Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11."

Transkript

1 Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november Lineære likningssystemer og matriser 1.1 Introduksjon til lineære likningssystemer Homogent likningssystem: Ax = 0 Inhomogent likningssystem: Ax = b Et lineært likningssystem vil alltid ha løsningen x = 0. Dette kalles den trivielle løsningen. Eventuelle andre løsninger kalles ikke-trivielle løsninger. Alle lineære likningssystemer har enten ingen, én eller uendelig mange løsninger. Systemet kalles konsistent hvis det har minst én løsning, og inkonsistent hvis det har ingen løsninger. 1.2 Gauss-eliminering Matrise på (reduser) trappeform: 1. Hvis et rad ikke kun består av nullere, så skal det første tallet i raden som ikke er null, være en. Dette kalles ledende ener. 2. De radene som kun består av nullere samles på bunnen av matrisa. 3. I de radene som ikke kun består av nullere, skal den ledende eneren i de laveste radene være lengre til høyre enn de på de høyere radene. 4. (Redusert) De kolonnene som har en ledende ener skal ellers kun bestå av nullere. Denisjon 1: Hvis et lineært likningssystem har uendelig mange løsninger, så kalles parametriseringen av løsningene den generelle løsningen. Teorem Fri variabel-teorem for homogene likningssystemer Hvis et homogent likningssystem har n ukjente og hvis den reduserte trappeformen av den utvidede matrisa har r ikke-nullrader, har likningssystemet n r frie variabler. Teorem Et homogent lineært likningssystem med ere ukjente enn likninger har uendelig mange løsninger. Radoperasjoner - forandrer ikke løsningsmengden. 1. Multiplisere en rad med en konstant Bytte om to rader. 3. Legge til et multiplum av en rad til en annen. Gauss-eliminering er prosessen som bruker forskjellige radoperasjoner til å få en matrise på trappeform. Dersom man i tillegg får matrisa på redusert trappeform kalles det Gauss-Jordan-eliminering. En matrise har kun én mulig redusert trappeform. 1.3 Matriser og matriseoperasjoner 1

2 Denisjon 1: En matrise er et rektangulært spekter av tall på tabellform. Hvert av tallene kalles matrise-elementer. Denisjon 2: To matriser er denert til å være ekvivalente dersom matrisene har samme form og alle korresponderende matriseelementer er like. Noen denerte matriseoperasjoner: Matriseaddisjon: Vi adderer matriser av samme form ved å addere samhørende elementer. Skalarmultiplikasjon: Vi multipliserer en matrise med en skalar ved å multiplisere hvert element i matrisen med skalaren. Matrisemultiplikasjon: Dersom A er en m r matrise og B er en r n matrise, er produktet AB en m n matrise bestemt på følgende måte: (AB) ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ir b rj. Transformert av matrise: Dersom A er en m n matrise er den transformerte av matrisa A (angitt ved A T ) denert til å være n m matrisa som er et resultat av å bytte radene og kolonnene til A slik at A T ij = A ji. Spor av matrise: Dersom A er en kvadratisk matrise er sporet av A (angitt ved tr(a)) denert som summen av matriseelementene som utgjør diagonalen i A. Denisjon 3: Dersom A 1, A 2,..., A r er matriser med samme størrelse, og dersom c 1, c 2,..., c r er skalarer, så vil c 1 A 1 + c 2 A 2 + c r A r kalles en lineær kombinasjon av A 1, A 2,..., A r med koesienter c 1, c 2,..., c r. Teorem Dersom A er en m n matrise, og dersom x er en n 1 kolonnevektor, så kan produktet Ax bli uttrykt som en lineær kombinasjon av kolonnevektorene til A, der koesientene er elementene i x. 1.4 Invers; Algebraiske egenskaper til matriser Denisjon 1: Identitetsmatrisen, eller enhetsmatrisen, er en n n matrise med verdien 1 på hoveddiagonalen og 0 på de resterende plassene. Denisjon 2: Dersom A og B er to kvadratiske matriser og dersom AB = BA = I, så er A invertibel (ikke-singulær) og B = A 1 er den inverse av A. Dersom en slik matrise B ikke eksisterer er A ikke invertibel, eller singulær. Algebraisk aritmetikk Det antas at matrisene har gyldige størrelser for å kunne gjennomføre de gitte regneoperasjonene og at de forskjellige matriseoperasjonene er denert for de gitte matrisene. (a) A ± B = B ± A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A(BC) = (AB)C (d) A(B ± C) = AB ± AC (e) (B ± C)A = BA ± CA 2

3 (f) a(b ± C) = ab ± ac (g) (a ± b)c = ac ± bc (h) a(bc) = (ab)c (i) a(bc) = (ab)c = B(aC) (j) A ± 0 = 0 ± A = A (k) A A = A + ( A) = 0 (l) 0A = 0 (m) ca = 0 = c = 0 A = 0 (n) AI n = I m A = A (o) AA 1 = A 1 A = I (p) A n = AA A [n faktorer] (q) A 0 = I (r) A n = (A 1 ) n = (A n ) 1 (s) A r A s = A r+s (t) (A r ) s = A rs (u) (A 1 ) 1 = A (v) (ka) 1 = k 1 A 1 (w) (A T ) T = A (x) (A ± B) T = A T ± B T (y) (ka) T = ka T (z) (AB) T = B T A T (æ) (A T ) 1 = (A 1 ) T NB! AB er ikke nødvendigvis lik BA (A B). Teorem Dersom R er en kvadratisk matrise på redusert trappeform, vil enten R være en identitetsmatrise eller ha minst én rad bestående av kun nullere. Teorem Dersom A er invertibel, er den inverse entydig bestemt. Teorem Matrisa [ a b A = c d er invertibel hvis og bare hvis ad bc 0. Den inverse er i så fall gitt ved [ ] A 1 1 d b =. ad bc c a 1.5 Elementary Matrices and a Method for nding A 1 ], 3

4 Denisjon 1: Matrisene A og B er rad-ekvivalente dersom den ene er et resultat av å utføre en radoperasjon av den andre. Denisjon 2: En matrise E kalles en elementærmatrise dersom den er et resultat av én radoperasjon på en identitesmatrise. Teorem Produktet mellom elemtentærmatrisa E og m n matrisa A, gir det samme resultatet som om man hadde utført samme radoperasjonen som gir oss E fra enhetsmatrisa I m, på matrisa A. Teorem Alle elementærmatriser er invertible, og den inverse er også en elementærmatrise. Inversalgoritmen: For å nne den inverse til en invertibel matrise A, nn en sekvens av elementære radoperasjonen som reduserer A til identit, og deretter utfør disse radoperasjonene på identitesmatrisa I for å nne den inverse A Mer om lineære likningssystemer og invertible matriser Teorem Dersom A er en n n matrise vil det for hver kolonnevektor b av riktig størrelse, være slik at Ax = b kun ha én løsning, nemlig x = A 1 b. Teorem La A og B være kvadratiske matriser av samme størrelse. Dersom AB er invertibel må også A og B være invertible. 1.7 Diagonale, triangulære, og symmetriske matriser Denisjon 1: En diagonal matrise er en kvadratisk matrise som kun består av nullere utenom på diagonalen. Altså A ij = 0 når i j. Denisjon 2: En matrise A er nedre triangulær dersom matriseelementene under hoveddiagonalen kun består av nullere. Altså A ij = 0 når i > j. På samme måte er matrisa er øvre triangulær dersom matriseelementene over hoveddiagonalen kun består av nullere. Altså A ij = 0 når i < j. En diagonal matrise vil dermed både være øvre og nedre triangulær. Teorem (a) Den transponerte av en nedre triangulær matrise er øvre trianguler, og den transporterte av en øvre triangulær matrise er nedre triangulær. (b) Produktet av nedre triangulære matriser er nedre triangulære, og produktet av øvre triangulære matriser er øvre triangulære. (c) En triangulær matrise er invertibel hvis og bare dersom diagonal ikke består av noen nullere. Altså A ij 0 når i = j. (d) Den inverse av en invertibel nedre triangulær matrise er nedre triangulær, og den inverse av en øvre triangulær matrise er øvre triangulær. Denisjon 2: En kvadratisk matrise A er symmetrisk dersom A = A T Teorem Dersom A og B er to symmetriske matriser av samme størrelse, og k er hvilken som helst skalar vil (a) A T være symmetrisk. 4

5 (b) A ± B være symmetrisk. (c) ka være symmetrisk. (d) A 1 være symmetrisk, dersom A er invertibel. (e) AB være symmetrisk, dersom AB = BA. Teorem Dersom A er en invertibel matrise, vil også AA T og A T A være invertible. 2 Determinanter 2.1 Determinanter ved kofaktorekspansjon Denisjon 1: Determinanten til en 1 1 matrise A = [a 11 ] er denert til å være det(a) = det([a 11 ]) = a 11 Denisjon 2: Dersom A er en n n matrise, er den reduserte av oppføring a ij (angitt ved M ij ) denert til å være determinanten til undermatrisa som er igjen etter at man fjerner den i-te raden og den j-te kolonnen fra A, slik at A blir en (n 1) (n 1) matrise. Tallet ( 1) i+j M ij (angitt ved C ij ) kalles kofaktor av oppføring a ij. Teorem Dersom A er en kvadratisk matrise vil det for enhver rad eller kolonne være slik at summen av tallene man får ved å multiplisere elementene i den valgte raden eller kolonnen med korresponderende kofaktor alltid være den samme. Denisjon 3: Dersom A er en n n matrise, vil summen av tallene man får ved å multiplisere elementene i hvilken som helst rad eller kolonne til A med korresponderende kofaktor, være determinanten til A. Summen i seg selv kalles Kofaktorekspansjonen til A. Altså er og det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j a nj C nj, det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i a in C in. [kofaktorekspansjon langs j-te kolonne] [kofaktorekspansjon langs i-te rad] ([ a b Obserbasjon: det c d ]) = ad bc Teorem Dersom A er en n n matrise, og er øvre triangulær, nedre triangulær eller diagonal, er det(a) produktet av alle elementene langs diagonalen. Altså det(a) = a 11 a 22 a nn. 2.2 Evaluering av determinanter ved radoperasjoner Teorem La A være en kvadratisk matrise. Dersom A har minst én rad eller kolonnene med kun nullere, er det(a) = 0. Teorem La A være en kvadratisk matrise. Da er det(a) = det(a T ). Teorem Radoperasjonenes innvirking på determinanten La A være en n n matrise. (a) Dersom med er matrisen man får når én rad eller kolonne i A er multiplisert med skalaren k, så er det(b) = det(a). (b) Dersom B er matrisen som man får dersom to rader eller kolonner i A bytter plass, er det(b) = det(a). (c) Dersom B er matrisen man får ved å legge til et multiplum av en rad i A med en annen rad, eller ved å legge til et multiplum av en kolonne i A med en annen kolonne, vil det(b) = det(a). Observasjon 1: A en n n matrise. Da erdet(ka) = k n det(a). Observasjon 2: Dersom A er en kvadratisk matrise med minst to proporsjonale rader eller kolonner, er det(a) = 0. Teorem Determinanten av elementærmatriser La E være en n n elementærmatrise. 5

6 (a) Dersom E er oppnådd ved å multiplisere en rad i I n med en skalar k 0, så er det(e) = k. (b) Dersom E er oppnådd ved å bytte om to rader i I n, erdet(e) = 1. (c) Dersom E er oppnådd ved å legge til et multiplum av en rad til en annen i I n, er det(e) = Egenskaper til determinanter; Cramers Regel Regneregler for determinanter Anta at A, B og C er n n matriser og k en skalar. (a) det(ka) = k n det(a) (b) det(ab) = det(a) det(b) (c) A invertibel det(a 1 ) = (det(a)) 1 (d) Dersom A, B og C kun skiller seg i en rad eller kolonne i, og den i-te kolonnen eller raden i C oppnås ved å addere korresponderende matriseenheter i A og B, vil det(c) = det(a) + det(c). NB! det(a + B) det(a) + det(b). Denisjon 1: Dersom A er en hvilken som helst n n matrise, og C ij er kofaktoren til a ij, blir matrisa C 11 C 12 C 1n C 21 C 22 C 2n , C n1 C n2 C nn kalt kofaktormatrisa av A. Den transponerte av denne matrisa kalles den adjungerte av A og angis ved adj(a). Teorem nne den inverse av en matrise ved å bruke den adjungerte Dersom A er en invertibel matrise, vil A 1 1 = det(a) adj(a). Teorem Cramers Regel Dersom Ax = b er et likningssystem som består av n lineære likninger med n ukjente slik at det(a) 0, så har likningssystemet en unik løsning. Denne løsningen er x 1 = det(a 1) det(a), x 2 = det(a 2) det(a),..., x n = det(a n) det(a), der A j er matrisen man får ved å bytte ut matriseenhetene i den j-te kolonna av A med b = b 1 b 2... b n. 3 Euklidsk vektorrom 3.1 Vektorer i R 2, R 3 og R n 6

7 Denisjon 1: v = v = (v 1, v 2 ) = v R 2 v = v = (v 1, v 2, v 3 ) = v R 3 v = v = (v 1, v 2,..., v n ) = v R n Regneregler for vektorer v, w, u R n og k, m skalarer. (a) v ± w = (v 1 ± w 1, v 2 ± w 2,..., v n ± w 3 ) (b) kv = (kv 1, kv 2,..., kv n ) (c) v ± w = w ± v (d) ( 1)v = v = ( v 1, v 2,..., v n ) (e) (u + v) + w = u + (v + w) (f) v + 0 = v (g) k(v + u) = kv + ku (h) k(mv) = (km)v (i) 1v = v (j) (k + m)v = kv + mv (k) 0v = 0 (l) k0 = 0 Denisjon 2: Dersom vektorene w og v 1, v 2,..., v r R n er slik at w = k 1 v 1, k 2 v 2,..., k r v r, der k 1, k 2,..., k r er skalarer, sier vi at w er en lineær kombinasjon av v 1, v 2,..., v r. Skalarene k 1, k 2,..., k r kalles koesientene til den lineære kombinasjonen. 3.2 Norm, prikkprodukt og avstand i R n Denisjon 1: Normen, eller lengden, til en vektor v = (v 1, v 2,..., v n ) R n er denert til å være v = v1 2 + v v2 n Teorem La v R n og k skalar. (a) v 0 (b) v = 0 v = 0 (c) kv = k v Denisjon 2: Dersom vektoren u R n er slik at u = 1, kalles u for en enhetsvektor. Enhetsvektorer dannes fra en vilkårlig vektor v ved u v = 1 v v. 7

8 Denisjon 2: Dersom u = (u 1, u 2,..., u n ) og v = (v 1, v 2,..., v 3 ) er to punkter i R n, er avstanden mellom dem denert til å være d(u, v) = uv = u v = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) (u n v n ) 2. Denisjon 3: Dersom u 0 og v 0 er to vektorer i R 2 eller R 3 og θ er vinkelen mellom dem, blir prikkproduktet denert til å være u v = u v cos θ. Prikkproduktet når u = 0 v = 0 er denert til å være u v = 0. Dersom u = (u 1, u 2,..., u n ) og v = (v 1, v 2,..., v n ) er to vektorer i R n, er prikkproduktet denert til å være u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Observasjon: Dersom vektorene u og v er ortogonale (θ = π/2) er u v = 0. Regneregler og egenskaper til prikkproduktet Anta at u, v og w tre vektorer i R n, og k en skalar. (a) u v = v u (b) u (v ± w) = u v ± u w (c) k(u v) = (ku) v (d) v v 0 (e) v v = 0 v = 0 (f) 0 v = v 0 = 0 NB! det(a + B) det(a) + det(b). Teorem Cauchy-Schwartz-ulikheten Dersom u og v er to vektorer i R n vil u v u v. Teorem La u, v og w tre vektorer i R n, og k en skalar. Da gjelder følgende: (a) u + v u + v [trekantulikheten for vektorer] (b) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) [trekantulikheten for avstander] Teorem parallellogramformelen for vektorer La u, v R n. Da er u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) Teorem La u, v R n være to vektorer der prikkproduktet er denert. Da vil u v = 1 4 u + v u v 2 Observasjon: Prikkproduktet kan uttrykkes ved hjelp av matrisemultiplikasjon. 3.3 Ortogonalitet 8

9 Denisjon 1: Dersom to vektorer i R 2 eller R 3 står vinkelrett på hverandre sies de å være ortogonale (eller normale). På samme måte vil to vektorer u, v R n være ortogonale dersom u v = 0. Dette medfører at en nullvektor i R n er denert til å være ortogonal til alle vektorer i R n. Et ikke-tomt sett av vektorer i R n kalles et ortogonalt sett dersom alle vektorene er innbyrdes ortogonale. Et ortogonalt sett med enhetsvektorer kalles et ortonormalt sett. Denisjon 2: En normalvektor, n, er denert til å være en vektor som er ortogonal til en linje eller et plan, og dermed denerer planet eller linjen i rommet. Både linje og plan kan bli representert ved formelen n P 0 P = 0, der P 0 er et punkt planet eller linja går gjennom og P er et vilkårlig punkt (x, y) (linje) eller (x, y, z) (plan). Teorem (a) La a 0,b 0 og c være skalarer. Da representerer ax + by + c = 0 en linje i R 2 med normalvektor n = (a, b). (b) La a 0,b 0, c 0 og d være skalarer. Da representerer et plan i R 3 med normalvektor n = (a, b, c). ax + by + cz + d = 0 Denisjon 3: Hyperplanet i R n gjennom punktet P 0 (a 1, a 2,..., a 3 ) med normalvektor n = (x 1, x 2,..., x n ) er denert til å være H = {x R n n (x P 0 )}. Dermed får vi generelt likningen n x + k = 0, der k er en konstant skalar. I R 2 vil hyperplanet være en linje, og i R 3 vil hyperplanet være et plan. Teorem Projeksjonsteoremet Dersom u, a 0 R n, så kan u bli beskrevet på nøyaktig én måte på formen u = w 1 + w 2, der w 1 er et skalarmultiplum av a og w 2 er ortogonal til a. Denisjon 4: proj a u = u a 2 a [vektorkomponenten av u langs a] a u proj a u = u u a 2 a [vektorkomponenten av u ortogonalt til a] a Teorem Pythagoras' teorem i R n. Dersom u, v R n og ucdotv= 0 vil u + v 2 = u 2 + v 2. Teorem Avstand mellom linjer, plan og hyperplan (a) I R 2 er avstanden D mellom et punkt P 0 (x 0, y 0 ) og linja ax + by + c = 0 gitt ved D = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2. (b) I R 3 er avstanden D mellom et punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) og planet ax + by + cz + d = 0 gitt ved D = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2. (c) I R n er avstanden D mellom et punkt P 0 R n og hyperplanet n x + k = 0 gitt ved D = n P 0 + k. n 9

10 3.4 Geometrien til lineære likningssystemer Denisjon 1: Dersom x 0, v 1, v 2 R n og v 1, v 2 ikke er nullvektorer, vil formelen x = x 0 + tv 1 være denert som linjen gjennom x 0 som er parallell til v 1. På samme måte vil x = x 0 + t 1 v 1 + t 2 v 2 være denert som planet gjennom x 0 som er parallell til v 1 og v 2. Dersom x 0 = 0 sier vi at planet eller linja går gjennom origo. Vi kan denere hyperplan på samme måte. Teorem Dersom A er en m n matrise, vil løsningsmengden av det homogene lineære likningssystemet Ax = 0 bestå av alle vektorene i R n som er ortogonale til alle radvektorene i A. Teorem Den generelle løsningen til et konsistent lineært likningssystem Ax = b kan oppnås ved å addere en vilkårlig spesikk løsning av Ax = b til den generelle løsningen av Ax = Kryssproduktet Denisjon 1: Kryssproduktet mellom to vektorer u, v R 3 er denert til å være e 1 e 2 e 3 ( ) u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ). Teorem Sammenhenger involvert med prikk- og kryssprodukt La x, v, w R 3 være tre vektorer. (a) u (u v) [(u v) er ortogonal til u] (b) v (u v) [(u v) er ortogonal til v] (c) u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 [Lagranges identitet] (d) u (v w) = (u w)v (u v)w [trippelvektorprodukt] (e) (u v) w = (u w)v (v 2)u [trippelvektorprodukt] (f) u v = u v sin θ, der θ er vinkelen mellom u og v Regneregler for kryssproduktet La u, v, w R 3 være tre vektorer og k en skalar. Da gjelder følgende: (a) u v = (v u) (b) u (v + w) = (u v) + (u + w) (c) (u0v) w = (u w) + (v w) (d) k(u v) = (ku) v = u (kv) (e) u 0 = 0 u = 0 (f) u u = 0 Teorem Dersom u og v er vektorer i R 3, vil u v = u v sin θ være lik arealet til parallellogrammet som blir utspent av u og v. 10

11 Denisjon 2: Dersom u, v og w er vektorer i R 3 blir u 1 u 2 u 3 u (v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 kalt skalar-trippelproduktet til u, v og w. Teorem Arealet til parallellogrammet i R 2 utspent av u = (u 1, u 2 ) og v = (v 1, v 2 ) er lik [ ] u1 u det 2, v 1 v 2 og volumet til parallellepipedet i R 3 utspent av u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) og w = (w 1, w 2, w 3 ) er lik u 1 u 2 u 3 det v 1 v 2 v 3 = u (v w). w 1 w 2 w 3 Teorem vektorene u, v, w R 3 ligger i samme plan, hvis og bare hvis u (v w) = 0. 4 Generelle vektorrom 4.1 Ekte vektorrom Denisjon I et vektorrom er det denert to operasjoner kalt vektoraddisjon (1) og skalarmultiplikasjon (6). En mengde V er et vektorrom dersom den oppfyller følgende aksiomer: 1. Hvis u og v er vektorer i V, så er u + v i V. 2. u + v = v + u. 3. u + (v + w) = (u + v) + w V og u + 0 = 0 + u = u. 5. For enhver u V, nnes det en negativ, u, slik at u + ( u) = Dersom k er en skalar, og u V er også ku V. 7. k(u + v) = ku + kv. 8. (k + m)u = ku + mu. 9. k(mu) = (km)(u) u = u. (Pensum innfatter kun vektorrom i R n. Altså holder det å sjekke om (1), (4) og (6) for å nne ut om en gitt mengde av vektorer utgjør et eget vektorrom) 4.2 Underrom Denisjon 1: En undermengde (undersett) W av et vektorsett V kalles et underrom, hvis W alene utgjør et vektorrom. Teorem Hvis W 1, W 2,..., W r er underrom av V, er også skjæringspunktene av underrommene et underrom av V. 11

12 Denisjon 2: Underrommet av vektorrommet V som er dannet fra alle lineære kombinasjoner av vektorene i et ikke-tomt sett S, kalles utspennelsen av S (span of S). Man sier at vektorene i S utspenner underrommet. Dersom S = w 1, w 2,..., w r angir vi underrommet som span{w 1, w 2,..., w r } eller span(s) Teorem Løsningen av det homogene likningssystemet Ax = 0 med n ukjente er et underrom av R n. Teorem To underrom er like hvis og bare hvis hver av vektorene som utspenner det ene underrommet kan skrives som en lineær kombinasjon av vektorene i det andre underrommet, og omvendt. 4.3 Lineær uavhengighet Denisjon 1: Dersom S = v 1, v 2,..., v r er en ikke-tom mengde av vektorer i vektorrommet V har likningen k 1 v 1 + k 2 v k r v r minst én løsning, nemlig k 1 = 0, k 2 = 0,..., k r = 0. Denne løsningen kalles den trivielle løsningen. Dersom dette er den eneste løsningen sier man at S er lineær uavhengig. Dersom det er ere løsninger sier man at S er lineær avhengig. Teorem (a) Et vektorsett som inneholder 0 er lineært uavhengig. (b) Et vektorsett med én vektor er lineært uavhengig hvis og bare hvis vektoren ikke er 0. (c) Et sett med to vektorer er lineært uavhengig hvis og bare hvis ingen av vektorene er en lineær kombinasjon av den andre. Teorem La S = v 1, v 2,..., v r være et sett med vektorer i R n. Dersom r > n, er S lineær avhengig. 4.4 Koordinater og basis Denisjon 1: Hvis V er et vilkårlig vektorrom og S = v 1, v 2,..., v n er en endelig mengde av vektorer i V, er S en basis av V dersom det følgende er tilfelle: (a) S er lineær uavhengig. (b) S utspenner V. Teorem Unikhet ved basis-representasjon Dersom S = v 1, v 2,..., v n er en basis til V, kan enhver vektor v i V skrives som nøyaktig én lineær kombinasjon av S. Denisjon 2: Dersom S = v 1, v 2,..., v r er en basis til vektorrommet V, og v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n er en vektor skrevet som en lineær kombinasjon av S, kalles skalarene c 1, c 2,..., c n for koordinatene til v relativt til basis S. Vektoren (c 1, c 2,..., c n ) i R n konstruert fra disse koordinatene kalles koordinatvektoren til v relativt S og angis som (v) S = (c 1, c 2,..., c n ). 4.5 Dimensjoner Teorem Alle basiser til et endelig-dimensjonalt vektorrom har samme antall vektorer. 12

13 Denisjon 1: Dimensjonen til et endelig-dimensjonalt vektorrom V angis ved dim(v ) og er denert som antall vektorer til en basis av V. Nullvektor-rommet er denert til å ha null dimensjoner. Teorem La V være et n-dimensjonalt vektorrom og la S være et mengde av vektorer i V med nøyaktig n-vektorer. Da er enten S en basis tol V eller lineær avhengig. Teorem La S være et endelig sett med vektorer i et endelig-dimensjonalt vektorrom V. (a) Dersom S utspenner V, men ikke er en basis til V, kan S bli redusert til en basis til V, ved å fjerne riktige vektorer fra S. (b) Dersom S er et lineær uavhengig, men ikke en basis til V, kan S bli utvidet til en basis til V ved å legge til riktige vektorer i S. Teorem Hvis W er et underrom av et endelig-dimensjonalt vektorrom V, gjelder følgende: (a) W er endelig-dimensjonal. (b) dim(w ) dim(v ). (c) W = V dim(w ) = dim(v ). 4.6 Basisbytte Problem: Dersom v er en vektor i et endelig-dimensjonalt vektorrom V, og hvis vi bytter basisen til V fra en basis B til en basis B, hvordan er koordinatvektorene [v] B = [v] B? Løsning: Dersom vi bytter basis til et vektorrom V fra den gamle basisen B = {u 1, u 2,..., u n } til en ny basis B = {u 1, u 2,..., u n}, vil det for enhver vektor v i V, være slik at den gamle koordinatvektoren [v] B er relatert til den nye koordinatvektoren [v] B ved formelen [v] B = P [v] B, der kolonnene i basisbyttematrisa P er koordinatvektorene til de nye basisvektorene relativt til den gamle basisen. Altså vil P B B = [ [u 1] B [u 2] B... [u n] B ] og P B B = [[u 1 ] B [u 2 ] B... [u n ] B ]. Teorem Dersom P er basisbyttematrisa fra basis B til basis B for et endelig-dimensjonalt vektorrom V, er P inverterbar og P 1 er basisbyttematrisa fra basis B til basis B. Altså er P B B = P 1 B B. Prosedyre for å nne basisbyttematrisa P B B 1. Lag matrisa [B B]. 2. Bruk radoperasjoner for å få matrisa i (1) på redusert trappeform. 3. Matrisa på trappeform vil være [I P B B ]. Teorem La B = {u 1, u 2,..., u n } en hvilken som helst basis for vektorrommet R n og la S = {e 1, e 2,..., e n } være standardbasisen til R n. Da vil 4.7 Radrom, kolonnerom og nullrom P B S = [[u 1 ] B [u 2 ] B... [u n ] B ]. 13

14 Denisjon 1: For en matrise er vektorene a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = , a m1 a m2 a mn r 1 = [a 11 a 12...a 1n ] r 2 = [a 21 a 22...a 2n ].. r m = [a m1 a m2...a mn ], i R n som er dannet fra radene til A kalt radvektorene til A, og vektorene a 11 a 12 a 1n a 21 c 1 =.., c a ,..., c a 2n n.., a m1 a m2 a mn i R m som er dannet fra kolonnene i A kalt kolonnevektorene til A. Denisjon 2: Dersom A er en m n matrise, er underrommet til R n utspent av radvektorene til A kalt radrommet til A, og underrommet til R m utspent av kolonnevektorene til A kalt kolonnerommet til A. Løsningsrommet til det homogene likningssystemet Ax = 0, som er et underrom av R n, kalles nullrommet til A. Teorem Et lineær likningssystem Ax = b er konsistent hvis og bare hvis b er i kolonnerommet til A. Teorem Hvis x 0 er en løsning til det konsistentet lineære likningssystemet Ax = b, og hvis S = {v 1, v 2,..., v k } en basis til nullrommet til A, så er alle løsningene til Ax = b uttrykkes på formen x = x 0 + c 1 v 1, c 2 v c k v k. Motsatt vil det for alle valg av skalarer c 1, c 2,..., c k være slik at x i uttrykke er en løsning til Ax = b. Teorem Elementære radoperasjoner endrer hverken nullrommet eller radrommet til en matrise. Teorem Dersom matrisa R er på redusert trappeform, vil radene med en ledende ener (ikke-nullradene) danne en bsis til radrommet til R, og kolonnevektorene med en ledende ener vil danne en basis for kolonnerommet av R. Teorem Dersom A og B er rad-ekvivalente matriser vil det følgende gjelde: (a) Et gitt sett av kolonnevektorer til A er lineær uavhengige hvis og bare hvis de korresponderende vektorene til B er lineær uavhengige. (b) Et gitt sett av kolonnevektorer til A danner en basis for kolonnerommet til A hvis og bare hvis de korresponderende kolonnevektorene til B danner en basis til kolonnerommet til B. Prosedyre for å nne basis til span(s), og uttrykke overødige vektorer som en lineær kombinasjon av basisvektorene 1. Lag matrisa A med kolonnevektorer lik vektorene i S = {v 1, v 2,..., v k }. 2. Gjør matrisa A til redusert trappeform R = {w 1, w 2,..., w 3 } ved hjelp av radoperasjoner. 14

15 3. Identiser kolonnevektorene til R som har en ledende ener. Korresponderende kolonnevektorer i A danner en basis for span(s). Dette konkluderer første del av prosedyren. 4. Dann et sett med avhengighetsuttrykk ved å uttrykke hver av kolonnevektorene til R, som ikke har en ledende ener, som en lineær kombinasjon av vektorene som inneholder en ledende ener. 5. Bytt kolonnevektorene fra R som dukker opp i avhengighetsuttrykkene med korresponderende kolonnevektorer i A. Dette konkluderer andre del av prosedyren. 4.8 Rank, nullity og fundamentalmatriser Teorem Radrommet og kolonnerommet til en matrise A har samme dimensjon. Denisjon 1: Den felles dimensjonen til radrommet og kolonnerommet til en matrise A kalles rank til A. Dimensjonen til nullrommet til A kalles for nullity til A. Teorem Dimensjonsteorem for matriser Dersom A er en matrise med n kolonner vil rank(a) + nullity(a) = n. Teorem Dersom A er en m n matrise vil det følgende gjelde: (a) rank(a) = antall ledende (ikke-frie) variabler i den generelle løsningen til Ax = b. (b) nullity(a) = antall parametere i den generelle løsningen til Ax = b. Teorem Dersom Ax = b er et konsistent lineært likningssystem med m likninger med n ukjente, og dersom A har rank r, vil den generelle løsningen av likningssystemet ha n r parametere. Teorem La A være en m n matrise. (a) (Overbestemt tilfelle). Hvis m > n, er det lineære likningssystemet Ax = b inkonsistent for minst én vektor b. (b) (Underbestemt tilfelle). Hvis m < n, er det lineære likningssystemet Ax = b enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger. Teorem Dersom A er en matrise vil rank(a) = rank(a T ). Videre vil rank(a) + nullity(a T ) = m. Denisjon 2: Dersom W er et underrom av R n, så kalles settet av vektorer i R n som er ortogonale til alle vektorene i W for det ortogonale komplementet av W og er angitt ved W. Teorem Hvis W er et underrom av R n, gjelder følgende: (a) W er et underrom av R n. (b) Den eneste vektoren felles mellom W og W er 0. (c) Det ortogonale komplementet til W er W. Teorem Hvis A er en m n matrise, gjelder følgende: (a) Nullrommet til A og radrommet til A er ortogonale komplementer i R n. (b) Nullrommet til A T og kolonnerommet til A er ortogonale komplementer i R n. 4.9 Matrisetransformasjoner fra R n til R m Denisjon 1: Gitt funksjonen b = f(a). Man sier ofte at b er bildet til a under f, eller at f(a) er verdien til f ved a. Dersom a og b er to vektorrom, henholdsvis A og B, sier vi at A er domene til f, og B er kodomene til f. Underrommet til kodomenet som består av alle bildene til alle punktene i domenet, kalles for utstrekningen eller området til f. 15

16 Denisjon 2: Dersom V og W er to vektorrom, og dersom f er en funksjon med domene V og kodomene W, sier vi at f er en transformasjon fra V til W, eller at f er en lineær mapping fra V til W, som angis ved f : V W. Når V = W, kalles transformasjonen også en operator på V. Teorem For enhver matrise A med transformasjonen T A : R n R m har de følgende egenskapene for alle vektorer u og v i R n og for alle skalarer k: (a) T A (0) = 0. (b) T A (ku) = kt A (u). (c) T A (u ± v) = T A (u) ± T A (v) Prosedyre for å nne standardmatrisa for en matrisetransformasjon 1. Finn bildet til standardbasisvektrorene e 1, e 2,..., e n for R n på kolonneform. Altså nn T A (e 1 ), T A (e 2 ),..., T A (e n ). 2. Konstruer matrisa A = [T A (e 1 ) T A (e 2 )... T A (e n )]. Denne matrisa er standardmatrisa for transformasjonen. Reeksjon [ om ] y-aksen Reeksjon [ om ] x-aksen Reeksjon [ om ] y=x Rotere [ med en vinkel ] θ cos θ sinθ sin θ cos θ 4.10 Egenskaper til matrisetransformasjoner Denisjon 1: Komposisjonen til T B med T A vil si at man først utfører en matrisetransformasjon med T A, og deretter med T B. Dette angis ved T B T A. Med andre ord er T B T A (x) = T B (T A (x)). Denisjon 2: En matrisetransformasjon T A : R n R m kalles en-til-en dersom T A transformerer spesi- kke vektorer og punkter i R n til spesikke vektorer eller punkter i R m. Teorem Sammenhenger (a) T B T A = T BA (b) T C T B T A = T CBA (c) [T 2 T 1 ] = [T 2 ][T 1 ] (d) [T 3 T 2 T 1 ] = [T 3 ][T 2 ][T 1 ] (e) T A 1 = T 1 A (f) [T 1 ] = [T ] 1 Teorem Hvis A er en n n matrise og T A : R n R n er den korresponderende matriseoperatoren, vil de følgende utsagnene være ekvivalente: (a) A er invertibel. (b) Området til A er R n. (c) T A er en-til-en. Teorem T : R n R m er en matrisetransformasjon hvis og bare hvis det følgende stemmer for alle vektorer u og v i R n og for alle skalarer k: (a) T (u + v) = T (u) + T (v). (b) T (ku) = kt (u). Teorem i ord: Alle lineære transformasjoner fra R n til R m er en matrisetransformasjon, og alle matrisetransformasjoner fra R n til R m er lineære transformasjoner. 16

17 5 Egenverdier og egenvektorer 5.1 Egenverdier og egenvektorer Denisjon 1: Dersom A er en n n matrise, kalles en vektor x 0 R n for en egenvektor til A, dersom Ax er et skalarmultiplum av x. Altså dersom Ax = λx, der λ er en skalar. Skalaren λ kalles for egenverdien til A. x vil dermed være korresponderende egenvektor til λ. Teorem Dersom A er en n n matrise, så er λ en egenverdi til A hvis og bare hvis likningen det(λi A) = 0, er oppfylt. Dette kalles den karakteristiske likningen til A. Teorem Dersom A er en n n triangulær matrise, er egenverdiene til A matriseelementene langs diagonalen til A. Teorem Dersom A er en n n matrise, er de følgende utsagnene ekvivalente: (a) λ er en egenverdi til A. (b) Likningssystemet (λi A)x = 0 har ikke-trivielle løsninger. (c) Det nnes en vektor x +f0 slik at Ax = λx. (d) λ er en løsning til den karakteristiske likningen det(λi A) = 0. Teorem Dersom k er et positivt heltall, λ en egenverdi til matrisa A og x en korresponderende egenvektor, vil λ k være en egenverdi til A k med x som korresponderende egenvektor. Denisjon 2: Vektorrommet utspent av egenvektorene til en matrise A kalles egenrommet til A. 5.2 Diagonalisering Denisjon 1: Dersom A og B er to kvadratiske matriser, sier vi at B er similær til A dersom det nnes en invertibel matrise P slik at B = P 1 AP. Teorem Dersom A er en n n matrise, er de følgende utsagnene ekvivalente: (a) A er diagonaliserbar. (b) A har n lineær uavhengige vektorer. (c) A har n forskjellige egenverdier. Prosedyre for å diagonalisere en matrise 1. Sjekk at matrisa er diagonaliserbar ved å nne n lineær uavhengige egenvektorer. En måte å gjøre dette på er å nne basisen til hvert av egenrommene og slå disse sammen til et sett S med vektorer. Dersom S har mindre enn n vektorer, er ikke matrisa diagonaliserbar. 2. Dann matrisa P = [p 1 p 2... p n ], der p i er en kolonnevektor fra S. 3. Matrisa P 1 AP vil være diagonal og ha egenverdiene λ 1, λ 2,..., λ n som matriseelementer langs diagonalen. Egenverdiene har de korresponderende egenvektorene p 1, p 2,..., p 3. Teorem Dersom v 1, fv 2,..., v k er egenvektorene til en matrise A med forskjellige korresponderende egenverdier vil {v 1, fv 2,..., v k } være lineær uavhengige. 17

18 Denisjon 2: Dersom λ 0 er en egenverdi til en n n matrise A, vil dimensjonen til egenrommet som korresponderer til λ 0 kalles den geometriske multiplisiteten til λ 0. Antallet ganger λ λ 0 dukker opp i det karakteristiske polynomet til A kalles den algebraiske multiplisiteten til λ 0. Teorem Geometri og algebraisk multiplisitet La A være en kvadratisk matrise. (a) For enhver egenverdi av A, er den geometriske multiplisiteten mindre enn eller lik den algebraiske multiplisiteten. (b) A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den geometriske multiplisiteten til alle egenverdiene er lik den algebraiske multiplisiteten. 5.3 Det komplekse vektorrom Denisjon 1: Dersom n er et positivt heltall, så vil et kompleks n-tuppel være en sekvens av n komplekse tall (v 1, v 2,..., v n ). Et sett med alle komplekse n-tupler kalles det komplekst n-rom og angis ved C n. Skalarer er komplekse tall, og operasjoner som multiplikasjon, addisjon, subtraksjon, konjugasjon og skalarmuliplikasjon utføres komponentvis. Teorem La u og v være to vektorer i C n, k være en skalar, A være en kompleks m r matrise, og B være en kompleks r n matrise. (a) u = u (b) ku = ku (c) u ± v = u ± v (d) A = A (e) A T = A T (f) AB = AB Denisjon 2: Dersom u = (u 1, u 2,..., u n ) og v = (v 1, v 2,..., v n ) er to vektorer i C n, er det komplekse prikkproduktet denert til å være Lengden i C n er denert til å være u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. v = sqrtv v = v v v n 2. Teorem La u, v og w være tre vektorer i C n, og la k være en skalar. (a) u v = v u (b) u (v + w) = u v + u w (c) k(u w) = (ku) v (d) u kv = k(u v) (e) v v 0 (f) v v = 0 v = 0 (g) u v = u T v = v T u Teorem Dersom λ er en egenverdi til en reel n n matrise A og hvis x er en korresponderende egenvektor, vil også λ være en egenvektor til A med korresponderende egenvektor u. Teorem Dersom A er en reell symmetrisk matrise, har A reelle egenverdier. 7 Diagonalisering og kvadratisk form 7.1 Ortogonale matriser 18

19 Denisjon 1: En matrise A kalles ortogonal dersom A 1 = A T AA T = A T A = I. Teorem Det følgende er ekvivalent for en n n matrise A. (a) A er ortogonal. (b) Radvektorene til A danner et ortonormalt sett. (c) Kolonnevektorene til A danner et ortonormalt sett. (d) Ac = x, x R n. (e) Ax Ay = x y, x, y R n. Teorem (a) Den inverse av en ortogonal matrise er invers. (b) Et produkt av ortogonale matriser er ortogonal. (c) Dersom A er ortogonal vil det(a) = 1 det(a) = 1. Teorem La V være et endelig-dimensjonalt vektorrom. Dersom P er en transformasjonsmatrise fra en ortonormal basis til V til en annen ortonormal basis til V, er P en ortogonal matrise. 7.2 Ortogonal diagonalisering Denisjon 1: Dersom A og B er kvadratiske matriser, sier vi at A og B er ortogonalsimilære, dersom det nnes en ortogonal matrise P slik at P T AP = B. Teorem Det følgende er ekvivalent for en n n matrise A. (a) A er ortogonal diagonaliserbar. (b) A har et ortonormalt sett med egenvektorer. (c) A er symmetrisk. Teorem Dersom A er en n n matrise så vil: (a) alle egenverdiene til A være reelle. (b) egenvektorer fra forskjellige egenrom være ortogonale. Prosedyre for å ortogonal diagonalisere en symmetrisk kvadratisk matrise 1. Finn en basis for hvert av egenrommene til A. 2. Bruk Gram-Schmidt-prosessen på hver av basisene for å få en ortonormal basis for hvert av egenrommene. 3. Dann matrisa P med kolonner lik de forskjellige vektorene fra (2). Denne matrisa vil ortogonal diagonalisere A, og egenverdiene på diagonalen i D = P T AP vil være i samme rekkefølge som korresponderende vegenvektorer i P. Teorem Schurs teorem Dersom A er en n n matrise med reelle matriseenheter og reelle egenverdier, da nnes en ortogonal matrise P slik at P T AP er øvre triangulær. Diagonalen vil bestå av de forskjellige egenverdiene. 7.3 Kvadratisk form Lineær form: a 1 x 1 + a 2 x a n x n Kvadratisk form: a 1 x a 2x a nx 2 n Teorem Prinsipal akseteoremet La A være en symmetrisk n n matrise og P ortogonal diagonaliserer A. Ortogonal endring i variable gir med x = P y x T Ax = y T Ay = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n, der λ i er egenverdiene til A. 19

20 Denisjon 1: En kvadratisk form x T Ax er positivt denitt hvis x T Ax > 0 x 0. negativt denitt hvis x T Ax < 0 x 0. indenitt både for negative og positive verdier av x T Ax. Teorem La A være en symmetrisk matrise. (a) x T Ax er positivt denitt hvis og bare hvis alle egenverdiene til A er positive. (b) x T Ax er negativt denitt hvis og bare hvis alle egenverdiene til A er negative. (c) x T Ax er indenitt hvis og bare hvis A har minst en positiv og en negativ egenverdi. (d) A positiv denitt hvis og bare hvis alle determinantene til prinsipal undermatrisene er positive. Teorem La A være en symmetrisk 2 2 matrise. (a) x T Ax = 1 representerer en ellipse hvis A er positivt denitt. (b) x T Ax = 1 har ingen graf hvis A er negativt denitt. (c) x T Ax = 1 representerer en hyperbol hvis A er indenitt. Appendix B - Komplekse tall Denisjon 1: i = 1 Ethvert komplekst tall kan skrives på formen z = a + bi. Alle de vanlige algebraiske reglene gjelder også for komplekse tall. Videre vil de reelle tallene være et element i de komplekse tallene, R C. Denisjon 2: Gitt z = a + bi. Konjungert: z = a bi Absoluttverdi/modulus: z = zz = a 2 + b 2 Polarform: z = z (cos φ + i sin φ), der φ = arcsin b z = arccos a z (argumentet) Eksponentialform: z = z e iφ Reel del og imaginær del: Re(z) = a, Im(z) = b Teorem - La z, z 1 og z 2 være tre komplekse tall. (a) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 (b) z 1 z 2 = z 1 z 2 (c) z 1 /z 2 = z 1 /z 2 (d) z = z (e) z = z (f) z 1 z 2 = z 1 z 2 20

21 (g) z 1 /z 2 = z 1 / z 2 (h) z 1 + z 2 z 1 + z 2 Teorem - De Moivres formel (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ Teorem - En n-tegradslikning vil alltid ha nøyaktig n løsninger. Ekvivalente utsagn tilhørende alle tidligere kapitler Ekvivalente utsagn Dersom A er en n n matrise vil følgende utsagn være ekvivalente. (a) A er invertibel. (b) Ax = 0 har bare den trivielle løsningen. (c) Den reduserte trappeformen av A er I n. (d) A kan uttrykket som et produkt av elementærmatriser. (e) Ax = b er konsistent for alle n 1 matriser b. (f) Ax = b har nøyaktig én løsning for alle n 1 matriser b. (g) det(a) 0. (h) Kolonnevektorene til A er lineær uavhengige. (i) Radvektorene til A er lineær uavhengige. (j) Kolonnevektorene til A span{r n }. (k) Radvektorene til A span{r n }. (l) Kolonnevektorene til A utgjør en basis til R n. (m) Radvektorene til A utgjør en basis til R n. (n) rank(a) = n. (o) nullity(a) = 0. (p) Det ortogonale komplementet av nullrommet til A er R n. (q) Det ortogonale komplementet av radrommet til A er {0}. (r) Området til T A er R n. (s) T A er en-til-en. (t) λ = 0 er ikke en egenverdi til A. 21

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012. Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014

Mer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014 Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt

Detaljer

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge Lineær algebra Kurskompendium, Utøya, MAT1000 Inger Christin Borge 2006 Forord Dette er et kompendium skrevet til bruk i MAT1000-varianten av Utøyaseminarene, arrangert av Matematisk fagutvalg ved Matematisk

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 04.02.2016 Sjuende utkast Lineære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter bare de

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder

Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Ruben Spaans May 21, 2009 1 Oppslagsverk Adjungert Ball, la (X, d) være et metrisk rom og la ɛ > 0. Da er for x 0 X: 1. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x,

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer