Injektive og surjektive funksjoner

Transkript

1 Injektive og surjektive funksjoner Christian F. Heide 5. september 07 Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et supplement til avsnitt.5 i boken «Mathem» av Steffen Log. En funksjon er et spesialtilfelle av en relasjon fra mengden til mengden. Det er ikke noe i veien for at og kan være samme mengde.) f : Kravet for at en slik relasjon skal være en funksjon, er at hvert element i mengden må ha relasjon til nøyaktig ett element i mengden. Vi kaller da mengden for definisjonsmengden eller domenet) til f, og for kodomenet. Dersom til a, og skrive a, b) f, kaller vi b for bildet av a under f. Vi kan også si at b er funksjonsverdien. b f a) Mengden av de elementer i kodomenet som faktisk er bilder av elementer i definisjonsmengden, kalles funksjonens verdimengde. Det er altså de verdiene funksjonen kan «produsere». Verdimengden er følgelig en delmengde av kodomenet. Det kan altså ikke være slik at et element i mengden ikke har relasjon til noe element i mengden. I så fall er relasjonen ingen funksjon. Det kan heller ikke være slik at elementet mengden. Den kan bare ha relasjon til ett element. i mengden har relasjon både til b og i Men det er ikke noe i veien for at ulike elementer i har relasjon til samme element i. Så vi kan godt ha både paret a, ) og paret a, ) i relasjonsmengden. Men dersom ulike elementer i har relasjon til ulike elementer i sier vi at funksjonen er injektiv eller énentydig. Dersom alle elementer i er bilde av et element i, sier vi at funksjonen f er surjektiv. ltså: dersom funksjonen skal være surjektiv må alle elementer i kodomenet «være i bruk», altså alle må forekomme som andre element i et ordnet par i relasjonsmengden. En annen måte å si dette på, er at verdimengden må være lik kodomenet for at funksjonen skal være surjektiv. En funksjon som er både injektiv og surjektiv, kalles bijektiv. På de følgende sidene er det noen eksempler for å illustrere disse begrepene.

2 Eksempel ikke en funksjon 3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, ) Denne relasjonen er ikke en funksjon fordi ikke alle elementer i har relasjon til elementer i. Dette skyldes altså at mangler relasjon til noe element i. Eksempel ikke en funksjon 3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, b ), a, ) Denne relasjonen er ikke en funksjon fordi elementet a har relasjon til både b. og 3

3 Eksempel 3 en funksjon, men hverken injektiv eller surjektiv 3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, b ), a, ) Siden alle elementer i har relasjon til nøyaktig ett element i, er dette en funksjon. Men siden både og har relasjon til bilde av noe element i, er funksjonen ikke surjektiv., er funksjonen ikke injektiv. Og siden b 3 ikke er Eksempel 4 en funksjon, injektiv men ikke surjektiv b3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, ) Siden alle elementer i har relasjon til nøyaktig ett element i, er dette en funksjon. Og fordi alle elementer i har relasjon til ulike elementer i, er funksjonen injektiv. Men siden ikke er bilde av noe element i, er ikke funksjonen surjektiv. 3

4 Eksempel 5 en funksjon, surjektiv men ikke injektiv 3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, b ), a, ) Siden alle elementer i har relasjon til nøyaktig ett element i, er dette en funksjon. Men siden både a og a har relasjon til b, er funksjonen ikke injektiv. Imidlertid er alle elementer i bilde av minst ett element i, og funksjonen er følgelig surjektiv. Eksempel 6 en funksjon, både injektiv og surjektiv 3 3 Her har vi en relasjon fra til gitt ved relasjonsmengden a, b ), a, b ), a, ) Siden alle elementer i har relasjon til nøyaktig ett element i, er dette en funksjon. Og siden alle elementer i har relasjon til ulike elementer i, er funksjonen injektiv. Og siden alle elementer i er bilde av minst ett element i, er funksjonen også surjektiv. Funksjonen er følgelig bijektiv. Eksempel 7 en funksjon, injektiv men ikke surjektiv Gitt en relasjon f : Z Z ved f x) x Denne relasjonen er en funksjon fordi hvert element i definisjonsmengden Z har relasjon til nøyaktig ett element i kodomenet Z. 4

5 Funksjonen er også injektiv, fordi ulike elementer i definisjonsmengden har ulike bilder i kodomenet. ltså at to ulike x-verdier aldri gir samme funksjonsverdi. Den er imidlertid ikke surjektiv. Dette kan vi kanskje lettest se ved å regne ut noen funksjonsverdier. Vi ser for eksempel at f ) 3,, og. Vi ser at alle funksjonsverdier er oddetall. Det betyr at partallene ikke er bilde av noe element i definisjonsmengden. Dette kan vi illustrere slik: f 0) f ) f ) 3 Z Z Fordi det finnes elementer i kodomenet som ikke er bilde av elementer i definisjonsmengden, er funksjonen ikke surjektiv. Eksempel 8 en funksjon, injektiv og surjektiv Gitt en relasjon f : R R ved f x) x Dette er den samme relasjonen som i forrige eksempel, men med annen definisjonsmengde og annet kodomene fordi den nå er definert fra R til R, mens funksjonen i forrige eksempel var definert fra Z til Z). v samme grunner som i forrige eksempel, er denne relasjonen en funksjon, og funksjonen er injektiv. Men i motsetning til forrige eksempel er denne funksjonen også surjektiv. Dette skyldes at definisjonsmengden består av de reelle tall, og alle tall i kodomenet er et bilde av et element i definisjonsmengden. For eksempel skaper ikke lenger partallene i kodomenet noe problem. 0 vil for eksempel være bildet av 0.5, altså at f 0.5) 0, og vil være bildet av.5. Vi ser altså at hvorvidt en funksjon er injektiv og surjektiv ikke kun avhenger av funksjonsdefinisjonen, men også av definisjonsmengden og kodomenet. Denne funksjon er altså bijektiv, og den har følgelig en invers funksjon. Vi kan i dette tilfellet finne den inverse funksjonen ved å løse ligningen for funksjonsuttrykket y x med hensyn på x, noe som gir: x y 5