1 Gauss-Jordan metode

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 Gauss-Jordan metode"

Transkript

1 Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller s 97 Referansene til Kompendiet er 2-tallede, f eks Teorem 35 Vi kan også referere til en Seksjon eller Subseksjon (ikke eller kap), men aldri til en side i Kompendiet Gauss-Jordan metode Nye begrep En lineær likning (a linear equation), et system (a system) av lineære likninger, homogene og inhomogene (homogeneous and inhomogeneous) systemer, variable (unknowns, variables), en løsning til et system (a solution of a system), et n-tuppel (an ordered n-tuple) Tupler kan betegnes som rader eller kolonner, i runde parenteser eller kvadratparenteser: [ ] s s 2 s n, ( ) s s 2 s n, s s 2 s n, s s 2 s n Fra Wikipedia: En matrise er et rektangulært sett av elementer (entries) ordnet i rader og kolonner Se boka, 3 (Def 3 og Partitioned Matrices ): en m n matrise A (a m n matrix) består av m rader (rows) r, r 2, r m, og n kolonner (columns) c, c 2, c n : A der a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn [a ij] i,,m, [a ij ] j,,n r i [ a i a j a i2 a in ], c j a 2j a mj Merknad Elementene i en matrise kan være reelle eller komplekse tall, men også symboler og til og med andre matriser r r 2 r m [ c c 2 c n ], 2

2 Hvis et tuppel av tall er betegnet som en kolonne, kan det betraktes som en n matrise En rad kan betraktes som en n matrise Rader og kolonner vil bli senere kallt vektorer (vectors) generelt, eller radvektorer (row vectors) og kolonnevektorer (column vectors) For et system a x + a 2 x + + a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2 a m x + a m2 x a mn x n b m defineres det to matriser: m n koeffi sientmatrisen (the coeffi cient matrix, ovenfor Def 37) A og den m (n + ) utvidede (augmented) matrisen A ( ): A A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn, a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b m [ A b ] Koeffi sientmatrisen er viktigst! Vi skal trappeformere den, og trenger ikke trappeformere A Forfatterne skulle si dette i boken Vi skal senere betrakte utvidede matriser som har flere kolonner (og til og med en annen matrise) til høyre fra A I hvert tilfelle skal vi trappeformere A, ikke A Det skal betraktes (nokså sjelden) utvidede matriser der A står til høyre, ikke til venstre Igjen skal vi trappeformere A, ikke A La oss da kalle koeffi sientmatrisen for hovedmatrisen til systemet Systemer kan være konsistente (consistent), se Eks 2, 4 og 5, eller inkonsistente (inconsistent), se Eks 3 Konsistente systemer kan ha nøyaktig én løsning (Eks 2), eller uendelig mange løsninger (Eks 4 og 5) Likninger beskrives vanligvis som rader, mens løsninger som kolonner Den eneste løsningen i Eks 2 er: 7 x 3 y Løsningene i Eks 4 kan beskrives slik: x t t t, y t t

3 og i Eks 5 slik: x 5 + r 2s y z r s 5 + r r + 2s s 5 +r +s 2, der t, r, og s er vilkårlige parametre (parameters) Homogene systemer er alltid konsistente, fordi de har minst én løsning Trappeform (row echelon form), redusert (reduced) trappeform, ledende enere (leading ones), hovedvariable (leading variables), frie (free) variable, se boka, 2 2 Elementære radoperasjoner Elementære radoperasjoner (elementary row operations, Eks 6) skal brukes ofte i dette kurset Vi skal unngå kolonneoperasjoner De trenges nokså sjelden, og det er ikke bra å beherske begge: sannsynligheten til feiler vil vokse I de sjeldne tilfellene der kolonneoperasjoner er absolutt nødvendige, anbefales det å transponere matrisen først (kolonner blir rader!), bruke radoperasjoner, og deretter transponere den resulterende matrisen (rader blir kolonner igjen) Forfatterne skulle formulere følgende teorem: Teorem Elementære radoperasjoner endrer ikke løsninger til systemet Dvs, hver gang vi utfører en elementær radoperasjon, vil det nye systemet ha de samme løsningene som det opprinnelige systemet For eksempel, det nye systemet er konsistent hvis og bare hvis det opprinnelige systemet er det Merknad 2 Vi skal lære senere at elementære radoperasjoner har flere andre gode egenskaper Om vi bør bruke bare Gauss, dvs redusere en matrise til en trappeform (row echelon form) eller Gauss+Jordan, dvs redusere en matrise til en redusert (reduced) trappeform, avhenger av oppgaven vi løser For eksempel, i kap 2 er det lurt å bruke Gauss+Jordan, som i Eks 6, Eks 25 og steg -6 ovenfor Eks 25 Hvis man bruker bare Gauss, vil man trenge back-substitution, som i Eks 27, og det er ikke anbefalt! For å beregne inversmatrisen (Eks 54), er det absolutt nødvendig å bruke Gauss+Jordan, mens for å bestemme at en matrise ikke er invertibel (Eks 55), er det nok med bare Gauss For å beregne determinanter (se Seksjon 3 nedenfor), er Jordan unødvendig 23

4 Merknad 3 Jeg ble spurt: Er det absolutt nødvendig å bruke Jordan etter Gauss, eller det er mulig å blande de to metodene? Svar: ja, det er mulig å blande Gauss og Jordan Det er bare to krav: Man bruker elementære radoperasjoner 2 Det endelige resultatet er en matrise som har redusert trappeform Men det anbefales sterkt å bruke Jordan etter Gauss Det er dessuten anbefalt å utføre Jordan nedenfra (fra nedre til øvre rader), mens Gauss utføres ovenfra (fra øvre til nedre rader) Det er mer økonomisk dvs trenger færre beregninger Se Eksempel 4 nedenfor, Jordan steg Eksempel 4 Steg -6 ovenfor Eks 25 Gauss (første 5 steg i boka) Jordan Jordan (steg 6) utføres nå nedenfra Det er mulig å utføre noen elementære operasjoner samtidig Med fet skrift markerer vi de elementene (3 stykker) som er beregnet på nytt La oss utføre Jordan ovenfra:

5 Det er nå 4 elementer som ble beregnet på nytt For mer kompliserte matriser blir forskjellen mellom de to variantene (ovenfra og nedenfra) enda større Et tips: prøv å beholde (så lenge som mulig) hele tall i matrisen Vi kunne gjøre slik ( er bedre enn 5): Eksempel 5 Oppsummerende eksempel (utvidede Eksempler 25 og 26) Se også Eks 63 La oss betrakte systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 b 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 b 2 5x 3 + x 4 + 5x 6 b 3 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b 4 der b b b 2 b 3 b 4 (generelt) eller 5 6 eller eller 5 6 Hovedmatrisen til systemet er A Vi skal løse 4 oppgaver samtidig Setter 4 kolonner til høyre fra hovedmatrisen: b A b b Gauss b b 2 3 2b + b b b + b

6 3 2 2 b 2 3 2b b b b + b b 2 3 2b b 2 3 b + 5b 2 + b 3 6 b + 4b 2 + b b 2 3 2b b b + 4b 2 + b b + 5b 2 + b b 2 3 2b b b b b b + 5b 2 + b 3 Jordan b 2 7b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b b 6b 2 b b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b 3 Ledende enere er markert Hovedvariablene er x, x 3, og x 6 De frie variablene er x 2, x 4, og x 5 La oss betegne x 2 r, x 4 s, og x 5 t (vilkårlige parametre) Konklusjonene er: Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b b 2 b 3 b 4 har ingen løsning (er inkonsistent) hvis b + 5b 2 + b 3 Hvis b + 5b 2 + b 3, 26

7 har systemet uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5b 6b 2 b 4 3r 4s 2t r 7b 3b 2 2 b 4 2s s t 5 3 b b b 4 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4 + r 3 + s t 2 2 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 3, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2t r 2s s t r 3 + s t 2 3 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 27

8 har uendelig mange løsninger system: er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 2t r 2s s t r Siden systemet er ekvivalent til et nytt 3 + s 4 2, + t 2 4 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har ingen løsninger (er inkonsistent) fordi 2 Matriseoperasjoner I Teorem 4 er det gitt en stor liste av egenskaper til matriseoperasjoner Egenskapene er pensum Det er vanskelig å huske dem alle Egenskapene ligner tilsvarende egenskaper til vanlige aritmetiske operasjoner Det er lettere å huske hva forskjellene mellom matriseoperasjoner og vanlige aritmetiske operasjoner er Nedenfor er en stor liste av forskjeller Objektene vi arbeider med er skalærer (scalars, se 3) dvs reelle tall a R (senere også komplekse tall z C) og m n matriser A [a ij ], i, 2,, m; j, 2,, n C A + B er definert bare hvis både A og B er m n matriser C blir da en m n matrise Dette betyr for eksempel at man ikke kan definere summen β + A av en skalær β og en matrise A Med det finnes et unntak, se eksempel 2 nedenfor 2 Produkt βa av en skalær β og en m n matrise A er definert og er en m n matrise 3 Produkt C AB er definert når A er en m n matrise, og B er en n k matrise C blir da en m k matrise 4 Vanligvis er AB BA Det kan hende også at AB er definert, mens BA er ikke definert 28

9 5 Nullmatrise spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige m n nullmatriser mn De er ikke nødvendigvis kvadratiske (square matrices), dvs det er mulig at m n (men m n er også mulig!) 6 Identitetsmatrise (identity matrix) I spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige n n identitetsmatriser I n Alle er kvadratiske, for eksempel I 4 7 Inversmatrise (inverse matrix) A spiller samme rolle som tallet a i vanlig aritmetikk I aritmetikk er det nok å ha a Det er ikke tilfellet i matrisealgebra, dvs ikke alle A kan inverteres Matriser A som har den inverse A kalles invertible (i noen bøker inverterbare) Matrisen A er invertibel hvis og bare hvis den er kvadratisk og det A (Theorem 233) 8 det (AB) det (A) det (B), det ( A ) (det (A)) 9 Man kan ikke si noe om det (A + B) Vanligvis er det (A + B) det (A) + det (B) Det finnes ikke noe i matrisealgebra som tilsvarer b a dvs det finnes ikke B A for matriser A og B Men hvis A er invertibel, kan det defineres to matriser (vanligvis forskjellige): BA og A B Det er mulig at BA er definert, mens A B ikke er definert (og omvendt) I vanlig algebra har likningen ax b (a ) eksakt én løsning x b a I matrisealgebra har vi to forskjellige likninger og to forskjellige løsninger: AX B X A B, XA B X BA Det finnes også en helt ny type likninger: AXB C X A CB 2 (AB) B A Legg merke til den inverse rekkefølgen! 29

10 3 Hvordan å beregne A? For en matrise [a], a, er det enkelt: [ ] [a] a For 2 2 matriser bruk formelen fra Theorem 45: [ ] [ ] A a b d b [ d b c d ad bc c a det A c a ] Hvis det A, er ikke A invertibel For en n n (n 3) matrise A bruk alltid radoperasjoner, se Eks 54 (Gauss+Jordan) og 55 (kun Gauss!) 4 For enhver m n matrise A, er det definert den transponerte (the transpose) n m matrise A T, se s 29 5 (AB) T B T A T Legg merke til den inverse rekkefølgen! 6 ( A T ) ( A ) T 7 det A T det A Eksempel 2 Matrisepolynomer, Eksempel 32, s 4 Gitt et polynom f(x) α n x n + α n x n + + α x + α, α i R, og en kvadratisk n n matrise A, kan man definere f (A) α n A n + α n A n + + α A + α Det ser ut som at vi adderer skalæren α til n n matrisen α n A n +α n A n + + α A, som ikke er tillatt! Men det finnes en standard måte hvordan å behandle slike uttrykk Den riktige formelen er: f (A) α n A n + α n A n + + α A + α I n der I n er en n n identitesmatrise Teorem 22 Viktig setning (s 26) Hvis A er en m k matrise, og B er en k n matrise r A r 2, r m B [ c c 2 c n ], 3

11 så er matrisen AB en m n matrise som består av følgende elementer, rader og kolonner: r B AB [r i c j ] r 2 B [ Ac Ac 2 Ac n ] r m B Teorem 23 (Th 3) Hvis og A [ c c 2 c n ], x er en kolonnevektor, er Ax en lineær kombinasjon ( a linear combination, Def 36) av kolonner av A: 3 Determinanter x x 2 x n Ax x c + x 2 c x n c n For envher kvadratisk n n matrise A er det definert et bestemt reelt (eller komplekst) tall det A (eller A ) Vi gir ikke definisjonen her (den er for komplisert) Men egenskapene til determinantfunksjonen tillater oss å beregne determinanter til alle kvadratiske matriser For matriser beregnes determinanten enkelt: det [a] a For 2 2 matriser bruk formelen på s 95: a b [ ] a b c d det ad bc c d For 3 3 matriser bruk radoperasjoner eller formelen på s 95: a b c a b c d e f g h i det d e f aei + bfg + cdh ceg bdi afh g h i Det er lurt å bruke geometriske bilder for å huske hvilke tre produkter i summen er positive 3

12 o o o o o o o o o og hvilke tre produkter er negative o o o o o o o o o Det anbefales ikke å bruke skrivemåten som i Eks 27 eller på Fig 2 Man kan lettt få en følelse at en lignende metode kan brukes for 4 4 eller større determinanter Dette er helt galt! For n n matriser, n 4, bruk kun radoperasjoner, Theorem 22, 22 og 223 Målet er å redusere matrisen til en trappeformet matrise, dvs det er nok å bruke Gauss, uten Jordan Etter en rekke radoperasjoner får man det A α det A der A har trappeform, og α er en koeffi sient man får ved å bruke Theorem 223ab Merknad 3 A her er ikke den utvidede matrisen! Det er to mulige tilfeller: A er invertibel: Dette betyr at A det A α det A α α 2 A er ikke invertibel, og derfor inneholder minst én nullrad: A Vi får da det A α det A α 32

13 Men vi kan forenkle beregningene ved å bruke Teorem 35 nedenfor Teoremet tillater oss å stoppe før vi har fått en triangulær matrise Det er andre tips til beregningen av determinanter: Det er lurt å bytte rader av og til for å få eller i det venstre øvre hjørnet 2 Vi kan bruke litt svakere Gauss: få andre elementer enn i hjørnene, bare at den resulterende matrisen er triangulær (eller blokk-triangulær!), ikke nødvendigvis trappeformet Vi tar et oppsummerende eksempel i Subseksjon nedenfor: 3 Oppsummerende eksempel Eksemplet nedenfor er tatt fra Oblig i vårsemesteret 2 Eksempel 32 Funksjonen D(t) er gitt som determinanten til en 4 4 matrise: D(t) t Beregn determinanten D(t) og finn verdien t som gir D(t ) 2 7 Løsning 33 a) Standardmetoden: D(t) t t t 4 5 5t t ( ) t 4 2t 4 ( ) t 4 2t 4 5 5t + 5 5t t 4 ( ) ( ) ( ) ( 5t + 25) 25 5t Løser deretter likningen 25 5t 2 7 t

14 b) Bruk Teorem 35 i sluttfasen: D(t) ( ) 2 t ( ) ( ) 2t 4 5 5t + 5 ( ) ( ) (5t 25) 25 5t c) Bruk Teorem 35 tidligere: D(t) t t (25 5t) 25 5t t 4 32 Determinanter til blokk-triangulære matriser Definisjon 34 La A være en kvadratisk n n matrise a) A kalles blokk-diagonal hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: B k m + m m k n b) A kalles øvre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n t 4 2t 4 5 5t

15 c) A kalles nedre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n Teorem 35 Hvis en matrise A er blokk-diagonal, eller øvre blokk-triangulær, eller nedre blokk-triangulær, er dens determinant lik det A det B det B 2 det B k Eksempel 36 La A Da er A blokk-diagonal, og [ 2 det A det 3 4 Eksempel 37 La ] det det [ 5] 2 2 ( 2) ( 22) ( 5) 22 A Da er A øvre blokk-triangulær, og [ ] 2 det A det det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 35

16 Eksempel 38 La A Da er A nedre blokk-triangulær, og ] det [ 2 det A det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 36

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser Løsningsforslag Oppgave 1 Redusert trappeform og løsning av lineære likningssystemer a) Totalmatrisa blir Vi tilordner dette i MATLAB: 5 1 1

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på

Detaljer

4 KONSENTRASJON 4.1 INNLEDNING

4 KONSENTRASJON 4.1 INNLEDNING 4 KONSENTRASJON 4.1 INNLEDNING 1 Terminologi En løsning er tidligere definert som en homogen blanding av rene stoffer (kap. 1). Vi tenker vanligvis på en løsning som flytende, dvs. at et eller annet stoff

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk Eirik Refsdal 2. august 2005 En mangel ved dagens autorative kompendium i matematikk 4, er at numerikkbiten i matematikk 4D er fullstendig utelatt. Dette er

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE)

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Heltid - ikke studiepoenggivende utdanning Godkjent av Avdelingsstyret ved ingeniørutdanningen 14. mars 2011 Fakultet for teknologi, kunst

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Øvingsforelesning TDT4105 Matlab

Øvingsforelesning TDT4105 Matlab Øvingsforelesning TDT4105 Matlab Øving 2. Pensum: Funksjoner, matriser, sannhetsuttrykk, if-setninger. Benjamin A. Bjørnseth 8. september 2015 2 Innhold Funksjoner Matriser Matriseoperasjoner Sannhetsuttrykk

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn Læreplan i matematikk Kompetansemål etter 10. årstrinn Tall og algebra Eleven skal kunne: 1. Sammenlikne og regne om hele tal, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform 2. Regne med

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat?

Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat? Normat 50:2, 1001 1007 2002) 1001 Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat? Kenth Engø Telenor Forskning og Utvikling Snarøyveien 0 NO 11 Fornebu Kenth.Engo@telenor.com Introduksjon. I denne

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Matematikk 15 V-2008

Matematikk 15 V-2008 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :

Detaljer

Matematikk R,S og X. Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole. http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep

Matematikk R,S og X. Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole. http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep Matematikk R,S og X Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep Foredrag på faglig pedagogisk dag 3. Jan. 2007 Kristian Ranestad Matematisk

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

EXCEL. 1.1 Arbeidsbøker og regneark

EXCEL. 1.1 Arbeidsbøker og regneark 1 EXCEL Excel er et regnearkprogram som utgjør en del av programpakken Microsoft Office. Dette dataprogrammet har blitt utviklet gjennom mange år og er i dag det regnearkprogrammet som dominerer markedet.

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1

INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1 INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1 Dagens temaer Relasjonsalgebraen Renavning Algebra Heltallsalgebra Klassisk relasjonsalgebra Mengdeoperatorer Union Snitt

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Vektorer og matriser

Vektorer og matriser DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Derivasjonen som grenseverdi

Derivasjonen som grenseverdi Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2014 Øving 5 Frist: 2014-02-21 Mål for denne øvinga:

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L

Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF1100L Representasjon av tall på datamaskin Kort innføring for MAT-INF00L Knut Mørken 3. desember 204 Det er noen få prinsipper fra den første delen av MAT-INF00 om tall som studentene i MAT-INF00L bør kjenne

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn

Detaljer

TFE4100 Kretsteknikk Kompendium. Eirik Refsdal

TFE4100 Kretsteknikk Kompendium. Eirik Refsdal <eirikref@pvv.ntnu.no> TFE4100 Kretsteknikk Kompendium Eirik Refsdal 16. august 2005 2 INNHOLD Innhold 1 Introduksjon til elektriske kretser 4 1.1 Strøm................................ 4 1.2 Spenning..............................

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer