Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Transkript

1 Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon av en slik avbildning inneholder all ønskelig informasjon om avbildningen, man trenger bare å oversette informasjonen tilbake Vi skal først gi en illustrasjon av denne prossessen La T : V W være en lineær avbildning mellom to endelig dimensjonale vektorrom V og W Anta at V har en basis B = {b 1,, b n } mens W har en basis C = {c 1,, c m }, så dim V = n, mens dim W = m La M være matriserepresentasjonen av T mhp basisene B og C, så M er m n matrisen som er slik T (v)] C = Mv] B, v V La så T M : R n R m være lineær avbildningen gitt ved T M (x) = Mx, x R n Da gjelder følgende : 1) T er 1-1 T M er 1-1 2) T er på W T M er på R m 3) T er en isomorfi T M er en isomorfi n = m og M er invertibel 4) Dersom n = m, så er T er en isomorfi M er invertibel, og da er matrisen til T 1 mhp basisene C og B gitt ved M 1 5) Dersom n = m, så er T er en isomorfi T er 1-1 T er på W Før vi sier litt om beviset, bemerker vi først at det å avgjøre når T M er 1-1, eller når T M er på R m, er noe vi vet hvordan kan gjøres (cf kapittel 1 i Lays bok) : feks er T M 1-1 Nul M = {0} alle kolonnevektorene til M er lineært uavhengige, mens T M er på R m kolonnevektorene til M utspenner R m I begge tilfellene kan spørsmålet lett avgjøres ved å betrakte den reduserte trappeformen til M Dernest bør det legges til at man i situasjonen ovenfor generelt har at dim Ker T = dim Ker T M = dim Nul M, mens dim T (W ) = dim T M (R n ) = dim Col M = rang M, og rangteoremet for matriser 1

2 gir oss da det generelle rangteoremet for lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom, som sier at dim Ker T + dim T (W ) = n = dim V Ad 1) : Anta at T er 1-1 For å vise at T M er da 1-1, antar vi at T M (x) = T M (y), x, y R n Da er Mx = My Velg nå v, v V slik at v] B = x, v ] B = y Vi får da at T (v)] C = Mv] B = Mv ] B = T (v )] C, og det følger at T (v) = T (v ) (siden koordinatiseringsavbildningen mhp C er 1-1), som igjen medfører at v = v (siden T er 1-1 p antagelse) og derfor at x = v] B = v ] B = y Dette viser at T M er 1-1 Den omvendte implikasjonen vises på en liknende måte Ad 2) : Ekvivalensen vises med en tilvarende akrobatikk som for punktet 1) (anbefales som oppgave for interesserte) Ad 3) : Første ekvivalens følger av 1) og 2) Anta så at T M er en isomorfi, så T M er både 1-1 og på Da er Nul M = 0, så n = rang M Videre er også Col M = R m, så rang M = m Altså er da n = m, og M er invertibel ved IMT Dette viser impliksjonen i den andre ekvivalensen Den omvendte implikasjonene følger direkte av IMT Ad 4) : Anta at n = m Den påståtte ekvivalensen følger opplagt av 3) Anta at T er isomorfi, så M er invertibel, og la N være matrisen til T 1 mhp basisene C og B Vi skal nå vise at N = M 1 La w W og la v = T 1 (w), så w = T (v) Da er samtidig som så v] B = T 1 (w)] B = Nw] C, (1) w] C = T ( v)] C = Mv] B, v] B = M 1 w] C (2) Fra (1) og (2) får vi at Nw] C = M 1 w] C Siden w var en vilkårlig vektor i W, følger det at N = M 1, som ønsket Ad 5) : Anta at n = m Hvis T er 1-1 er da T M 1-1 (ved 1)), og vi vet da fra IMT at T M er en isomorfi, slik at T er en isomorfi (ved 3)) Tilsvarende, hvis T er på er da T M på (ved 2)), og vi vet da fra IMT at T M er en isomorfi, slik at T er igjen en isomorfi De to andre implikasjonene som gjenstår er trivielle 2

3 La oss nå se på et eksempel der dette resultatet er nyttig La a 0, a 1,, a n være innbyrdes forskjellige reelle tall, og betrakt lineær avbildningen T : P n R n+1 definert ved T (p) = (p(a 0 ), p(a 1 ),, p(a n )), p P n Da er T en isomorfi Vi kan nemlig argumentere som følger: Siden dim P n = n + 1 = dim R n+1, er det nok (ved 5)) å sjekke at T er 1-1 Så anta at T (p) = T (q), der p, q P n Da er p(a j ) = q(a j ), j = 0, 1,, n Dette betyr at (p q)(a j ) = 0, j = 1,, n, så polynomet p q har n + 1 forskjellige røtter Siden p q har grad høyst lik n, må da p q være 0-polynomet, dvs p = q At T er en isomorfi betyr at hvis b 0, b 1,, b n er reelle tall, så fins det et entydig bestemt polynom p P n som er slik at p(a 0 ) = b 0, p(a 1 ) = b 1,, p(a n ) = b n, altså som er slik at grafen til p går gjennom alle punktene i planet gitt ved (a 0, b 0 ), (a 1, b 1 ),, (a n, b n ) Videre kan vi bruke siste del av 4) til å finne p : la nemlig M være matrisen til T mhp standardbasisen B = {1, t,, t n } for P n og standardbasisen C for R n+1 Man regner enkelt ut at M = T (1) T (t) T (t n )] = 1 a 0 a n 0 1 a 1 a n 1 1 a n a n n Matrisen M er da invertibel (noe som kan forøvrig sjekkes ved å regne ut at dens determinant er forskjellig fra 0 - men dette krever en viss oppfinnsomhet, og det slipper vi nå) Vi kan nå finne p ved å regne ut M 1 og bruker deretter at p] B = M 1 (b 0, b 1,, b n ) La oss si at vi, noe mer konkret, ønsker å bestemme polynomet p i P 2 som er slik at Vi får da at M = p(0) = b 0, p(1) = b 1, p(2) = b , M 1 = 3/2 2 1/ /2 1 1/2, 3

4 slik at p] B = M 1 (b 0, b 1, b 2 ) = (b 0, 3 2 b 0 + 2b b 2, 1 2 b 0 b b 2), som gir at p(t) = b 0 + ( 3 2 b 0 + 2b b 2)t + ( 1 2 b 0 b b 2)t 2 Vi skal nå se nærmere på spesialtilfellet der W = V og C = B, dvs vi betrakter en lineær avbildning T : V V og antar at V har en basis B Vi minner om fra avsn 54 at matrisen til T mhp B betegnes med T ] B Ved å bruke 4) ovenfor får vi da at T er en isomorfi T ] B er invertibel, og at da er matrisen til T 1 mhp B gitt ved (T ] B ) 1 For eksempel, la V = Span {e x sin(x), e x cos(x)} og betrakt lineær avbildningen D : V V gitt ved D(f) = f (= den deriverte av f) Det er lett å sjekke at B = {e x sin(x), e x cos(x)} er en basis for V, og at ] 1 1 D] B = 1 1 Denne matrisen har determinant lik 2 og er derfor invertibel Så D er en isomorfi, og hvis g V, finner vi f = D 1 (g) ved f] B = (D] B ) 1 g] B = 1 ] 1 1 g] B Funksjonen f er p def en antiderivert av g, som man vanligvis ville finne ved hjelp av en delvis-integrasjon prossess Hvis fėks g(x) = e x sin(x) finner vi at f] B = 1 ] ] = 1 ] 1, dvs f(x) = e x sin(x)dx = 1 2 (ex sin(x) e x cos(x)) Vi betrakter igjen en lineær avbildning T : V V og antar nå at B og B begge er basiser for V La P betegne koordinatskifte-matrisen fra B til B Da har vi at T ] B = P T ] B P 1 ( ) 4

5 som spesielt viser at T ] B og T ] B er similære matriser Denne nyttige formelen er enkel å utlede hvis man husker hvordan de involverte matrisene virker : for alle v V har vi nemlig at T ] B v] B = T (v)] B = P T (v)] B = P T ] B v] B = P T ] B P 1 v] B Som et første eksempel på hvordan formelen ( ) brukes i praksis betrakter vi lineær ] avbildningen T : R 2 ] R 2 med ] standardmatrise A = og basisen B 1 1 = {, } 1 2 For å finne T ] B, lar vi B betegne standardbasisen for R 2 og lar Q være koordinatskifte-matrisen fra B til B ] ] Da er Q = B ] =, og Q = 1 Siden P := Q 1 er koordinatskifte-matrisen fra B til B, så gir ( ) oss at = ( T ] B = P T ] B P 1 = Q 1 AQ ]) ] ] = Som en annen anvendelse av formelen ( ) skal vi nå utlede hvordan man kan finne standardmatrisen A til speilingen S : R 2 R 2 om linjen L : y = ax, der a er et reelt tall Det går an å finne A direkte med litt geometrisk innsikt, men vi kan gjøre dette nokså smertefritt ved å bruke ( ) Vi velger først en basis B for R 2 på følgende vis : vi setter v 1 = (1, a) (som er en retningsvektor for L), v 2 = ( a, 1) (som står ortogonalt på L), og lar B = {v 1, v 2 } Poenegt er at S(v 1 ) = v 1 og S(v 2 ) = v 2, så S] B = La B betegne standardbasisen for R 2 og la P betegne] koordinatskiftematrisen fra B til B Da er P = v 1 v 2 ] = Videre får vi 1 a a 1 da at ] A = S] B = P S] B P 1 ] 5

6 1 a = a 1 Ved å gange ut får vi at ] A = a 2 ] ( 1 1 a 1 + a 2 a 1 1 a 2 2a 2a a 2 1 ] ]) Legg merke til at i eksemplet ovenfor er B en egenvektorbasis for S og matrisen til S mhp B er da diagonal Dette vil alltid gjelde (cfteorem 8 i avsn 54) Mer generelt, anta at T : V V er en lineær avbildning og at V har en basis B = {v 1,, v n } Da finnes det reelle tall d 1,, d n slik at T (v 1 ) = d 1 v 1,, T (v n ) = d n v n T ] B er diagonalmatrisen med tallene d 1,, d n langs sin hoveddiagonal, og avbildningen T kalles da diagonaliserbar når det fins en slik egenvektorbasis for T Vi har da at hvis B er en vilkårlig annen basis for V, så er matrisen T ] B alltid diagonaliserbar, siden ( ) gir oss at T ] B er similær med diagonalmatrisen T ] B Omvendt, hvis det finnes en basis B for V som er slik at matrisen T ] B er diagonaliserbar, så kan det vises at T er da diagonaliserbar Men dette overlates som en oppgave for spesielt interesserte 6