Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Transkript

1 HJEMMEOPPGAVER utgave av ): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a a a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene i H slik at a 1 a n = 1 og la S 1 H være matrisene med a 1 = a 2 = = a n = 1 a) La U være undermengden av A n K av punkter a 1,, a n ) slik at a 1 a n = 1 Vis at U er en irredusibel algebraisk varietet b) Vis at H er en irredusibel algebraisk varietet c) Vis at SH er en irredusibel algebraisk varietet d) Vis at S 1 H er en irredusibel algebraisk varietet Oppgave 14 til 9 desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: I 1 = ker Φ : K[x, y] K, der Φ er K-algebra homomorfismen definert ved Φx) = a og Φy) = b for to elementer a og b i K I 2 = {vektorrommet i K[x, y] generert av elementene x am y bn med am + bn c}, der a, b, c er faste hele positive tall, og m og n er varierende hele positive tall, I 3 = idealet generert av elementene x 2 + y n for n = 2, 4, 8, a) Er I 1 et ideal i K[x, y]? I så fall, finn et endelig antall generatorer for I 1 b) Er I 2 et ideal i K[x, y]? I så fall, finn et endelig antall generatorer for I 2 c) Finn et endelig antall generatorer for I 3 Oppgave 1 til 9 september: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a a a n der a 1 a 2 a n 0, og la S 1 H være matrisene i H der a 1 = a 2 = = a n = 1 a) Vis at H er en gruppe 1,

2 2 b) Gi et eksplisitt uttrykk for A 1 c) Vis at S 1 H er en gruppe d) Er H kommutativ e) Finnes det en bilineær form <, >: C n C n C slik at elementene i H er inneholdt i automorfigruppen for den bilineære formen? f) Finnes det en bilineær form <, >: C n C n C slik at S 1 H er inneholdt i automorfigruppen for den bilineære formen? g) Finnes det en bilineær form <, >: C n C n C slik at S 1 H er automorfigruppen for den bilineære formen? Oppgave 2 til 16 september: La H og S 1 H være gruppene i Oppgave 1, og la SH være gruppen av elementer i H slik at a 1 a 2 a n = 1 a) Vis at avbildningen Φ : H G l n C) som sender matrisen A i Oppgave 1 til diagonalmatrisen a a a n er en gruppehomomorfi b) Bestem kjernen og bildet til Φ c) Er S 1 H en normal undergruppe av H? d) Vis at avbildningen Ψ : H C som sender matrisen A i Oppgave 1 til a 1 a 2 a n er en gruppehomomorfi e) Bestem kjernen og bildet til Ψ f) Er SH en normal undergruppe av H? g) Vis at SH inneholder uendelig mange undergrupper med et endelig antall elementer h) Bestem alle undergrupper av S 1 H med endelig mange elementer Oppgave 3 til 23 september: La R være en kommutativ ring og I et ideal i R Videre la HR) være gruppen av matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a a a n der a i er i R og a ij i I for alle i og j, og a 1 a 2 a n er en enhet i R, det vil si, det finnes et element i b slik at a 1 a 2 a n b = 1 Videre la SHR) være undergruppen,

3 av matrisen slik at a 1 a 2 a n = 1, og la S 1 HR) være undergruppen av matriser slik at a 1 = a 2 = = a n = 1 a) Vis at HR) er en gruppe b) Vis at SHR) er en gruppe c) Vis at S 1 HR) er en gruppe d) Finn et pent generatorsett for HR) e) Finn et pent generatorsett for SHR) f) Finn et pent generatorsett for S 1 HR) Oppgave 4 til 30 september: La K N være mengden av alle avbildninger N K Videre, la K N) være undermengden av alle avbildninger u : N K slik at un) 0 for et endelig antall heltall n a) Vis at K N med punktvis addisjon og multiplikasjon er et vektorrom b) Vis at V = K N) er et underrom c) La e i i V være funksjonen bestemt av at { 0 når i j e i j) = 1 når i = j Vis at e 0, e 1, er en basis for V d) La ě 0, ě 1, være de duale funksjonene, det vil si funksjonene ě i : V K definert ved { 0 når i j ě j e i ) = 1 når i = j Vis at ě 0, ě 1, er lineært uavhengige vektorer i ˇV e) Er vektorene ě 0, ě 1, en basis for ˇV? f) Vis at det finnes en kanonisk lineær avbildning V ˇV g) Er avbildningen i punkt f) en isomorfi? Oppgave 5 til 7 oktober: La K være en kropp der 2 0, og la V = K 2 være det 2-dimensjonale vektorrommet med standard basis e 1 = 1, 0) og e 2 = 0, 1) Videre ) la <, > S : V V K være den bilineær formen på V gitt av matrisen med hensyn til standardbasesn a) For hvilke kropper K er <, > S ikke degenerert? b) Vis at < e 1, e 1 > 0 c) Finn en basis f 1 = e 1, f 2 for V som diagonaliserer <, > S d) Beskriv automorfigruppen for <, > S når <, > er ikke-degenerert e) Samme oppgaver som a), b), c), d) for matrisen T = ) 3 og den tilsvarende bilineære formen <, > T f) Gi en tilstrekkelig betingelse på K for at automorfigruppene til <, > S og <, > T er isomorfe g) Er automorfigruppene til <, > S og <, > T isomorfe for alle kropper K? Oppgave 6 til 14 oktober:

4 4 La V være et endelig dimensjonalt vektorrom, og la H G være et hyperplan, det vil si, et underrom av dimensjon dim K V ) 1 Videre la e 1,, e n være en basis for V a) Vis at det finnes elementer a 1,, a n i K slik at H = {b 1 e b n e n : a 1 b a n b m = 0} b) La A være matrisen for en lineær avbildning med hensyn til basen e 1,, e n Hvilken form skal A ha for å være en refleksjon med hensyn til hyperplanet H? c) La <, > være en ikke degenerert form på vektorrommet V Gi ligninger i koeffisientene til matrisen for formen, i a 1, a 2,, a n og i koordinatene til x som bestemmer om A kan være på formen s x for noe element x V med < x, x > 0? Oppgave 7 til 21 oktober: La V = R 2 Taksimetrikken er definert av avstandsfunsjonen d T a, b), c, d)) = a c + b d a) Vis at d T definerer en metrikk på V b) Tegn en ellipse i taksimetrikken En ellipse er det geometriske stedet for de punktene slik at summen av avstandene til to punkter, fokalpunktene, er konstant c) Hva er den trigonometriske ettan i denne metrikken? d) Hva er π i denne metrikken? Oppgave 8 til 28 oktober: La K N være vektorromnet av alle avbildninger N K, der K er R eller C Videre la K N) = {ϕ : N K : ϕn) 0 for et endelig antall n N} K N K = {ϕ : N K : ϕn) konvergerer} K N B = {ϕ : N K : ϕn) < C ϕ for noen konstant C ϕ for alle n N} For alle x og y i K N som svarer til ϕ x : N K, respektive ϕ y : N K setter vi: d o x, y) = ϕ x n) ϕ y n) d K x, y) = ϕ x n) ϕ y n) d B x, y) = sup ϕ x n) ϕ y n)

5 5 { 0 when x = y dx, y) = 1 when x y a) Vis at K N K og KN B er vektorrom b) Vis at d 0, d K, d B, d er metrikker på K N), K N K, KN B, KN respektive c) Er inklusjonsavbildningene K N) K N K KN B KN kontinuerlige? d) Hvilke av metrikkene d 0, d K, d B, d er indusert av normer på vektorrommene K N), K N K, KN B, KN respektive Oppgave 9 til 4 november: ) 2 3 a) Beregn exp ) b) Beregn log c) Beregn logaritmen til matrisene S 1 H i Oppgave 1 d) Beregn eponensialfunksjonen til matrisene på formen 0 a 12 a 1n e) Vi at S 1 H kan gies en struktur av vektorrom der addisjonen er multiplikasjon av matriser Oppgave 10 til 11 november: ) La J = der J m = 0 Jm J m ) Er J diagonaliserbar i M n C)? 2) Kan du finne en matrise Y i M 2m R) slik at J + ty er diagonaliserbar i M 2m R) for alle reelle tall t slik at 0 < t < ε for noe ε > 0? 3) For hvilke positive heltall er de diagonaliserbare matrisene tette i M n R) Oppgave 11 til 18 november: La K være R eller C For hver matrise X i M n K) lar vi p X t) = detti n X) være det karakteristiske polynomet 1) Anta at X er slik at med λ 1,, λ n i K Vis at p X t) = p expx) t) = n t λ i ) i=1 n t expλ i )) i=1 2) Kan du vise en tilsvarende formel for andre funksjoner, eller klasser av funksjoner, enn exp?

6 6 Oppgave 12 til 25 november: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a a a n, der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene i H slik at a 1 a n = 1 og la S 1 H være matrisene med a 1 = a 2 = = a n = 1 a) Definer tangentrommet og dimensjonen til S, SH og S 1 H b) Bestem tangentrommet til H i I n og dimensjonen til H c) Bestem tangentrommet til SH i I n og dimensjonen til SH d) Bestem tangentrommet til S 1 H i I n og dimensjonen til S 1 H Oppgave 13 til 2 desember: Komplement til Oppgave 10 Vi betrakter polynom fx) = x n + a 1 x n a n som punkter i C n ved å identifisere fx) med punktet a 1, a 2,, a n ) Avstanden melleom to polynomer fx) og gx) = x n + b 1 x n b n blir da a 1, a 2,, a n ) b 1, b 2,, b n ) = max n i=1 a i b i ) a) Er røttene i et polynom en kontinuerlig funskjon av koeffisientene? b) Anta at fx) har en enkel rot α Vis at for hvert ε > 0 så finnes det en δ > 0 slik at når fx) gx) < δ så har gx) en enkel rot β slik at α β < ε c) Kan du generalisere oppgaven ovenfor til multiple røtter?