4.4 Koordinatsystemer

Transkript

1 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ; dette svarer til at vi velger ulike basiser. Det å velge riktig basis vil vi ofte kunne forenkle et problem. Nyttig senere! Fundamentet er følgende teorem, som ofte kalles teoremet om entydig representasjon. 1 / 22

2 TEOREM 7: Anta at B = {b 1, b 2,..., b n } er en basis for vektorrommet V. For hver x V fins da entydig bestemte skalarer c 1, c 2,..., c n slik at Bevis: Taes på tavla. x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n. Vektene c 1, c 2,..., c n ovenfor kalles koordinatene til x med hensyn på, B. (Noen sier: relativt til B). Vektoren [x] B = (c 1, c 2,..., c n ) i R n kalles koordinatvektoren til x m.h.p. B. Avbildningen x [x] B fra V til R n kalles koordinatavbildningen m.h.p. B. MERK! Vi betrakter her vektorene i B som ordnet i den rekkefølgen oppgitt i teoremet. Vi burde derfor si at B er en ordnet basis, men som regel vil vi ikke gjøre det. Bytter vi rekkefølgen på disse vektorene vil vektene bytte plass og koordinatvektoren forandres. 2 / 22

3 Eksempler. 1) Anta x = (x 1,..., x n ) R n. Vi vet at x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. Med B = {e 1,..., e n } betyr dette at [x] B = (x 1,..., x n ) = x. Så vektorer i R n er i utgangspunktet koordinatisert m.h.p. standardbasisen! 2) Betrakt b 1 = (1, 1), b 2 = (2, 1) og sett B = {b 1, b 2 }. Det er opplagt at B er en basis for R 2. La x = (3, 3). Vi skal finne [x] B. Her kan vi gjøre det ved hjelp av en skisse (på tavla). 3 / 22

4 Alternativt kan vi løse vektorlikningen x = c 1 b 1 + c 2 b 2. Radreduksjon av [b 1 b 2 x] gir c 1 = 1, c 2 = 2. Så og dermed x = ( 1) b b 2 [x] B = ( 1, 2). OBS : Hadde vi ordnet B i rekkefølgen B = {b 2, b 1 }, hadde vi i stedet fått [x] B = (2, 1) fordi x = 2 b 2 + ( 1) b 1. 4 / 22

5 Så cos(2t) H og [ cos(2t) ] B = ( 1, 1). 5 / 22 3) Betrakt P 2 og dens basis B = {1, t, t 2 }. Anta p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2. Da er p(t) = a a 1 t + a 2 t 2, så [p] B = (a 0, a 1, a 2 ). F.eks. er [3 t + 2 t 2 ] B = (3, 1, 2). 4) Betrakt H = Span {sin 2 t, cos 2 t} og dens basis B = {sin 2 t, cos 2 t}. Siden 1 = sin 2 t + cos 2 t = 1 sin 2 t + 1 cos 2 t så er (konstantfunksjonen) 1 H og [1] B = (1, 1). Videre er cos(2t) = cos 2 t sin 2 t = ( 1) sin 2 t + 1 cos 2 t.

6 Spesielt om koordinater i R n La B = {b 1, b 2,..., b n } være en basis for R n og la x R n. Anta at [x] B = (c 1, c 2,..., c n ). Da er ] c 2 x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n = [b 1 b 2... b n. c n Så x = P B [x] B der P B = [b 1 b 2... b n ]. c 1 Matrisen P B = [ b 1 b 2... b n ] kalles koordinatskiftematrisen (eller basisskiftematrisen) fra B til standardbasisen i R n. 6 / 22

7 Spesielt om koordinater i R n (forts.) Gitt x R n kan vi bestemme koordinatvektoren c = [x] B ved å løse likningen P B c = x med hensyn på c. P B er invertibel siden dens kolonner utgjør en basis for R n (nemlig B). Derfor er [x] B = (P B ) 1 x for alle x R n. Dette viser at koordinatavbildningen (m.h.p. B) er lineær, at dens standardmatrise er (P B ) 1, og at den er 1 1 og på R n. 7 / 22

8 Eksempel. Betrakt igjen R 2 og B = {b 1, b 2 } der b 1 = (1, 1), b 2 = (2, 1). [ ] 1 2 Da er P B = [b 1 b 2 ] = og (P 1 1 B ) 1 = 1 3 Anta at [x] B = Omvendt, hvis x = [ ] 1. Da er 2 x = P B [x] B = [ ] 3, er 3 [x] B = (P B ) 1 x = 1 3 [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] 3. 3 [ ] / 22

9 Om koordinatavbildningen TEOREM 8: Anta at B = {b 1, b 2,..., b n } er en (ordnet) basis for et vektorrom V. Da er x [x] B en lineær avbildning fra V til R n som er 1-1 og på. Merk: Dette har vi nettopp sett når B er en basis for R n. Om beviset: At avbildningen er lineær betyr at [x + y] B = [x] B + [y] B og [c x] B = c [x] B når x, y V og c R. Dette er rett frem! (jf. s ). Avbildningen er 1-1: Anta at [x] B = [y] B = (c 1, c 2,..., c n ). Da er x = c 1 b c n b n = y. Avbildningen er på: Oppgave til neste uke! 9 / 22

10 Definisjon: En isomorfi mellom to vektorrom er en lineær avbildning fra den ene til den andre som er både 1 1 og på. Teorem 8 sier altså at koordinatavbildningen m.h.p. en (ordnet) basis for V ) er en isomorfi fra V til R n. En slik isomorfi kan vi bruke til å identifisere V med R n. Et nyttig resultat som illustrerer dette finnes i Notat 1: 10 / 22

11 Korollar til Teorem 8 [ fra Notat 1]: Anta at B = { b 1, b 2,..., b n } er en (ordnet) basis for V. Betrakt en delmengde S = {u 1, u 2,..., u p } av V. Definer S B = { [u 1 ] B, [u 2 ] B,..., [u p ] B } (som er en delmengde av R n ) og [S B ] M n p ved [ ] [S B ] = [u 1 ] B [u 2 ] B [u p ] B. Da gjelder følgende: S utspenner V S B utspenner R n. S er lineært uavhengig i V S B er lineært uavhengig i R n. S er en basis for V S B er en basis for R n p = n og matrisen [S B ] er invertibel. 11 / 22

12 Kommentarer: Den siste påstanden har følgende viktig konsekvens: Dersom et vektorrom V har en basis med n elementer, så er antall vektorer i en hvilken som helst annen basis for V også lik n. Tallet n kalles dimensjonen til V (og er tema for neste avsnitt). Når S er en basis for V, kalles den invertible matrisen [S B ] for koordinatskiftematrisen fra S til B. Slike matriser skal vi studere nærmere i avsnitt / 22

13 Nok en kommentar! La R = rref([s B ]). Husk at vi vet at S B utspenner R n R har pivoter i alle sine rader. S B er lineært uavhengig R har pivoter i alle sine kolonner. S B er en basis for R n p = n og R = I n. Ved å beregne [S B ] og R = rref([s B ]), blir det da lett å anvende korollaret i Notat 1 og derved avgjøre om mengden S utspenner V, om den er lineært uavhengig, eller om den er en basis for V. 13 / 22

14 Litt om beviset for korollaret. Hovedpoenget er følgende : La u V og c 1,, c p R. Da gjelder at u = c 1 u c p u p [u] B = [c 1 u c p u p ] B ( siden koord. avb. er 1-1) [u] B = c 1 [u 1 ] B + + c p [u p ] B ( siden koord. avb. er lineær). De tre første ekvivalensene i korollaret er en enkel konsekvens av dette. Den aller siste ekvivalensen i korollaret følger av IMT. 14 / 22

15 Eksempel. Vi betrakter P 2, dens basis B = {1, t, t 2 } og S = {1 t 2, t t 2, 2 t t 2 }. Da er S B = { [1 t 2 ] B, [t t 2 ] B, [2 t t 2 ] B } = { Så [S B ] = 1 0 1, Utregning gir R = rref([s B ]) =, } Vi ser at S B ikke utspenner R 3 og at S B er lineært avhengig. Dermed kan vi konkludere med at S ikke utspenner P 2 og at S er lineært avhengig.. 15 / 22

16 Eksempel (forts.) La k 1, k 2, k 3 være kolonnevektorene til R. Vi ser fra R at k 3 = 2 k 1 + ( 1) k 2. Tilsvarende lineær avhengighetsrelasjon holder for vektorene i S: 2 t t 2 = 2 (1 t 2 ) + ( 1) (t t 2 ) (noe vi lett ser stemmer). Betrakt nå S = {1 t 2, t t 2, 2 t + t 2 } Da er [S B ] = Utregning gir rref([s B ]) = I Så S B en basis for R3, og dermed er S en basis for P / 22

17 4.5 Dimensjon Vi lar V betegne et vektorrom. TEOREM 9 og 10. Anta at V har en basis B med n vektorer. La S være en endelig delmengde av V. 1. Anta S har flere enn n vektorer. Da er S lineært avhengig. 2. Anta S har færre enn n vektorer. Da er V ikke utspent av S. 3. Enhver basis for V har også n elementer. Bevis: 1. Matrisen [S B ] har da flere kolonner enn rader. R = rref([s B ]) kan derfor ikke ha pivoter i alle kolonner. Så S B, og dermed også S, er lineært avhengig. 2. [S B ] har da flere rader enn kolonner Dette har vi sett i Notat 1. (Det følger også av 1. og 2.) 17 / 22

18 Definisjon: Et vektorrom V kalles endeligdimensjonalt dersom det er utspent av en endelig mengde. Anta V {0} er endeligdimensjonalt. Da har V en basis (ved Teorem 5). Antall elementer i en hvilken som helst basis for V kalles dimensjonen til V, og betegnes med dim V. Vi definerer også dim{0} = 0. V kalles uendeligdimensjonalt når den ikke er utspent av en endelig mengde. 18 / 22

19 Eksempler. dim R n = n. (Se på standardbasisen). Et plan i R 3 gjennom origo har dimensjon lik 2. (Opplagt?) P n har en basis med n + 1 elementer, nemlig {1, t, t 2,..., t n }. Så dim P n = n + 1. dim M m n = m n. (Skriv ned f.eks. den naturlige standard basisen for M 2 3 ). P er uendeligdimensjonalt (Oppgave til neste uke!). 19 / 22

20 Om dim Col A og dim Nul A La A være en m n matrise. Sett R = rref(a). Da gjelder: Kolonnevektorene i A som svarer til pivotene i R danner en basis for Col A. Så dim Col A = antall pivoter i R. Vektorene vi får ved å separere de frie variablene når vi skal angi Nul A på parameterform danner en basis for Nul A. Så dim Nul A = antall frie variable i systemet A x = 0 = antall kolonner i R som ikke er pivotkolonner. Merk: dim Col A kalles rangen til A og er tema for avsn / 22

21 TEOREM 11: La H være et underrom av et endeligdimensjonalt vektorrom V. Da kan enhver lineært uavhengig delmengde av H utvides (om nødvendig) til en basis for H. Videre er H endeligdimensjonalt og dim H dim V. Bevis (skisse) : Anta at S = {u 1,..., u k } er en lineært uavhengig delmengde av H. Da er k dim V ved Teorem 9/10. Hvis H = Span S, er S en basis for H med k elementer, så OK. Hvis ikke, kan vi velge u k+1 H, u k+1 Span S. Da er {u 1,..., u k, u k+1 } lineært uavhengig, og da må k + 1 dim V. Fortsett med denne prossessen om nødvendig, helt til den utvidede mengden utspenner H. 21 / 22

22 Det er ofte nyttig å kjenne dimensjonen til et vektorrom: TEOREM 12 ( Basis teoremet ). Anta at V er endelig dimensjonalt, med dim V = n 1. La S være en endelig delmengde av V, med n vektorer. Hvis S er lineært uavhengig, så er S en basis for V. Hvis S utspenner V, så er S en basis for V. Bevis: Dette følger av korollaret til Teorem 8: La nemlig B være en basis for V. I begge tilfellene vil [S B ] være en n n invertibel matrise og da er S en basis for V. Eksempel: Betrakt V = Span {sin 2 t, cos 2 t} og S = {1, cos 2t}. Siden dimv = 2 og S består av 2 lineært uavhengige vektorer i V, så er S er en basis for V. 22 / 22