1 Gauss-Jordan metode

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Gauss-Jordan metode"

Transkript

1 Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller s 97 Referansene til Kompendiet er 2-tallede, f eks Teorem 35 Vi kan også referere til en Seksjon eller Subseksjon (ikke eller kap), men aldri til en side i Kompendiet Gauss-Jordan metode Nye begrep En lineær likning (a linear equation), et system (a system) av lineære likninger, homogene og inhomogene (homogeneous and inhomogeneous) systemer, variable (unknowns, variables), en løsning til et system (a solution of a system), et n-tuppel (an ordered n-tuple) Tupler kan betegnes som rader eller kolonner, i runde parenteser eller kvadratparenteser: [ ] s s 2 s n, ( ) s s 2 s n, s s 2 s n, s s 2 s n Fra Wikipedia: En matrise er et rektangulært sett av elementer (entries) ordnet i rader og kolonner Se boka, 3 (Def 3 og Partitioned Matrices ): en m n matrise A (a m n matrix) består av m rader (rows) r, r 2, r m, og n kolonner (columns) c, c 2, c n : A der a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn [a ij] i,,m, [a ij ] j,,n r i [ a i a j a i2 a in ], c j a 2j a mj Merknad Elementene i en matrise kan være reelle eller komplekse tall, men også symboler og til og med andre matriser r r 2 r m [ c c 2 c n ], 2

2 Hvis et tuppel av tall er betegnet som en kolonne, kan det betraktes som en n matrise En rad kan betraktes som en n matrise Rader og kolonner vil bli senere kallt vektorer (vectors) generelt, eller radvektorer (row vectors) og kolonnevektorer (column vectors) For et system a x + a 2 x + + a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2 a m x + a m2 x a mn x n b m defineres det to matriser: m n koeffi sientmatrisen (the coeffi cient matrix, ovenfor Def 37) A og den m (n + ) utvidede (augmented) matrisen A ( ): A A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn, a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b m [ A b ] Koeffi sientmatrisen er viktigst! Vi skal trappeformere den, og trenger ikke trappeformere A Forfatterne skulle si dette i boken Vi skal senere betrakte utvidede matriser som har flere kolonner (og til og med en annen matrise) til høyre fra A I hvert tilfelle skal vi trappeformere A, ikke A Det skal betraktes (nokså sjelden) utvidede matriser der A står til høyre, ikke til venstre Igjen skal vi trappeformere A, ikke A La oss da kalle koeffi sientmatrisen for hovedmatrisen til systemet Systemer kan være konsistente (consistent), se Eks 2, 4 og 5, eller inkonsistente (inconsistent), se Eks 3 Konsistente systemer kan ha nøyaktig én løsning (Eks 2), eller uendelig mange løsninger (Eks 4 og 5) Likninger beskrives vanligvis som rader, mens løsninger som kolonner Den eneste løsningen i Eks 2 er: 7 x 3 y Løsningene i Eks 4 kan beskrives slik: x t t t, y t t

3 og i Eks 5 slik: x 5 + r 2s y z r s 5 + r r + 2s s 5 +r +s 2, der t, r, og s er vilkårlige parametre (parameters) Homogene systemer er alltid konsistente, fordi de har minst én løsning Trappeform (row echelon form), redusert (reduced) trappeform, ledende enere (leading ones), hovedvariable (leading variables), frie (free) variable, se boka, 2 2 Elementære radoperasjoner Elementære radoperasjoner (elementary row operations, Eks 6) skal brukes ofte i dette kurset Vi skal unngå kolonneoperasjoner De trenges nokså sjelden, og det er ikke bra å beherske begge: sannsynligheten til feiler vil vokse I de sjeldne tilfellene der kolonneoperasjoner er absolutt nødvendige, anbefales det å transponere matrisen først (kolonner blir rader!), bruke radoperasjoner, og deretter transponere den resulterende matrisen (rader blir kolonner igjen) Forfatterne skulle formulere følgende teorem: Teorem Elementære radoperasjoner endrer ikke løsninger til systemet Dvs, hver gang vi utfører en elementær radoperasjon, vil det nye systemet ha de samme løsningene som det opprinnelige systemet For eksempel, det nye systemet er konsistent hvis og bare hvis det opprinnelige systemet er det Merknad 2 Vi skal lære senere at elementære radoperasjoner har flere andre gode egenskaper Om vi bør bruke bare Gauss, dvs redusere en matrise til en trappeform (row echelon form) eller Gauss+Jordan, dvs redusere en matrise til en redusert (reduced) trappeform, avhenger av oppgaven vi løser For eksempel, i kap 2 er det lurt å bruke Gauss+Jordan, som i Eks 6, Eks 25 og steg -6 ovenfor Eks 25 Hvis man bruker bare Gauss, vil man trenge back-substitution, som i Eks 27, og det er ikke anbefalt! For å beregne inversmatrisen (Eks 54), er det absolutt nødvendig å bruke Gauss+Jordan, mens for å bestemme at en matrise ikke er invertibel (Eks 55), er det nok med bare Gauss For å beregne determinanter (se Seksjon 3 nedenfor), er Jordan unødvendig 23

4 Merknad 3 Jeg ble spurt: Er det absolutt nødvendig å bruke Jordan etter Gauss, eller det er mulig å blande de to metodene? Svar: ja, det er mulig å blande Gauss og Jordan Det er bare to krav: Man bruker elementære radoperasjoner 2 Det endelige resultatet er en matrise som har redusert trappeform Men det anbefales sterkt å bruke Jordan etter Gauss Det er dessuten anbefalt å utføre Jordan nedenfra (fra nedre til øvre rader), mens Gauss utføres ovenfra (fra øvre til nedre rader) Det er mer økonomisk dvs trenger færre beregninger Se Eksempel 4 nedenfor, Jordan steg Eksempel 4 Steg -6 ovenfor Eks 25 Gauss (første 5 steg i boka) Jordan Jordan (steg 6) utføres nå nedenfra Det er mulig å utføre noen elementære operasjoner samtidig Med fet skrift markerer vi de elementene (3 stykker) som er beregnet på nytt La oss utføre Jordan ovenfra:

5 Det er nå 4 elementer som ble beregnet på nytt For mer kompliserte matriser blir forskjellen mellom de to variantene (ovenfra og nedenfra) enda større Et tips: prøv å beholde (så lenge som mulig) hele tall i matrisen Vi kunne gjøre slik ( er bedre enn 5): Eksempel 5 Oppsummerende eksempel (utvidede Eksempler 25 og 26) Se også Eks 63 La oss betrakte systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 b 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 b 2 5x 3 + x 4 + 5x 6 b 3 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b 4 der b b b 2 b 3 b 4 (generelt) eller 5 6 eller eller 5 6 Hovedmatrisen til systemet er A Vi skal løse 4 oppgaver samtidig Setter 4 kolonner til høyre fra hovedmatrisen: b A b b Gauss b b 2 3 2b + b b b + b

6 3 2 2 b 2 3 2b b b b + b b 2 3 2b b 2 3 b + 5b 2 + b 3 6 b + 4b 2 + b b 2 3 2b b b + 4b 2 + b b + 5b 2 + b b 2 3 2b b b b b b + 5b 2 + b 3 Jordan b 2 7b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b b 6b 2 b b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b 3 Ledende enere er markert Hovedvariablene er x, x 3, og x 6 De frie variablene er x 2, x 4, og x 5 La oss betegne x 2 r, x 4 s, og x 5 t (vilkårlige parametre) Konklusjonene er: Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b b 2 b 3 b 4 har ingen løsning (er inkonsistent) hvis b + 5b 2 + b 3 Hvis b + 5b 2 + b 3, 26

7 har systemet uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5b 6b 2 b 4 3r 4s 2t r 7b 3b 2 2 b 4 2s s t 5 3 b b b 4 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4 + r 3 + s t 2 2 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 3, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2t r 2s s t r 3 + s t 2 3 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 27

8 har uendelig mange løsninger system: er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 2t r 2s s t r Siden systemet er ekvivalent til et nytt 3 + s 4 2, + t 2 4 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har ingen løsninger (er inkonsistent) fordi 2 Matriseoperasjoner I Teorem 4 er det gitt en stor liste av egenskaper til matriseoperasjoner Egenskapene er pensum Det er vanskelig å huske dem alle Egenskapene ligner tilsvarende egenskaper til vanlige aritmetiske operasjoner Det er lettere å huske hva forskjellene mellom matriseoperasjoner og vanlige aritmetiske operasjoner er Nedenfor er en stor liste av forskjeller Objektene vi arbeider med er skalærer (scalars, se 3) dvs reelle tall a R (senere også komplekse tall z C) og m n matriser A [a ij ], i, 2,, m; j, 2,, n C A + B er definert bare hvis både A og B er m n matriser C blir da en m n matrise Dette betyr for eksempel at man ikke kan definere summen β + A av en skalær β og en matrise A Med det finnes et unntak, se eksempel 2 nedenfor 2 Produkt βa av en skalær β og en m n matrise A er definert og er en m n matrise 3 Produkt C AB er definert når A er en m n matrise, og B er en n k matrise C blir da en m k matrise 4 Vanligvis er AB BA Det kan hende også at AB er definert, mens BA er ikke definert 28

9 5 Nullmatrise spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige m n nullmatriser mn De er ikke nødvendigvis kvadratiske (square matrices), dvs det er mulig at m n (men m n er også mulig!) 6 Identitetsmatrise (identity matrix) I spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige n n identitetsmatriser I n Alle er kvadratiske, for eksempel I 4 7 Inversmatrise (inverse matrix) A spiller samme rolle som tallet a i vanlig aritmetikk I aritmetikk er det nok å ha a Det er ikke tilfellet i matrisealgebra, dvs ikke alle A kan inverteres Matriser A som har den inverse A kalles invertible (i noen bøker inverterbare) Matrisen A er invertibel hvis og bare hvis den er kvadratisk og det A (Theorem 233) 8 det (AB) det (A) det (B), det ( A ) (det (A)) 9 Man kan ikke si noe om det (A + B) Vanligvis er det (A + B) det (A) + det (B) Det finnes ikke noe i matrisealgebra som tilsvarer b a dvs det finnes ikke B A for matriser A og B Men hvis A er invertibel, kan det defineres to matriser (vanligvis forskjellige): BA og A B Det er mulig at BA er definert, mens A B ikke er definert (og omvendt) I vanlig algebra har likningen ax b (a ) eksakt én løsning x b a I matrisealgebra har vi to forskjellige likninger og to forskjellige løsninger: AX B X A B, XA B X BA Det finnes også en helt ny type likninger: AXB C X A CB 2 (AB) B A Legg merke til den inverse rekkefølgen! 29

10 3 Hvordan å beregne A? For en matrise [a], a, er det enkelt: [ ] [a] a For 2 2 matriser bruk formelen fra Theorem 45: [ ] [ ] A a b d b [ d b c d ad bc c a det A c a ] Hvis det A, er ikke A invertibel For en n n (n 3) matrise A bruk alltid radoperasjoner, se Eks 54 (Gauss+Jordan) og 55 (kun Gauss!) 4 For enhver m n matrise A, er det definert den transponerte (the transpose) n m matrise A T, se s 29 5 (AB) T B T A T Legg merke til den inverse rekkefølgen! 6 ( A T ) ( A ) T 7 det A T det A Eksempel 2 Matrisepolynomer, Eksempel 32, s 4 Gitt et polynom f(x) α n x n + α n x n + + α x + α, α i R, og en kvadratisk n n matrise A, kan man definere f (A) α n A n + α n A n + + α A + α Det ser ut som at vi adderer skalæren α til n n matrisen α n A n +α n A n + + α A, som ikke er tillatt! Men det finnes en standard måte hvordan å behandle slike uttrykk Den riktige formelen er: f (A) α n A n + α n A n + + α A + α I n der I n er en n n identitesmatrise Teorem 22 Viktig setning (s 26) Hvis A er en m k matrise, og B er en k n matrise r A r 2, r m B [ c c 2 c n ], 3

11 så er matrisen AB en m n matrise som består av følgende elementer, rader og kolonner: r B AB [r i c j ] r 2 B [ Ac Ac 2 Ac n ] r m B Teorem 23 (Th 3) Hvis og A [ c c 2 c n ], x er en kolonnevektor, er Ax en lineær kombinasjon ( a linear combination, Def 36) av kolonner av A: 3 Determinanter x x 2 x n Ax x c + x 2 c x n c n For envher kvadratisk n n matrise A er det definert et bestemt reelt (eller komplekst) tall det A (eller A ) Vi gir ikke definisjonen her (den er for komplisert) Men egenskapene til determinantfunksjonen tillater oss å beregne determinanter til alle kvadratiske matriser For matriser beregnes determinanten enkelt: det [a] a For 2 2 matriser bruk formelen på s 95: a b [ ] a b c d det ad bc c d For 3 3 matriser bruk radoperasjoner eller formelen på s 95: a b c a b c d e f g h i det d e f aei + bfg + cdh ceg bdi afh g h i Det er lurt å bruke geometriske bilder for å huske hvilke tre produkter i summen er positive 3

12 o o o o o o o o o og hvilke tre produkter er negative o o o o o o o o o Det anbefales ikke å bruke skrivemåten som i Eks 27 eller på Fig 2 Man kan lettt få en følelse at en lignende metode kan brukes for 4 4 eller større determinanter Dette er helt galt! For n n matriser, n 4, bruk kun radoperasjoner, Theorem 22, 22 og 223 Målet er å redusere matrisen til en trappeformet matrise, dvs det er nok å bruke Gauss, uten Jordan Etter en rekke radoperasjoner får man det A α det A der A har trappeform, og α er en koeffi sient man får ved å bruke Theorem 223ab Merknad 3 A her er ikke den utvidede matrisen! Det er to mulige tilfeller: A er invertibel: Dette betyr at A det A α det A α α 2 A er ikke invertibel, og derfor inneholder minst én nullrad: A Vi får da det A α det A α 32

13 Men vi kan forenkle beregningene ved å bruke Teorem 35 nedenfor Teoremet tillater oss å stoppe før vi har fått en triangulær matrise Det er andre tips til beregningen av determinanter: Det er lurt å bytte rader av og til for å få eller i det venstre øvre hjørnet 2 Vi kan bruke litt svakere Gauss: få andre elementer enn i hjørnene, bare at den resulterende matrisen er triangulær (eller blokk-triangulær!), ikke nødvendigvis trappeformet Vi tar et oppsummerende eksempel i Subseksjon nedenfor: 3 Oppsummerende eksempel Eksemplet nedenfor er tatt fra Oblig i vårsemesteret 2 Eksempel 32 Funksjonen D(t) er gitt som determinanten til en 4 4 matrise: D(t) t Beregn determinanten D(t) og finn verdien t som gir D(t ) 2 7 Løsning 33 a) Standardmetoden: D(t) t t t 4 5 5t t ( ) t 4 2t 4 ( ) t 4 2t 4 5 5t + 5 5t t 4 ( ) ( ) ( ) ( 5t + 25) 25 5t Løser deretter likningen 25 5t 2 7 t

14 b) Bruk Teorem 35 i sluttfasen: D(t) ( ) 2 t ( ) ( ) 2t 4 5 5t + 5 ( ) ( ) (5t 25) 25 5t c) Bruk Teorem 35 tidligere: D(t) t t (25 5t) 25 5t t 4 32 Determinanter til blokk-triangulære matriser Definisjon 34 La A være en kvadratisk n n matrise a) A kalles blokk-diagonal hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: B k m + m m k n b) A kalles øvre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n t 4 2t 4 5 5t

15 c) A kalles nedre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n Teorem 35 Hvis en matrise A er blokk-diagonal, eller øvre blokk-triangulær, eller nedre blokk-triangulær, er dens determinant lik det A det B det B 2 det B k Eksempel 36 La A Da er A blokk-diagonal, og [ 2 det A det 3 4 Eksempel 37 La ] det det [ 5] 2 2 ( 2) ( 22) ( 5) 22 A Da er A øvre blokk-triangulær, og [ ] 2 det A det det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 35

16 Eksempel 38 La A Da er A nedre blokk-triangulær, og ] det [ 2 det A det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 36

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Lineære ligningssystem og matriser

Lineære ligningssystem og matriser Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise

Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med

Detaljer

Ma Linær Algebra og Geometri Øving 1

Ma Linær Algebra og Geometri Øving 1 Ma0 - Linær Algebra og Geometri Øving Øistein Søvik 0. september 0 Excercise Set. = 4 x6 x x = x 6 4 x x = x 4 4 4 x x. In each part, determine whether the equation is linear in x, x and x Før vi begynner

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 11.02.2016 Sjuende utkast Flere lineære likninger som samtidig skal oppfylles kalles lineære likningssystem. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk

Lineær algebra. H. Fausk Lineær algebra H. Fausk 04.02.2016 Sjuende utkast Lineære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter bare de

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear

Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear Lineær Algebra Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear y = ax + b linje y = f(x) funksjon Taylor utvikling f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge

Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge Lineær algebra Kurskompendium, Utøya, MAT1000 Inger Christin Borge 2006 Forord Dette er et kompendium skrevet til bruk i MAT1000-varianten av Utøyaseminarene, arrangert av Matematisk fagutvalg ved Matematisk

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8

MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) August 2010 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere

Detaljer

Løsningsforslag C = B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB

Løsningsforslag C = B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 06. oktober 206 kl 6:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Vi denerer noen matriser A [ 5 2 0 B [ 0 3

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016 MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer