1 Gauss-Jordan metode

Transkript

1 Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller s 97 Referansene til Kompendiet er 2-tallede, f eks Teorem 35 Vi kan også referere til en Seksjon eller Subseksjon (ikke eller kap), men aldri til en side i Kompendiet Gauss-Jordan metode Nye begrep En lineær likning (a linear equation), et system (a system) av lineære likninger, homogene og inhomogene (homogeneous and inhomogeneous) systemer, variable (unknowns, variables), en løsning til et system (a solution of a system), et n-tuppel (an ordered n-tuple) Tupler kan betegnes som rader eller kolonner, i runde parenteser eller kvadratparenteser: [ ] s s 2 s n, ( ) s s 2 s n, s s 2 s n, s s 2 s n Fra Wikipedia: En matrise er et rektangulært sett av elementer (entries) ordnet i rader og kolonner Se boka, 3 (Def 3 og Partitioned Matrices ): en m n matrise A (a m n matrix) består av m rader (rows) r, r 2, r m, og n kolonner (columns) c, c 2, c n : A der a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn [a ij] i,,m, [a ij ] j,,n r i [ a i a j a i2 a in ], c j a 2j a mj Merknad Elementene i en matrise kan være reelle eller komplekse tall, men også symboler og til og med andre matriser r r 2 r m [ c c 2 c n ], 2

2 Hvis et tuppel av tall er betegnet som en kolonne, kan det betraktes som en n matrise En rad kan betraktes som en n matrise Rader og kolonner vil bli senere kallt vektorer (vectors) generelt, eller radvektorer (row vectors) og kolonnevektorer (column vectors) For et system a x + a 2 x + + a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2 a m x + a m2 x a mn x n b m defineres det to matriser: m n koeffi sientmatrisen (the coeffi cient matrix, ovenfor Def 37) A og den m (n + ) utvidede (augmented) matrisen A ( ): A A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn, a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b m [ A b ] Koeffi sientmatrisen er viktigst! Vi skal trappeformere den, og trenger ikke trappeformere A Forfatterne skulle si dette i boken Vi skal senere betrakte utvidede matriser som har flere kolonner (og til og med en annen matrise) til høyre fra A I hvert tilfelle skal vi trappeformere A, ikke A Det skal betraktes (nokså sjelden) utvidede matriser der A står til høyre, ikke til venstre Igjen skal vi trappeformere A, ikke A La oss da kalle koeffi sientmatrisen for hovedmatrisen til systemet Systemer kan være konsistente (consistent), se Eks 2, 4 og 5, eller inkonsistente (inconsistent), se Eks 3 Konsistente systemer kan ha nøyaktig én løsning (Eks 2), eller uendelig mange løsninger (Eks 4 og 5) Likninger beskrives vanligvis som rader, mens løsninger som kolonner Den eneste løsningen i Eks 2 er: 7 x 3 y Løsningene i Eks 4 kan beskrives slik: x t t t, y t t

3 og i Eks 5 slik: x 5 + r 2s y z r s 5 + r r + 2s s 5 +r +s 2, der t, r, og s er vilkårlige parametre (parameters) Homogene systemer er alltid konsistente, fordi de har minst én løsning Trappeform (row echelon form), redusert (reduced) trappeform, ledende enere (leading ones), hovedvariable (leading variables), frie (free) variable, se boka, 2 2 Elementære radoperasjoner Elementære radoperasjoner (elementary row operations, Eks 6) skal brukes ofte i dette kurset Vi skal unngå kolonneoperasjoner De trenges nokså sjelden, og det er ikke bra å beherske begge: sannsynligheten til feiler vil vokse I de sjeldne tilfellene der kolonneoperasjoner er absolutt nødvendige, anbefales det å transponere matrisen først (kolonner blir rader!), bruke radoperasjoner, og deretter transponere den resulterende matrisen (rader blir kolonner igjen) Forfatterne skulle formulere følgende teorem: Teorem Elementære radoperasjoner endrer ikke løsninger til systemet Dvs, hver gang vi utfører en elementær radoperasjon, vil det nye systemet ha de samme løsningene som det opprinnelige systemet For eksempel, det nye systemet er konsistent hvis og bare hvis det opprinnelige systemet er det Merknad 2 Vi skal lære senere at elementære radoperasjoner har flere andre gode egenskaper Om vi bør bruke bare Gauss, dvs redusere en matrise til en trappeform (row echelon form) eller Gauss+Jordan, dvs redusere en matrise til en redusert (reduced) trappeform, avhenger av oppgaven vi løser For eksempel, i kap 2 er det lurt å bruke Gauss+Jordan, som i Eks 6, Eks 25 og steg -6 ovenfor Eks 25 Hvis man bruker bare Gauss, vil man trenge back-substitution, som i Eks 27, og det er ikke anbefalt! For å beregne inversmatrisen (Eks 54), er det absolutt nødvendig å bruke Gauss+Jordan, mens for å bestemme at en matrise ikke er invertibel (Eks 55), er det nok med bare Gauss For å beregne determinanter (se Seksjon 3 nedenfor), er Jordan unødvendig 23

4 Merknad 3 Jeg ble spurt: Er det absolutt nødvendig å bruke Jordan etter Gauss, eller det er mulig å blande de to metodene? Svar: ja, det er mulig å blande Gauss og Jordan Det er bare to krav: Man bruker elementære radoperasjoner 2 Det endelige resultatet er en matrise som har redusert trappeform Men det anbefales sterkt å bruke Jordan etter Gauss Det er dessuten anbefalt å utføre Jordan nedenfra (fra nedre til øvre rader), mens Gauss utføres ovenfra (fra øvre til nedre rader) Det er mer økonomisk dvs trenger færre beregninger Se Eksempel 4 nedenfor, Jordan steg Eksempel 4 Steg -6 ovenfor Eks 25 Gauss (første 5 steg i boka) Jordan Jordan (steg 6) utføres nå nedenfra Det er mulig å utføre noen elementære operasjoner samtidig Med fet skrift markerer vi de elementene (3 stykker) som er beregnet på nytt La oss utføre Jordan ovenfra:

5 Det er nå 4 elementer som ble beregnet på nytt For mer kompliserte matriser blir forskjellen mellom de to variantene (ovenfra og nedenfra) enda større Et tips: prøv å beholde (så lenge som mulig) hele tall i matrisen Vi kunne gjøre slik ( er bedre enn 5): Eksempel 5 Oppsummerende eksempel (utvidede Eksempler 25 og 26) Se også Eks 63 La oss betrakte systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 b 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 b 2 5x 3 + x 4 + 5x 6 b 3 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b 4 der b b b 2 b 3 b 4 (generelt) eller 5 6 eller eller 5 6 Hovedmatrisen til systemet er A Vi skal løse 4 oppgaver samtidig Setter 4 kolonner til høyre fra hovedmatrisen: b A b b Gauss b b 2 3 2b + b b b + b

6 3 2 2 b 2 3 2b b b b + b b 2 3 2b b 2 3 b + 5b 2 + b 3 6 b + 4b 2 + b b 2 3 2b b b + 4b 2 + b b + 5b 2 + b b 2 3 2b b b b b b + 5b 2 + b 3 Jordan b 2 7b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b b 6b 2 b b 3b 2 2 b b b b b + 5b 2 + b 3 Ledende enere er markert Hovedvariablene er x, x 3, og x 6 De frie variablene er x 2, x 4, og x 5 La oss betegne x 2 r, x 4 s, og x 5 t (vilkårlige parametre) Konklusjonene er: Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 b b 2 b 3 b 4 har ingen løsning (er inkonsistent) hvis b + 5b 2 + b 3 Hvis b + 5b 2 + b 3, 26

7 har systemet uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 5b 6b 2 b 4 3r 4s 2t r 7b 3b 2 2 b 4 2s s t 5 3 b b b 4 5b 6b 2 b 4 7b 3b 2 2 b b b b 4 + r 3 + s t 2 2 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har uendelig mange løsninger Siden systemet er ekvivalent til et nytt system: x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 3, er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2t r 2s s t r 3 + s t 2 3 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x 6 27

8 har uendelig mange løsninger system: er x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x + 3x 2 + 4x 4 + 2x 5 x 3 + 2x 4 x 6 2t r 2s s t r Siden systemet er ekvivalent til et nytt 3 + s 4 2, + t 2 4 Systemet x + 3x 2 2x 3 + 2x 5 2x + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 5x 3 + x 4 + 5x 6 2x + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 8x har ingen løsninger (er inkonsistent) fordi 2 Matriseoperasjoner I Teorem 4 er det gitt en stor liste av egenskaper til matriseoperasjoner Egenskapene er pensum Det er vanskelig å huske dem alle Egenskapene ligner tilsvarende egenskaper til vanlige aritmetiske operasjoner Det er lettere å huske hva forskjellene mellom matriseoperasjoner og vanlige aritmetiske operasjoner er Nedenfor er en stor liste av forskjeller Objektene vi arbeider med er skalærer (scalars, se 3) dvs reelle tall a R (senere også komplekse tall z C) og m n matriser A [a ij ], i, 2,, m; j, 2,, n C A + B er definert bare hvis både A og B er m n matriser C blir da en m n matrise Dette betyr for eksempel at man ikke kan definere summen β + A av en skalær β og en matrise A Med det finnes et unntak, se eksempel 2 nedenfor 2 Produkt βa av en skalær β og en m n matrise A er definert og er en m n matrise 3 Produkt C AB er definert når A er en m n matrise, og B er en n k matrise C blir da en m k matrise 4 Vanligvis er AB BA Det kan hende også at AB er definert, mens BA er ikke definert 28

9 5 Nullmatrise spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige m n nullmatriser mn De er ikke nødvendigvis kvadratiske (square matrices), dvs det er mulig at m n (men m n er også mulig!) 6 Identitetsmatrise (identity matrix) I spiller samme rolle som tallet i vanlig aritmetikk Men husk at det er uendelig mange forskjellige n n identitetsmatriser I n Alle er kvadratiske, for eksempel I 4 7 Inversmatrise (inverse matrix) A spiller samme rolle som tallet a i vanlig aritmetikk I aritmetikk er det nok å ha a Det er ikke tilfellet i matrisealgebra, dvs ikke alle A kan inverteres Matriser A som har den inverse A kalles invertible (i noen bøker inverterbare) Matrisen A er invertibel hvis og bare hvis den er kvadratisk og det A (Theorem 233) 8 det (AB) det (A) det (B), det ( A ) (det (A)) 9 Man kan ikke si noe om det (A + B) Vanligvis er det (A + B) det (A) + det (B) Det finnes ikke noe i matrisealgebra som tilsvarer b a dvs det finnes ikke B A for matriser A og B Men hvis A er invertibel, kan det defineres to matriser (vanligvis forskjellige): BA og A B Det er mulig at BA er definert, mens A B ikke er definert (og omvendt) I vanlig algebra har likningen ax b (a ) eksakt én løsning x b a I matrisealgebra har vi to forskjellige likninger og to forskjellige løsninger: AX B X A B, XA B X BA Det finnes også en helt ny type likninger: AXB C X A CB 2 (AB) B A Legg merke til den inverse rekkefølgen! 29

10 3 Hvordan å beregne A? For en matrise [a], a, er det enkelt: [ ] [a] a For 2 2 matriser bruk formelen fra Theorem 45: [ ] [ ] A a b d b [ d b c d ad bc c a det A c a ] Hvis det A, er ikke A invertibel For en n n (n 3) matrise A bruk alltid radoperasjoner, se Eks 54 (Gauss+Jordan) og 55 (kun Gauss!) 4 For enhver m n matrise A, er det definert den transponerte (the transpose) n m matrise A T, se s 29 5 (AB) T B T A T Legg merke til den inverse rekkefølgen! 6 ( A T ) ( A ) T 7 det A T det A Eksempel 2 Matrisepolynomer, Eksempel 32, s 4 Gitt et polynom f(x) α n x n + α n x n + + α x + α, α i R, og en kvadratisk n n matrise A, kan man definere f (A) α n A n + α n A n + + α A + α Det ser ut som at vi adderer skalæren α til n n matrisen α n A n +α n A n + + α A, som ikke er tillatt! Men det finnes en standard måte hvordan å behandle slike uttrykk Den riktige formelen er: f (A) α n A n + α n A n + + α A + α I n der I n er en n n identitesmatrise Teorem 22 Viktig setning (s 26) Hvis A er en m k matrise, og B er en k n matrise r A r 2, r m B [ c c 2 c n ], 3

11 så er matrisen AB en m n matrise som består av følgende elementer, rader og kolonner: r B AB [r i c j ] r 2 B [ Ac Ac 2 Ac n ] r m B Teorem 23 (Th 3) Hvis og A [ c c 2 c n ], x er en kolonnevektor, er Ax en lineær kombinasjon ( a linear combination, Def 36) av kolonner av A: 3 Determinanter x x 2 x n Ax x c + x 2 c x n c n For envher kvadratisk n n matrise A er det definert et bestemt reelt (eller komplekst) tall det A (eller A ) Vi gir ikke definisjonen her (den er for komplisert) Men egenskapene til determinantfunksjonen tillater oss å beregne determinanter til alle kvadratiske matriser For matriser beregnes determinanten enkelt: det [a] a For 2 2 matriser bruk formelen på s 95: a b [ ] a b c d det ad bc c d For 3 3 matriser bruk radoperasjoner eller formelen på s 95: a b c a b c d e f g h i det d e f aei + bfg + cdh ceg bdi afh g h i Det er lurt å bruke geometriske bilder for å huske hvilke tre produkter i summen er positive 3

12 o o o o o o o o o og hvilke tre produkter er negative o o o o o o o o o Det anbefales ikke å bruke skrivemåten som i Eks 27 eller på Fig 2 Man kan lettt få en følelse at en lignende metode kan brukes for 4 4 eller større determinanter Dette er helt galt! For n n matriser, n 4, bruk kun radoperasjoner, Theorem 22, 22 og 223 Målet er å redusere matrisen til en trappeformet matrise, dvs det er nok å bruke Gauss, uten Jordan Etter en rekke radoperasjoner får man det A α det A der A har trappeform, og α er en koeffi sient man får ved å bruke Theorem 223ab Merknad 3 A her er ikke den utvidede matrisen! Det er to mulige tilfeller: A er invertibel: Dette betyr at A det A α det A α α 2 A er ikke invertibel, og derfor inneholder minst én nullrad: A Vi får da det A α det A α 32

13 Men vi kan forenkle beregningene ved å bruke Teorem 35 nedenfor Teoremet tillater oss å stoppe før vi har fått en triangulær matrise Det er andre tips til beregningen av determinanter: Det er lurt å bytte rader av og til for å få eller i det venstre øvre hjørnet 2 Vi kan bruke litt svakere Gauss: få andre elementer enn i hjørnene, bare at den resulterende matrisen er triangulær (eller blokk-triangulær!), ikke nødvendigvis trappeformet Vi tar et oppsummerende eksempel i Subseksjon nedenfor: 3 Oppsummerende eksempel Eksemplet nedenfor er tatt fra Oblig i vårsemesteret 2 Eksempel 32 Funksjonen D(t) er gitt som determinanten til en 4 4 matrise: D(t) t Beregn determinanten D(t) og finn verdien t som gir D(t ) 2 7 Løsning 33 a) Standardmetoden: D(t) t t t 4 5 5t t ( ) t 4 2t 4 ( ) t 4 2t 4 5 5t + 5 5t t 4 ( ) ( ) ( ) ( 5t + 25) 25 5t Løser deretter likningen 25 5t 2 7 t

14 b) Bruk Teorem 35 i sluttfasen: D(t) ( ) 2 t ( ) ( ) 2t 4 5 5t + 5 ( ) ( ) (5t 25) 25 5t c) Bruk Teorem 35 tidligere: D(t) t t (25 5t) 25 5t t 4 32 Determinanter til blokk-triangulære matriser Definisjon 34 La A være en kvadratisk n n matrise a) A kalles blokk-diagonal hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: B k m + m m k n b) A kalles øvre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n t 4 2t 4 5 5t

15 c) A kalles nedre blokk-tringulær hvis den kan bli skrevet ned som: B B 2 A B 3 B k der tomme celler betyr null undermatriser, mens hver B s er en kvadratisk m s m s matrise Summen av dimensjonene til disse undermatrisene er lik n: m + m m k n Teorem 35 Hvis en matrise A er blokk-diagonal, eller øvre blokk-triangulær, eller nedre blokk-triangulær, er dens determinant lik det A det B det B 2 det B k Eksempel 36 La A Da er A blokk-diagonal, og [ 2 det A det 3 4 Eksempel 37 La ] det det [ 5] 2 2 ( 2) ( 22) ( 5) 22 A Da er A øvre blokk-triangulær, og [ ] 2 det A det det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 35

16 Eksempel 38 La A Da er A nedre blokk-triangulær, og ] det [ 2 det A det ( 2) ( 22) ( 5) 22 det [ 5] 36