3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode."

Transkript

1 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen: La A være en m n matrise (der typisk m>n)ogla b IR m og betrakt det overbestemte lineære likningssystemet Ax = b. Systemet har vanligvis ingen løsning. For enhver vektor x IR n defineres residualet r = r(x) som feilen r(x) = Ax b. En vektor x som gir minst mulig residual vektor (målt i Euklidsk norm) kalles en minste kvadraters løsning av Ax = b. Altså: Ax b Ax b for alle x IR n. Lin.alg. Seksjon 3.9: #1 of 9

2 Minste kvadraters problem i IR n. Vi diskuterer MK problemet med vekt på geometrisk forståelse. La x som vanlig være vektoren x 1 x =. x n. Husk at avstanden (Euklidsk avstand) mellom vektorene x og y er x y = (x y) T (x y)=( (x j y j ) 2 ) 1/2. j Vi er interessert i følgende problem: Minste kvadraters problem i IR n : La W være et underrom av IR n og la v IR n være gitt. Finn en vektor w W slik at v w v w for alle w W. En slik vektor w kalles en beste minste-kvadraters approksimasjon til v. Altså: nærmeste punkt til v i W. v v-w* w* Lin.alg. Seksjon 3.9: #2 of 9

3 Geometrisk tyder figuren på atbeste minste-kvadraters approksimasjon kjennetegnes av at residualet (feilen) v w er ortogonal på underrommet W, dvs. ortogonal på alle vektorer i W. Vi viser nå at dette faktisk er tilfelle helt generelt! Teorem 18. La W være et p-dimensjonalt underrom av IR n og la v IR n. Anta at en vektor w oppfyller (v w ) T w = 0 for alle w W. Da er w beste minste-kvadraters approksimasjon til v. Bevis. La w W. Ortogonaliteten, eller Pythagoras, gir at v w 2 = (v w )+(w w) 2 = (v w ) T (v w )+2(v w ) T (w w)+ (w w) T (w w) = v w 2 + w w 2 v w 2. Dette viser også at beste minste-kvadraters approksimasjon er entydig: Fra siste ulikhet ser vi at hvis v w = v w,såmåw=w. Lin.alg. Seksjon 3.9: #3 of 9

4 Hvordan finne beste approksimasjon? Forrige teorem sier at vi bør lete etter en vektor w som oppfyller (v w ) T w = 0 for alle w W. Heldigvis er det nok å sjekke denne ortogonaliteten for et fåtall vektorer, nemlig en basis for W. Teorem 19. La W være et p-dimensjonalt underrom av IR n og la u 1,...,u p være en basis for W. Da holder (v w ) T w = 0 for alle w W hvis og bare hvis (v w ) T u i = 0 for i = 1,...,p. (2) (Bevis: hver vektor w W er på formenw= ia i u i ; bruk linearitet av matriseproduktet). Legg merke til at likning (2) er et system av p lineære likninger som den ukjente vektoren w skal oppfylle. Vi finner da en beste minste kvadraters løsning ved å løse dette likningssystemet. Mer om dette følger! Eksistems og entydighet av beste approksimasjon. Teorem 20. La W være et p-dimensjonalt underrom av IR n og la v IR n. Da er det nøyaktig én beste minste kvadraters løsning til v i W. Lin.alg. Seksjon 3.9: #4 of 9

5 Bevis. Eksistens. Vi kan finne en løsning av likning (2) på følgende måte. Vi kan anta at basisen u 1,...,u p er ortogonal (for eller kan vi bruke Gram-Schmidt). Siden w skal ligge i W fins skalarer a 1,...,a p slik at p w = a i u i. i=1 Setter dette inn i likning (2) og får pga. ortogonaliteten at (v) T u i a i u T i u i = 0 for i = 1,...,p. Dette gir at a i = (v) T u i /u T i u i for i = 1,...,p. Med disse koeffisientene blir w gitt ved p w = ((v) T u i /u T i u i)u i. (4) i=1 og likning (2) holder. Ut fra Teorem 18 og 19 ser vi da at w er en beste approksimasjon til v i W. Entydighet. Dette viste vi foran (side 3). Lin.alg. Seksjon 3.9: #5 of 9

6 Minste-kvadraters løsning til inkonsistente systemer Ax = b. Vi vender tilbake til problemet: finn minste kvadraters løsning x av Ax = b, dvs. Ax b Ax b for alle x IR n. Hva er forbindelsen til approksimasjonsproblemet vårt? Vi har jo at x Ax er en lineær transformasjon og når x gjennomløper hele IR n vil y = Ax gjennomløpe underrommet R(A) av IR m ; dette er rekkevidden eller kolonnerommet til A. Såtilhvery R(A) fins minst én x slik at y = Ax. Videre er min{ Ax b : x IR n }=min{ y b : y R(A)}. Vi lar nå W = R(A) og får: La y være en beste minste-kvadraters approksimasjon til b i W = R(A). Daerx IR n en minste kvadraters løsning av Ax = b hvis og bare hvis Ax = y. Vi vet at y er løsningen av w T (y b) = 0 for alle w W. Her er det nok å kreve dette for alle vektorer w i en basis for W.Og,idetW =R(A), vil jo kolonnene A j, j = 1,...,nutspenne W.Altså: A T i (y b) = 0 som på matriseform blir for j = 1,...,n A T (y b) = 0. Lin.alg. Seksjon 3.9: #6 of 9

7 Siden y = Ax ser vi derfor at x er løsning av systemet A T (Ax b) = 0 eller A T Ax = A T b. Dette er jo nettopp normallikningene! Ut fra denne diskusjonen får vi et bevis for vårt hovedresultat om MK problemet, nemlig Teorem 17. Betrakt systemet Ax = b. Da gjelder: (i) Systemet A T Ax = A T b er konsistent. (ii) Minste kvadraters løsninger av Ax = b er nettopp løsningene av A T Ax = A T b. (iii) MK (minste kvadraters) løsningen av Ax = b er unik hvis og bare hvis A har rang n. Entydighet av minste-kvadraters løsning til Ax = b. Vi har sett at det er en entydig beste minste kvadraters løsning y til v i W (når W er underrom og v er gitt). MEN: dette betyr ikke at man alltid har entydig minste kvadraters løsninger av Ax = b. Grunnen til dette er at selv om y er entydig såkandet være mange løsninger (og minst én løsning) x av Ax = y. Lin.alg. Seksjon 3.9: #7 of 9

8 Hvis kolonnene i A er lineært uavhengige,så er det en entydig løsning x (dette følger direkte av definisjonen av lineær uavhengighet). Men hvis kolonnene i A er lineært avhengige, vil det være uendelig mange slike løsninger. Man kan da f.eks. være interessert i en minste kvadraters løsning x med minst norm, så x =min{ x : Ax = y }. Pseudoinvers. Det kan vises at for enhver m n matrise A så fins det en entydig n m matrise X slik at AX I m F blir minst mulig. Her bruker vi Frobenius normen for matriser definert ved m n A F = a 2 i,j. i=1 j=1 (Dette er det samme som å oppfatte matrisen som en lang vektor av dimensjon mn og beregne Euklidsk norm.) Denne entydige løsningen X betegnes med A + og kalles den pseudoinverse til A. La nå x være minimum norm minste kvadraters løsning av Ax = b. Da kan det vises at x = A + b. Hvis A er ikkesingulær, har man at A + = A 1,såvihar en videreføring av formelen x = A 1 b for vilkårlige matriser!! Lin.alg. Seksjon 3.9: #8 of 9

9 MATLAB og minste-kvadraters løsninger. MATLAB kommandoen x=a \ b returner minimum norm minste kvadraters løsning av Ax = b, dvs.a + b. Hvis m = n og Ax = b er inkonsistent, vil x=a \ b gi en advarsel og ingen MK løsning. Hvis man likevel ønsker en MK løsning, så kan man gjøre dette ved å stille opp normallikningene og løse disse på vanlig måte. MATLAB kommandoen pinv(a) resturnerer den pseudoinverse til matrisen A. Derfor kan man også finne minimum norm minste kvadraters løsning av Ax = b ved kommandoen pinv(a) b. Lin.alg. Seksjon 3.9: #9 of 9

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

6.6 Anvendelser på lineære modeller

6.6 Anvendelser på lineære modeller 6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden

LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden Dette emnet gir en innføring i lineær optimering og tilgrensende felt. hva er LP (lin.opt.=lin.programmering) mer generelt: matematisk optimering

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016 MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. Ax = b, f(x) = 0.

Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. Ax = b, f(x) = 0. Interpolasjon Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. 1/9 Ax = b, f(x) = 0. Ved interpolasjon, er problemet det motsatte:

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Polynomisk interpolasjon

Polynomisk interpolasjon Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning

Detaljer

Ikke lineære likninger

Ikke lineære likninger Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag, Øving 11 8mai 201 Tidsfrist: 18mai 201 klokken 1400 Oppgave 1 Obs: I denne oppgaven reperesenterer vi vektorer med 1 n-matriser, altså radvektorer I hele

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW

Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW Minste kvadraters metode i MATLAB og LabVIEW Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 22.12 2002 1 2 TechTeach Innhold 1 Minste kvadraters metode i MATLAB 7 2 Minste kvadraters

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Innleveringsfrist: torsdag 03.11.2016, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

4.9 Anvendelser: Markovkjeder

4.9 Anvendelser: Markovkjeder 4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer