitetsmatrisen I ) er en basis for R n : kalles standardbasis. Eks. Polynomene 1, t, t 2,..., t n er en basis for vektorrommet P n av polynomer av grad høyst n. Oppgave: Hva er standardbasis for mengden R m n av reelle m n matriser? 9 / 11

10 Definisjon. En mengde S kalles en spennmengde for et underrom H dersom enhver vektor i H kan skrives som en lineærkombinasjon av vektorene i S. Ved å fjerne overflødige vektorer fra en spennmengde vil vi til slutt ende opp med en basis. Mer presist: TEOREM 5. La S = {v 1, v 2,..., v p } og la H = Span {v 1, v 2,..., v p } (skrives også H = Span S). Hvis f.eks. v k er en lineærkombinasjon av de øvrige vektorene v i (i k), så vil også H = Span {v i : i k}. Med mindre H = {O}, så vil S inneholde en delmengde som er en basis for H. 10 / 11

11 Hvordan finne en basis for Col A? Bestem redusert trappeform R til A. TEOREM 6.: De kolonnene i A som svarer til pivotkolonnene i R vil være en basis for Col A. Fordi: Ax = O medfører MAx = O, der R = MA; M er en invertibel matrise som svarer til radoperasjonene som reduserer A til R. Så A og R has de samme lineære avhengigheter mellom kolonnene. Merk: det er altså ikke kolonnene i R som er en basis for Col A! Matlab: R=rref(A); etc. 11 / 11

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Vedlegg C: Løsningsforslag Kapittel. a x =, y = 3 b x =, y = 0 cx =, y = 5 d x =, y = 3 e Ingen løsning. f Flere løsninger: x = 4 + t, y = t. a x = 7, x = 6, x 3 = bx =, x =, x 3 = c x =, x = 3, x 3 =.3

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

4.9 Anvendelser: Markovkjeder

4.9 Anvendelser: Markovkjeder 4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Semesteroppgave. TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal. Høst 2003

Semesteroppgave. TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal. Høst 2003 Semesteroppgave TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal Høst 2003 Sammendrag Fra datasettet med termodynamiske egenskaper for vann ved konstant temperatur 25 C

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Øving 5 Diagonalisering

Øving 5 Diagonalisering Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. x 1 +3x 2 +11x 3 = 6 2x 2 +8x 3 = 4 18x 1 +5x 2 +62x 3 = 40

Høgskolen i Oslo og Akershus. x 1 +3x 2 +11x 3 = 6 2x 2 +8x 3 = 4 18x 1 +5x 2 +62x 3 = 40 Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 4 Innleveringsfrist: 8. mars klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Om vi tenker oss at vi spiser x 1 hg banan, drikker x hg lettmelk og spiser

Detaljer

Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Optimering av funksjoner av flere variable

Optimering av funksjoner av flere variable Optimering av funksjoner av flere variable av Tom Lindstrøm Matematisk insitutt/cma Universitetet i Oslo Dette notatet gir en kortfattet innføring i maksimums- og minimumsproblemer for funksjoner av flere

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver Sosialøkonomisk institutt 22 Forord Dette heftet er beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i kurset Matematikk for økonomer i 3. avdeling.

Detaljer

V2012 MAT1110. Joakim Myrvoll Johansen PENSUM. Pensum fra boka

V2012 MAT1110. Joakim Myrvoll Johansen PENSUM. Pensum fra boka PENSUM MAT1110 V2012 Pensum fra boka Joakim Myrvoll Johansen Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Innhold Pensum fra Flervariabel analyse

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Vektorer og matriser

Vektorer og matriser DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE)

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Heltid - ikke studiepoenggivende utdanning Godkjent av Avdelingsstyret ved ingeniørutdanningen 14. mars 2011 Fakultet for teknologi, kunst

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Innleveringsfrist: torsdag 03.11.2016, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Kapittel 3: degenerasjon.

Kapittel 3: degenerasjon. LP. Leksjon 3 Kapittel 3: degenerasjon. degenerasjon eksempel på sirkling den leksikografiske metoden andre pivoteringsregler fundamentaleoremet i LP LP. Leksjon 3: #1 of 15 Repetisjon simpleksalgoritmen:

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

Definisjoner og løsning i formel

Definisjoner og løsning i formel Differensiallikninger Definisjoner og løsning i formel Forelesning uke 45, 2006 MAT-INF1100 Difflik. p. 1 Differensiallikninger Struktur i presentasjonen Lysarkene gjennomgår hovedpunkter fra Kalkulus

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer